概率論習題課PPT學習教案

1、會計學1概率論習題課概率論習題課一、問題的引入一、問題的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例題三、典型例題四、小結四、小結第1頁/共65頁 第一章引入概率概念時，曾經(jīng)指出，事件發(fā)第一章引入概率概念時，曾經(jīng)指出，事件發(fā)生的頻率在一、二次或少數(shù)次試驗中具有隨機性生的頻率在一、二次或少數(shù)次試驗中具有隨機性的，但隨著試驗次數(shù)的，但隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率將會逐漸穩(wěn)的增大，頻率將會逐漸穩(wěn)定且趨近于概率。特別，當定且趨近于概率。特別，當n很大時，頻率與概很大時，頻率與概率會非常率會非?！敖咏咏钡?。這個非常的。這個非?！敖咏咏笔鞘裁词鞘裁匆馑迹恳馑?？這與高等數(shù)學中的極限概念有否聯(lián)系？本章將從這與

2、高等數(shù)學中的極限概念有否聯(lián)系？本章將從理論上討論這一問題。理論上討論這一問題。 一、問題的引入一、問題的引入第2頁/共65頁定理定理1 設隨機變量的數(shù)學期望設隨機變量的數(shù)學期望EX= ，方差方差DX= 2，則對任意的正數(shù)則對任意的正數(shù) ，不等式，不等式 (1)成立。這個不等式稱為契貝雪夫成立。這個不等式稱為契貝雪夫(Cheby shev)不等式不等式。 22| XP證證 我們僅就連續(xù)型隨機變量情形加以證明我們僅就連續(xù)型隨機變量情形加以證明。 設設X的概率密度為的概率密度為 f(x)，于是于是 xxdxxfxdxxfXP)()()(|2222222)()(1 DXdxxfx第3頁/共65頁222

3、| DXXP 式式(1)表明當表明當DX很小時，概率很小時，概率P|X- -EX| 更小更小。這就是說在上述條件下，隨機變量這就是說在上述條件下，隨機變量X落入落入EX的的 鄰域鄰域之外的可能性很小，也即落入之外的可能性很小，也即落入EX的的 鄰域內(nèi)可能性鄰域內(nèi)可能性很大。由此說明很大。由此說明X的取值比較集中，也即離散程度的取值比較集中，也即離散程度較較小，這正是方差的意義所在。小，這正是方差的意義所在。 契貝雪夫不等式在理論研究和實際應用中都有契貝雪夫不等式在理論研究和實際應用中都有很重要的價值。很重要的價值。 (1)第4頁/共65頁例例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白細已知正

4、常男性成人血液中，每一毫升血液中白細胞的平均數(shù)是胞的平均數(shù)是7300，均方差是，均方差是700。試估計每毫升血。試估計每毫升血液中白細胞數(shù)在液中白細胞數(shù)在52009400之間的概率。之間的概率。解解 設每一毫升血液中白細胞數(shù)為設每一毫升血液中白細胞數(shù)為X ，則由上式有，則由上式有 2100|7300|94005200 XPXP契貝雪夫不等式也可以寫成如下等價形式契貝雪夫不等式也可以寫成如下等價形式 221| XP的的值值。不不等等式式估估計計試試用用切切比比雪雪夫夫的的標標準準差差為為思思考考題題：設設隨隨機機變變量量5 . 7|, 5 . 2 EXXPX.982100700122 !915

5、. 75 . 25 . 7|22 EXXP第5頁/共65頁定理定理2 （伯努利（伯努利(Bernoulli)大數(shù)定律）設大數(shù)定律）設 是是n次獨立次獨立重復試驗中事件重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是事件是事件A在每次試驗在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意正數(shù)中發(fā)生的概率，則對任意正數(shù) 0，有，有 An1lim pnnPAn或或 0lim pnnPAn證證 令令 )1( .,0,1niiAiAXi 次次試試驗驗中中不不出出現(xiàn)現(xiàn)在在第第次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)在在第第則則X1，X2，Xn是是n個相互獨立的隨機變量，且個相互獨立的隨機變量，且nippDXpEXii, 2 , 1, )1 (

6、, 第6頁/共65頁易知易知 nAXXXn 21于是，于是， 2| DXEXXPpnnPA 由契貝雪夫不等式得由契貝雪夫不等式得, nnXA 令令pEnnnnEEXAA 1 則則第7頁/共65頁又由又由X1，X2，Xn的獨立性可知的獨立性可知nppnDnnnDDXAA)1()(12 從而有從而有 )(0)1 (1|22 nppnDXpnnPA 上述伯努利大數(shù)定律從理論上給出了頻率上述伯努利大數(shù)定律從理論上給出了頻率“接近接近”概率這種概率這種“現(xiàn)象現(xiàn)象”的更加確切的含意，它反映的更加確切的含意，它反映了大數(shù)次重復試驗下隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律了大數(shù)次重復試驗下隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性。性。第

