線路控制測量中坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一方法

1、線路控制測量中坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一方法第一章概述鐵路、公路、架空送電線路以及輸油管道等均屬于線型工程，它們的中線統(tǒng)稱線路。一條線路的勘測和設(shè)計工作，主要是根據(jù)國家的計劃與自然地理條件，確定線路經(jīng)濟合理的位置。為達此目的，必須進行反復(fù)地實踐和比較，才能湊效。線路在勘測設(shè)計階段進行的控制測量工作，稱線路控制測量，在線路控制測量過程中，由于每條線路不可能距離較短,有的可能跨越一個帶,二個帶甚至更多,所以,在線路控制測量中,長度變形是一個不可避免的問題，但我們可以采取一些措施來使長度變形減弱，將長度變形根據(jù)施測的精度要求和測區(qū)所處的精度范圍控制在允許的范圍之內(nèi)。最有效的措施就是建立與測區(qū)相適應(yīng)的坐標系

2、統(tǒng).坐標系統(tǒng)是所有測量工作的基礎(chǔ).所有測量成果都是建立在其之上的,一個工程建設(shè)應(yīng)盡可能地采用一個統(tǒng)一的坐標系統(tǒng).這樣既便于成果通用又不易出錯.對于一條線路,如果長度變形超出允許的精度范圍,我 們將建立新的坐標系統(tǒng)加以控制.這就涉及到一個非常關(guān)鍵的問題,既,坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一.對于不同的情況,我們可以采用適應(yīng)的方法盡可能建立統(tǒng)一的坐標系統(tǒng),且使其長度變形在允許范圍之內(nèi).本文以公路控制測量為例，詳細論述了線路控制測量中坐標系統(tǒng)的建立與統(tǒng)一方法.第二章 坐標系統(tǒng)的建立當對一條線路進行控制測量時,首先應(yīng)根據(jù)已有資料判斷該測區(qū)是否屬同一投影帶和長度變形是否在允許范圍之內(nèi).這樣我們就可以判斷是否需要建立

3、新的坐標系統(tǒng)和怎樣建立,下面對此進行詳細討論.§2.1 相對誤差對變形的影響與國家點聯(lián)測的情況：我們的每項測量工作都是在地球表面上進行的,而要將實地測量的真實長度歸化到高斯平面上,應(yīng)加入二項改正.這樣就改變了其真實長度,這種高斯投影平面上的長度與地面長度之差,稱之為長度綜合變形,其計算公式為,£=+Ym²*S/2R²-Hm*s/Ra取：R=Ra=6371Km.S=s將其寫成相對變形的形式并代入數(shù)子：£/s=(0.00123y²-15.7H)*10y：測區(qū)中心橫坐標（Km）H：測區(qū)平均高程（Km）依據(jù)我國的工程測量規(guī)范規(guī)定，建立平面控制

4、網(wǎng)的坐標系統(tǒng)應(yīng)該保證長度綜合變形不超過2.5cm/km.（相對變形不超過1/40000）。與國家電聯(lián)側(cè)的情況。2.1.1當長度綜合變形小于2.5cm/km,（相對變形小于1/40000）時因為這時的長度變形符合精度要求,即在允許的誤差范圍之內(nèi),故這時的變形不予考慮。直接采用國家統(tǒng)一的坐標系統(tǒng)。2.1.2當長度綜合變形大于2.5cm/km,（相對變形超過1/40000）時因為這時的長度綜合變形已不符合精度要求，所以必須對變形予以考慮，那么我們要采取何措施才能最大程度地限制變形，將變形控制在允許的范圍之內(nèi)呢?方法就是建立適應(yīng)于該測區(qū)的地方獨立坐標系.§2.2建立地方獨立坐標系2.2.1建

