簡明電路分析基礎_12正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量

1、電電 路路 分分 析析 基基 礎礎 正弦穩(wěn)態(tài)功率與能量 三相電路 電路分析基礎第12章第1/2節(jié)第三部分 正弦穩(wěn)態(tài)分析 11、阻抗與導納 12、正弦穩(wěn)態(tài)功率與能量 三相電路 13、電路的頻率響應 14、耦合電感與理想變壓器 15、雙口網(wǎng)絡 電路分析基礎課程內(nèi)容介紹電路分析基礎第三部分：第12章 目錄第12章 正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量 三相電路1 基本概念 5 單口網(wǎng)絡的無功功率2 電阻平均功率 6 復功率3 電感、電容的平均儲能 7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳 遞定理4 單口網(wǎng)絡的平均功 8 三相電路 率 功率因數(shù) 電路分析基礎第三部分：第12章主要內(nèi)容 正弦穩(wěn)態(tài)電路瞬間功率：正弦激勵下，動態(tài)電路某個元件

2、上瞬間電壓和瞬間電流的乘積。本章主要內(nèi)容： 正弦穩(wěn)態(tài)電路平均功率：一個周期內(nèi)，某個元件上瞬間功 率平均值。 電容、電感的平均儲能：電容、電感的平均功率等于零， 但作為無源元件，它們有平均儲能存在。 復功率及功率因數(shù): 元件的電流相量和電壓相量的積為功 率相量，稱為復功率，實部稱為有功功率，虛部稱為無功 功率，有功功率與功率相量模之比稱為功率因數(shù)。 三相電路：由三個相鄰相位差120的三個正弦電壓或電流 同時激勵所形成的電路。電路分析基礎第三部分：12-1 1/212-1 基本概念功率與能量的關系：微分與積分關系。p(t) =p(t)dttdwdt= i(t)u(t)w(t) =i(t)u(t)d

3、tt= w (t0) +i(t)u(t)dttt0w(t) w (t0) =i(t)u(t)dtt0t注意： （1） i(t)和u(t)必須關聯(lián)參考 方向一致； （2）一段時間內(nèi)能量的變化 增量等于該時間段內(nèi)功 率的積分，即關聯(lián)電流 電壓乘積的積分。+i(t)u(t)i(t)電路分析基礎第三部分：12-1 2/2VAR 瞬間功率 復功率 平均功率 能量增量 能量存儲i(t)=Gu(t)u(t)=Ri(t) U = RIRi2Gu2 UI*UIi2dtt0tRu2dtt0tG0RI2GU2RI2GU2I= jCU i=CdudtidttC1u=CududtjCU2 I2jC10Cu2(t)21t

4、0tCu221U= jLI u=LdidtudttL1i=LididtjLI2 U2jL10Li2(t)21t0tLi221電路分析基礎第三部分：12-2 1/1電阻瞬間功率：對任意一個電阻 R，外加u(t) = Umcos(t+u)，則12-2 電阻的平均功率u(t)=Ri(t)， i(t)=Gu(t) = Imcos(t+u)p(t) = ImUmcos2(t+u) =ImUm1+cos2(t+u)2= IU1+cos2(t+u)平均功率： P = Pav = IU =ImUm21峰值功率： Pmax = 2IU = ImUm= RI2 = GU2電路分析基礎第三部分：第12章 目錄第12

5、章 正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量 三相電路1 基本概念 5 單口網(wǎng)絡的無功功率2 電阻平均功率 6 復功率3 電感、電容的平均儲能 7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳 遞定理4 單口網(wǎng)絡的平均功 8 三相電路 率 功率因數(shù) 電路分析基礎第三部分：12-3 1/512-3 電感、電容平均儲能電感瞬間功率：對任意一個電感 L，外加u(t) = Umcos(t+u)，則p(t) = ImUmcos(t+u)sin(t+u) = IUsin2(t+u) u=Ldidtudt = Imsin(t+u) =tL1i=cos(t+u 90)LUm平均功率： P = Pav =T1峰值功率： Pmax = IU =p(t)dt =

