離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì)匯總

1、2022-7-51第七章第七章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的 離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì)離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì) 狀態(tài)空間描述的基本概念狀態(tài)空間描述的基本概念 2 2 采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)3 3 采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì)采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì)2022-7-52 狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)上、采狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)上、采用狀態(tài)空間模型對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行描述、分用狀態(tài)空間模型對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行描述、分析和設(shè)計(jì)的方法。用狀態(tài)空間模型能夠分析和設(shè)計(jì)析和設(shè)計(jì)的方法。用狀態(tài)空間模型能夠分析和設(shè)計(jì)多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性、時(shí)變和隨機(jī)系統(tǒng)等復(fù)多

2、輸入多輸出系統(tǒng)、非線性、時(shí)變和隨機(jī)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)，可以了解到系統(tǒng)內(nèi)部的變化情況。并且這雜系統(tǒng)，可以了解到系統(tǒng)內(nèi)部的變化情況。并且這種分析方法便于計(jì)算機(jī)求解。種分析方法便于計(jì)算機(jī)求解。 2022-7-537 71 1 狀態(tài)空間描述的狀態(tài)空間描述的基本概念基本概念1 . 1 . 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 設(shè)連續(xù)的被控對(duì)象的狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)連續(xù)的被控對(duì)象的狀態(tài)空間表達(dá)式 )()()(| )( )()()(00tCxtytxtx tButAxtxtt在在 作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為)(tu tttAttABuetxetx00d)()()()(0)( 其

3、中其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。取取 ， ，考慮到零階保持器的作用，有，考慮到零階保持器的作用，有)(0ttAe kTt 0Tkt)1( )()(kTutx TktkT)1( TkkTTkTATAkTuBekTxeTkTx)1()()(d)()( 則則（5 51 11 1） （5 51 1） （5 51 13 3） （5 51 1） 2022-7-54 TkTt TtATAkTutBekTxeTkTx0)(d)()(作變量置換，令：作變量置換，令： 由此可得系統(tǒng)連續(xù)部分的離散化狀態(tài)空間表達(dá)式由此可得系統(tǒng)連續(xù)部分的離散化狀態(tài)空間表達(dá)式 )()()()()1(kCxkykGuk

4、Fxkx d ,0 TtATAtBeGeF其中：其中：式中：式中： 為為 維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量， 為為 維控制向量，維控制向量， 為為 維輸出向量，維輸出向量， 為為 維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， 為為 維輸入矩陣，維輸入矩陣， 為為 維輸出矩陣。維輸出矩陣。)(kxn)(kum)(kyrFnn Gmn nr C（5 51 1） （5 51 1） （5 51 1） 2022-7-55可用迭代法求得，可用迭代法求得， ) 1() 2() 1 () 0() 1() 1()( ) 2() 1 () 0() 0() 2() 2() 3 () 1 () 0() 0() 1 () 1 () 2()

5、0() 0() 1 (kkkkkxxGuFGuGuFxFGuFxxGuFGuGuFFGuFxxGuFGuFGuFxxGuFxx1kk23210)()0()(kjjkGuFxFx1jkk即：即：以以k k0 0，1 1， 代入式（代入式（5 51 16 6）離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022-7-56離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性 描述的系統(tǒng)，描述的系統(tǒng)，如果存在有限個(gè)控制信號(hào)，如果存在有限個(gè)控制信號(hào)，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。到終態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。 )()()()()1(kCxkykGukFx

6、kx)0(u、) 1 (u ) 1(Nu)0(x)(Nx) 1() 2() 0() 0() 0()(21NNNNNNGuFGuGuFGuFxFx寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式 ) 1() 1 ()0()0()(21NNNNNuuuGGFGFxFx能控性定義：能控性定義：對(duì)于式對(duì)于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，有根據(jù)狀態(tài)方程的解，有2022-7-57則則 、 、 有解的充分必要條件，有解的充分必要條件，也即系統(tǒng)的能控性判據(jù)為也即系統(tǒng)的能控性判據(jù)為 )0(u) 1 (u) 1(Nu G GF FFGFGG G1 1N Nnrank式中式中: :n n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。得到輸出的能控性條件

7、為得到輸出的能控性條件為 rank1r NGCFCFGGC式中式中: : r r 為輸出向量的維數(shù)。為輸出向量的維數(shù)。2022-7-58描述的系統(tǒng)，描述的系統(tǒng)，如果如果能根據(jù)有限個(gè)采樣信號(hào)能根據(jù)有限個(gè)采樣信號(hào)，確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的是狀態(tài)完全能觀的 。 離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性 )()()()()1(kCxkykGukFxkx)0(Y、)(NY)0(x能觀性定義：能觀性定義：對(duì)于式對(duì)于式)1(Y根據(jù)狀態(tài)方程的解，從根據(jù)狀態(tài)方程的解，從0到到 時(shí)刻，各采樣時(shí)刻，各采樣瞬時(shí)的觀測(cè)值為：瞬時(shí)的觀測(cè)值為：)0() 1() 1( )0)

8、 1 () 1 ()0()0(1xCFCxyCFxCxyCxyNNNTN)1( 2022-7-59寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式 )0( ) 1() 1 ()0(1xCFCFCyyyNN則則 有解的充分必要條件，即系統(tǒng)的能觀性判據(jù)為有解的充分必要條件，即系統(tǒng)的能觀性判據(jù)為 )0(xn 1NCFCFCrank式中式中n n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù) 。2022-7-5107 72 2 采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì) 圖圖5 52 2 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器狀態(tài)空間模型按極點(diǎn)配置狀態(tài)空間模型按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器由兩部分組設(shè)計(jì)的控制器由兩

