第三章 點的合成運動

1、F 3-1點的合成運動的概念點的合成運動的概念F 3-2點的速度合成定理點的速度合成定理F 3-3點的加速度合成定理點的加速度合成定理一水平放置的圓板繞過中心 O的鉛直軸以角速度旋轉(zhuǎn)，在圓板上有一光滑直槽AB，槽內(nèi)放一小球 M。1）若以圓板為參考系，小球M將如何運動? 2）若以地面為參考系，小球M將如何運動?ABMABM物體相對于某一參考體的運動由相對于其他參考體的幾個運動組合而成。習(xí)慣上把固定在地球上的坐標(biāo)系稱為定參考系，簡稱定系定系，以O(shè)xyz坐標(biāo)系表示。把固定在相對于地球運動的參考體上的坐標(biāo)系稱為動參考系，簡稱動系動系，以O(shè)xyz坐標(biāo)系表示。yxOzyxOz動點相對于定系的運動。動點相對

2、于動系的運動。動系相對于定系的運動。動點相對于定系的軌跡。動點相對于動系的軌跡。在某瞬時，動系中與動點相重合的點為動點在該瞬時的牽連點牽連點。牽連點相對于動系靜止不動。ABMyxOzyxOzM動點相對于定系的速度。動點相對于動系的速度。牽連點相對于定系的速度。動點相對于定系的加速度。動點相對于動系的加速度。牽連點相對于定系的加速度。w 首先：視動系粘在定系上，即動系相對于定系靜止不動，亦即動系相對于定系無牽連運動，則動點相對于動系的運動即為動點的相對運動相對運動 ；w 其次：視動點粘在動系上，即動點相對于動系靜止不動，亦即動點相對于動系無相對運動，則動系相對于定系的運動即為動點的牽連運動牽連運

3、動 ；w 最后：同時考慮上述兩種效應(yīng)，即得到動點相對于定系的絕對運動絕對運動 。在平面運動情況下，設(shè)動點M的相對運動方程為：xO= xO (t), yO = yO (t), = (t)從x軸正向到x軸正向逆時針轉(zhuǎn)的角為正。x= x (t), y= y (t)設(shè)動系Oxy相對于定系Oxy的牽連運動方程為：設(shè)M的絕對運動方程為：x= x (t)， y= y (t)xxOyOyyxxOyM則相對運動、牽連運動與絕對運動間的關(guān)系為：yxyyxxOOcossinsincos在相對運動方程中消去t可得到其相對運動軌跡，在絕對運動方程中消去t可得到其絕對運動軌跡。OxyrOyzOxrMrMOxyzijk設(shè)O

4、xyz為定系，設(shè)Oxyz為動系，動系坐標(biāo)原點O在定系中的矢徑為rOi、 j、 k分別為三個單位矢量。設(shè)動點M在定系中的矢徑為rM ，設(shè)動點M在動系中的矢徑為r，動系上與動點重合的點動系上與動點重合的點（牽連點）（牽連點）記為M，它在定系中的矢徑為rM 。則rM = rO+ r則r= x i + y j + z k圖示瞬時： rM = rM MrMrOyzOxrMrMOxyzijkdtzyxddtdr)(kjirv kji zyx牽連速度是牽連點M相對于定系的速度，該點是動系上的點，它相對于動系靜止不動，故它在動系上的坐標(biāo)x、y、z是常量。)(kjir zyxOdtddtdOMa)(rrrv)(

5、kjir zyxO )(kji zyxdtddtdOMe)(rrrv故MrM點的速度合成定理：點的速度合成定理：vvvrea動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。w選取動點、動系和定系。所選的動系應(yīng)能將動點的運動分解成相對運動和牽連運動。動點、動系須指明，動系可不畫出，定系可不用指明也不必畫出。動點和動系不能選在同一物體上，動點與動系之間要有容易識別的相對運動。w分析三種運動和三種速度。w運用速度合成定理，作出速度平行四邊形。確保絕對運動速度為平行四邊形的對角線。w運用速度平行四邊形中的幾何關(guān)系求解未知數(shù)。明確動點的絕對運動和相對運動、動系的牽連運動。PACOB【例