6、 0T0ImUm21電路分析基礎第三部分：12-3 2/5電容瞬間功率：對任意一個電容 C，外加u(t) = Umcos(t+u)，則p(t) = ImUmcos(t+u)sin(t+u) = IUsin2(t+u) I = Cdudt= Imsin(t+u) = CUm cos(t+u + 90)平均功率： P = Pav =T1峰值功率： Pmax = IU =p(t)dt = 0T0ImUm21顯然：顯然：電感和電容的電感和電容的平均功率平均功率等于零等于零。物理意義是什么？物理意義是什么？電路分析基礎第三部分：12-3 3/5瞬間儲能：此時兩者的儲能瞬間值分別為如下Li2(t)21wL

7、(t) =LI2msin2(t+u)21 =LI2 1 cos2(t+u)21 =Cu2(t)21wC(t) =CU2mcos2(t+u)21 =CU21+ cos2(t+u)21 =平均儲能： WL = WLav =21LI221CU2WC = WCav =峰值儲能： WLmax =21LI2m21CU2mWCmax =電路分析基礎第三部分：12-3 4/5例12-3 求圖12-5所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中各電阻的平均功率總和，各電感、電容平均儲能的總和。2 cos2t Vi1+111F1F1H1Hi2解：用相量網(wǎng)孔方程法求解。列網(wǎng)孔方程)I1(1+j2j21)I2 (j21= 1)I1 (j21+

8、 (1+j2j1)I2= 0解得I1 =1+j23j21101+j231+j23j21j21= 0.563 50.7I2 =1+j23j21101+j231+j23j21j21= 0.2 174.3電阻平均功率和P = I12R + I22R= 05632 + 0.22= 0.357W電路分析基礎第三部分：12-3 5/5電感平均儲能和WL = 0.178 JLI22LI12 +2121(05632 + 0.22)21電容平均儲能和WC = 0.07 JCU22CU12 +2121(0.36062 + 0.12)21U2 =I2C0.22= 0.1VU1 =I2 | 1+j1.5 | = 0.

9、212 + 1.52 = 0.3606VWC =電路分析基礎第三部分：第12章 目錄第12章 正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量 三相電路1 基本概念 5 單口網(wǎng)絡的無功功率2 電阻平均功率 6 復功率3 電感、電容的平均儲能 7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳 遞定理4 單口網(wǎng)絡的平均功 8 三相電路 率 功率因數(shù) 電路分析基礎第三部分：12-46 1/1312-46 視在功率、平均功率或有功功率、無功功率、功率因數(shù)單口網(wǎng)絡的瞬間功率：設任何時刻，單口網(wǎng)絡上的關聯(lián)參考方向電流、電壓表示為u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，則網(wǎng)絡吸收的功率為p(t) = i(t)u(t) = UmIm

10、cos(t+u)cos(t+i) = = UI cos + cos(2t+u+i)cos(ui) + cos(2t+u+i)UmIm2單口網(wǎng)絡的平均功率： P = UI cos 功率因數(shù)： = cos 電路分析基礎第三部分：12-46 2/13功率因數(shù)的物理意義：單口無源負載網(wǎng)絡在任何時刻可等效為一個阻抗或導納。= |Z| z =Z = |Z|cos z + |Z|sin zUIuiUI= |Y| Y =Y = |Y|cos Y + |Y|sin YUIiuUI=z = ui，Y = iu，z = Y = 單口網(wǎng)絡的視在功率： S = UI = U2 |Y| = I2 |Z| 即：電流有效值與

11、電壓有效值的乘積。有功功率(平均功率)視在功率相量： S = UI* = U2 Y* = U2 |Y| (cos Y jsin Y) = I2 Z = I2 |Z| (cos z + jsin z) = P +jQ = Scos + jSsin (VA) 無功功率功率因數(shù)視在功率視在功率單位電路分析基礎第三部分：12-46 3/13 用圖解法可以更清楚地理解功率因數(shù)的物理意義物理意義，以及三種功率之間的相互關系相互關系。功率因數(shù)功率因數(shù) = cos =PSuixjyI=|Y|UU=|Z|I =uiP(W)Q(var)S(VA)無功功率無功功率功率因功率因數(shù)角數(shù)角視在功率視在功率有功功率有功功率