9、部分組成：一部分是狀態(tài)觀測(cè)器，成：一部分是狀態(tài)觀測(cè)器，它根據(jù)所量測(cè)到的輸出它根據(jù)所量測(cè)到的輸出 重構(gòu)出狀態(tài)重構(gòu)出狀態(tài) ；另一部；另一部分是控制規(guī)律，它直接反分是控制規(guī)律，它直接反饋重構(gòu)的狀態(tài)饋重構(gòu)的狀態(tài) ，構(gòu)成，構(gòu)成狀態(tài)反饋控制。狀態(tài)反饋控制。 )(ky)(kx根據(jù)分離性原理，控制器的設(shè)根據(jù)分離性原理，控制器的設(shè)計(jì)可以分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：計(jì)可以分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：一是假設(shè)全部狀態(tài)可用于反饋，一是假設(shè)全部狀態(tài)可用于反饋，按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律；二按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律；二是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)觀測(cè)器。是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)觀測(cè)器。 )(kx2022-7-5111 1 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制

10、規(guī)律 設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為 )()()()() 1(kkkkkCxyGuFxx控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋 )()(kkLxu假設(shè)反饋的是假設(shè)反饋的是被控對(duì)象實(shí)際的全部狀態(tài)被控對(duì)象實(shí)際的全部狀態(tài)x x( (k k) )得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )()() 1(kkxGLFx)()()(zzzxGLFX作作Z Z變換變換 顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0GLFI z圖圖5-3 5-3 狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 2022-7-512如何設(shè)計(jì)反饋控制規(guī)律，如何設(shè)計(jì)反饋控制規(guī)律， 以使閉

11、環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點(diǎn)配置以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點(diǎn)配置 ？ 首先根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的性能要求，找出所期望的閉環(huán)系統(tǒng)控制首先根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的性能要求，找出所期望的閉環(huán)系統(tǒng)控制極點(diǎn)極點(diǎn) ，再根據(jù)極點(diǎn)的期望值，再根據(jù)極點(diǎn)的期望值 ，求得閉環(huán)，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 ), 2 , 1(nizi iz 0)()()(1121 nnnnczzzzzzzzz 反饋控制規(guī)律應(yīng)滿足如下的方程反饋控制規(guī)律應(yīng)滿足如下的方程 )(|zzcGLFI如果被控對(duì)象的狀態(tài)為如果被控對(duì)象的狀態(tài)為 維，控制作用為維，控制作用為 維，則反饋維，則反饋控制規(guī)律為控制規(guī)律為 維，即維，即 中包含中包含 個(gè)元素。個(gè)元素。 nm

12、nm Lnm 2022-7-513例例7-17-1 對(duì)于單輸入系統(tǒng)，給定二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程對(duì)于單輸入系統(tǒng)，給定二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程)(1 . 0005. 0)()(101 . 00)1()1(2121kukxkxkxkx 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律 ，使閉環(huán)極點(diǎn)為，使閉環(huán)極點(diǎn)為L(zhǎng)25. 08 . 02, 1jz 解解 根據(jù)能控性判據(jù)，因根據(jù)能控性判據(jù)，因 21 . 01 . 0015. 0005. 0rankrankFGG所以系統(tǒng)是能控的。期望的閉環(huán)特征方程為所以系統(tǒng)是能控的。期望的閉環(huán)特征方程為 07 . 06 . 1)()(221 zzzzzzzc 設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律設(shè)狀態(tài)反饋

13、控制規(guī)律21llL 2022-7-514取取 ，比較兩邊同次冪的系數(shù)，有，比較兩邊同次冪的系數(shù)，有)()(zzc 7 . 01 . 0005. 016 . 11 . 0005. 022121llll101 l5 . 32 l可得可得：即狀態(tài)反饋控制規(guī)律即狀態(tài)反饋控制規(guī)律為為 5 . 310L01 . 0005. 01)1 . 0005. 02(1005. 0101 . 011001|)(2121221llzllzllzzzGLFI閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 2022-7-5152 2 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器 在實(shí)際工程中，采用全狀態(tài)反饋通常是不現(xiàn)實(shí)在實(shí)際

14、工程中，采用全狀態(tài)反饋通常是不現(xiàn)實(shí)的。常用的方法是設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，由測(cè)量的輸出的。常用的方法是設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，由測(cè)量的輸出值值 重構(gòu)全部狀態(tài)，實(shí)際反饋的只是重構(gòu)狀重構(gòu)全部狀態(tài)，實(shí)際反饋的只是重構(gòu)狀態(tài)態(tài) 。即。即 )(ky)( kx)( )(kkxLu常用的狀態(tài)觀測(cè)器有三種。常用的狀態(tài)觀測(cè)器有三種。 圖圖5-4 5-4 狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖2022-7-516狀態(tài)重構(gòu)誤差的動(dòng)態(tài)性能取決于特征方程根的分布。若狀態(tài)重構(gòu)誤差的動(dòng)態(tài)性能取決于特征方程根的分布。若狀態(tài)重構(gòu)誤差為：狀態(tài)重構(gòu)誤差為： ) 1( ) 1() 1(kkkxxx得狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為：得狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為： )( )()(

15、)( )()() 1(kkCxkkkkkxCKGuxFGuFxx )()(kxKCF 預(yù)報(bào)觀測(cè)器的特征方程：預(yù)報(bào)觀測(cè)器的特征方程： 0KCFI z的特性是快速收斂的，則對(duì)于任何初始誤差的特性是快速收斂的，則對(duì)于任何初始誤差 ， 都將快都將快速收斂到零。因此，只要適當(dāng)?shù)剡x擇增益矩陣速收斂到零。因此，只要適當(dāng)?shù)剡x擇增益矩陣 ，便可獲得，便可獲得要求的狀態(tài)重構(gòu)性能。要求的狀態(tài)重構(gòu)性能。 KCF )0(x)(kxK預(yù)報(bào)觀測(cè)器預(yù)報(bào)觀測(cè)器觀測(cè)器方程觀測(cè)器方程 )( )()()( ) 1( kkykkkxCKGuxFx2022-7-517如果給出觀測(cè)器的極點(diǎn)，可求得觀測(cè)器的特征方程如果給出觀測(cè)器的極點(diǎn)，可求

