數(shù)學：121《排列》

1、1.2.11.2.1排列排列 愛拼才會贏愛拼才會贏分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理(加法原理加法原理)完成一件事，有完成一件事，有n類辦法，在第類辦法，在第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法，在第種不同的方法，在第2類類辦法中有辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法，那種不同的方法，那么完成這件事共有：么完成這件事共有：種不同的方法種不同的方法12nN=m +m +m分步計數(shù)原理（乘法原理）分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個步驟，做第個步驟，做第1步有步有m1種不同的方法，做第種不同的方法，做第2步步有有m2種不同

2、的方法，種不同的方法，做第，做第n步有步有mn種不同的方法，那么完成這件事種不同的方法，那么完成這件事共有：共有：種不同的方法種不同的方法12nN=m mm分類計數(shù)原理與分類計數(shù)原理與“分類分類”有關，各種方法有關，各種方法相互獨立相互獨立，用其中用其中任何一種方法都可以完成這件事；任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與分步計數(shù)原理與“分步分步”有關，各個步驟有關，各個步驟相互依存相互依存，只有各只有各個步驟都完成了，這件事才算完成個步驟都完成了，這件事才算完成問題1從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加某天的一項活動，名參加某天的一項活動，其中其中1名同學參加上午的

3、活動，名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？少種不同的方法？我們把上面問題中被取的對象叫做我們把上面問題中被取的對象叫做元素元素于是所提出的問題于是所提出的問題就是從就是從3個不同的元素中任取個不同的元素中任取2個，按照一定的順序排成一列，個，按照一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法求一共有多少種不同的排法問題問題2從從a、b、c、d這四個字母中，取出這四個字母中，取出3個按照順序排成個按照順序排成一列，共有多少種不同的排法？一列，共有多少種不同的排法？ 解決這個問題，需分解決這個問題，需分3個步驟：個步驟：第第1步，先確定左邊的字

4、母，在步，先確定左邊的字母，在4個字母中任取個字母中任取1個，有個，有4種方法；種方法；第第2步，確定中間的字母，從余下的步，確定中間的字母，從余下的3個字母中去取，有個字母中去取，有3種方法；種方法；第第3步，確定右邊的字母，只能從余下的步，確定右邊的字母，只能從余下的2個字母中去取，有個字母中去取，有2種方法種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，共有根據(jù)分步計數(shù)原理，共有43224一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素，按照一）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的一一個排列個排列注意：注意：1.

5、我們所研究的排列問題，是不同元素的排列，這里既我們所研究的排列問題，是不同元素的排列，這里既沒有沒有重復元素重復元素，也沒有重復抽取相同的元素也沒有重復抽取相同的元素2.排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定順序排列按照一定順序排列”“一定順序一定順序”就是與位置有關，這也就是與位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志3.根據(jù)排列的定義，根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同素完全相同

6、，而且元素的排列順序也完全相同也就是說，如也就是說，如果兩個排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的果兩個排列所含的元素不完全一樣，那么就可以肯定是不同的排列；如果兩個排列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，排列；如果兩個排列所含的元素完全一樣，但擺的順序不同，那么也是不同的排列那么也是不同的排列4.如果如果mn，這樣的排列（也就是只選一部分元素作排列），這樣的排列（也就是只選一部分元素作排列），叫做叫做選排列選排列；如果；如果mn，這樣的排列（也就是取出所有元素，這樣的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做作排列），叫做全排列全排列【總結(jié)提煉】【總結(jié)提煉】排列問題，是取出排列問題，是

7、取出m個元素后，還要個元素后，還要按一按一定的順序定的順序排成一列，取出同樣的排成一列，取出同樣的m個元素，只個元素，只要排列順序不同，就視為完成這件事的兩種不要排列順序不同，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）同的方法（兩個不同的排列）由排列的定義可知，由排列的定義可知，排列與元素的順序有排列與元素的順序有關關，也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排，也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排列問題當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義列問題當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列寫出所有的排列練習練習2.寫出從寫出從5個元素個元素a，b，c，d，e中任取中任取2個元素的所有排列個元素