7、8頁/共65頁 設設Y1，Y2，Yn，是一個隨機變量序列，是一個隨機變量序列，a是一是一個常數(shù)，若對任意的正數(shù)個常數(shù)，若對任意的正數(shù) ，有，有 1|lim aYPnn則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列Yn依概率收斂依概率收斂于于a，記作記作)( naYPn定理定理2 是是n次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是事件是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則在每次試驗中發(fā)生的概率，則An)( npnnPA第9頁/共65頁定理定理3（契貝雪夫大數(shù)定律）（契貝雪夫大數(shù)定律）設設X1，X2，Xn，是相互獨立的隨機變量序列，又設它們的方差有界，是相互獨立的隨機變量序列，又設它們的方

8、差有界，即存在常數(shù)即存在常數(shù)c0，使得使得 , 2 , 1 , icDXi則對任意的則對任意的 0，有，有 證明（略）證明（略）11111lim niniiinEXnXnP或或 01111lim niniiinEXnXnP第10頁/共65頁 伯努利大數(shù)定律是契貝雪夫大數(shù)定律的特例伯努利大數(shù)定律是契貝雪夫大數(shù)定律的特例, 在它在它們的證明中們的證明中, 都是以契貝雪夫不等式為基礎的都是以契貝雪夫不等式為基礎的, 所以所以要求隨機變量具有方差。但進一步的研究表明，方要求隨機變量具有方差。但進一步的研究表明，方差存在這個條件并不是必要的。即有下面的獨立同差存在這個條件并不是必要的。即有下面的獨立同分

9、布的辛欽大數(shù)定律。分布的辛欽大數(shù)定律。定理定理4 (辛欽辛欽()大數(shù)定律大數(shù)定律)設設X1，X2，Xn，是相互獨立的隨機變量序列，且數(shù)學期望存是相互獨立的隨機變量序列，且數(shù)學期望存在在:, 2 , 1, iEXi 則對任意的則對任意的 0，有，有證明（略）證明（略）111lim niinXnP第11頁/共65頁)(11 nXnXniPi 這就為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際這就為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑?？尚械耐緩健?伯努利大數(shù)定律說明了當伯努利大數(shù)定律說明了當n很大時，事件發(fā)生的頻率很大時，事件發(fā)生的頻率會非常會非?！敖咏咏备怕?，而這里的辛欽大數(shù)定律則表概率，而這

10、里的辛欽大數(shù)定律則表明，當明，當n很大時，隨機變量很大時，隨機變量X在在n次觀察中的算術平均次觀察中的算術平均值值 也會也會“接近接近”它的期望值，即它的期望值，即X第12頁/共65頁?2111210,22221理理問是否滿足契比雪夫定問是否滿足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量nnnPnanaXXXXnn 解解 獨立性依題意可知獨立性依題意可知, 檢驗是否具有數(shù)學期望？檢驗是否具有數(shù)學期望？ )(nXE2222221)11(021nnannna , 0 例例2第13頁/共65頁說明每一個隨機變量都有數(shù)學期望說明每一個隨機變量都有數(shù)學期望,檢驗是否具

11、有有限方差？檢驗是否具有有限方差？222222211121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE,21)(2222anna )(nXD22 )()(nnXEXE .2a 說明離散型隨機變量有有限方差說明離散型隨機變量有有限方差,故滿足契比雪夫定理的條件故滿足契比雪夫定理的條件.第14頁/共65頁有有意正數(shù)意正數(shù)證明對任證明對任且且獨立同分布獨立同分布設隨機變量設隨機變量 , 2 , 1,)(, 0)(,221 kXDXEXXXkkn解解. 11lim212 nkknXnP是相互獨立的，是相互獨立的，因為因為, 21nXXX也是相互獨立的，也是相互獨立的，所以所以, 22221nXXX,

12、0)( kXE由由22 )()()( kkkXEXDXE 得得,2 由由辛欽定理辛欽定理知知有有對于任意正數(shù)對于任意正數(shù), . 11lim212 nkknXnP例例3第15頁/共65頁三個大數(shù)定理三個大數(shù)定理契比雪夫定理的特殊情況契比雪夫定理的特殊情況伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理辛欽定理辛欽定理頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎, , 而伯而伯努利大數(shù)定理以嚴密的數(shù)學形式論證了頻率的穩(wěn)努利大數(shù)定理以嚴密的數(shù)學形式論證了頻率的穩(wěn)定性定性. .第16頁/共65頁一、問題的引入一、問題的引入二、基本定理二、基本定理三、小結三、小結第17頁/共65頁 在第二章介紹正態(tài)分布