16、得觀測(cè)器的特征方程 0)()()(1121 nnnnbzzzzzzzzz 為了獲得所需要的狀態(tài)重構(gòu)性能，應(yīng)有為了獲得所需要的狀態(tài)重構(gòu)性能，應(yīng)有 )(bzKCFFzI 通過(guò)比較兩邊通過(guò)比較兩邊z z的同次冪的系數(shù)，可求得的同次冪的系數(shù)，可求得 中的中的n n個(gè)未知數(shù)。個(gè)未知數(shù)。 對(duì)于任意的極點(diǎn)配置，對(duì)于任意的極點(diǎn)配置， 具有唯一解的充分必要條具有唯一解的充分必要條件是對(duì)象是完全能觀的。件是對(duì)象是完全能觀的。 KK2022-7-518現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器觀測(cè)器方程觀測(cè)器方程 ) 1() 1() 1() 1( )()( ) 1( kkkkkkkxCyKxxGuxFx狀態(tài)重構(gòu)誤差為狀態(tài)重構(gòu)誤差為 )

17、1( ) 1() 1(kkkxxx狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：狀態(tài)重構(gòu)誤差方程： ) 1( ) 1() 1(kkkxxx )1()1()1()()( kxCkyKkxkGukFx)( )(kkxxKFCF )(kxKCFF 2022-7-519現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器特征方程：現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器特征方程： 0|KCFFI z為使現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器具有期望的極點(diǎn)配置，應(yīng)有為使現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器具有期望的極點(diǎn)配置，應(yīng)有)(|zzbKCFFI 同理，通過(guò)比較兩邊同理，通過(guò)比較兩邊z z的同次冪的系數(shù)，可的同次冪的系數(shù)，可求得求得K K 中的中的n n個(gè)未知數(shù)。個(gè)未知數(shù)。降階觀測(cè)器降階觀測(cè)器 將原狀態(tài)向量分成兩部分，一部分是可以直將原狀態(tài)向量分成兩

18、部分，一部分是可以直接測(cè)量的接測(cè)量的 ，一部分是需要重構(gòu)的，一部分是需要重構(gòu)的 。)(kxa)(kxb2022-7-520被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程可以分塊表示為被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程可以分塊表示為 )()()()1()1()1(bababbbaabaabakuGGkxkxFFFFkxkxkx )()()() 1()()()() 1(babaaaaabababbbbkkkkkkkkxFuGxFxuGxFxFx即即 )()()()() 1(kkkkkCxyGuFxx比較比較abaaaaabababbb )()()1( )()()( )( )( )(FCkuGkxFkxkykuGkxFkGuFFkxk

19、x 得：得：2022-7-521觀測(cè)器方程觀測(cè)器方程: : )()()() 1(bababbbbkkkkuGxFxFx )()()() 1( babaaaaakkkkxFuGxFxK) 1() 1() 1(bbb kkkxxx )()()(bbabbbkkxxKFF 狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：狀態(tài)重構(gòu)誤差方程： 0|abbb KFFI z降階觀測(cè)器特征方程：降階觀測(cè)器特征方程： 同理，使同理，使 ，通過(guò)比較兩，通過(guò)比較兩邊邊z z的同次冪的系數(shù)，可求得的同次冪的系數(shù)，可求得K K 中的中的n n個(gè)未知數(shù)。個(gè)未知數(shù)。(z)zbabbb| KFFI2022-7-5223 3 按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器按極點(diǎn)配置

20、設(shè)計(jì)控制器 1 1）控制器組成）控制器組成 設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間描述為設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間描述為 kkkkk)()()()() 1(CxyGuFxx控制器由預(yù)報(bào)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制律組成，即控制器由預(yù)報(bào)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制律組成，即 kk kkkkk)( )()( )()()( ) 1( xLuxCyKGuxFx2 2）分離性原理）分離性原理閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 kkkkkk)( )()() 1( )( )() 1(xKCGLFKCxxxGLFxx kkkk)( )() 1( ) 1(xxKCGLFKCGLFxx矩陣形式：矩陣形式： 2022-7-523閉環(huán)系統(tǒng)的特

21、征方程為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 KCGLFKCGLFI zz)( )( 第二列加到第一列KCGLFIKCGLFI zz )( 第二行減去第一行KCGLFIGLFIGLGLFI zzz 0KCFIGLGLFI zz 0)()( zzbc可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的2 2n n個(gè)極點(diǎn)由兩部分組成，一部分是按極個(gè)極點(diǎn)由兩部分組成，一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制規(guī)律給定的點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制規(guī)律給定的n n個(gè)極點(diǎn)，稱為控制極點(diǎn)，另個(gè)極點(diǎn)，稱為控制極點(diǎn)，另一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器給定的一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器給定的n n個(gè)極點(diǎn)，稱個(gè)極點(diǎn)，稱為觀測(cè)器極點(diǎn)。兩部分相互獨(dú)立，可分別設(shè)計(jì)為觀測(cè)器

22、極點(diǎn)。兩部分相互獨(dú)立，可分別設(shè)計(jì) 。 2022-7-5243 3）數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)）數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 )( )(kkxLu代入預(yù)報(bào)觀測(cè)器方程代入預(yù)報(bào)觀測(cè)器方程 kkkkk)( )()()( ) 1( xCyKGuxFx觀測(cè)器與控制規(guī)律的關(guān)系觀測(cè)器與控制規(guī)律的關(guān)系 )()( )() 1( kkkKyxKCGLFx zzzzKKCGLFILYUD1)()()()(得控制器的脈沖傳遞函數(shù)為得控制器的脈沖傳遞函數(shù)為 )()()(1zzzKYKCGLFILU將脈沖傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)將脈沖傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為差分方程，就換為差分方程，就可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器。現(xiàn)

