數(shù)學(xué)史概論近代數(shù)學(xué)的興起

1、 第五講第五講 近代數(shù)學(xué)的興起近代數(shù)學(xué)的興起-文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)(1517世紀(jì)初世紀(jì)初)5.1中世紀(jì)的歐洲中世紀(jì)的歐洲5.2向近代數(shù)學(xué)的過(guò)度向近代數(shù)學(xué)的過(guò)度5.3解析幾何的誕生解析幾何的誕生5.2.15.2.1代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)5.2.2三角學(xué)5.2.3從透視學(xué)到攝影學(xué)5.2.4計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)5.1中世紀(jì)的歐洲中世紀(jì)的歐洲 - 歐洲中世紀(jì)的回顧歐洲中世紀(jì)的回顧公元公元5-11世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期直到直到12世紀(jì)，同于受翻譯、傳播阿拉伯世紀(jì)，同于受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激，歐洲數(shù)學(xué)與開(kāi)著作和希臘著作的刺激，歐洲數(shù)學(xué)與開(kāi)始出現(xiàn)復(fù)蘇跡象?？?/p>

2、以說(shuō)，始出現(xiàn)復(fù)蘇跡象?？梢哉f(shuō)，12世紀(jì)是歐世紀(jì)是歐洲數(shù)學(xué)的翻譯時(shí)代洲數(shù)學(xué)的翻譯時(shí)代歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后，第一位有影響力的歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后，第一位有影響力的數(shù)學(xué)家是斐波那契數(shù)學(xué)家是斐波那契斐波那契斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):(1202 算盤(pán)書(shū)算盤(pán)書(shū))算盤(pán)書(shū)主要內(nèi)容：整數(shù)和分?jǐn)?shù)算法；開(kāi)方法；二次和三次方程以及不定方程；系統(tǒng)介紹印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼；算盤(pán)書(shū)算盤(pán)書(shū)可以看作是歐洲數(shù)學(xué)在可以看作是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的黑夜之后走向復(fù)蘇的經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。號(hào)角。 一、文藝復(fù)興（14-16世紀(jì)）文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)：13世紀(jì)末，在意大利各城市興起，以后擴(kuò)展到西歐各國(guó)，于16世紀(jì)在

3、歐州盛行的思想文化運(yùn)動(dòng)。是科學(xué)與藝術(shù)的革命時(shí)期文藝復(fù)興時(shí)期在各領(lǐng)域取得很大成就 ，數(shù)學(xué)成就只不過(guò)是其中之一 5.2向近代數(shù)學(xué)的過(guò)度向近代數(shù)學(xué)的過(guò)度-希望的曙光希望的曙光-歐州文藝復(fù)興時(shí)期歐州文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué) 三角學(xué)三角學(xué) 從透視學(xué)到射影幾何從透視學(xué)到射影幾何計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)5.2.1代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕。主要包拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號(hào)代數(shù)括三、四次方程求解與

4、符號(hào)代數(shù)的引入這兩個(gè)方面。的引入這兩個(gè)方面。 1. 三、四次方程根式求解的成功三、四次方程根式求解的成功第一個(gè)突破：約1515年費(fèi)羅發(fā)現(xiàn)形如：x3+mx=n (m,n0)，代數(shù)方程的解法并將解法秘密傳給自己的學(xué)生費(fèi)奧1535年，意大利另一位數(shù)學(xué)家塔塔利亞，也宣稱(chēng)自己能解形如：x3+mx2=n (m,n0)的三次方程。費(fèi)奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對(duì)方提出的30個(gè)三次方程。 結(jié)果是，塔塔利亞很快解出形如: x3+mx2=n 和x3+mx=n (m,n0)兩類(lèi)型所有方程，而費(fèi)奧只能解出后一類(lèi)方程后來(lái)，塔塔利亞把解法傳給了卡爾丹塔塔利亞（niccolo fontana, 1499?1557，綽號(hào)t

