第5講概率統(tǒng)計

1、2-4 連續(xù)型隨機變量及其概率分布連續(xù)型隨機變量及其概率分布例例1 1 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶上任一米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該盤的面積成正比，并設同心圓盤上的點的概率與該盤的面積成正比，并設射擊都能中靶。以射擊都能中靶。以X表示彈著點與圓心的距離，表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量試求隨機變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)解：（解：（1）由題意知）由題意知當當x2時時1)()()(SPxXPxF故隨機變量故隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為2, 120,40, 0)(2xxxxxF易知易知F(x)為連續(xù)函數(shù)，對分布函數(shù)求導數(shù)得為連續(xù)函數(shù)，對分布函數(shù)

2、求導數(shù)得其它020,2)()(xxxFxf且容易看出有下式成立且容易看出有下式成立xdttfxF)()(在這種情況我們稱在這種情況我們稱X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，下面給出一般定義下面給出一般定義即即F(x)恰是非負連續(xù)函數(shù)恰是非負連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的積分上的積分,(x一一. 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度 1. 定義定義2.2 設隨機變量設隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), 如如果存在一個非負可積函數(shù)果存在一個非負可積函數(shù) f(x), 使對任意的實數(shù)使對任意的實數(shù)x，均有均有xdttfxF)()(則稱則稱X是連續(xù)型隨機變量，稱是連續(xù)

3、型隨機變量，稱 f(x)是是X的概率密度的概率密度或密度函數(shù)，簡稱密度或密度函數(shù)，簡稱密度。連續(xù)型隨機變量。連續(xù)型隨機變量X的分布的分布函數(shù)函數(shù)F(x)和密度函數(shù)和密度函數(shù) f(x) 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為X的的概率分布，簡概率分布，簡稱稱X的分布。的分布。2. . 概率密度函數(shù)的性質概率密度函數(shù)的性質（1） 0)(xf（2） 1)(dxxf這兩條性質是判定一個這兩條性質是判定一個函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r.v. X的的概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充要條件. f (x)xo面積為面積為1(3) P (a 0且較小時且較小時,則有則有 P(x X x+ x ) = F(x+ x)-F(x

4、) xxxxxfdttf)()(=密度函數(shù)密度函數(shù) f (x)在某點在某點 x處處 的值，反映了的值，反映了 X 在在x附近附近單位區(qū)間內(nèi)取值的概率的大小。反映了概率在單位區(qū)間內(nèi)取值的概率的大小。反映了概率在x點的點的密集程度。密集程度。f(x)較大，說明了較大，說明了X在在x點的概率密集程度點的概率密集程度較大，隨機變量在較大，隨機變量在x點的附近取值的概率較大；反之，點的附近取值的概率較大；反之，若若f(x)較小，說明較小，說明X在在x點的密集程度較低，隨機變量點的密集程度較低，隨機變量在在x點附近取值的概率較小。點附近取值的概率較小。(6) P(X=x0)=F(x0) F(x0 0) =

5、0)()(bXaPbXaP)(bXaP對連續(xù)型對連續(xù)型 r.v X,有有)(bXaPbadxxf)(進一步有進一步有GdxxfGXP)()(如如adxxfaXP)()(注意：注意： 是一個概率為是一個概率為0的事件，的事件， 而不一定是不可能事件而不一定是不可能事件)(0 xX 例例2 設隨機變量設隨機變量X 的概率密度為的概率密度為其他, 043, 2/230,)(xxxkxxf求求(1)(1)常數(shù)常數(shù)k； （2 2）X 的分布函數(shù)；的分布函數(shù)； （3 3）P(1 X 7/2).解：解：（1）由密度函數(shù)的性質）由密度函數(shù)的性質4433000)22(0)(1dxdxxkxdxdxdxxf412

6、9k61 k（2）當當x4時時，1)()(xdttfxF故隨機變量故隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為4143324301200)(22xxxxxxxxF（3）4841)22(6)()271 (27331271dxxdxxdxxfXP例例3 3 設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為1, 110,0, 0)(2xxCxxxF求求 （1）常數(shù)）常數(shù)C值；值； （2）X 取值于（取值于（0.3，0.7）內(nèi)的概率；）內(nèi)的概率； （3）X 的密度函數(shù)的表達式的密度函數(shù)的表達式。解：（解：（1）由連續(xù)性知：）由連續(xù)性知：CCxFFx21lim)01 () 1 (1即即 C=1（2）