5、立地方獨立坐標系的作用在工程建設(shè)地區(qū)(如公路，鐵路，管線，水庫)布設(shè)測量控制網(wǎng)時,其成果不僅要滿足1:500比例尺測圖需要,而且還應(yīng)滿足一般工程放樣的需要.在線路測量中，最總是要將測的收據(jù)經(jīng)計算在放倒實地而施工放樣時要求控制網(wǎng)由坐標反算的長度與實測的長度盡可能相符,但國家坐標系的成果很難滿足這樣的要求,這是因為國家坐標系每個投影帶（高斯投影）都是按一定的間隔(6°或3°)劃分,由西向東有規(guī)律地分布.而每項工程建設(shè)地區(qū)的中眼再者,國家坐標系的高程歸化面是參考橢球面,各地區(qū)的地面位置與參考橢球面都有一定的距離,這兩項將產(chǎn)生高斯投影變形改正和高程歸化改正,經(jīng)過這兩項改正后的長度不

6、可能與實測的長度相等.建立獨立坐標系的主要目的就是為了減小高程歸化與投影變形產(chǎn)生的影響,將它們控制在一個微小的范圍,使計算出來的長度在實際利用時(如工程放樣)不需要做任何改算.2.2.2建立獨立坐標系主要考慮哪些方面的因素建立獨立坐標系主要考慮兩個方面的因素：一是分帶;一是建立抵償高程面.2.2.2.1分帶方法地球的形狀與大小,即大地水準面的形狀與大小,十分接近一個兩極稍扁的旋轉(zhuǎn)橢球體.我們平常所用的地形圖一般采用高斯投影,即橫軸橢圓柱正形投影.如圖(略), 橢球與橢圓柱面相切的子午線成為中央子午線或軸子午線,即高斯平面直角坐標系的X軸.將中央子午線東西方向一定經(jīng)差(一般為6°或3&

7、#176;)范圍地區(qū)投影到橢圓柱面上再把橢圓柱面按某一棱線展開,便構(gòu)成了高斯平面直角坐標系統(tǒng)。高斯投影中,除中央子午線外,橢球面上上任何兩點投影到橢圓柱面上,兩點間線段的長度均發(fā)生變形，且隨著中央子午線兩側(cè)經(jīng)差的增大，長度變形加劇。為了控制這種長度變形，使它在測圖和用圖時影響很小，在相隔一定地區(qū)另立中央子午線，即采用分帶投影。我國國家測量規(guī)定采用6°帶和3°代兩種分帶辦法。一般地，對于1/250001/100000的地形圖采用6°帶，對于1/10000或更大比例尺的地形圖采用3°帶，同時還規(guī)定每一個6°帶向東加寬30，向西加寬15或7.5，以保

8、證在投影帶的邊緣部分有兩套坐標和地形圖，便于在邊緣部分補點、計算。有些測繪單位為了控制長度變形，滿足工程放樣的需要，往往對1/1000、1/500或更大比例尺的地形圖采用1.5°帶或獨立投影帶。由于采用分帶投影，橢球面上統(tǒng)一的坐標系被分割成相互獨立的坐標系。在公路施工測量中，常常會遇到內(nèi)容完全相同的地形圖中點的坐標不一樣的情況，就是在測圖時采用了不同中央子午線的緣故，需要進行坐標換帶計算。2.2.2.2投影帶的選擇國家坐標系統(tǒng)為了控制長度變形，雖然采用了分帶投影，以滿足測圖的基本要求，但長度變形依然存在，尤其是在投影帶的邊緣，長度變形不能滿足高等級公路勘測和施工的要求。減弱長度變形的

9、辦法是根據(jù)精度要求和測區(qū)所處的精度范圍來選擇中央子午線和投影帶的大小重新確定分帶投影。<<工程測量規(guī)范>>規(guī)定，當長度變形超過1/40000時，必須進行分帶投影。2.2.2.2.1長度變形在高斯投影中，首先要把地面上的長度換算到參考橢球面上，然后再換算到參考橢球面上。設(shè)地面上的長度為S,Hm為平均高程面高程，hm表示大地水準面超出參考橢球面的高度，R表示地面長度方向法截線的曲率半徑，那么，將地面上的長度換算到參考橢球面上的改正數(shù)為：=-當=2000m時，二次項的影響小于10，的影響也很小，可以忽略。因此= - 將參考橢球面上的長度換算到高斯平面上的改正數(shù)為：當<7