13、時曾經(jīng)特別強調(diào)了它在概在第二章介紹正態(tài)分布時曾經(jīng)特別強調(diào)了它在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的地位與作用，為什么會有許率論與數(shù)理統(tǒng)計中的地位與作用，為什么會有許多隨機變量遵循正態(tài)分布？僅僅是經(jīng)驗猜測還是多隨機變量遵循正態(tài)分布？僅僅是經(jīng)驗猜測還是確有理論根據(jù)？這當然是一個需要弄清的問題。確有理論根據(jù)？這當然是一個需要弄清的問題。 實踐表明，客觀實際中有很多隨機變量，它實踐表明，客觀實際中有很多隨機變量，它們往往是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合作們往往是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合作用所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中用所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用是微小的。所起的作用是微小的

14、。 下面將要介紹的中心極限定理從理論上闡明下面將要介紹的中心極限定理從理論上闡明了這樣的隨機變量總是近似地服從正態(tài)分布的。了這樣的隨機變量總是近似地服從正態(tài)分布的。第18頁/共65頁 定理定理5（獨立同分布的林德貝爾格（獨立同分布的林德貝爾格-勒維勒維(LindebergLevy)中心極限定理）中心極限定理）設設X1，X2，Xn，是相互是相互獨立，且服從同一分布的隨機變量序列，并具有數(shù)學獨立，且服從同一分布的隨機變量序列，并具有數(shù)學期望和方差：期望和方差： , 2 , 1, 0,2 iDXEXii 則對任意的則對任意的x有有證明（略）證明（略）dtexnnXPxtniin 21221lim 二

15、、基本定理二、基本定理第19頁/共65頁兩點說明：兩點說明： 1無論隨機變量無論隨機變量X1，X2，Xn，服從同一分布服從同一分布的情況如何，只要的情況如何，只要Xi滿足定理的條件，則隨機變量滿足定理的條件，則隨機變量序列：序列： nnXYniin 1 當當n無限增大時，總以標準正態(tài)分布為其極限分布無限增大時，總以標準正態(tài)分布為其極限分布?；蛘哒f，當?；蛘哒f，當n充分大時，充分大時，Yn近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布。根據(jù)這一點，在實際應用中，只要。根據(jù)這一點，在實際應用中，只要n充分大，我們充分大，我們便可把便可把n個獨立同分布的隨機變量的和當作正態(tài)隨機個獨立同分布的隨機變量的和當

16、作正態(tài)隨機變量。變量。 第20頁/共65頁2因為因為對對 niiniinnXnnXY11 中每一被加中每一被加項項 nXi 有有nXDnnXDii1)(12 故有故有 01limlim nnuXDnin 即即 Yn中每一被加項對總和的影響都很微小，中每一被加項對總和的影響都很微小，但它們迭加的和卻以標準正態(tài)分布作為極限但它們迭加的和卻以標準正態(tài)分布作為極限。第21頁/共65頁例例1 設有設有100個電子器件，它們的使用壽命個電子器件，它們的使用壽命 X1，X2，X100均服從參數(shù)為均服從參數(shù)為 =0.05(h-1)的指數(shù)分布，其使的指數(shù)分布，其使用情況為：第一個損壞第二個立即使用，第二個損用情

17、況為：第一個損壞第二個立即使用，第二個損壞第三個立即使用等等。令壞第三個立即使用等等。令 表示這表示這100個電子器件使個電子器件使用的總時間，試求用的總時間，試求X超過超過1800h小時的概率。小時的概率。解解 由于由于Xi 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 = 0.05的指數(shù)分布。因此的指數(shù)分布。因此100, 2 , 1,4001,2012 iDXEXii 第22頁/共65頁dtet212211 12002000XP 1002020100180010020201001800XPXP 120020001XP)1(1 .8413.0)1( 又由題設知又由題設知 ，因此由定理，因此由定理5得：得： 1001

18、iiXX第23頁/共65頁作為定理作為定理5的推論有的推論有 定理定理6（德莫佛（德莫佛拉普拉斯拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理定理）在）在n重貝努里試驗中，事件重貝努里試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的在每次試驗中出現(xiàn)的概率為概率為p，Yn為為n次試驗中事件次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則對任出現(xiàn)的次數(shù)，則對任意的意的x，有有dtexpnpnpYPtxnn2221)1 (lim 第24頁/共65頁 證證 由由5.1的定理的定理2的證明可知，的證明可知，Yn可以看成是可以看成是n個個相互獨立，且服從同一相互獨立，且服從同一(0-1)分布的隨機變量分布的隨機變量X1，X2，Xn之和，