23、數(shù)字控制器。2022-7-525 ，無(wú)阻尼自然頻率，無(wú)阻尼自然頻率 ； 觀測(cè)器極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度比控制極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)器極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度比控制極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度快約衰減速度快約3 3倍。倍。例例7 73 3 設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為 ，采樣，采樣周期周期 ，采用零階保持器，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，采用零階保持器，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，要求：要求：sT1 . 0 )10(10)( sssG6 . 0 4 n 閉環(huán)系統(tǒng)的性能相應(yīng)于二階連續(xù)系統(tǒng)的阻尼比閉環(huán)系統(tǒng)的性能相應(yīng)于二階連續(xù)系統(tǒng)的阻尼比解解 被控對(duì)象的等效微分方程為被控對(duì)象的等效微分方程為 )(10)(10)(tuty

24、ty 定義兩個(gè)狀態(tài)變量定義兩個(gè)狀態(tài)變量 )()( )()(121txtxtytx 2022-7-526則被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)空間表達(dá)式則被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)空間表達(dá)式)(100)()(10010)()()()(2121tutxtxtutxtxtxBA)()(01)()(21txtxttCxy離散狀態(tài)空間表達(dá)式離散狀態(tài)空間表達(dá)式)()()()() 1(kkkkkCxyGuFxx368. 00063. 010)1 ( 1 . 011010TTTeeeAF其中：其中： 632. 0037. 011 . 01 . 0d10100TTTeeTteBGTA01C2022-7-527判斷被控對(duì)象的能控性和能觀性

25、判斷被控對(duì)象的能控性和能觀性 2233. 0632. 0077. 0037. 0rankrankFGG2063. 0101rankrankCFC因此，被控對(duì)象是能控且能觀的。因此，被控對(duì)象是能控且能觀的。根據(jù)能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)根據(jù)能控性判據(jù)和能觀性判據(jù) 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律L 設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 ，對(duì)應(yīng)的特征方程為，對(duì)應(yīng)的特征方程為 21llL 21632. 0037. 0368. 00063. 0100llzzzGLFI)632. 0026. 0368. 0()632. 0037. 0368. 1(21212llzllz 0 2022-7-528

26、根據(jù)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)和特征方程為根據(jù)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)和特征方程為2 . 34 . 2122, 1jsnn 248. 0747. 032. 024. 02, 1jeezjsT )248. 0747. 0()248. 0747. 0()(jzjzzc 0620. 0494. 12 zz由由 ，可得，可得)(zGLFI zc 620. 0632. 0026. 0368. 0494. 1632. 0037. 0368. 12121llll解得解得L L1 12 2，L L2 20.3170.317，即，即 317. 02 L2022-7-529 設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器 選

27、用現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器，設(shè)觀測(cè)器增益矩陣為選用現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器，設(shè)觀測(cè)器增益矩陣為 TkkK 21 現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器的特征方程為現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器的特征方程為 368. 00063. 0101368. 00063. 010021kkzzzKCFFI2211063. 0368. 0063. 0063. 01kzkkkz 0)368. 0368. 0()063. 0368. 1(1212 kzkkz487. 03)24. 0(2, 1 ez依題意：依題意：對(duì)應(yīng)的特征方程為對(duì)應(yīng)的特征方程為0237. 0974. 0)487. 0()487. 0()(2 zzzzzb 2022-7-530解得解得 ， ，即，即 由由 ，可得，可得

28、 )(zzbKCFFI 237. 0368. 0368. 0974. 0063. 0368. 1121kkk356. 01 k603. 02 k T 603. 0356. 0 K 組成控制器組成控制器 )( )()( )()()( ) 1( kk kkkkkxLuxCyKGuxFx317. 02L T 603. 0356. 0 K其中其中 ，。2022-7-5317 73 3 采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì)采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì)針對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)按最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)控制器。針對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)按最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)控制器。 假定被控對(duì)象是線性的，系統(tǒng)性能指標(biāo)是狀態(tài)假定被控對(duì)象是線性的，系統(tǒng)性能指標(biāo)是狀態(tài)和控制的二

29、次型函數(shù)，則系統(tǒng)的綜合問(wèn)題就是尋求和控制的二次型函數(shù)，則系統(tǒng)的綜合問(wèn)題就是尋求允許的控制信號(hào)序列，使性能指標(biāo)函數(shù)最小，這類允許的控制信號(hào)序列，使性能指標(biāo)函數(shù)最小，這類問(wèn)題稱為線性二次型（問(wèn)題稱為線性二次型（Linear QuadraticLinear Quadratic）控制問(wèn)）控制問(wèn)題。如果考慮系統(tǒng)中隨機(jī)的過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲，題。如果考慮系統(tǒng)中隨機(jī)的過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲，且過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲均是具有正態(tài)分布的白噪聲，且過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲均是具有正態(tài)分布的白噪聲，這類問(wèn)題稱為線性二次型高斯（這類問(wèn)題稱為線性二次型高斯（Linear Quadratic Linear Quadratic Gauss

30、ianGaussian）控制問(wèn)題。）控制問(wèn)題。2022-7-532 最優(yōu)控制器也是由兩部分組成，一部分是最優(yōu)控制器也是由兩部分組成，一部分是狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器；另一部分是最優(yōu)控制規(guī)律。狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器；另一部分是最優(yōu)控制規(guī)律。 圖圖55 最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖LQGLQG)( kx 其設(shè)計(jì)也可分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：一是將系統(tǒng)看其設(shè)計(jì)也可分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：一是將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)；二是考慮隨機(jī)的過(guò)程干擾作確定性系統(tǒng)；二是考慮隨機(jī)的過(guò)程干擾 v 和量測(cè)和量測(cè)噪聲噪聲w，設(shè)計(jì)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器。，設(shè)計(jì)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器。2022-7-5331 1 最優(yōu)控制規(guī)律設(shè)計(jì)最優(yōu)控制規(guī)律設(shè)計(jì) 有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