12、O u 電流相位超前電壓相位，簡稱 超前0，即i u 電流相位滯后電壓相位，簡稱 滯后電路分析基礎第三部分：12-46 4/13xjy00Q0S1O900P0Q0180 9090180 S2S3S4超前滯后電路分析基礎第三部分：12-46 5/13 當電路中由多個元件組成時，每個元件 i 上的視在功率相量 Si 滿足疊加性， 即總視在功率相量 S 為S = S1 + S2 + + SK = (P1 + P2 + + PK) + j(Q1 + Q2 + + QK)P = P1 + P2 + + PKQ = Q1 + Q2 + + QK例12-8 已知單口網(wǎng)絡電壓 u =300 2 cos(314

13、t+10) V，電流 i =50 2 cos(314t45) A。求網(wǎng)絡吸收。解 U = 300V，I = 50A，z = ui = 10 (45) = 55 = cosz = cos 55 = 0.5736 P = UI cos z = 300500.5736 = 8604W電路分析基礎第三部分：12-46 6/13例12-5 求圖12-9所示電路電源對電路提供的功率。10 2 cos2tV+3F2H18410 0+34j4j4I解 利用 P = UI cos z 計算，只要算得阻抗 Z 即可， Z = 3 +j4+4 j4j4(4j4)= 3 + 4 + j4 = 7 + j4 = 8.0

14、623 29.74 I =U|Z|=8.062310= 1.2403 AP = UI cos z = 101.2403cos 29.74 = 10.77W電路分析基礎第三部分：12-46 7/133j4j5I+UI1I2RLCI+UI1I2解：視在功率 S 根據(jù)已知條件可得：S = UI = 10012.65 = 1265W例12-67 圖12-10所示電路，已知 ZR=3，ZL=j4，ZC= j5，I=12.65 18.5， I1=20 53.1，I2=20 90，U=100 0。求單口網(wǎng)絡的功率 P及視在功率、功率因數(shù)。Z = 3+ j4j5j4(3+ j4)=功率因數(shù) = cosz =

15、cos 18.44 = 0.9487（超前）20 36.8716 j123 j1=3.162 18.43= 6.325 18.44網(wǎng)絡平均功率 P = UI cosz = 1200.05W電路分析基礎第三部分：12-46 8/13P 也是電阻上消耗的功率，由此也可得 P = I12R = 2023 = 1200W功率因數(shù) = cos =PS= 0.9486更簡單的方法：由 U 和 I 之間的相位關系可得S = UI* = 100 012.65 18.5 = 1265 18.5 W = 1200 + j401.4W 即 P = 1200W，Q = 401.4W功率因數(shù) = cosz = cos

16、18.5 = 0.9483（超前）電路分析基礎第三部分：12-46 9/13電感、電容無功功率：設任何時刻，單口網(wǎng)絡上的關聯(lián)參考方向電流、電壓表示為u(t) = Umcos(t+u)，i(t) = Imcos(t+i)，則電容、電感的無功功率可表示為： QL = XLI2 = LI2 = L1U2 = 2(LI2) = 2WL21 QC = XCI2 = CU2 = C1I2 = 2(CU2) = 2WC21正弦穩(wěn)態(tài)電路的無功功率：對任何一個正弦穩(wěn)態(tài)電路，其無功功率為所有電感、電容的無功功率之和。即 Q = QL + QC = 2(WL WC)WL = WL1 + WL2 + + WLmWC

