定解問題與偏微分方程

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 數(shù)理方程與特殊函數(shù)數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2(一一)、波動方程的建立、波動方程的建立第二章第二章 定解問題與偏微分方程理論定解問題與偏微分方程理論本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容(二二)、定解條件、定解條件 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3(一

2、一)、波動方程的建立、波動方程的建立第二章第二章 定解問題與偏微分方程理論定解問題與偏微分方程理論1、什么叫物理規(guī)律？、什么叫物理規(guī)律？ 某物理量在空間和時間中的變化規(guī)律。某物理量在空間和時間中的變化規(guī)律。它反映同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。它反映同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。 若物理量僅隨時間變化，其數(shù)學(xué)表達式為若物理量僅隨時間變化，其數(shù)學(xué)表達式為常微分方程；若與時空均有關(guān)，則為偏微分常微分方程；若與時空均有關(guān)，則為偏微分方程。方程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4 數(shù)學(xué)物理方程是指從物理問題導(dǎo)出的函數(shù)方程，數(shù)學(xué)物理方程

3、是指從物理問題導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程與積分方程。主要指偏微分方程與積分方程。 我們將重點討論物理上的三種典型的二階線性我們將重點討論物理上的三種典型的二階線性方程的一些基本解法，以便借助于數(shù)學(xué)物理方程方程的一些基本解法，以便借助于數(shù)學(xué)物理方程這一工具，更好地描述基本的物理現(xiàn)象，研究一這一工具，更好地描述基本的物理現(xiàn)象，研究一些重要的物理規(guī)律。些重要的物理規(guī)律。 這些物理規(guī)律包括：彈性體的振動、熱的傳導(dǎo)這些物理規(guī)律包括：彈性體的振動、熱的傳導(dǎo)和粒子擴散、電磁波的傳播等。和粒子擴散、電磁波的傳播等。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5

4、0 0.5 1 n 5 常用物理規(guī)律常用物理規(guī)律( (一一) )1、牛頓第二定律、牛頓第二定律2、虎克定律、虎克定律22d sdvFmmdtdtfkx xPYu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6對虎克定律的說明：對虎克定律的說明：xPYu 公式中公式中P稱為協(xié)強或應(yīng)力。它表示彈性物稱為協(xié)強或應(yīng)力。它表示彈性物體單位截面所受作用力，體單位截面所受作用力，P=F/S。 公式中公式中ux表示伸長率，稱為協(xié)變。表示伸長率，稱為協(xié)變。 Y表示楊氏彈性模量，等于協(xié)強比協(xié)變。表示楊氏彈性模量，等于協(xié)強比協(xié)變。 楊氏彈性模量由材料決

5、定楊氏彈性模量由材料決定. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 73、克希荷夫定律、克希荷夫定律0kI (1).節(jié)點電流定律節(jié)點電流定律(2).回路電壓定律回路電壓定律kkkI R 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 82 2、波動方程、波動方程如何建立偏微分方程？如何建立偏微分方程？(1).明確物理過程與研究對象明確物理過程與研究對象(待研究物理量待研究物理量);(2).進行微元分析；進行微元分析； 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)分析微元和相鄰部

6、分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達這種作用。物理定律用算式表達這種作用。(3).化簡、整理算式?；?、整理算式。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9例例1 1、均勻細弦微小橫振動問題、均勻細弦微小橫振動問題 一根均勻柔軟的細弦線，一端固定在坐標(biāo)原點，一根均勻柔軟的細弦線，一端固定在坐標(biāo)原點，另一端沿另一端沿x軸拉緊固定在軸拉緊固定在x軸上的軸上的L處，受到擾處，受到擾動，開始沿動，開始沿x軸（平衡位置）上下作微小橫振軸（平衡位置）上下作微小橫振動（細弦線上各點運動方向垂直于動（細弦線上各點運動方向垂直于x軸）。試軸）

7、。試建立細弦線上任意點位移函數(shù)建立細弦線上任意點位移函數(shù)u(x，t)所滿足的所滿足的規(guī)律。規(guī)律。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10分析：分析：(1). 研究對象：研究對象：u(x,t)(2). 微元分析微元分析:在時刻在時刻t, 取弦微元取弦微元ds,其對應(yīng)區(qū)其對應(yīng)區(qū)間為：間為：x, x + dx ; 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達這種作用。定律用算式表達這種作用。 uxT1T2Ox x+dxgdxds 1 2 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x

