數(shù)學(xué)建模5香煙過(guò)濾嘴的作用

1、香煙過(guò)濾嘴的作用香煙過(guò)濾嘴的作用 問(wèn)題問(wèn)題 煙草公司普遍地在香煙尾部裝上一截過(guò)濾嘴，煙草公司普遍地在香煙尾部裝上一截過(guò)濾嘴，但是過(guò)濾嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的但是過(guò)濾嘴的作用有多大，和使用的材料有什么直接的關(guān)系？在這一段中，我們建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)具體討關(guān)系？在這一段中，我們建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)具體討論這個(gè)問(wèn)題。論這個(gè)問(wèn)題。 分析分析 吸煙時(shí)毒物吸入人體的過(guò)程大致為：由于毒物基本上吸煙時(shí)毒物吸入人體的過(guò)程大致為：由于毒物基本上均勻地分布在煙草中，吸煙時(shí)點(diǎn)燃的煙草大部分化為煙均勻地分布在煙草中，吸煙時(shí)點(diǎn)燃的煙草大部分化為煙霧，毒物由煙霧攜帶一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿霧，毒物由煙

2、霧攜帶一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿香煙穿行，在穿行過(guò)程中又部分地被未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)香煙穿行，在穿行過(guò)程中又部分地被未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴吸收而沉淀下來(lái)，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而濾嘴吸收而沉淀下來(lái)，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而沉淀下來(lái)的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時(shí)候又沉淀下來(lái)的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到那里的時(shí)候又通過(guò)煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個(gè)過(guò)程一通過(guò)煙霧部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個(gè)過(guò)程一直到香煙燃燒到過(guò)濾嘴處為止。直到香煙燃燒到過(guò)濾嘴處為止。 在整個(gè)過(guò)程中，原來(lái)分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空在整個(gè)過(guò)程中，原來(lái)分布在煙草中的毒物除了進(jìn)入空氣和被過(guò)濾嘴吸收的一部分外，剩

3、下的全部被人體吸入氣和被過(guò)濾嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人體吸入. 模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 煙草和過(guò)濾嘴的長(zhǎng)度分別是煙草和過(guò)濾嘴的長(zhǎng)度分別是 ，毒素，毒素 （毫克）（毫克）均勻地分布在煙草中，密度為均勻地分布在煙草中，密度為1, l lM01/ .wM l 2. 點(diǎn)燃處的毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿?zé)煵荽┬械臄?shù)量點(diǎn)燃處的毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿?zé)煵荽┬械臄?shù)量比例是比例是:,1. 3. 未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)煙霧穿行的毒物的吸收率未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)煙霧穿行的毒物的吸收率分別是常數(shù)分別是常數(shù), .b 4. 煙草沿香煙穿行的速度是常數(shù)煙草沿香煙穿行的速度是常數(shù) 香煙的燃燒速度香煙的燃燒速度是常數(shù)是常數(shù)

4、 且且 , v. u.vu 將一支煙吸完后毒物進(jìn)入人體的總量記為將一支煙吸完后毒物進(jìn)入人體的總量記為 常識(shí)告常識(shí)告訴我們，量訴我們，量 與過(guò)濾嘴的吸收率、煙草中毒物的初始含與過(guò)濾嘴的吸收率、煙草中毒物的初始含量有關(guān)，因此降低量有關(guān)，因此降低 的含量及降低煙霧在香煙總的穿的含量及降低煙霧在香煙總的穿行速度都是降低吸入量的有效方法。行速度都是降低吸入量的有效方法。,QQQ 模型建立模型建立xxx x1ll q xq xx 設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻 及及 處點(diǎn)燃香煙，為此建立相應(yīng)處點(diǎn)燃香煙，為此建立相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)：吸入毒物量的坐標(biāo)系統(tǒng)：吸入毒物量 由毒物穿過(guò)香煙的流量確由毒物穿過(guò)香煙的流量確定，后者又與毒物

5、在煙草中的密度有關(guān)，為此定義函定，后者又與毒物在煙草中的密度有關(guān)，為此定義函數(shù)：數(shù)：0t 0 x Q 毒物流量毒物流量 表示在時(shí)表示在時(shí)刻刻 時(shí)單位時(shí)間通過(guò)香煙截面時(shí)單位時(shí)間通過(guò)香煙截面 處的毒物量；處的毒物量； ,q x ttx0 xl 毒物密度毒物密度 表示時(shí)刻表示時(shí)刻 截面截面 處單位長(zhǎng)度煙草處單位長(zhǎng)度煙草中的毒物含量。中的毒物含量。,w x ttx 如果知道了流量函數(shù)如果知道了流量函數(shù) ，吸入的毒物流量，吸入的毒物流量 就就是是 處的流量在吸一支煙時(shí)間內(nèi)的總和。即處的流量在吸一支煙時(shí)間內(nèi)的總和。即,q x tQxl下面分下面分4個(gè)過(guò)程來(lái)計(jì)算個(gè)過(guò)程來(lái)計(jì)算 值。值。Q10, / .TQq

6、x t dtTlu 1.在在 瞬間由煙霧攜帶的毒物在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)瞬間由煙霧攜帶的毒物在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)處的數(shù)量處的數(shù)量 由假設(shè)由假設(shè)4 知在香煙點(diǎn)燃處知在香煙點(diǎn)燃處 靜止不動(dòng)。靜止不動(dòng)。0t x,0 ,q x,vu0 x 記記 考察考察 所對(duì)應(yīng)的一段所對(duì)應(yīng)的一段香煙，毒物通過(guò)香煙，毒物通過(guò) 和和 處的流量分別是處的流量分別是 和和 則根據(jù)守恒定律，這兩個(gè)流量之差等于這則根據(jù)守恒定律，這兩個(gè)流量之差等于這一段未點(diǎn)燃的煙草或過(guò)濾嘴的毒物的吸收量，由假設(shè)一段未點(diǎn)燃的煙草或過(guò)濾嘴的毒物的吸收量，由假設(shè)2及及4，有，有 ,0,q xq x, x xx xxx q x,q xx 11 0, bq xxlq