10、0km和<350km時（6º帶邊緣），公式誤差小于10m；對于邊長較短的三、四等計算，完全可以只取第一項： 由上面兩式可以看出，兩項改正符號互為相反 。理論上，當兩項改正大小相等時，長度變形為零。即 按式選擇測區(qū)中心點，理論上可以滿足地面距離與高斯平面上的距離保持一致。2.2.2.2.2測區(qū)中心點大地坐標（B,L）的計算設(shè)公路起點坐標為(,),中點坐標為（,）,令已知子午圈弧長公式為對我國采用的克氏橢球來說高斯投影反算公式（高斯投影中由平面直角坐標計算該點在橢球面上的地理坐標的公式）為 計算時尚需將換成。 由公式可計算出點（,）的大地坐標(,)按式計算出,同樣可求出,則新投影的

11、中央子午線為：2.2.2.2.3投影范圍的確定實際上，測區(qū)范圍不是一個理想的水平面，總是高低不平，y值變動有正有負，雖然采用新投影，但殘余變形依然存在。對式、式微分：轉(zhuǎn)換成中誤差的形式：兩項誤差的共同影響為將式帶入并整理得：即為某點相對于測區(qū)中心變動的最大幅度。因此，投影帶的最大寬度為。如果測區(qū)范圍內(nèi)值變動大于，則要進行分帶處理。下面通過實例幫助分析理解這一點。2.2.2.2.4例：從國家3°帶基本圖上查得某高速公路起點坐標為 （3272722，40605050），終點坐標為（3273592，40667890），該測區(qū)為平原微丘，高程變化為170230m，平均海拔高程為200 m，要

12、求測區(qū)內(nèi)長度變形不超過1/15000，試分析是否要進行換帶投影。第一步：分析是否可以直接套用國家坐標系統(tǒng)由已知數(shù)據(jù)計算得：由式、式計算得到長度變形之和為1/5050，超出精度要求范圍，故不能套用國家坐標系統(tǒng)，必須進行換帶投影。第二步：投影帶寬度的確定要求長度變形小于1/15000，按式求得,而測區(qū)內(nèi)值變動為故只需選擇一個投影帶即可。第三步：求測區(qū)中心點的大地坐標由坐標值可知，°。由、按式 、式可計算出：B=29°3430l=1°2433按式求得=50481.68,由、按式 、式可計算出：l=0°3116選取中央子午線的原則是，以靠近國家坐標系統(tǒng)標準投影帶

13、中央子午線的值作為新的投影帶的中央子午線。因此120°5314新的投影帶中央子午線確定后，原國家點坐標要換算到新的坐標系中方能使用。2.2.2.3如何確定抵償高程面我們知道，將實地測量的真實長度歸化到國家統(tǒng)一的橢球面上時，應(yīng)加如下改正數(shù) 式中 長度所在方向的橢球曲率半徑；長度所在高程面對于橢球面的高差；實地測量水平距離。然后再將橢球面上的長度投影至高斯平面,則加入如下改正數(shù) 式中 測區(qū)中點的平均曲率半徑；距離的末端點橫坐標平均值。這樣地面上的一段距離，經(jīng)過上面兩次改正計算，被該改變了真實長度。這種高斯投影平面上的長度與地面長度之差，我們稱之為長度綜合變形，其計算公式為為了計算方便，又

14、不致?lián)p害必要精度，可以將橢球視為圓球，取圓球半徑6371km,又取不同投影面上的同一距離近似相等，即Ss,將上式寫成相對變形的形式，則為 公式表明，將距離由較高的高程面化算至較低的橢球面時，長度總是減小的；公式則表明，將橢球面上的距離化算至高斯平面時，長度總是增加的。所以兩個投影過程對長度變形具有抵償?shù)男再|(zhì)。如果適當選擇橢球的半徑，是距離化算到這個橢球面上所減小的數(shù)值，恰好等于由這個橢球面化算至高斯平面所增加的數(shù)值，那么高斯平面上的距離同實地距離就一致了。這個適當半徑的橢球面，就稱為“抵償改稱面”。欲使長度綜合變形得以抵償，必須將推證式時所用的關(guān)系和數(shù)據(jù)代入，則式中，若以百公里作單位，以m作單