5、artaglia意為口吃著） 大法（Ars Magna）qpxx3（p, q 0） 332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqb實(shí)質(zhì)是考慮恒等式333)(3)babaabba（若選取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不難解得a,bqpxx3p, q 0 332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqb2.四次方程求解四次方程求解x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過(guò)配方、因式分解后降次基本思想是通過(guò)配方、因式分解后降次 關(guān)于四次方程的解法，以后韋達(dá)和笛卡關(guān)于四次方程的解法，以后韋達(dá)和笛卡爾都作過(guò)研究，并取得成果，由此引發(fā)探求爾都作過(guò)研究，并取得成果，由此引

6、發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經(jīng)拉格朗日、阿貝五次方程根式解的嘗試，經(jīng)拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無(wú)根式解，伽羅瓦在此基的五次及以上方程無(wú)根式解，伽羅瓦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了礎(chǔ)上創(chuàng)造了群論群論，將代數(shù)研究推向縱深，將代數(shù)研究推向縱深。3.代數(shù)符號(hào)體系與代數(shù)運(yùn)算代數(shù)符號(hào)體系與代數(shù)運(yùn)算 韋達(dá)韋達(dá)(F.Vieta):(1591)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個(gè)最為明顯、突出的標(biāo)志，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個(gè)最為明顯、突出的標(biāo)志，就是普遍地使用了數(shù)學(xué)符號(hào)，它體現(xiàn)了就是普遍地使用了數(shù)學(xué)符號(hào)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡(jiǎn)練。文藝復(fù)興數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡(jiǎn)練。文藝復(fù)

7、興時(shí)期代數(shù)學(xué)的另一重大進(jìn)展，便是系統(tǒng)時(shí)期代數(shù)學(xué)的另一重大進(jìn)展，便是系統(tǒng)地引入符號(hào)代數(shù)。地引入符號(hào)代數(shù)。 韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用字母。他的符號(hào)體系的引入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)母。他的符號(hào)體系的引入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生最重大變革上產(chǎn)生最重大變革 l 1616世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)家世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)家l 代數(shù)學(xué)之父：代數(shù)學(xué)之父：1591年年分析引論分析引論5.2.2三角學(xué)(從球面三角到平面三角） 航海、歷法推算以及天文觀測(cè)的需要，推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展 。早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分，這樣在1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角 。后來(lái)由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角

8、三角學(xué),起源于古希臘。為了預(yù)報(bào)天體運(yùn)行路線、計(jì)算日歷、航海等需要，古希臘人已研究球面三角形的邊角關(guān)系，掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內(nèi)角之和大于兩個(gè)直角，等邊對(duì)等角等定理。印度人和阿拉伯人對(duì)三角學(xué)也有研究和推進(jìn)，但主要是應(yīng)用在天文學(xué)方面。15、16世紀(jì)三角學(xué)的研究轉(zhuǎn)入平面三角，以達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用目的。 在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來(lái)的數(shù)學(xué)家是德國(guó)人雷格蒙塔努斯（J.Regionomtanus,1436-1476）。雷格蒙塔努斯的主要著作是年完成的論各種三角形。這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作。全書(shū)共卷，前卷論述平面三角學(xué)，后卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉。

9、雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表。三角學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作。他在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)（1579）和斜截面（1615）二書(shū)中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，其中包括自己得到的正切公式：)2tan()2tan(BABAbaba三角學(xué)在今天 的應(yīng)用三角測(cè)量：在導(dǎo)航，測(cè)量及土木工程中精確測(cè)量距離和角度的技術(shù)，主要用于為船只或飛機(jī)定位。它的原理是：如果已知三角形的一邊及兩角，則其余的兩邊一角可用平面三角學(xué)的方法計(jì)算出來(lái)。5.2.3從透視學(xué)到射影幾何從透視學(xué)到射影幾何由于繪畫(huà)、制圖的刺激而導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科透視學(xué)的興起，從而誕生了投影幾何

10、學(xué)。意大利藝術(shù)家布努雷契（f.brunelleschi, 13771446）由于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)興趣而認(rèn)真研究透視法，他試圖運(yùn)用幾何方法進(jìn)行繪畫(huà)。數(shù)學(xué)透視法的天才阿爾貝蒂（l.b.alberti ，14041472) 的完全是數(shù)學(xué)性質(zhì)的論繪畫(huà)（1511）一書(shū)，是早期數(shù)學(xué)透視法的代表作，書(shū)中除引入投影線、截影等一些概念外，還討論了截影的數(shù)學(xué)性質(zhì)，成為射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。重要人物布努雷契布努雷契 意(F.Brunelleschi,1377-1446)阿爾貝蒂阿爾貝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) -早期數(shù)學(xué)透視法的代表作富有獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)天才-德沙格德沙格（g.desargues, 1

