函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凸凹性

1、1函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法單調(diào)區(qū)間求法單調(diào)區(qū)間求法小結(jié)小結(jié) 第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性曲線的凹凸性曲線凹凸性的判別法曲線凹凸性的判別法曲線的拐點及其求法曲線的拐點及其求法第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用( )( , )( ),a bfx10如果在內(nèi)如果在內(nèi)20)( xf0)( xf定理定理1,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfy .),(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在ba，內(nèi)內(nèi)如果在如果在0)(),()2( xfba)(xfy 那末函數(shù)那末函數(shù)上上在在,ba)(xfy 那末函數(shù)那末函數(shù)上上在在,ba單調(diào)增加單調(diào)增加;單調(diào)減少單調(diào)減少

2、.一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xyOabAB)(xfy xyO)(xfy abAB3證證,21baxx ,21xx 且且 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()()(1212xxfxfxf 內(nèi)，內(nèi)，若在若在),(ba, 0)( f則則),()(12xfxf ;,)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在baxfy )(21xx , 0)( xf(1) 此定理不論對于開、閉、有限或無窮此定理不論對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確區(qū)間都正確.注注函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 在在(a,b)區(qū)間內(nèi)等于零的點為無限多個，其余點區(qū)間內(nèi)等

3、于零的點為無限多個，其余點處保持定號，則函數(shù)仍單調(diào)！處保持定號，則函數(shù)仍單調(diào)！)(xf 注：若注：若4方法方法不存在的點不存在的點的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 定義定義 若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,)(的定義區(qū)間的定義區(qū)間劃分函數(shù)劃分函數(shù)xf然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號的符號.函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.尋找尋找分界點分界點注意注意 函數(shù)的單調(diào)性是一個函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在的性質(zhì)，要用導(dǎo)

4、數(shù)在這一這一區(qū)間上區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性yxO說明說明: : 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點除單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點駐點外外,也可是也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點導(dǎo)數(shù)不存在的點. 例例1,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例例2,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 6P145P145例例2 2解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)

5、內(nèi)在在 , 0 y單調(diào)減少；單調(diào)減少；函數(shù)在函數(shù)在0 ,(,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.), 0單調(diào)增加單調(diào)增加函數(shù)在函數(shù)在).,(函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性定義域為定義域為7函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性P146P146例例4 4解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得解方程解方程 xf, 11 x. 22 x).,(定義域定義域)1 ,( )2 , 1(), 2(x)(xf)(xf 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為,1 ,(,2 , 1 )., 2 8函數(shù)的單調(diào)性

6、與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式和確定某些方程實根的個數(shù)和確定某些方程實根的個數(shù).例例證證.)1ln(,0成立成立試證試證時時當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即9(concave and convex)三、三、曲線曲線凹凸凹凸性的判別法性的判別法函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

7、1.1.定義定義如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向xyOABC10)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定義定義1內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點如果對如果對設(shè)設(shè)),(,)(babaCxf ,2)()()2(2121xfxfxxf ,21xx恒有恒有.),()(的的內(nèi)的圖形是內(nèi)的圖形是在在那末稱那末稱baxf凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的下方位于所張弦的下方圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的上方位于所張弦的上方xyOxyO11)(xfy )(xfy 曲

8、線弧上每一點的切線曲線弧上每一點的切線定義定義2( (上上) ) 方方, ,稱為稱為凹凹 弧弧. .( (凸凸) )凹凹弧的曲線段弧的曲線段)(xf)(xf 即即的切線斜率是單增的的切線斜率是單增的, ,是單增的是單增的, ,凸凸弧的切線斜率是單減的弧的切線斜率是單減的, ,)(xf 即即是單減的是單減的. .而而 利用利用二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的判斷曲線的凹凸性凹凸性從幾何直觀上從幾何直觀上,隨著隨著x的增大的增大,都在曲線的都在曲線的下下函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xyOxyO12遞增遞增)(xf 0)( xf遞減遞減)(xf 0)( xf函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸

9、性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性2. 凹凸性的判別法凹凸性的判別法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 定理定理2. 2.(凹凸判定法)(xf(1) 在在 (a,b) 內(nèi)內(nèi), 0)( xf則則 f (x) 在在 I 內(nèi)圖形是凹的內(nèi)圖形是凹的 ;(2)在在 (a,b) 內(nèi)內(nèi), 0)( xf則則 f (x) 在在 I 內(nèi)圖形是凸的內(nèi)圖形是凸的 .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間a,b 上有二階導(dǎo)數(shù)上有二階導(dǎo)數(shù)13P149P149例例7 7.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y

10、.), 0為為凹凹的的在在曲曲線線 注注)0 , 0(點點 凸凸變變凹凹的分界點的分界點.是是曲曲線線由由函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3xy xyO 141.1.定義定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的 拐點拐點. .幾何上幾何上函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性四、曲線的四、曲線的拐點拐點及其求法及其求法(inflection point)拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線. .3xy xyO例例. . 判斷曲線的凹凸性的凹凸性.解解:故曲線故曲線在在上是向上凹的上是向上凹的.說明說明:1)