6、3-1】用點的合成運動方法確定圖示各機構(gòu)中的動點、動系、絕對運動、相對運動和牽連運動的形式并畫出速度平行四邊形?！窘狻窟xOP桿的P點為動點，構(gòu)件ABC為動系；絕對運動：以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓周運動；相對運動：沿AC槽的水平直線運動；牽連運動：構(gòu)件ABC沿鉛垂方向平移。vavevrPACBO選AB桿上的P點為動點，構(gòu)件OC為動系；絕對運動：鉛垂直線運動；相對運動：沿桿OC的槽的直線運動；牽連運動：桿OC的轉(zhuǎn)動。vevavrO1OBCAveva選輪心A為動點，桿O1BC為動系；絕對運動：以O(shè)為圓心、輪半徑為半徑的圓周運動；相對運動：平行于桿O1BC的直線運動；牽連運動：桿O1BC的轉(zhuǎn)動。vrA

7、OO1BCDvBavBevArvAevAavBr再選桿OB上的點B為動點，仍選桿O1D為動系；絕對運動：以O(shè)為圓心、以O(shè)B為半徑的圓周運動；相對運動：沿桿O1D的直線運動；牽連運動：桿O1D的轉(zhuǎn)動。先選桿AC上的點A為動點，桿O1D為動系；絕對運動：沿桿AC的水平直線運動；相對運動：為沿桿O1D的直線運動；牽連運動：桿O1D的轉(zhuǎn)動。BAOCvevr選AB桿的A點為動點,輪C為動系絕對運動:繞B點的圓周運動 相對運動:繞C點的圓周運動 牽連運動:繞O點的圓周運動 vaBAOCvevrva選輪心C為動點,AB桿動系絕對運動:繞O點的圓周運動 相對運動:繞A點的圓周運動 牽連運動:繞B點的圓周運動

8、OABCDvD【解】1）取滑塊A為動點，曲桿BCD為動系。vavevr絕對運動：以O(shè)為圓心r為半徑的圓周運動。相對運動： 水平直線運動。牽連運動：沿鉛垂直線平動。va = rve = vD【例3-2】曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)如圖示。已知OA=r，曲桿BCD速度為vD。 求該瞬時桿 OA轉(zhuǎn)動的角速度。rvveasinrvDsinlO1O2AB【例3-3】圖示機構(gòu)中滑塊B套在搖桿 O2A上， 并與曲柄 O1B以銷子連接。當(dāng) O1B轉(zhuǎn)動時通過滑塊B帶動O2A 左右擺動。設(shè) O1B長 r， 以勻角速轉(zhuǎn)動。試求桿O2A的角速度1。vrvave1【解】取套筒B為動點，桿O2A為動系。絕對運動：以O(shè)1為圓心 r為半徑的

9、圓周運動。相對運動：沿桿O2A 的直線運動。牽連運動：隨桿O2A的擺動。va = r122rlvesinaevv 求解：rlrrl222122rlr2221rOyzOxrAOxyzijkA e設(shè)動系繞定系的z軸轉(zhuǎn)動的角速度矢為 e。vrAAdtd而rAekrrOA因)(krOekkedtd故dtddtdOA)(krr同時因rOeiiedtd同理jjedtd動系作任意運動時，上述關(guān)系均成立。kreOedtddtdOkrdtdkrOyzOxOxyzijkMw動點M的相對加速度tddr22rarMrkji zyx w動點M的牽連加速度tddMe22ra)(kjir zyxOMtddO22)(rr牽連

10、加速度是牽連點M相對于定系的加速度，該點是動系上的點，它相對于動系靜止不動，故它在動系上的坐標(biāo)x、y、z是常量。rMw動點M的絕對加速度tddMa22ra)(kjir zyxOtddO22)(rr)(kji zyx )2(kji zyxrOyzOxOxyzijkMrMrMrMiie考慮到 e令aC=2evr科氏加速度科氏加速度)2(kji zyx則vre 2)(2kji zyxeaaaaCera點的加速度合成定理：點的加速度合成定理：jjekke動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的相對加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和。它是由于動系為轉(zhuǎn)動時，牽連運動與相對運動互相影響產(chǎn)生的。其方向按右手