11、5911661） （笛沙格）德沙格的工作德沙格的工作德沙格德沙格（1591-1661），法國(guó)陸軍軍官，），法國(guó)陸軍軍官，德沙格定理。德沙格發(fā)表了德沙格定理。德沙格發(fā)表了本關(guān)于圓本關(guān)于圓維曲線的很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊(cè)子維曲線的很有獨(dú)創(chuàng)性的小冊(cè)子試論錐試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿面截一平面所得結(jié)果的初稿 ，從開(kāi)普，從開(kāi)普勒的連續(xù)性原理開(kāi)始，導(dǎo)出了許多關(guān)于勒的連續(xù)性原理開(kāi)始，導(dǎo)出了許多關(guān)于對(duì)合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以對(duì)合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理及透視的基本原理1、兩投影三角形對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線，反之，對(duì)應(yīng)邊、兩投影三角形對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線，反之，對(duì)應(yīng)邊共點(diǎn)的兩三角形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共

12、點(diǎn)（德沙格共點(diǎn)的兩三角形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)（德沙格定理）定理）德沙格定理德沙格德沙格德沙格的另一項(xiàng)重要工作是從對(duì)合點(diǎn)問(wèn)題出發(fā)首次討論了調(diào)和點(diǎn)組的理論。在對(duì)合概念的基礎(chǔ)上他又引入共軛點(diǎn)與調(diào)和點(diǎn)組的概念，認(rèn)為對(duì)合、調(diào)和點(diǎn)組關(guān)系在投影變換下具有不變性。 即投影線的每個(gè)截線上的交比都相等:如下圖，有( A B , C D )=( AB,CD)2、交比在投影下的不變性；3、對(duì)合、調(diào)合點(diǎn)組關(guān)系不變性。對(duì)任一直線上的定點(diǎn)O，稱(chēng)直線上的兩對(duì)點(diǎn)A，B和A，B是對(duì)合的，如果成立：OAOB=OA OB帕斯帕斯卡卡帕斯卡（帕斯卡（1623-1662），著作），著作圓錐曲線論圓錐曲線論（1640），在射），在射影幾何

13、方面他最影幾何方面他最突出的成就就是突出的成就就是帕斯卡定理：帕斯卡定理：圓圓錐曲線的內(nèi)接六錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線。線。拉伊爾拉伊爾（1640-1718），），著作著作圓錐線圓錐線，最突出的地方在于極點(diǎn)理論方面有所最突出的地方在于極點(diǎn)理論方面有所創(chuàng)新，獲得并且這樣的定理：創(chuàng)新，獲得并且這樣的定理：若一點(diǎn)若一點(diǎn)Q在直線在直線p上移動(dòng)，則該點(diǎn)上移動(dòng)，則該點(diǎn)Q的極帶將的極帶將繞直線繞直線p的極點(diǎn)的極點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。5.2.4計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)十六世紀(jì)前半葉，歐洲人象印度、阿拉伯人一樣，把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位。1585年荷蘭數(shù)學(xué)家史蒂文發(fā)表的論十進(jìn)制算術(shù)系統(tǒng)探討

14、十進(jìn)數(shù)及其運(yùn)算理論，并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書(shū)寫(xiě)分?jǐn)?shù)，還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進(jìn)制。這種十進(jìn)位值制的采用又為計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)準(zhǔn)備了必要條件。 這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它主要是由于天文和航海計(jì)算的強(qiáng)烈需要，為簡(jiǎn)化天文、航海方面所遇到繁復(fù)的高位數(shù)值計(jì)算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法。蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾(j.napier)正是在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中首先發(fā)明對(duì)數(shù)方法的。1614年他在題為奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書(shū)的小書(shū)中，闡述了他的對(duì)數(shù)方法。納皮爾納皮爾（1550-1550-16171617），利用），利用兩種不同的運(yùn)兩種不同的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，動(dòng)之間的關(guān)系，建立了建立了