19、即之和，即)1(,ppDXpEXii 且且 niinXY1由定理由定理5得：得：dtexpnpnpYPtxnn2221)1(lim 定理表明，二項分布的極限分布是正態(tài)分布。因此，當定理表明，二項分布的極限分布是正態(tài)分布。因此，當n充分大時，我們可以利用上式來計算二項分布的概率充分大時，我們可以利用上式來計算二項分布的概率。 第25頁/共65頁下面的圖形表明下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近正態(tài)分布是二項分布的逼近.第26頁/共65頁 定理定理7（李雅普諾夫（李雅普諾夫Liapunov定理）定理）設隨機變量設隨機變量 X1，X2，Xn ，相互獨立，且相互獨立，且 niiniiiiBiDXE

20、X1222), 2 , 1( , 0, ，記，記若存在若存在 0，使得，使得 )(0|1212 nXEBiniin 則對任意的則對任意的x，有有證略。證略。 xtniiinndtexBP21221)(1lim 對于相互獨立但不同分布的隨機變量和的分布的對于相互獨立但不同分布的隨機變量和的分布的極限問題極限問題, 有李雅普諾夫中心極限定理。有李雅普諾夫中心極限定理。第27頁/共65頁不難看出，當不難看出，當n很大時，很大時， nininiiiniinnXBXBY1111)(1 近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布N(0，1)，也即也即 niinnniiYBX11 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)

21、分布： ),(21nniiBN 第28頁/共65頁 一船舶在某海區(qū)航行一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的沖擊的沖擊, 縱搖角大于縱搖角大于 3 的概率為的概率為1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪沖擊次波浪沖擊, 問其中有問其中有29 50030 500次次縱搖角大于縱搖角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 將船舶每遭受一次海將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗浪的沖擊看作一次試驗,并假設各次試驗是獨立的并假設各次試驗是獨立的,在在90 000次波浪沖擊中縱搖角大于次波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為的次數(shù)為 X,則則 X 是一個隨機變量是一

22、個隨機變量,. )31,00090( bX且且例例2第29頁/共65頁所求概率為所求概率為3050029500 XP.323190000305002950190000kkkkC 分布律為分布律為kXP ,32310009090000kkkC .00090, 1 k直接計算很麻煩，利用直接計算很麻煩，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP第30頁/共65頁 )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp,31,90000

23、 pn3050029500 XP 225225.9995. 0 第31頁/共65頁 某保險公司的老年人壽保險有某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加萬人參加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在該年內(nèi)死亡若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家公司付給家屬屬1萬元萬元. 設老年人死亡率為設老年人死亡率為0.017,試求保險公司在試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率.解解設設 X 為一年中投保老人的死亡數(shù)為一年中投保老人的死亡數(shù),),(pnBX則則,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3第32頁/共65頁200100

24、0010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321. 2)1(pnpnpXP.01. 0)321. 2(1 保險公司虧本的概率保險公司虧本的概率第33頁/共65頁.,1,), 2, 1()1, 1(,1221并指出其分布參數(shù)并指出其分布參數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布近似服從近似服從隨機變量隨機變量充分大時充分大時證當證當試試上服從均勻分布上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間且且相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量 nininiXnZnniXXXX證證), 2 , 1(,2niXYii 記記)()(2iiXEYE )(iXD ,31 22)()()(iiiYEYEYD .)()(2

25、4iiYEXE 例例4第34頁/共65頁 1144d21)( iiixxXE因為因為,51 23151)( iYD所以所以,454 , 21相互獨立相互獨立因為因為nXXX ., 21相互獨立相互獨立所以所以nYYY根據(jù)根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，獨立同分布的中心極限定理，第35頁/共65頁 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布.454,31 nNZ 近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布故故第36頁/共65頁例例5 隨機變量隨機變量X 表示對概率為表示對概率為p的事件的事件A做做n次重復獨次重復獨立試驗時，立試驗時，A出現(xiàn)的次數(shù)。試分別用契貝雪夫

26、不等式出現(xiàn)的次數(shù)。試分別用契貝雪夫不等式及中心極限定理估計滿足下式的及中心極限定理估計滿足下式的n： %9921 DXpnXP第37頁/共65頁解：解：記記 nXY 由于由于Y B(n，p)，故故EX=np，EY=p， nppnDXDY)1(2 (1)根據(jù)契貝雪夫不等式，有根據(jù)契貝雪夫不等式，有 DXEYYPDXpnXP21|21%99412 n為使為使.20 n解解得得2241)21(1nDXDY 第38頁/共65頁(2)以以Xi 表示每次試驗時表示每次試驗時A出現(xiàn)的次數(shù)，則出現(xiàn)的次數(shù)，則Xi 服從參數(shù)服從參數(shù)為為p的的0-1分布，且分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而而 ni