17、= WC1 + WC2 + + WCn無功功率的物理意義：電容和電感之間交換電磁能量，體現(xiàn)在無功功率相互抵消。理想情況下，兩者正好相等（?）。無功功率的單位：為表示區(qū)別，無功功率的單位不是瓦(W)，而是反作用伏安(var，volt ampere reactive)。電路分析基礎第三部分：12-46 10/13xjyPSOQQLQC例12-10 工廠中的感應電機是感性負載，功率因數(shù)較低，為提高功率因數(shù)，可并聯(lián)合適的電容器。設有一220V，50Hz，50kW的感應電機功率因數(shù)為0.5。問（1）使用時電源電流為多少，無功功率 Q 為多少？（2）若并聯(lián)電容器使功率因數(shù)為 1，則電容量為多少，此時電源電

18、流等于多少？解：（1）由有功功率的定義，可得PL = UILcosL ， IL =PLUcosL=500002200.5= 454.55 AQL = UILsinL = UIL 1 cos2L = 220454.550.866 = 86600 var = 86.6 kvar電路分析基礎第三部分：12-46 11/13（2）根據(jù)電容與電感之間無功功率相互抵消的原理，并聯(lián)后電源提供的無功功率為：RCLILICPL =50kW = 0.5IQ = QL + QC = 0， QC = QL = 86.6 kvar = CU2 C = QCU286600=1002202= 5695.4F此時，因 =1，

19、故 P = UI，即I =PU50000220= 227.27 ALUILICIQCQLS 采用相量疊加法更加簡單直接，如右圖所示。電路分析基礎第三部分：12-46 12/13例12-12 電路如圖12-20所示，已知 I1 = 100+j50A，U1 =500+j0 V，I4 = 50j50A，U4 =200+j200V，試求每個元件吸收的無功功率以及整個電路的總無功功率。+1I1234+I2I3I4U1U2+U3U4解：由無功功率的定義，可得Q1 = ImU1(I1)* = Im(500+j0 )(100+j50) = 25 kvarQ4 = ImU4I4* = Im(200+j200 )

20、(50+j50) = 20 kvarQ2 = ImU2(I2)* = Im(U1 U4 )I1* = Im(300j200)(100j50) = 35 kvarQ3 = ImU3I3* = ImU4(I2I4)* = Im(200+j200)(50j100) = 10 kvar Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 25 35 10 + 20 = 0 (為什么？)電路分析基礎第三部分：12-46 13/13例12-13 電路如圖12-21所示，試求每個負載吸收的總復功率，及輸入電流有效值。+I2300V10kW0.8(超前)15kW0.6(滯后)解：由無功功率的定義，可得S1 = S

21、1cosZ1+ jsinZ1由 S = UI得 I =100000.80.8 j 1 0.82 = 10000 j7500 VAS2 = S2cosZ2+ jsinZ2=150000.6= 15000 + j20000 VA0.6 + j 1 0.62 S = S1 + S2 = 25000 + j12500 = 27950.85 26.57 VA=SU27950.852300= 12.15 A電路分析基礎第三部分：第12章 目錄第12章 正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量 三相電路1 基本概念 5 單口網(wǎng)絡的無功功率2 電阻平均功率 6 復功率3 電感、電容的平均儲能 7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳 遞定理4 單口

22、網(wǎng)絡的平均功 8 三相電路 率 功率因數(shù) 電路分析基礎第三部分：12-7 1/212-7 正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理 與第四章中討論的電阻電路最大功率傳遞定理類似，所不同的是所有的量都必須是相量。以圖12-22為例。+Zs+ULZLUsIUsI = =Zs + ZLUs( Rs+RL) + j(Xs+XL)Us( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 I = 負載上得到的有功功率（即負載電阻獲得的功率）為PL = I2 RL = Us2( Rs+RL)2 + (Xs+XL)2 RL目標：選擇 RL和 XL，使 PL 最大。第一步，使分母第二項為零，即XL = Xs ；電路分析基礎第三部分：12-7 2/2PL = Us2 RL( Rs+RL)2 由此可得第二步，令以上關于RL的導數(shù)等于零，或直接引用第四章中的結論，即： RL = Rs 時，負載上獲得的功率最大。此時 PLmax = Us2 RL(2RL)2 =Us2 4RL 總結