15、“對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)”關(guān)系。稱(chēng)為納關(guān)系。稱(chēng)為納皮爾對(duì)數(shù)。皮爾對(duì)數(shù)。對(duì)數(shù)的實(shí)用價(jià)值很快為納皮爾的朋友，倫敦雷沙姆學(xué)院幾何學(xué)教授布里格斯(henrybriggs,15611631)所認(rèn)識(shí)，他與納皮爾合作，決定采用 ，則 時(shí)得到 ，這樣就獲得了今天所謂的“常用對(duì)數(shù)”。10yxx21xxyyy21布里格斯布里格斯（1561-1561-16311631），建），建立了以立了以1010為為底的常用對(duì)底的常用對(duì)數(shù)，制出第數(shù)，制出第一張常用對(duì)一張常用對(duì)數(shù)表。數(shù)表。比爾吉比爾吉（1552-16321552-1632），），也獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)。他對(duì)數(shù)思想的基礎(chǔ)是斯蒂費(fèi)爾的級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)思想，屬于算術(shù)性質(zhì)而略異于納皮爾的做法。 對(duì)數(shù)

16、的發(fā)明大大減輕了計(jì)算工作量，很快風(fēng)靡歐洲，所以拉普拉斯（laplace, 17491827）曾贊譽(yù)道：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。 5.3解析幾何的誕生 誕生的社會(huì)背景：誕生的社會(huì)背景：歷史地位：解析幾何是變量數(shù)學(xué)的第一歷史地位：解析幾何是變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑個(gè)里程碑解析幾何基本思想：1.平面上引進(jìn)所謂“坐標(biāo)”的概念；2.平面上的點(diǎn)和有序數(shù)對(duì)（x,y)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；3.以此方式，代數(shù)方程f(x,y)=0與平面上一條曲線對(duì)應(yīng)起來(lái)；本質(zhì)思想：用代數(shù)的方法去研究幾何；解析幾何最重要的前驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家解析幾何最重要的前驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷斯姆奧雷斯姆(N. Oresme,

17、 13231382)；真正發(fā)明者歸功于法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)真正發(fā)明者歸功于法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒家笛卡兒(R.Descartes , 15961650)與與費(fèi)馬費(fèi)馬(P. de Fermat, 16011665)。笛卡兒(R.Descartes, 1596-1650): 幾何學(xué)(1637)我思故我在我思故我在證明證明帕普斯問(wèn)題帕普斯問(wèn)題時(shí)時(shí)建立了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系建立了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系求：的軌跡為常數(shù)），點(diǎn)（CkkCSCQCRCPl1l2l3l4CP1 R2 S3Q4Axy22DxCxBxyAyy新穎的想法：1.曲線次數(shù)與坐標(biāo)軸選取無(wú)關(guān),但坐標(biāo)軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡(jiǎn)單；2.利用曲線的

18、方程表示來(lái)求兩條不同曲線的交點(diǎn)；3.大膽的想法：任何的問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程求解 一切問(wèn)題化歸為一切問(wèn)題化歸為代數(shù)方程求解問(wèn)題后如何問(wèn)題后如何繼續(xù)？繼續(xù)？1.任意選取單位線段;2.定義線段的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等運(yùn)算；3.線段的巧妙表示：(a,b,c,);4.一切一切幾何問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知成功轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知線段的線段的單個(gè)代數(shù)方程: z = b z2 = -az + b z3 = -az2 + b z + c z4 = -az3 + bz2 + cz + d與笛卡兒懷疑、批評(píng)希臘幾何學(xué)與笛卡兒懷疑、批評(píng)希臘幾何學(xué)思想相反。思想相反。另一位法國(guó)巨人：費(fèi)馬工作的出另一位法國(guó)巨人：費(fèi)馬工作的出發(fā)點(diǎn)是竭力恢復(fù)希臘幾何發(fā)點(diǎn)是竭力恢復(fù)希臘幾何他倆工作的出發(fā)點(diǎn)不同，但方式都他倆工作的出發(fā)點(diǎn)不同，但方式都是采用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。是采用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。費(fèi)馬(P