31、有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì) )()() 1(kkkGuFxx )0(0 xx )()()()()()(100 Nk2T1TTkuQkukxQkxNxQNxJ設(shè)連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程為設(shè)連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程為 初始條件初始條件給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)給定二次型性能指標(biāo)函數(shù) 線性二次型最優(yōu)控制的任務(wù)是尋求最優(yōu)控制序列線性二次型最優(yōu)控制的任務(wù)是尋求最優(yōu)控制序列 （k0，1，N1），在把初始狀態(tài)），在把初始狀態(tài)x(0) 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到x(N) 的過(guò)程中，使性能指標(biāo)函數(shù)最小。的過(guò)程中，使性能指標(biāo)函數(shù)最小。 )(ku2022-7-534 求解二次型最優(yōu)控制問(wèn)題可采用變分法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等求解二次型最優(yōu)

32、控制問(wèn)題可采用變分法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等方法。這里采用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃法來(lái)進(jìn)行求解。方法。這里采用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃法來(lái)進(jìn)行求解。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思想是：將一個(gè)多級(jí)決策過(guò)程轉(zhuǎn)變動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思想是：將一個(gè)多級(jí)決策過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼舛鄠€(gè)單級(jí)決策優(yōu)化問(wèn)題，這里需要決策的是控制變?yōu)榍蠼舛鄠€(gè)單級(jí)決策優(yōu)化問(wèn)題，這里需要決策的是控制變量量 （k0，1，N1）。）。令二次型性能指標(biāo)函數(shù)令二次型性能指標(biāo)函數(shù) )(ku )()()()()()(1210NikTTTikkkkNNJuQuxQxxQx )()()()( )()()()()()(1121210 kkkkiiiiNNNikTTTTTuQuxQxuQuxQxxQx ii

33、iiJTTi)()()()(211uQuxQx其中：其中：iN1、N2、0。下面下面從最末一級(jí)往前逐級(jí)求解最優(yōu)控制序列。從最末一級(jí)往前逐級(jí)求解最優(yōu)控制序列。 2022-7-535 NNJTN)()(0 xQx NNNNJJTTNN) 1() 1() 1() 1(211 uQuxQx NNNNNNTTT ) 1() 1() 1() 1()()(210 uQuxQxxQx ) 1() 1( ) 1() 1(0 NNNNTGuFxQGuFx NNNNTT) 1() 1() 1() 1(00 uQuxQx 首先求解首先求解 ，以使，以使 最小。求最小。求 對(duì)對(duì)u (N1) 的的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零：一

34、階導(dǎo)數(shù)并令其等于零： ) 1( Nu NNNNddJTTTTN) 1(2) 1(2) 1(2) 1(2001 uQuFQGxFQGu1 NJ由上式和連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程，有由上式和連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程，有1 NJ2022-7-536 ) 1() 1(0102 NNTT FxQGGQGQu NN) 1() 1( xL進(jìn)一步求得最優(yōu)的控制決策為進(jìn)一步求得最優(yōu)的控制決策為 )()()1(12FNSGGNSGQNLTT )(0QS N其中其中得得 )1()1()1(1 NxNSNxJTN )1()()1()1( NGLFNSNGLFNST )1()1(21 NLQNLQT依次，可求的依

35、次，可求的 、 、 。 )2( Nu)3( Nu)0(u、其中其中2022-7-537計(jì)算計(jì)算 公式歸納：公式歸納： kkk)()()(xLu ) 1() 1()(12FSGGSGQL kkkTT )()()() 1()()(21 kkkkkkTTLQLQGLFSGLFS )(0 NQS 0 , 2, 1NNk最優(yōu)性能指標(biāo)為最優(yōu)性能指標(biāo)為 )0()0()0(minxSxTJ 滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。其中其中 )(ku利用以上公式可以逆向遞推計(jì)算出利用以上公式可以逆向遞推計(jì)算出S S ( (k k) )和和L L ( (k k) )。 2022

36、-7-538無(wú)限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)無(wú)限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為 )()() 1(kkkGuFxx 當(dāng)當(dāng)NN時(shí)，其性能指標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為時(shí)，其性能指標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為 )()()()(021kTTkkkkJuQuxQx其中其中 是非負(fù)定對(duì)稱陣，是非負(fù)定對(duì)稱陣， 是正定對(duì)稱陣。是正定對(duì)稱陣。假定假定F，G是是能控的，且能控的，且F，D是能觀的，其中是能觀的，其中D為能使為能使DTDQ1成立成立的任何矩陣。的任何矩陣。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，最經(jīng)常碰到的是離散定常系統(tǒng)最經(jīng)常碰到的是離散定常系統(tǒng)終端時(shí)間無(wú)限的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)終端時(shí)間無(wú)限的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)

37、題。當(dāng)終端時(shí)間題。當(dāng)終端時(shí)間N N時(shí)，矩時(shí)，矩陣陣S S ( (k k) ) 將趨于某個(gè)常數(shù)，因此將趨于某個(gè)常數(shù)，因此可得到定常的最優(yōu)反饋增益矩可得到定常的最優(yōu)反饋增益矩陣陣L L，便于工程實(shí)現(xiàn)。，便于工程實(shí)現(xiàn)。 0 xx(0)1Q2Q2022-7-539存在，且是與存在，且是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)陣。無(wú)關(guān)的常數(shù)陣。 )() 1() 1() 1() 1()(0112 QSQFSGGSGQGSSFSNkkkkkTTT或或：的解，那么對(duì)于任何非負(fù)定對(duì)稱陣的解，那么對(duì)于任何非負(fù)定對(duì)稱陣 ，有，有0Q0Q設(shè)設(shè)S S ( (k k) )是如下的黎卡堤（是如下的黎卡堤（RiccatiRiccati）方程）方程 )