8、t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11設(shè)細弦線各點線密設(shè)細弦線各點線密度為度為，細弦線質(zhì)細弦線質(zhì)點點之間相互作用力為之間相互作用力為張力張力T(x，t) 水平合力為零水平合力為零 = T2 cos 2T1 cos 1 = 0 T2T1T 鉛直合力鉛直合力: T( sin 2 sin 1) =T( tan 2 tan 1) T( tan 2 tan 1) = dx utt 由牛二律得：由牛二律得： uxT1T2Ox x+dxgdxds 1 2 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12 utt=

9、a2 uxx 其中其中2aT一維齊次波動方程一維齊次波動方程: : utt = a2 uxx 下面考慮強迫振動情形：下面考慮強迫振動情形：T ux(x+dx，t)ux(x，t) = dx uttT uxx (x+dx，t) dx = dx utt 考慮細繩在振動中受向上的恒外力密度考慮細繩在振動中受向上的恒外力密度F(x，t)的作用和細繩的重力作用。的作用和細繩的重力作用。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13鉛直合力為：鉛直合力為：f(x,t)=F(x,t)/-g-g(, )( , )( , )xxT u xdx t

10、u x tF x t dxgdx由牛二律得：由牛二律得：(, )( , )( , )xxttT u x dx tu x tF x t dxgdxdxu整理后得：整理后得：2( , )ttxxua uf x t其中：其中： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14例例2、細桿的縱向振動問題、細桿的縱向振動問題。設(shè)均勻細桿長為設(shè)均勻細桿長為L，線密度為線密度為 ，楊氏模量為，楊氏模量為Y，桿桿的一端固定在坐標(biāo)原點，細桿受到沿桿長方向的的一端固定在坐標(biāo)原點，細桿受到沿桿長方向的擾動（沿擾動（沿x軸方向的振動）。試建立桿上質(zhì)點位移

11、軸方向的振動）。試建立桿上質(zhì)點位移函數(shù)函數(shù)u(x，t)的縱向振動方程。的縱向振動方程。 u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15 由牛頓第二定律由牛頓第二定律SYux(x+dx，t)ux(x，t)= Sdxutt令令a2 = Y/ ?；?，得化簡，得utt = a2 uxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16例例3 長為長為l 密度為密度為的均勻柔軟細繩在的均勻柔軟細繩在x x=0=0端端固定，在重

12、力作用下，垂直懸掛。橫向拉它固定，在重力作用下，垂直懸掛。橫向拉它一下作微小橫振動。寫出振動方程。一下作微小橫振動。寫出振動方程。xx+dx12( )T x( )T xdx( , )u x txO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17 取微元：取微元：x,x+dx 豎直方向：豎直方向：21()cos( )cos0(1)T xdxT xgdx xx+dx12( )T x( )T xdx( , )u x txO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18

13、 水平方向：水平方向：21()sin( )sin(2)ttT xdxT xdxu 對于對于(1)，1與與2很小，于是得：很小，于是得：()( )0T xdxT xgdxxx+dx12( )T x( )T xdx( , )u x txO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19即：即： 在在x = 0處張力等于處張力等于 , 于是得：于是得：( )()T xgl lx 對于對于(2)，1與與2很小，于是得：很小，于是得：()(, )( )( , )xxttT xdx u xdx tT x u x tdxu0()xd TgTx

14、g d xg xCd x 由有限增量公式得：由有限增量公式得： ( )xxttT x uug l 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20例例4 4、高頻傳輸方程、高頻傳輸方程 考慮雙線傳輸線，把單位傳輸線所具有的導(dǎo)線電考慮雙線傳輸線，把單位傳輸線所具有的導(dǎo)線電阻、線間電導(dǎo)、電容以及電感分別記作阻、線間電導(dǎo)、電容以及電感分別記作R,g,cR,g,c和和L.L.建建立電壓立電壓u(x,tu(x,t) )和電流強度和電流強度i(x,ti(x,t) )所滿足的微分方程。所滿足的微分方程。 1、物理背景簡介、物理背景簡介 對于直流

15、電或低頻交流電，同一支路的電流相等。對于直流電或低頻交流電，同一支路的電流相等。 但對于高頻交流電，電路中的自感和電容效應(yīng)將但對于高頻交流電，電路中的自感和電容效應(yīng)將使得電路中電流與電壓不僅與時間有關(guān)，而且與空使得電路中電流與電壓不僅與時間有關(guān)，而且與空間位置有關(guān)。間位置有關(guān)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21 所以，對于高頻傳輸線，我們要討論傳輸線所以，對于高頻傳輸線，我們要討論傳輸線上電壓與電流隨時空的變化規(guī)律。上電壓與電流隨時空的變化規(guī)律。分析分析 (仍采用微元分析方法仍采用微元分析方法)： 傳輸線上電阻、電