7、 xq xxq xlxl 其中其中 是煙霧穿過(guò)長(zhǎng)度為是煙霧穿過(guò)長(zhǎng)度為 的這一段香煙所需的這一段香煙所需要的時(shí)間，令要的時(shí)間，令 則有微分方程：則有微分方程：xvx0, 101 0lim .xbq xxlq xxq xdqvbdxxq xlxlv 在在 處點(diǎn)燃的煙草單位時(shí)間內(nèi)放出的毒物量記作處點(diǎn)燃的煙草單位時(shí)間內(nèi)放出的毒物量記作0 x 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)1、3、4，則可得微分方程，則可得微分方程2的初始條件為的初始條件為求解微分方程求解微分方程。首先由方程及初始條件。首先由方程及初始條件 00,dqbq xdxvqaH 方程的通解為方程的通解為 再由初始條件得再由初始條件得從而得到方程的解為從而得

8、到方程的解為 ,bxvq xCe0.CaH 0000,.qaHHuw 0, 0.bxvqq xaH exl對(duì)于方程及初始條件對(duì)于方程及初始條件 110,blvdqq xdxvq laH e 同樣可得方程的解為同樣可得方程的解為 1101, .x lblvvq xaH eelxl即方程的解可以表達(dá)為即方程的解可以表達(dá)為 110101 0, .bxvx lblvvaH exlq xaH eelxl 2. 在香煙燃燒的任何時(shí)刻在香煙燃燒的任何時(shí)刻 求毒物在單位時(shí)間內(nèi)通求毒物在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò) 的數(shù)量的數(shù)量, txl,.q l tt 因?yàn)樵跁r(shí)刻因?yàn)樵跁r(shí)刻 時(shí)，香煙燃至?xí)r，香煙燃至 處，記此時(shí)點(diǎn)燃的處，

9、記此時(shí)點(diǎn)燃的煙草在單位時(shí)間放出的毒物量為煙草在單位時(shí)間放出的毒物量為 則則xut ,H t仿仿1可得可得 ,.H tuw ut t 1111 0, .b x utvb lutx lvvaH t exlq x taH t eelxl 3.確定確定,w x t 由于在吸煙過(guò)程中，未點(diǎn)燃的煙草不斷得吸收煙霧中由于在吸煙過(guò)程中，未點(diǎn)燃的煙草不斷得吸收煙霧中的毒物，所以毒物在煙草中的密度的毒物，所以毒物在煙草中的密度 由初始值由初始值逐漸增加。考察煙草截面逐漸增加。考察煙草截面 處在處在 時(shí)間內(nèi)毒物密度的增時(shí)間內(nèi)毒物密度的增量量 根據(jù)守恒定律它等于在單根據(jù)守恒定律它等于在單位長(zhǎng)度煙霧中的毒物被吸收的部分

10、，由假設(shè)位長(zhǎng)度煙霧中的毒物被吸收的部分，由假設(shè)4，則有，則有,w x t0wtx,w x xtw x t ,q x tw x ttw x tbtv 令令 并將并將、代入得方程代入得方程0,t 0,0.b x utvwabuw ut t etvw xw此方程為偏微分方程，該方程的解為此方程為偏微分方程，該方程的解為00,1.,1bxbutabutvvvabutvaw x tweeeaww ut taea其中其中 （由假設(shè)（由假設(shè)2）1.aa 4. 計(jì)算計(jì)算Q 將將代入代入中，得中，得120,.blblbutabutvvvvauwq l teeeea最后將最后將代入代入式作定積分得：式作定積分得：

11、21100,1.blabllvvauwQq l t dteea b 為便于對(duì)結(jié)果的分析，將上式寫(xiě)成為便于對(duì)結(jié)果的分析，將上式寫(xiě)成1211,allvveQaMea blv記記 則則式可寫(xiě)成式可寫(xiě)成 11,ra blerrvr 2.lvQaMer式即是我們需要的最終，該式表達(dá)了吸入量式即是我們需要的最終，該式表達(dá)了吸入量 與與 等因素之間的關(guān)系。等因素之間的關(guān)系。Q,a M21, , , ,l v b l 結(jié)果分析結(jié)果分析 1. 與煙草含毒物量與煙草含毒物量 、毒物隨煙霧沿香煙穿行比例、毒物隨煙霧沿香煙穿行比例 成正比。可以設(shè)想為將毒物成正比?？梢栽O(shè)想為將毒物 集中在集中在 處，則吸處，則吸入量為入量為QMaMxl.aM 2.因子因子 體現(xiàn)了過(guò)濾嘴對(duì)減少毒物進(jìn)入人體的作體現(xiàn)了過(guò)濾嘴對(duì)減少毒物進(jìn)入人體的作用，提高過(guò)濾嘴的長(zhǎng)度用，提高過(guò)濾嘴的長(zhǎng)度 及吸收率及吸收率 降低穿行速度降低穿行速度也可降低吸入量。也可降低吸入量。2lve2,l.v r 3. 因子因子 表示的是未點(diǎn)燃的煙草對(duì)毒物的吸收而起表示的是未點(diǎn)燃的煙草對(duì)毒物的吸收而起到的減少到的減少 的作用。的作用。Q211.2lva blQaMev 根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)有根