38、()()()() 1()()() 1() 1()(02112 QSLQLQGLFSGLFSFSGGSGQLNkkkkkkkkkTTTT可以證明有以下幾點(diǎn)結(jié)論：可以證明有以下幾點(diǎn)結(jié)論： ),(lim),(lim NkNkNNSSS2022-7-540 穩(wěn)態(tài)控制規(guī)律穩(wěn)態(tài)控制規(guī)律 kkTTSFGSGGQLLxu12)()()(是使上面性能指標(biāo)函數(shù)是使上面性能指標(biāo)函數(shù)J J極小的最優(yōu)反饋控制規(guī)律，最極小的最優(yōu)反饋控制規(guī)律，最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為 JT)0()0(minSxx 所求得的最優(yōu)控制規(guī)律使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。所求得的最優(yōu)控制規(guī)律使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。 S S是如下的黎卡堤代數(shù)方

39、程是如下的黎卡堤代數(shù)方程 kTTTT1212)()()(QLQLGLFSGLFSSFGSGGQL TTT112)(QFSGSGGQSGSFS或：或：的唯一正定對(duì)稱解的唯一正定對(duì)稱解 。2022-7-541 該結(jié)論說(shuō)明了：當(dāng)滿足上述結(jié)論中所給條件該結(jié)論說(shuō)明了：當(dāng)滿足上述結(jié)論中所給條件時(shí)，最優(yōu)的反饋控制規(guī)律是常數(shù)陣；并且使得閉時(shí)，最優(yōu)的反饋控制規(guī)律是常數(shù)陣；并且使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)該結(jié)論也指出了計(jì)算環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)該結(jié)論也指出了計(jì)算最優(yōu)反饋控制規(guī)律的途徑，它既可以通過(guò)直接黎最優(yōu)反饋控制規(guī)律的途徑，它既可以通過(guò)直接黎卡堤代數(shù)方程求解，也可以通過(guò)迭代法解黎卡堤卡堤代數(shù)方程求解，也可以

40、通過(guò)迭代法解黎卡堤差分方程求得。同時(shí)也可以看出，結(jié)論條件差分方程求得。同時(shí)也可以看出，結(jié)論條件“是是正定對(duì)稱陣正定對(duì)稱陣”可以放寬到可以放寬到“是正定對(duì)稱陣是正定對(duì)稱陣”。2022-7-542例例74 考慮離散系統(tǒng)：考慮離散系統(tǒng)：)()() 1(kukxkGFx)()()(kkkDuCxy其中：3333.991;13600; 0 . 0 ; 0 . 0 ; 0 . 0 5833. 3502132. 0 0 . 0 0843. 0 0 . 0 0 . 0 3581. 02111. 01415. 00 . 0 0 . 0 4635.4050 . 0 4193.156667.9741360049.

41、00 . 0 1937. 0F6667.97413600000G00001C 0D設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，使性能指標(biāo)：設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，使性能指標(biāo)：021)()()()(21kkkkkuQxQxJTT Tu u最小。最小。2022-7-543解解 選選 和和 ， 。通過(guò)通過(guò)MATLABMATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：1111101diagQ11111001diagQ12Q9197. 09961. 03575. 08045. 17398. 01L9224. 09963. 06208. 05601. 80123. 72L0510152000

42、.1Output value y=x1Time(sec)0510152000.811.21.4Output value y=x1Time(sec) (a) (a) 權(quán)矩陣權(quán)矩陣 較小的情況較小的情況 (b) (b) 權(quán)矩陣權(quán)矩陣 較大的情況較大的情況 1Q1Q2022-7-544解解 選選 ， 和和 。通過(guò)通過(guò)MATLABMATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：1111101diagQ102Q12Q8493. 03116. 01252. 06430. 01292. 01L9197. 09961.

43、03575. 08045. 17398. 02L05101520012345control input uTime(sec)0510152000.511.52control input uTime(sec) (a) (a) 權(quán)矩陣權(quán)矩陣 較小的情況較小的情況 (b) (b) 權(quán)矩陣權(quán)矩陣 較大的情況較大的情況 2Q2Q2022-7-5452 2 狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì) 目前有許多狀態(tài)估計(jì)方法，這里介紹目前有許多狀態(tài)估計(jì)方法，這里介紹KalmanKalman濾波器。濾波器。 設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為 )()()()()()() 1(kkkkk

44、kkwCxyvGuFxx其中：其中：x (k)為為n維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量，u (k)為為m維控制向量，維控制向量，y (k)為為r維輸出向量，維輸出向量，v (k)為為n維過(guò)程干擾向量，維過(guò)程干擾向量，w (k)為為r維測(cè)量噪聲維測(cè)量噪聲向量。假設(shè)向量。假設(shè)v (k) 和和w (k) 均為離散化處理后的高斯白噪聲序均為離散化處理后的高斯白噪聲序列，且有列，且有 )()( , 0)(kjTjkEkEVvvv )()( , 0)(kjTjkEkEWwww 0 1jkjkkj設(shè)設(shè)V為非負(fù)定對(duì)稱陣，為非負(fù)定對(duì)稱陣，W為正定對(duì)稱陣，并設(shè)為正定對(duì)稱陣，并設(shè)v (k) 和和w (k) 不相關(guān)。不相關(guān)。1