8、的所有排列解決辦法是先畫解決辦法是先畫“樹形圖樹形圖”，再由此寫出所有的排列，共，再由此寫出所有的排列，共20個個 若把這題改為：寫出從若把這題改為：寫出從5個元素個元素a，b，c，d，e中任取中任取4個個元素的所有排列，結(jié)果如何呢？元素的所有排列，結(jié)果如何呢？方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更方法仍然照用，但數(shù)字將更大，寫起來更“啰嗦啰嗦”練習練習1.在在A、B、C、D四位候選人中，選舉正、副班長各一四位候選人中，選舉正、副班長各一人，共有幾種不同的選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果人，共有幾種不同的選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果ABACADBCBDCDBACADACBDBDC研究一個排列問題，往

9、往只需知道所有排列的個數(shù)而無需一一研究一個排列問題，往往只需知道所有排列的個數(shù)而無需一一寫出所有的排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接寫出所有的排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得得”出所有排列的個數(shù)呢？這一節(jié)課我們將來共同探討這個出所有排列的個數(shù)呢？這一節(jié)課我們將來共同探討這個問題：問題：排列數(shù)及其公式排列數(shù)及其公式1排列數(shù)的定義排列數(shù)的定義從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的所有排列的個）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從數(shù)，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作個元素的排列數(shù)，記作mnA 注意區(qū)別注意區(qū)別“一個排列一個排列”與與

10、“排列數(shù)排列數(shù)”的不同的不同：“一個排列一個排列”是指是指“從從n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m個元素按個元素按照一定的順序排成一列照一定的順序排成一列”，不是數(shù)；，不是數(shù)；“排列數(shù)排列數(shù)”是指是指“從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的所有排個元素的所有排列的個數(shù)列的個數(shù)”，是一個數(shù)因此符號只代表排列數(shù)，而不表示，是一個數(shù)因此符號只代表排列數(shù)，而不表示具體的排列具體的排列2排列數(shù)公式排列數(shù)公式 mnA =n(n-1)(n-2)(n-m+1)*N這里這里m、n 且且mn，這個公式叫做排列數(shù)公式它有以，這個公式叫做排列數(shù)公式它有以下三個特點：下三個特點：（1）第一個因數(shù)是）第一

11、個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1（2）最后一個因數(shù)是）最后一個因數(shù)是nm1（3）共有）共有m個因數(shù)個因數(shù)正整數(shù)正整數(shù)1到到n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n的階乘，用的階乘，用n!表示。表示。nnA =n(n-1)(n-2)321當當m=n時時!nnAn31 6A66A46A例例1.計算計算（1） （2） （3） 3161615143360A666 !720A466543360A解：（解：（1） （2） （3） mn=n(n-1)(n-2)(n)A-m+1規(guī)定規(guī)定0！1n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)21=(n-m)21mnn!A =

12、(n-m)!例例2解方程解方程322100 xxAA。 解：原方程可化為解：原方程可化為2x(2x-1)(2x-2)=100 x(x-1)x0,x12x-1=25解得解得x=13經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗x=13是原方程的根。是原方程的根。 例例3證明：證明：mmm-1n+1nnA=A +mA 。 證明：右邊證明：右邊!()!(1)!nnmnmnm !(1)!(1)!nnmnmnm (1) !(1)!nnnm(1)!(1)!nnm1mnA 左mnn!A =(n-m)!1全排列數(shù)（階乘）全排列數(shù)（階乘） 2階乘變形階乘變形 1!1,2!2,3!6,4!24,5!120,6!720,7!5040(1)2 1!=2!,3 2!=3!(n+1) n!=(n+1)!(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2n!+n n!=3!=(n+1)!2 !3 !( 3 )= 1