15、位則利用上式可以確定抵償高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影3º帶的坐標,該地平均高程為400m，按式算得即抵償面應(yīng)比平均高程面低650m,如圖1所示。圖1于是抵償面的高程為2.2.3建立地方獨立坐標系的方法建立地方獨立坐標系的方法較多，下面討論幾種可供選擇的方案。討論之前，讓我們先看看長度元素高程歸化改正與高斯投影長度改化計算。一個導(dǎo)線網(wǎng)觀測邊長的歸算可分為高程歸化和長度改化，而方向觀測值也要經(jīng)過方向改化后，才能作為平面的邊與邊之間的連接方向值，但由于其值較小，不作敘述。這里主要看一看高程歸化和長度改化對邊長帶來的影響。將地面上觀測的長度元素歸算到參考橢球面上按以下公式計算：,。

16、式中：為歸化到參考橢球體面上的長度；為地面上的觀測長度；為高程歸算改正；為觀測邊的平均大地高；為觀測邊相對于大地水準面的平均高程；為大地水準面至參考橢球面的距離；為該地區(qū)平均曲率半徑；為參考橢球子午圈曲率半徑；為參考橢球卯酉圈曲率半徑。對于不同的大地高，長度歸算的每千米相對數(shù)值見表1（設(shè)Rm=6370km）。Hm( hm1+hm2)m- Hm Rm101:60萬201:30萬501:10萬1001:6萬1501:4萬2001:3萬3001:2萬4001:1.5萬5001:1.2萬10001:600020001:300030001:200040001:1000表1將橢球面的長度改化到高斯平面的長

17、度按下列公式計算：式中：為改化到高斯平面上的長度；為在參考橢球面上的長度；為在高斯平面上離中央子午線垂距的平均值；為該地區(qū)平均曲率半徑。設(shè)，邊長離中央子午線垂距的相對變形見表2。101:80萬201:20萬301:9萬401:5萬451:4萬501:3萬1001:80001501:36002001:20003001:900表22.2.3.1方法一：把中央子午線移到城市或工程建設(shè)地區(qū)中央，歸化高程面提高到該地區(qū)的平均高程面（嚴格地講，要提高到那個地區(qū)的大地高平均面）。這樣既可以使該測區(qū)的高程歸化改正和中央地區(qū)的投影變形幾乎為零，又可保證在離中央子午線45km 以內(nèi)的地區(qū)其投影變形的相對誤差小于1

18、/4萬。這種獨立坐標系最適合工程建設(shè)區(qū)的需要，因為工程建設(shè)的所轄面積不會太大，東西跨度90km完全可以滿足需要。2.2.3.2方法二：在建立城市獨立坐標系時，上面第一種方法對某些城市不太適合，因為城市獨立坐標系不但要滿足市區(qū)的測圖，而且還要滿足它所管轄郊縣地區(qū)的測圖精度?？缍?0km可能對某些城市來說是不夠的，這就需要利用高程歸化改正和投影變形可以相互抵消的特點，可以把它們結(jié)合起來進行設(shè)計。如果把中央子午線設(shè)在城市中央，而把高程歸化面設(shè)在城市地區(qū)平均高程面以下100m左右的地方，可以算處在城市中央地區(qū)的長度變形小于1/6.4萬，而離開中央子午線各55km左右的距離亦可保證長度綜合變形小于1/4