45、1）KalmanKalman濾波公式的推導(dǎo)濾波公式的推導(dǎo)2022-7-546 由于系統(tǒng)中存在隨機(jī)的干擾由于系統(tǒng)中存在隨機(jī)的干擾v (k)和隨機(jī)的量測(cè)噪聲和隨機(jī)的量測(cè)噪聲w (k)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x (k)也是隨機(jī)向量，也是隨機(jī)向量，y (k)是能夠量測(cè)的輸是能夠量測(cè)的輸出量。若記出量。若記x (k)的估計(jì)量為的估計(jì)量為問(wèn)題：如何根據(jù)輸出量問(wèn)題：如何根據(jù)輸出量y (k) 估計(jì)出估計(jì)出x (k) )( )()(kkkxxx)( kx則：則：為狀態(tài)的估計(jì)誤差，因而為狀態(tài)的估計(jì)誤差，因而 )()()(kkkTxxEP為狀態(tài)估計(jì)的協(xié)方差陣。顯然為狀態(tài)估計(jì)的協(xié)方差陣。顯然P P (

46、(k k) )為非負(fù)定對(duì)稱陣。這里為非負(fù)定對(duì)稱陣。這里估計(jì)的準(zhǔn)則為：根據(jù)量測(cè)量估計(jì)的準(zhǔn)則為：根據(jù)量測(cè)量y y ( (k k) )，y y ( (k k1) 1)，最優(yōu)地，最優(yōu)地估計(jì)出，以使估計(jì)出，以使P P ( (k k) )極?。ㄒ驑O?。ㄒ騊 P ( (k k) )是非負(fù)定對(duì)稱陣，因此可是非負(fù)定對(duì)稱陣，因此可比較其大?。?。這樣的估計(jì)稱為比較其大小）。這樣的估計(jì)稱為最小方差估計(jì)。最小方差估計(jì)。 2022-7-547根據(jù)最優(yōu)估計(jì)理論，最小方差估計(jì)為根據(jù)最優(yōu)估計(jì)理論，最小方差估計(jì)為 kkkk),1(),(| )()(yyxEx 即即x(k)最小方差估計(jì)等于在直到最小方差估計(jì)等于在直到k時(shí)刻的所有量

47、測(cè)量時(shí)刻的所有量測(cè)量y的情的情況下況下x(k)的條件期望。的條件期望。 引入更一般的記號(hào)引入更一般的記號(hào) ),1(),(| )()|( kkjkjyyxEx若若 ，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)過(guò)去時(shí)刻的狀，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)過(guò)去時(shí)刻的狀 態(tài)，稱為內(nèi)插或平滑；態(tài)，稱為內(nèi)插或平滑； ，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)將來(lái)時(shí)刻的狀，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)將來(lái)時(shí)刻的狀態(tài)，稱為預(yù)報(bào)或外推；態(tài)，稱為預(yù)報(bào)或外推； ，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)現(xiàn)時(shí)刻的狀態(tài)，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)現(xiàn)時(shí)刻的狀態(tài)，稱為濾波。稱為濾波。 這里所討論的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題即是指這里所討論的狀態(tài)最

48、優(yōu)估計(jì)問(wèn)題即是指濾波問(wèn)題濾波問(wèn)題。 jk jk jk 2022-7-548引入如下記號(hào)引入如下記號(hào) ) 1|1( ) 1( kkkxx；k k1 1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì) ) 1( ) 1() 1(kkkxxx；k k1 1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差 ) 1() 1() 1(kkkTxxEP；k k1 1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣 ) 1|( kkx； 一步預(yù)報(bào)估計(jì)一步預(yù)報(bào)估計(jì) ) 1|( )() 1|(kkkkkxxx； 一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差) 1|() 1|() 1|( kkkkkkTxxEP；一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差誤差協(xié)方差陣；一步預(yù)報(bào)估計(jì)

49、誤差誤差協(xié)方差陣)|( )( kkkxx同樣，如：同樣，如：；k k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì) 2022-7-549求一步預(yù)報(bào)誤差求一步預(yù)報(bào)誤差 ),1(),(| )() 1|( kkkkkyyxEx ),1(),(| ) 1() 1() 1( kkkkkyyvGuFxE ),1(),(| ) 1(),1(),(| ) 1( kkkkkkyyGuEyyFxE ),1(),(| ) 1( kkkyyvE根據(jù)前面的定義，上式中第一項(xiàng)為根據(jù)前面的定義，上式中第一項(xiàng)為 ， 是輸入到是輸入到控制對(duì)象的確定量控制對(duì)象的確定量 ，因此上式中的第二項(xiàng)為，因此上式中的第二項(xiàng)為 。第三。第三項(xiàng)中項(xiàng)中 、 、均與

50、均與 不相關(guān)，則第三項(xiàng)為零。不相關(guān)，則第三項(xiàng)為零。 ) 1( kxF ) 1( ku) 1( kGu)(ky) 1( ky) 1( ku求得一步預(yù)報(bào)方程為求得一步預(yù)報(bào)方程為 ) 1() 1( ) 1|( kkkkGuxFx2022-7-550根據(jù)上式，可求得根據(jù)上式，可求得一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差為為 ) 1|( ) 1() 1|( kkkkkxxx ) 1() 1( ) 1() 1() 1( kkkkkGuxFvGuFx ) 1() 1( kkvxF可進(jìn)一步求得可進(jìn)一步求得一步預(yù)報(bào)誤差的協(xié)方差陣一步預(yù)報(bào)誤差的協(xié)方差陣為為 ) 1|() 1|() 1|( kkkkkkTxxEP ) 1