11、定則確定。aCvreaC=2evrsin當(dāng)e =0或vr=0或e|vr時, aC=0OABCReD【解】1）取凸輪中心A為動點，桿BCD為動系。絕對運動：以O(shè)為圓心，e為半徑的圓周運動。相對運動：水平直線運動。牽連運動：鉛垂直線運動。vavevrva = e解得： vBCD = ve = e sin【例3-4】平底凸輪機構(gòu)如圖示。凸輪O半徑為R，偏心距為 e，以角速度和角加速度 繞O轉(zhuǎn)動，并帶動平底從動桿 BCD 運動。試求該瞬時桿BCD的速度和加速度。2）求 BCD桿的速度OABCReD3）求BCD桿的加速度A點的相對加速度沿水平方向。aataanaraeA點的牽連加速度亦即桿BCD的加速度

12、，沿鉛垂向下。即A點的絕對加速度沿鉛垂方向的投影其牽連加速度沿鉛垂方向的投影。 ae= aancos+ aatsin因aa = ar + ae故 aay = aeaBCD= e2cos+ esinOABCrD【例3-5】 具有圓弧形滑道的曲柄滑道機構(gòu)，用來使滑道 BC獲得間歇的往復(fù)運動。已知曲柄以勻角速度 =10 rad/s 繞O軸轉(zhuǎn)動，OA=10cm ，圓弧道的半徑 r = 7.5cm。當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)到圖示位置sin = 0.6 時，求滑道BC的速度和加速度。vavevr【解】1）選滑塊A為動點，滑道為動系。2） 求BC的速度BC的速度為A點的牽連速度。A點的相對速度沿圓弧滑道切向向下。A點的牽連

13、速度沿水平向右。A點的絕對速度沿右下，va=OAOABCrDvavevr因va = vr + vesinsinOAAD由正弦定理知：rOAsinsin故A點的絕對速度在滑道法向和切向的投影等于相對速度和牽連速度在滑道法向和切向投影的代數(shù)和。vacos(-) = vecosvasin( + )= vecosve= vasin( + )/ cosvBC = ve = 1.6m/svasin(-) =vr- vesinvacos( + )= vr- vesinvr= vacos( + )+ vesin= 1.3m/sOABCrD3） 求BC的加速度aeaaartarnBC的加速度為A點的牽連加速度。

14、A點的相對加速度用沿圓弧滑道法向和切向分量表示。A點的牽連加速度沿水平向右。A點的絕對加速度沿左下。aa=OA2因aa = ar + ae故A點的絕對加速度在AD的投影等于相對加速度和牽連加速度在AD投影的代數(shù)和。aacos (+ )= -aecos - arn=10m/s2aBC = ae =- 37.6m/s2cos)cos(aaarnaecos)cos(102rvrBAreOCl【例3-6】半徑為r偏心距為e的凸輪，以角速度和角加速度繞O軸轉(zhuǎn)動， AB桿長l ， A端置于凸輪上， B端用鉸鏈支承。求圖示瞬時桿AB的角速度AB和角加速度AB 。【解】 1）取AB桿的A點為動點，凸輪為動系A(chǔ)

15、點的相對運動沿凸輪切線ABvevavrA點的牽連運動沿水平向左ve=rsinA點絕對運動沿鉛垂向下va= AB l求解：tanvvaetansinlrABleAB2）求ABvr= r BAreOCl3）求ABABaCarnA點的相對加速度A點的牽連加速度aen= (rsin)2A點的絕對加速度沿AC的投影等于其相對加速度、牽連加速度、科氏加速度在AC的投影的代數(shù)和2rarnA點的科氏加速度aC=2 vr=2r2A點的絕對加速度aat=AB l lelaABan222cossinaaanaterlerleleAB22222232)(aaaaenetrnCsincosartaetaet= (rsi

16、n)rartaenaataanMO1O2AB0.5m60o30o11【例3-7】 滑塊M與桿O1A鉸接，并可沿桿O2B滑動如圖所示。在圖示瞬時，桿O1A的角速度1=0.2rad/s，角加速度1=0.25rad/s2，轉(zhuǎn)向如圖。求此瞬時桿 O2B的角加速度2和滑塊M相對于O2B的加速度?！窘狻?1）選滑塊M為動點，桿O2B為動系。2）求滑塊M的速度vrvave30om/s2 . 060cos2 . 05 . 060cos5 . 01vam/s1732. 030cosvvaem/s1 . 030sinvvar2MO1O2AB0.5m60o30o1123）求桿 O2B的角加速度2和滑塊M相對于O2B的加速度araraataana