27、inXnXY1是是n個獨立同分布的隨機變量之和，故由中心極限定個獨立同分布的隨機變量之和，故由中心極限定理知理知 )1, 0( NDYEYY 第39頁/共65頁因此有因此有 DXpnXP21 DYDXDYEYYP2/,99. 0122 n為為使使 DXEYYP211221-22 nDYDX6,16. 5 nn即即查查表表得得第40頁/共65頁例例6 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫(yī)院檢驗員任意抽。醫(yī)院檢驗員任意抽查查100個服用此藥品的人，如果其中多于個服用此藥品的人，如果其中多于75人治

28、愈，人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。(1)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接，問接受這一斷言的概率是多少？受這一斷言的概率是多少？(2)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率為若實際上此藥品對這種疾病的治愈率為0.7，問接，問接受這一斷言的概率是多少？受這一斷言的概率是多少？ 第41頁/共65頁解：解：(1)以以X表示表示100人中治愈人數(shù)，則人中治愈人數(shù)，則X B(100，0.8) 所求概率為所求概率為 2 . 08 . 01008 . 0100752 . 08 . 01008 . 010075XPXP

29、8944. 025. 11 (2)依題依題X B(100，0.7) 3 . 07 . 01007 . 0100753 . 07 . 010070. 010075XPXP 1379. 08621. 0109. 11 所求概率為所求概率為 第42頁/共65頁三個中心極限定理三個中心極限定理獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心極限定理表明中心極限定理表明, 在相當一般的條件下在相當一般的條件下, 當獨立隨機變量的個數(shù)增加時當獨立隨機變量的個數(shù)增加時, 其和的分布趨于其和的分布趨于正態(tài)分布正態(tài)分布. 第43頁/共65頁二

30、、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題三、典型例題一、重點與難點一、重點與難點第44頁/共65頁1.重點重點中心極限定理及其運用中心極限定理及其運用.2.難點難點證明隨機變量服從大數(shù)定律證明隨機變量服從大數(shù)定律.第45頁/共65頁大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理定定理理2定理定理3定理定理4定理定理2 的另一種表示的另一種表示定理定理5定理定理6定理定理7第46頁/共65頁有有數(shù)數(shù)則對于任意正則對于任意正的算術平均的算術平均個隨機變量個隨機變量作前作前和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學期望且具有相同的數(shù)學期望相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 n

31、kkkknXnXnkXDXEXXX第47頁/共65頁. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學期望且具有相同的數(shù)學期望相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量第48頁/共65頁有有則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù)率率在每次試驗中發(fā)生的概在每次試驗中發(fā)生的概是事件是事件的次數(shù)的次數(shù)發(fā)生發(fā)生次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件是是設設 , 0 , , ApAnnA第49頁/共65頁), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有數(shù)學期望且具有數(shù)學期

32、望服從同一分布服從同一分布相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量有有則對于任意正數(shù)則對于任意正數(shù), 第50頁/共65頁則隨機變量之和的則隨機變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學期望且具有數(shù)學期望同一分布同一分布服從服從相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn 第51頁/共65頁滿足滿足對于任意對于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xtxt).(de2122 第52頁/共65頁, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時時使得當使得當若存在正數(shù)若存在正數(shù)記記和

33、方差：和方差：們具有數(shù)學期望們具有數(shù)學期望它它相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量第53頁/共65頁則隨機變量之和的標準化變量則隨機變量之和的標準化變量nnkknkkBX 11 滿足滿足對于任意對于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xtxt).(de2122 第54頁/共65頁恒有恒有對于任意對于任意則則的二項分布的二項分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設隨機變量設隨機變量,)10(,), 2 , 1(xppnnn 第55頁/共65頁解解. , 1 , : 4). 3, 2,1,()( , , 1221指出其分布參數(shù)指出其分布參數(shù)并并近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布隨機變量隨機變量大時大時充分充分當當證明證明已知已知樣本樣本的簡單隨機的簡單隨機是來自總體是來自總體假設假設 niinkknXnZnkXEXXXX , , 21獨立同分布獨立同分布因為因為nXXX , , 22221也獨立同分布也獨立同分布所以所以nXXX例例1第56頁/共65頁,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根據(jù)根據(jù)獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)