11、若在某點二階導(dǎo)數(shù)為若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得可得拐點的判別法拐點的判別法如下如下:若曲線若曲線或不存在或不存在,但但在在 兩側(cè)兩側(cè)異號異號, 則點則點是曲線是曲線的一個拐點的一個拐點.則曲線的凹凸性不變則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性4xy ,34xy 212xy 時，當(dāng)0 x;0 y,0時x, 0 y4xy ),(,0連續(xù)在點 x0)(0 xf)(xf )(,(00 xfx)(xfy )(xfy 0 x16的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0)(

12、xxf,)(0變號變號兩近旁兩近旁xfx ,)(0不變號不變號兩近旁兩近旁xfx 拐點的充分條件拐點的充分條件,二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)0)(0 xf且且;)(,(00即為拐點即為拐點點點xfx.)(,(00不是拐點不是拐點點點xfx2. 拐點的求法拐點的求法 拐點也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存在的點處拐點也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存在的點處. .(1)(2)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性( (或或x0為為二階導(dǎo)數(shù)不存在的點二階導(dǎo)數(shù)不存在的點) )17pg149pg149例例9 9.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy )

13、.32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32(18).,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為注注1：拐點可能存在于二階導(dǎo)數(shù)為：拐點可能存在于二階導(dǎo)數(shù)為0的點處。的點處。19EXEX.95)2(235的拐點及凹、凸性的拐點及凹、凸性求曲線求曲線xxy 解解),(,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐點拐點拐點

14、拐點)920, 2( )4, 3( 不不存存在在的的點點y 不存在不存在定義域為定義域為(1)(2). 22 x(3) 列表列表函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性注注2：拐點也可能存在于二階導(dǎo)數(shù)不存在的點處：拐點也可能存在于二階導(dǎo)數(shù)不存在的點處。五、內(nèi)容小結(jié)五、內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別曲線凹凸與拐點的判別+拐點拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點Ixxf,0)()(xfIxxf,0)()(xfIxxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixx

15、f ,0)(上向上凸在曲線Ixfy)(函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性作業(yè)作業(yè) P151 3 (7) ; 10 (2) (4); 11(1). 1322習(xí)習(xí) 題題3-4.cos)(1的單調(diào)性的單調(diào)性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xxxf xxyxxxyln2)2(;71862)1(:2223 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間xxxxxxxx sin31,0)2(;1211 ,0)1(:33時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)證明下列不等式證明下列不等式解答解答解答解答解答解答解答解答解答解答23xxyxxxyarctan)2();0(1)1(:4

16、判判斷斷下下列列曲曲線線的的凹凹凸凸性性xxxeyexy )2(;)1()1(:54及及凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間求求下下列列函函數(shù)數(shù)圖圖形形的的拐拐點點)., 0, 0(2ln)(lnln:,6yxyxyxyxyyxx 證明證明利用函數(shù)圖形的凹凸性利用函數(shù)圖形的凹凸性解答解答解答解答解答解答24解解xxfsin1)( , 0 ,)(2210)(是成立的是成立的的點的點且使且使zkknxxf .),(cos)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在定義域在定義域故故 xxxf習(xí)題解答.cos)(1的單調(diào)性的單調(diào)性判斷函數(shù)判斷函數(shù)xxxf 返回習(xí)題返回習(xí)題25:2 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間181262 x

17、xy)32(62 xx)3)(1(6 xx3, 1,021 xxy時時令令;, 0,1函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加時時當(dāng)當(dāng) yx;, 0,31函數(shù)單減少函數(shù)單減少時時當(dāng)當(dāng) yx., 0,3函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加時時當(dāng)當(dāng) yx;71862)1(23 xxxy解解返回習(xí)題返回習(xí)題習(xí)題解答26習(xí)題解答解解, 0 x函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為, 014 xxy令令,21 x得得, 0,210 yx時時當(dāng)當(dāng),函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)減少.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加, 0,21 yx時時當(dāng)當(dāng):2 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間.ln2)2(2xxy 返回習(xí)題返回習(xí)題27證證,121)(xxxf 設(shè)設(shè)x

18、xfx 12121)(,0時時當(dāng)當(dāng)因為因為, 0)111(21 x.), 0)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在故故xf:3 證證明明下下列列不不等等式式;1211 ,0)1(xxx 時時當(dāng)當(dāng)習(xí)題解答返回習(xí)題返回習(xí)題28證證,sin)(1xxxf 令令, 0cos1)(1 xxf則則,)(1單調(diào)增加單調(diào)增加故故xf, 0)0()(11 fxf從而從而).0(sin xxx即即,31sin)(32xxxxf 令令221cos)(xxxf 則則2sin222xx 22)2(2xx , 0 ,)(2單調(diào)增加單調(diào)增加故故xf, 0)0()(22 fxf從而從而).0(sin313 xxxx即即習(xí)題解答:3 證證明明下下列列不不等等式式.sin31,0)2(3xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)返回習(xí)題返回習(xí)題29解解,11)1(2xy ),0(013 xxy.,0該曲線是上凹的該曲線是上凹的時時所以當(dāng)所以當(dāng) x,1arctan)2(2xxxy 2222)1(2)1(