D9_8多元函數(shù)的極值及其求法

1、 第九章 第八節(jié)第八節(jié)二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值與最小值一、多元函數(shù)的極值及最大值與最小值2實(shí)例：某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣(mài)計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣(mài) 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣(mài)每瓶賣(mài) 元，則每天可賣(mài)出元，則每天可賣(mài)出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁.問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可問(wèn)：店主每天

2、以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值最大收益即為求二元函數(shù)的最大值. .問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出3的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 播放播放一、多元函數(shù)的極值概念和極值的必要條件一、多元函數(shù)的極值概念和極值的必要條件41、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為極極值值. . 極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)、極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為極極值值點(diǎn)點(diǎn). . 5例例1處有極小值處有

3、極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例2處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例3處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 62、多元函數(shù)取得極值的必要條件、多元函數(shù)取得極值的必要條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極大值處有極大值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說(shuō)明一元函數(shù)說(shuō)明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,， 0),(00 yxfx0)

4、,(00 yxfy7必必有有 0),(00 yxfx;類(lèi)類(lèi)似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣: 如如果果三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxP具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱(chēng)為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn)（或者臨界點(diǎn)）（或者臨界點(diǎn)）.駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)注意：注意：且偏導(dǎo)存在且偏導(dǎo)存在例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函

5、數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).證畢證畢.問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？駐點(diǎn)駐點(diǎn):8又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下： 二、極值的充分條件二、極值的充分條件9例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 確定的函數(shù)確定的函數(shù)),(yxfz 的極值的極值. 駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P,將方程兩邊分別對(duì)將方程

6、兩邊分別對(duì)yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx將將上上方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件 知知, )0, 0( yxzz10,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時(shí)時(shí)，041 A,所以所以6)1, 1( fz為極大值為極大值.，故故)2(0)2(122 zzBAC11, 0),( yxfx0),( y

7、xfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn). 極值可極值可疑點(diǎn)疑點(diǎn) 注注: 對(duì)一階或二階偏導(dǎo)不存在的極值可疑點(diǎn)，按極對(duì)一階或二階偏導(dǎo)不存在的極值可疑點(diǎn)，按極值定義判定之值定義判定之.12求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D內(nèi)的所有內(nèi)的所有駐點(diǎn)駐點(diǎn)及及不可導(dǎo)不可導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)處的函數(shù)值及處的函數(shù)值及在在D的的邊界上的最大值和最小值邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值者即為最大值，最小者即為最小值. 與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用多元函數(shù)的與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用多元函數(shù)的極值來(lái)求多元函數(shù)的最大值和最小值極值來(lái)

8、求多元函數(shù)的最大值和最小值.三、多元函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題三、多元函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題13解解xyo6 yxDD的圖形，如圖的圖形，如圖, 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx且且4)1 , 2( f, 14在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值. xyo6 yxD再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y

9、上上0),( yxf, 02)6(42 xxxfx令令)4(),(2yxyxyxfz 15, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 令令16即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無(wú)條件極值：無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件并無(wú)其他條件.17例例7 用一塊面積為用一塊面積為 12 平方米的鐵皮

10、制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方平方米的鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形狀的水柜體形狀的水柜,問(wèn)其長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)可使水柜的容問(wèn)其長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)可使水柜的容積最大積最大? 解解 設(shè)水柜的長(zhǎng)、寬、高分別為設(shè)水柜的長(zhǎng)、寬、高分別為x, y, z, 則則 xyzxyzV ,)(212yxxyz 0, 0yxVV令令因此，長(zhǎng)、寬、高分別為因此，長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,1時(shí)容積最大，時(shí)容積最大，最大容積為最大容積為4.,1222 xyyzxz,)(2)12(yxxyxyV , 1, 2 zyx18實(shí)例實(shí)例： 小王有小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)計(jì)算機(jī)磁盤(pán)

11、和和錄音磁帶錄音磁帶，設(shè)他，設(shè)他購(gòu)買(mǎi)購(gòu)買(mǎi) 張磁盤(pán)，張磁盤(pán)， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤(pán)盤(pán)8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx四、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法四、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法19一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù) (目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)),在條件在條件 (約束條件約束條件) 下的極值問(wèn)題稱(chēng)為下的極值問(wèn)題稱(chēng)為條件極值問(wèn)題條件極值問(wèn)題.0