16、感，線間電容、電導(dǎo)考慮為均傳輸線上電阻、電感，線間電容、電導(dǎo)考慮為均勻分布，于是可畫出微元等效電路圖：勻分布，于是可畫出微元等效電路圖： 也就是研究電壓也就是研究電壓 u(x,tu(x,t) )與電流與電流i(x,ti(x,t) )所要滿所要滿足的微分方程。足的微分方程。i 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22由克希荷夫定律得：由克希荷夫定律得：( , )(, )( , )(, )ttu x tu xdx tRidxLdxii x ti xdx tCdxugdxu由有限增量公式得：由有限增量公式得：i 0.8 1 0.

17、6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24(二二)、具體物理過程描述、具體物理過程描述定解條件定解條件 首先指出：具體物理系統(tǒng)所處物理狀首先指出：具體物理系統(tǒng)所處物理狀況除受一般物理規(guī)律支配外，還受系統(tǒng)所況除受一般物理規(guī)律支配外，還受系統(tǒng)所處的處的“環(huán)境環(huán)境”和系統(tǒng)的和系統(tǒng)的“歷史狀況歷史狀況”的影的影響。響。 系統(tǒng)所處的系統(tǒng)所處的“環(huán)境環(huán)境”狀況：邊界條狀況：邊界條件件. 系統(tǒng)的系統(tǒng)的“歷史歷史”狀況：初值條件狀況：初值條件.

18、 求解一個具體物理問題，都要考慮定求解一個具體物理問題，都要考慮定解條件！解條件！ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25II. 第二類邊界條件第二類邊界條件:),(tzyxnuS III. 第三類邊界條件第三類邊界條件:),(tzyxunuS I. 第一類邊界條件第一類邊界條件:),(tzyxuS 1、三類邊界條件、三類邊界條件 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26如何寫出三類邊界條件？如何寫出三類邊界條件？(1)、明確環(huán)境影響通過的所有邊界；

19、、明確環(huán)境影響通過的所有邊界；(2)、分析邊界所處的物理狀況；、分析邊界所處的物理狀況；(3)、利用物理規(guī)律寫出待求物理量在邊界、利用物理規(guī)律寫出待求物理量在邊界上的表達式。上的表達式。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27L-LF(t)例例5 細桿在細桿在x=0處固定，在處固定，在x=L端受外力端受外力F(t)的作用，作微小縱振動。寫出其邊界的作用，作微小縱振動。寫出其邊界條件。條件。分析分析：環(huán)境影響通過的邊界為：環(huán)境影響通過的邊界為：x=0與與x=L.顯然：顯然：u(0,t)=0.用微元法分析邊界用微元法分析邊界

20、X=L的狀況。的狀況。( )xxLF tuYS00 xu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28 例例6 長為長為L的均勻桿兩端受到拉力的均勻桿兩端受到拉力F的的 作用而振動，寫出邊界條件。作用而振動，寫出邊界條件。分析：分析：環(huán)境影響通過的邊界是環(huán)境影響通過的邊界是x=0與與x=L 桿的兩端所受的拉力桿的兩端所受的拉力F等于兩端面所受的等于兩端面所受的楊氏彈性力。楊氏彈性力。 0 L F F n n T1 T2 x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1

21、n 29102,xx LuuTYSF TYSFxx00 xxuuYSYSFnx x Lx LuuYSYSFnx0,.xx LuFuFnYSnYS 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30注意：注意：在例在例5，6中，如果端面自由，則中，如果端面自由，則 課外思考：課外思考： 長為長為L的均勻桿，一端固定在的均勻桿，一端固定在車壁上，另一端自由。車子以速度車壁上，另一端自由。車子以速度v行駛行駛突然停止，寫出邊界條件。突然停止，寫出邊界條件。00,0.xx Luunn00,0 xxx Luu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 312、初始條件、初始條件 初始條件是系統(tǒng)在初始條件是系統(tǒng)在t = 0 時的狀態(tài)。時的狀態(tài)。初始條件的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)。初始條件的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)。例例7、一根長為、一根長為L，兩端固定的弦，用手，兩端固定的弦，用手把它的中點橫向拉開距離把它的中點橫向拉開距離h，然后松手讓，然后松手讓其自由振動。寫出其初始條件。其自由振動。寫出其初始條件。