7、4 . 009. 049. 0)3 . 0()7 . 0()7 . 03 . 0(FFXP（3）其他0102)()(xxxFxf由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關系知由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關系知二二 幾種常見的分布幾種常見的分布 (1) 若隨機變量若隨機變量X 的概率密度為的概率密度為 1. 均勻分布（均勻分布（Uniform） 則稱則稱 X 在在a, b上服從均勻分布，記為上服從均勻分布，記為XUa, b其他01)(bxaabxf)(xfab（3 3）對于）對于a c 00 ，則稱，則稱X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)的指數(shù)分布，相應的分布函數(shù)為分布，相應的分布函數(shù)為 0, 00,1)(/xxexfx

8、0001)(/xxexFx指數(shù)分布的一個最常見的應用是使用它來做各種壽命指數(shù)分布的一個最常見的應用是使用它來做各種壽命分布的近似。例如：電子元件的壽命，動物的壽命分布的近似。例如：電子元件的壽命，動物的壽命都可以近似的用指數(shù)分布來描述。都可以近似的用指數(shù)分布來描述。服從指數(shù)分布的隨機變量服從指數(shù)分布的隨機變量X有下面的性質有下面的性質)()|(tXPsXtsXP對任意的對任意的s,t這個性質稱為指數(shù)分布的這個性質稱為指數(shù)分布的“永遠年青性永遠年青性”或或“無記憶性無記憶性”比如說；某元件的壽命服從指數(shù)分布，那么已知它比如說；某元件的壽命服從指數(shù)分布，那么已知它使用了使用了s小時無損壞的條件下，

9、在使用小時無損壞的條件下，在使用t小時以上的小時以上的概率，和從一開始使用時算起，它能使用概率，和從一開始使用時算起，它能使用t小時以上小時以上的概率是一樣的。指數(shù)分布描述了無老化時的壽命的概率是一樣的。指數(shù)分布描述了無老化時的壽命分布。分布。但但“無老化無老化”是不可能的，因而只是一種近似，是不可能的，因而只是一種近似，對于一些壽命長的元件，在初期階段老化現(xiàn)對于一些壽命長的元件，在初期階段老化現(xiàn)象很小，這一階段指數(shù)分布比較確切地描述象很小，這一階段指數(shù)分布比較確切地描述了其壽命分布情況。比如人的壽命，一般，了其壽命分布情況。比如人的壽命，一般，在在5050歲以前，由于生理的老化而死亡的因素歲

10、以前，由于生理的老化而死亡的因素是次要的。若排除意外因素的影響，人的壽是次要的。若排除意外因素的影響，人的壽命在這個階段接近指數(shù)分布命在這個階段接近指數(shù)分布若考慮老化，則若考慮老化，則X服從威布爾分布服從威布爾分布 3. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義 若若r.v X 的的概率密度為概率密度為),(2NX記作記作 xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 22X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexFtx222)(21)(a. . 正態(tài)分布的密度曲線是一條關于正態(tài)分布的密度曲線是一條關于 對

11、對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. .f (+ +c)=f (- -c)4. 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2N密度函數(shù)圖形的特點密度函數(shù)圖形的特點b. b. 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .稱為位置參數(shù)稱為位置參數(shù)稱為形狀參數(shù)稱為形狀參數(shù)c. c. 在在x=處達到最大值處達到最大值: :xexfx,)()(22221 21)(fd. d. 這說明曲線這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來向左右伸展時，越來越貼近越貼近x軸。即軸。即f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。

12、 xexfx,)()(22221 當當x 時，時，f(x) 0, ,e.e.xexfx,)()(22221 為為f (x)的兩個拐點的橫坐標。的兩個拐點的橫坐標。x = 年降雨量、同齡人身高、在正常條件下年降雨量、同齡人身高、在正常條件下各種產(chǎn)品的質量指標各種產(chǎn)品的質量指標如零件的尺寸；纖如零件的尺寸；纖維的強度和張力、農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗維的強度和張力、農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高、測量誤差、射擊目標的水平或垂長、株高、測量誤差、射擊目標的水平或垂直偏差、信號噪聲等等，都服從或近似服從直偏差、信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布. . 設設X ,),(2NX的分布函數(shù)是的分布函

13、數(shù)是xdtexFxt,)()(22221 5. 5. 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)dtexxt2221)(6. . 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布. .xexx,21)(22其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 注意：注意：(0)=0.5 ( x)=1 (x) xxdtexxt2221)(若若 XN(0, 1)()()(abbXaP7. . 正態(tài)分布的計算正態(tài)分布的計算 )(x對任意的實數(shù)對任意的實數(shù)x1， x2 (x1 x2)，有，有)()(11xxXP)(1) (11xx