12、 0) ), ,( ( yx) ), ,( (yxfz 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處處 f (x, y) 取得條件極值取得條件極值. 0),()(),(),(000 yxPUyxfyxy 且且內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在在 則由隱函數(shù)存在定理則由隱函數(shù)存在定理, 方程方程 確定一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) y = y(x). 從而從而, 一元一元函數(shù)函數(shù) z = f (x, y(x) 在在x0處取得極值處取得極值.0),( yx 下面討論取得條件極值的必要條件：下面討論取得條件極值的必要條件：條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值：對(duì)自變

13、量有附加條件的極值20 0),(00:yxffyyxx 即即得得, 0 dxdz dxdy, 0 xyyxff ,:yyf 令令由一元函數(shù)取得極值的必要條件，有由一元函數(shù)取得極值的必要條件，有( , )0,x y 由由有有dxdyffyx yx 21注注: 一般而言一般而言, 當(dāng)?shù)玫綐O值可疑點(diǎn)后當(dāng)?shù)玫綐O值可疑點(diǎn)后, 可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題判斷是否在這些點(diǎn)處取得極值判斷是否在這些點(diǎn)處取得極值, 往往所得極值可疑點(diǎn)往往所得極值可疑點(diǎn)就是最值點(diǎn)就是最值點(diǎn).拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 ( , , )( , )( , )L x yf x yx y 稱(chēng)為稱(chēng)為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù), 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 稱(chēng)

14、為稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù). ( , )( , )0( , )( , )0,( , )0 xxxyyyLfx yx yLfx yx yLx y 22拉格朗日乘數(shù)法推廣到自變量多于兩個(gè)的情況拉格朗日乘數(shù)法推廣到自變量多于兩個(gè)的情況： 再求偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù), 建立方程組建立方程組: 23121212120000(, , )0(, , )0 xxxxyyyyzzzzttttLfLfLfLfx y z tx y z t 。點(diǎn)點(diǎn)一一般般情情況況下下，即即為為極極值值極極值值可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)為為則則點(diǎn)點(diǎn)）（設(shè)設(shè)方方程程組組的的解解為為)(),(,21tzyxtzyx 24例例8 求函數(shù)求函數(shù)f(x, y)

15、 = x2 + 2y2 在條件在條件 x2 + y2 = 1下的最值下的最值.)( 1)0 , 1()0 , 1()(2)1, 0()1 , 0().0 , 1(),0 , 1(, 1, 0,1 );1(0,(0,1), 1, 2,0最最小小值值最最大大值值計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)時(shí)時(shí) ffffxyyx 解解)1(22222 yxyxL 拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 010)2(0240)1(022 22yxyyyLxxxLyx 建建立立方方程程組組25目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：f(x,y)=x2 +2y2約束條件：約束條件：x2 +y2 =126例例9 求橢圓拋物面求橢圓拋物面 z=x2 +2y2 與平面與平

16、面 3x+6y+2z=27 的交線上與的交線上與xOy平面的最短的距離平面的最短的距離. 027290272633 02022064 032222zxzyxxzzyxzLyLyxxLzyx 3327, (3,3, 27),224解解 得得 （） .427最最短短距距離離為為解解)27263()2(222 zyxzyxzL ,zd ,22zd 27解解 120020323322zyxyxLyzxLzyxLzyx 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為 12066036026232323zyxzzyxyzyxxzyx (*)12026

17、023zyxxzxy (*),31,32代入代入xzxy 28解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過(guò)過(guò)),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為29 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為 1202020 czzbyyaxx,該切平面在三個(gè)軸上的截距各為該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax ，02yby ，02zcz ,所圍四面體的體積所圍四面體的體積 000222661zyxcbaxyzV , 30在條件

18、在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxL 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax , ,010, 0, 0220220220000 cybyaxLLLzyx 由由31當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時(shí)時(shí),四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 32多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法(取得無(wú)條件極值的必要條件、充分條件取得無(wú)條件極值的必要條件、充分條件)多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值小小 結(jié)結(jié)33Thanks P121 題題2; 5; 8;.作業(yè)作業(yè)34思考題解答思考題解