補(bǔ)充的數(shù)學(xué)知識自動控制原理

1、 補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識: 拉普拉斯變換 一個線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述,也可以用復(fù)數(shù)域的拉氏變換描述。拉氏變換計(jì)算方便。 一.定義 dtetfsFst0js sF為象函數(shù), tf為原函數(shù)as 1ate21st1!nsnnt22stsin22sstcos21as attersas1rtateear1 sF tf t1 t1s1常用拉氏變換的對應(yīng)函數(shù)二 基本定理定理1（線性定理）設(shè) 為常數(shù),則 sFsFtftfL2121 sFtfL11 sFtfL22設(shè)定理3（復(fù)位移定理）則 asFetfLat0Re as sFtfL為常數(shù)a,設(shè)定理2（相似定理） 為大于零的常數(shù) sFtfL設(shè)sFtfL1或sFtfL

2、則定理6（象函數(shù)微分定理）則 sFsFdsdttfL同理 sFtftLnn sFtfL設(shè)定理5（原函數(shù)微分定理） sFtfL則 0fssFtfL同理 00001221nnnnnnfsffsfssFstfL設(shè)定理4（實(shí)位移定理）則 sFetfLs sFtfL,為任意正數(shù)設(shè)定理7（原函數(shù)積分定理） sFtfL同理則 sdttfssFdfLtt00 0101011211nnnnnnfsfsfssFstdtfL定理8（象函數(shù)積分定理） sFtfL則 sdssF,且 存在 ttfLdssFs設(shè)設(shè)定理9（初值定理） sFtfL則 ssFtffsslimlim00 ssFslim,且 存在定理11（卷積定理

3、） sFtfL sGtgL則 為 的卷積,記為 0dtgf tgtf, tgtf*有 sGsFdtgfLtgtfLt0*設(shè)定理10（終值定理）則 ssFfs0lim sFtfL,且 存在 tftlim設(shè)設(shè)三 拉氏反變換是象函數(shù)還原到原函數(shù)的變換1.零、極點(diǎn)概念 定義: dssFejtfjcjcst21 應(yīng)用定義公式很麻煩,所以可以查P.369表求反變換,還可以應(yīng)用部分分式法.例 32421sssssF為二階零點(diǎn), 為一階極點(diǎn), 為一階極點(diǎn), 1s0s4s2s為三階極點(diǎn). msFsssFm,100ss sFsF, 01sp如 為整數(shù), 在 平面處有 個零點(diǎn),當(dāng) 時 為 的零點(diǎn)， m0ss 0,s

4、F0,ss sFn nsssFsFn,010ss sFsF, 01sp如 為整數(shù), 在 平面處有 階極點(diǎn),當(dāng) 時0ss sF,0ss 。為 的極點(diǎn)。 sF則拉氏反變換為2.部分分式法 tsntstsnnneaeaeassassassaLsFLtf2121221111naaa,21式中 為待定系數(shù),分別為 在極點(diǎn) 的留數(shù)。 sFnsss,21已知 ,且 為有理多項(xiàng)式, 的階數(shù)不 sAsBsF sAsB, sB高于 的階數(shù)。 sA nisAsBsssAsBaiissiii, 2 , 1 iissisAsBdssdAsAi故拉氏反變換可以寫成 ninitsiitsiiiesAsBeatf11 nns

5、sassassasF2211如果 只含不同實(shí)數(shù)的極點(diǎn)，展開 后 sF sF(A)解:例 213ssssF 2121sasasF2232113111ssssssssa1132123222ssssssssa 2112sssF tteetf22 112121ssssasasssssF nnssassassssasasAsBsF332121如果 含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，(即 的根存在共軛復(fù)數(shù)) sF 0sA(B)naa,3式中 為一對共軛復(fù)數(shù)根, 為互不相同的實(shí)根,21,ssnss ,3求法與前述相同, 的求法如下:21,aa將 乘上式兩邊,令 代入上式,則式為21ssss1ss 例 求 112sssssF

6、 tf解: sassasasF322110,866.05 .0,866.05 .0321sjsjs將 乘上式,有12 ss 11121211ssssssasasssssF即866.05 .021866.05 .01jsjsasass將 代入整理后1s866.05 .0866.05 .0866.05 .0221jajaj實(shí)部相等215 .05 .05 .0aa 21866.0866.0866.0aa 虛部相等聯(lián)立求得0, 121aa同樣求得13a 22222866.05 .05 .0866.05 .05 .0111sssssssssF查反變換表得 tetesFLtftt866.0sin578.0

7、866.0cos15 .05 .01 sAsBsF如果 含有多重極點(diǎn)，(即 有多重根) sF 0sA(C) nrrsssssssA11而其中 為 的 重極點(diǎn),這時 的部分分式為1ss sFr sF nnrrrrrssassassassassasF11111211求 的方式為,將 乘等式兩邊,令raa,1rss11ss rssrsssssFdsdasssFa121111lim,lim則 rrrssrrsssssFdsdrasssFdsda1111223!11lim!21lim11而 的求法同前。nraa,1解:例 求 2213ssssF 1223221sasasasF 113212322221s

8、sssssssa 22311132ssssssFa 1222212ssssF ttteetetf22221,2321sss為重極點(diǎn) tf 213212322222ssssssssa用拉氏變換求線性微分方程四1 步驟p對方程中每一項(xiàng)求拉氏變換，微分方程變成代數(shù)方程；p求代數(shù)方程；p將代數(shù)方程進(jìn)行拉氏反變換得微分方程的時間解。 0,0 xx2 舉例 求 微分方程， tftxtxtx1001 .001.0 tf為初始條件， 為單位階躍函數(shù)。解：根據(jù)原函數(shù)微分定理對上式求拉氏變換 000121nnnnnffsfssFstfL原函數(shù)微分定理則 0001.001.02xsxsXstxL 01 .01 .0

9、 xssXtxL sXtxL stLtfL11 sxxsxsXssXsXs10001 .0001.0001.01 .001.02故則 11 .001.0001.001 .001.011 .001.010022ssxxsssssX對 求拉氏反變換 sX 11 .001.0001.001 .001.011 .001.010021211ssxxsLsssLsXLtx右邊第一項(xiàng)特征方程的根及留數(shù)為10, 1, 1,355, 03213,21aaajss對上式右邊各項(xiàng)進(jìn)行部分分式運(yùn)算22222235533535551100100101011001001010000sssssssssss tftxtxtx

10、1001 .001.0 原式同理 22222355353500535550100100010sxxssxssxxs根據(jù)拉氏反變換公式得 texxtextetesxxssxLssssLsXLtxtttt35sin3503035cos035sin310035cos1001003553535030355503553351003555100100555522221222211如果初始條件為零，即 235sin32110035sin235cos233210010035sin310035cos1001005555tettetetetxtttt 000 xx本次課程作業(yè)本次課程作業(yè)（2）自動控制原理自動控制原理1)(sesXs)3()2(1)(3ssssX)22(1)(2sssssX1)(tetx1) 2) 3) 24131834432222ttttee