14、XP)()() (1221xxxXxPduedtexFuxtx22)(2222121)(例例4設設 X N( , 2), 求求 P( |X- | 8.562, 故故n=9問題的提出問題的提出2-5 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 在實際問題中，我們常常對某些隨機變量的函數(shù)在實際問題中，我們常常對某些隨機變量的函數(shù)感興趣。例如，在一些試驗中，所關心的隨機變量感興趣。例如，在一些試驗中，所關心的隨機變量不能由直接測量得到，而它卻是某個能夠直接不能由直接測量得到，而它卻是某個能夠直接 測量測量的隨機變量的函數(shù)。如，考察一批圓軸的截面面積的隨機變量的函數(shù)。如，考察一批圓軸的截面面積Y，我們能夠直

15、接我們能夠直接 測量的是直徑測量的是直徑 X，且當直徑且當直徑 X 取取 x 值值時，截面面積時，截面面積Y 的取值為的取值為241xy 一般地，設一般地，設X, Y 是兩個隨機變量，是兩個隨機變量，y=g(x)是是一個已知函數(shù)，如果當一個已知函數(shù)，如果當X 取值取值 x 時，時，Y取值為取值為g(x)，則稱，則稱Y 是隨機變量是隨機變量X 的函數(shù)。記為的函數(shù)。記為Y=g(X) 問題是：問題是：如何由如何由已知的已知的隨機變量隨機變量X 的概率分布的概率分布去求得它的去求得它的函數(shù)函數(shù)Y=g(X)的的概率分布概率分布一一 離散型隨機變量離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布例例7 7設設X 4 .

16、 01 . 03 . 02 . 02101求求 Y= (X 1)2 的分布律的分布律.解：解：) 1 (2 . 0)4) 11() 1(2YPXP)2(3 . 0) 1) 10()0(2YPXP)3(1 . 0)0) 11 () 1(2YPXP)4(4 . 0) 1) 12()2(2YPXPY 所有可能的取值為：所有可能的取值為：0，1，4故故Y的分布律為的分布律為2 . 07 . 01 . 0410把把(2)和和(4)合并得合并得P(Y=1)=0.7一般地，若一般地，若X 的分布列為的分布列為 Xx1x2xkPp1p2pk則則Y = g(X) 的分布列為的分布列為 Yg(x1)g(x2)g(

17、xk)Pp1p2pk如果如果 g(xk )中有一些是相同的，把它們作適當中有一些是相同的，把它們作適當并項（即概率相加）即可并項（即概率相加）即可. .二二 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布例例8設設 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：設設X，Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY ( y )，F(xiàn)X(x)FY (y)=PY y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(y

18、fdyydFyfXYY當當 8 y 16 時，時， 168)28(yyfX其它, 040, 8/)(xxxfX當當 y 8 或或 y 16 時，時， 0)28(yfX1. 當當 y =g(x) 是單調函數(shù)是單調函數(shù) 定理定理 若連續(xù)型隨機變量若連續(xù)型隨機變量 X 只在只在(a, b)上取值，它上取值，它的概率密度為的概率密度為 fX(x)，又，又 y = (x) 是嚴格單調的可是嚴格單調的可導函數(shù)，則導函數(shù)，則Y = (X)是連續(xù)型隨機變量，其概率是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為密度為其他0)().()(yyyfyfXY其中其中 x = (y) 是是 y = (x) 的反函數(shù)，的反函數(shù)，( ，

19、)是是y = (x), a x 0時，對于時，對于xey21有有02)2(22xxeey0,12xeyx為為x的單調增函數(shù)的單調增函數(shù)且且) 1 , 0(,2)1ln(yyx)1 (21yxy所以所以其他0) 1 , 0(| )2)1ln()(yxyfyfyXY其他0) 1 , 0()1 (212)2)1ln(2yyey其他0) 1 , 0(1y即即YU(0,1)2. 當當y=g(x)是非單調函數(shù)是非單調函數(shù)法一：用基本方法（從分布函數(shù)出發(fā)）法一：用基本方法（從分布函數(shù)出發(fā)）)()()() 1 (DXPyYPyFYY)()()2(yFyfYYY法二：變成幾個單調區(qū)間，在每個單調區(qū)間法二：變成幾個單調區(qū)間，在每個單調區(qū)間上用公式結果在求和上用公式結果在求