19、萬。東西110km的跨度一般可以滿足城市及郊縣的測圖精度的需要.2.2.3.3方法三：變動高程歸化面的計算是比較復(fù)雜的，這不僅要計算出新的橢球參數(shù)和一切常數(shù)，而且還要把本地區(qū)國家坐標系控制點（作為獨立坐標系的起算點）轉(zhuǎn)換到新產(chǎn)生的橢球面上，工作量比較大。為了避免這些復(fù)雜的計算，建立新坐標系可以不變動高程歸化面（即還是把長度歸算到國家坐標系的參考橢球面上），而只移動中央子午線的辦法。根據(jù)下式可以計算出中央子午線離開測區(qū)中央地帶的遠近：設(shè)某城市或工程建設(shè)地區(qū)的平均大地高為，則 這就是說將中央子午線設(shè)在西離城市或工程建設(shè)中心50km的地方，可是中央地區(qū)的相對誤差為零。該坐標系控制的最大距離用下式計算

20、：式中：表示相對誤差。設(shè) =1/4萬，則按上面假設(shè)數(shù)據(jù)上例說明，如果那個地區(qū)大地高為200m時，而又不改變高程投影面，只要將中中央子午線設(shè)在西離測區(qū)中央50km的位置，就可以保證在測區(qū)中央東西各距18km范圍內(nèi)，兩項改正之和小于1/4萬。以上兩式可以計算任何地區(qū)獨立坐標系中央子午線的位置及控制的最大范圍。在以上建立地方獨立坐標系的三種方法中：將中央子午線西移一個常數(shù)（如50km），形成縱坐標軸，其橫坐標軸是在赤道處與縱坐標軸垂直相交，如需要亦可向北移動一個常數(shù)。2.2.3.4方法四：選擇“抵償高程面”作為投影面，按高斯正形投影3°帶計算平面直角坐標“抵償高程面”位置的確定方法,上面已

21、作了詳細的論述（見1.2.2.3），此處不再敖敘。抵償面位置確定后，就可以選擇其中一個國家大地點作（原點），保持它在3º帶的國家統(tǒng)一坐標值(,)不變，而將其它大地控制點坐標(,)換算到抵償高程面相應(yīng)的坐標系中去。換算公式為式中，為該地平均緯度處的橢球平均曲率半徑。這樣，經(jīng)過上式換算的大地控制點坐標就可以作為控制測量的起算數(shù)據(jù)。需要時，還可將控制點在獨立坐標系中的坐標，按下式換算成國家統(tǒng)一坐標系中的坐標2.2.3.5方法五：保持國家統(tǒng)一的橢球面作投影面不變，選擇“任意投影帶”，按高斯投影計算平面直角坐標不同投影帶的出現(xiàn)，是因為選擇了不同經(jīng)度的中央子午線的緣故。如果我們合理選擇中央子午線

22、的位置，使長度投影到該投影帶所產(chǎn)生的變形，恰好抵償這一長度投影到橢球面所產(chǎn)生的變形，此時高斯投影平面上的長度仍和實地長度保持一致。我們稱這種抵償長度變形的投影帶為“任意投影帶”。為了確定任意投影帶的中央子午線的位置，需要在公式中引入經(jīng)度查“”。取高斯投影坐標正算公式帶入式，略加變換即得= 7362式中 測區(qū)中心位置的緯度和經(jīng)度；橢球在緯度B處的卯酉圈曲率半徑；測區(qū)的平面高程；經(jīng)度與任意帶的中央子午線經(jīng)度之差。2.2.3.6方法六：選擇平均高程面作投影面，通過測區(qū)中心的子午線作為中央子午線，按高斯投影計算平面直角坐標選擇這種獨立坐標系統(tǒng)的實質(zhì)，在于保證測區(qū)中心處0,0,使得按式計算的0，做到測區(qū)