51、() 1() 1() 1( kkkkvxFvxFE ) 1() 1() 1() 1( kkkkTTTvxEFFxxEF ) 1() 1() 1() 1( kkkkTTTvEvFxEvF簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為 VFFPPTkkk) 1() 1|(2022-7-551 該估計(jì)器方程具有明顯的物理意義。式中第一項(xiàng)該估計(jì)器方程具有明顯的物理意義。式中第一項(xiàng) 是是 的一步最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)，它是根據(jù)直到的一步最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)，它是根據(jù)直到 時(shí)刻的所時(shí)刻的所有量測(cè)量的信息而得到的關(guān)于有量測(cè)量的信息而得到的關(guān)于 的最優(yōu)估計(jì)。式中第二項(xiàng)的最優(yōu)估計(jì)。式中第二項(xiàng)是修正項(xiàng)，它是根據(jù)最新的量測(cè)信息是修正項(xiàng)，它是根據(jù)最新的量測(cè)信息 對(duì)最優(yōu)

52、預(yù)報(bào)估計(jì)進(jìn)對(duì)最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)進(jìn)行修正。在第二項(xiàng)中行修正。在第二項(xiàng)中 其中其中 稱為狀態(tài)估計(jì)器增益，或稱為狀態(tài)估計(jì)器增益，或KalmanKalman濾波器增益。濾波器增益。設(shè)設(shè)x(k)的最小方差估計(jì)具有如下的形式的最小方差估計(jì)具有如下的形式 ) 1|( )()() 1|( )( kkkkkkkxCyKxx)(kK) 1|( kkx)(kx1 k)(kx)(ky ) 1|( )()( kkkkxCyy是關(guān)于量測(cè)量是關(guān)于量測(cè)量 的一步預(yù)報(bào)估計(jì)。的一步預(yù)報(bào)估計(jì)。)(ky2022-7-552 ) 1|( )() 1|( )() 1|( kkkkkkkkxCyyyy是關(guān)于量測(cè)量的一步預(yù)報(bào)誤差，它包含了最新量測(cè)

53、量的信息。是關(guān)于量測(cè)量的一步預(yù)報(bào)誤差，它包含了最新量測(cè)量的信息。 因此因此x(k)x(k)的最小方差估計(jì)所表示的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)可以看成的最小方差估計(jì)所表示的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)可以看成是一步最優(yōu)預(yù)報(bào)與最新量測(cè)量信息的加權(quán)平均，其中增益矩陣是一步最優(yōu)預(yù)報(bào)與最新量測(cè)量信息的加權(quán)平均，其中增益矩陣 可認(rèn)為是加權(quán)矩陣。從而可認(rèn)為是加權(quán)矩陣。從而問(wèn)題變?yōu)槿绾魏线m地選擇問(wèn)題變?yōu)槿绾魏线m地選擇 ，以獲得的最小方差估計(jì)，即使得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差以獲得的最小方差估計(jì)，即使得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差 )(kK)(kK )( )( )( )()()()( TTkkkkkkkxxxxExxEP 為最小。為最小。 現(xiàn)在的問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

54、現(xiàn)在的問(wèn)題變?yōu)椋簩で髮で?，以使，以使 極小。極小。 )(kK)()()(kkkTxxEP 2022-7-553極小。極小。J J表示表示 的各個(gè)分量的方差之和，因而它是標(biāo)量。的各個(gè)分量的方差之和，因而它是標(biāo)量。 )(kP可以證明，使可以證明，使 極小等價(jià)于使如下的標(biāo)量函數(shù)極小等價(jià)于使如下的標(biāo)量函數(shù) kkJT)()(xxE)(kx由以上公式，由以上公式，可得可得 的狀態(tài)估計(jì)誤差為的狀態(tài)估計(jì)誤差為 )(kx )( )()(kkkxxx ) 1|( )()()() 1|( )( kkkkkkkkxCwCxKxx)()() 1|()() 1|(kkkkkkkwKxCKx )()() 1|()(kkk

55、kkIwKxCK 2022-7-554進(jìn)一步求得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣為進(jìn)一步求得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣為 )()()(kkkTxxEP )()() 1|()()()() 1|()(TkkkkkkkkkkwKxCKIwKxCKIE TTCkkkkkk)() 1|() 1|()(KIxxECKI )()()()(kkkkTTKwEwK )()()() 1|()(kkkkkkTTWKKCKIPCKI 由于由于 與與 不相關(guān)，因此交叉相乘項(xiàng)的期望不相關(guān)，因此交叉相乘項(xiàng)的期望值為零。值為零。 )(kw) 1|( kkx取取 ，使，使 為為 ， 變?yōu)樽優(yōu)?)(kK)(kK)()(kkKK)(kP)()(

56、kkPP2022-7-555)()()(kkkKKKPPP )()()()( )() 1|()()() 1|()( kkkkkkkkkkkkTTTTTKWKWKKKCPCKICKIPCK )()() 1|()( )()() 1|()( kkkkkkkkkkTTTTKWKCPCKIWKCKICPK )()( kRkTTKRK 其中其中 kkkk TWKCPCKIR)() 1|()( 如果如果 能使能使 取極小值，那么，對(duì)于任意的增量取極小值，那么，對(duì)于任意的增量 均應(yīng)有均應(yīng)有 。 )(kK)(kP)(kK0)( kP則必須有則必須有 WKCPCKIR)() 1|()( k-kkkT 0) 1|()() 1|(WCCPKCPTTkkkkk2022-7-556KalmanKalman濾波公式歸納濾波公式歸納 kkkk) 1() 1( ) 1|( GuxFx kkkkkkk) 1|( )()() 1|( )( xCyKxx kkkkkTT1) 1|() 1|()(WCCPCPK kkkTVFFPP) 1() 1|( kkkkkkTT)()()() 1()()(WKKCKIPCKIP)0( x)0(P和和 給定，給定，k k1 1，2 2， 若若KalmanKalman濾波增益矩陣已知，則根據(jù)以上公式遞推計(jì)算出濾波增益矩陣已知，則根據(jù)以上公