23、范圍內(nèi)的長度綜合變形為最小。為此，應(yīng)對用作控制測量起算數(shù)據(jù)的國家大地點坐標進行如下處理：（1）利用高投影坐標正反算的方法，將國家點的平面坐標換算成大地坐標()；并由大地坐標計算這些點在選定的中央子午線投影帶內(nèi)的平面直角坐標()。（2）選擇其中一個國家點作為“原點”,保持該點在選定的投影帶內(nèi)的坐標不變，其他國家點按下式將坐標換算到選定的坐標系中去式中符號意義同前。按上式換算的坐標值(x,y)，均可作為控制網(wǎng)的起算數(shù)據(jù)。將方法四、五、六加以比較可以看出：方法四是通過變更投影面來抵償長度綜合變形的，具有換算簡便、概念直觀等優(yōu)點，而且換系后的新坐標與原國家統(tǒng)一坐標系坐標十分接近，有利于測區(qū)內(nèi)外之間的聯(lián)

24、系。方法五是通過變更中央子午線、選擇任意帶來抵償長度綜合變形的，同樣具有換算簡便、概念清晰等優(yōu)點，但是換系后的新坐標與原國家統(tǒng)一坐標系坐標差異很大。方法六使用即改變投影面，又改變投影帶來抵償長度綜合變形的辦法，這種既換面又換帶的方法不夠簡便、不易實行，同時換系后的新坐標與原國家統(tǒng)一坐標系的坐標差異較大，不利于和國家統(tǒng)一坐標系之間的聯(lián)系。*上面詳細講述了建立地方獨立坐標系的六種方法，但是在新建地方獨立坐標系時，如果想變動高程歸化面，這將產(chǎn)生一個新橢球。這就必須計算新橢球常數(shù)。§2.3計算新橢球常數(shù)2.3.4計算新橢球常數(shù)及將控制點的大地坐標轉(zhuǎn)換到地方坐標系新橢球常數(shù)按下列方法和步驟進行

25、。2.3.4.1新橢球是在國家坐標系的參考橢球上擴大形成的，它的扁率應(yīng)與國家坐標系參考橢球的扁率相等。即 第一偏心率和第二偏心率也與國家參考橢球相同；即2.3.4.2計算該坐標系中央地區(qū)的新橢球平均曲率半徑和新橢球長半軸：新橢球平均曲率半徑為：式中：為該地區(qū)平均大地高；為國家參考橢球長半軸；為城市中心地區(qū)的平均緯度。新橢球的長半軸按下式計算：2.3.4.3計算新橢球常數(shù)。新橢球確定后，全部計算工作都要在新橢球面上或者通過新橢球傳算到高斯平面上進行。而其中進行大地坐標的正反算工作是大量的。1997年測繪通報第3起登載了中國測繪科學(xué)研究院顧旦生研究員的“一組高精度橢球面電子計算實用公式”文章，其中

26、有一部分列出了大地坐標正反算公式的全部內(nèi)容，但涉及很多橢球常數(shù)，只有計算出這些新橢球常數(shù)，這組公式才能在地方獨立坐標系中得以應(yīng)用?，F(xiàn)將這些橢球常數(shù)的計算公式列出以供參考：,），其中： ),),), 另一組常數(shù)為：新橢球常數(shù)計算后就可以將屬于國家大地坐標系的起算點轉(zhuǎn)換為地方獨立坐標系。設(shè)某起算點在國家坐標系中的大地坐標為B,L，由于新橢球的球心與舊橢球重合，扁率不變，經(jīng)度不會發(fā)生變化，即其緯度值為：式中：W a為兩橢球的長半軸之差，為國家參考橢球第一偏心率再根據(jù)新布設(shè)的中央子午線，采用高斯投影正算公式可將、化為、,然后對所有觀測數(shù)據(jù)均以新坐標系為準進行化算和平差。如果要將獨立坐標系點的坐標化為國

27、家坐標系，只要根據(jù)高斯投影反算公式計算出、, 然后利用上列公式化為國家坐標系的，再利用高斯投影正算公式并根據(jù)國家坐標系相應(yīng)的中央子午線，即可化為。國家測繪局大地測量數(shù)據(jù)處理中心已編制了一整套建立地方獨立坐標系的軟件，可以供所需單位使用。*前面我們所論述的線路測量中的變形處理及坐標系的建立都是與國家點聯(lián)測時的情況，那么當線路不與國家點聯(lián)測時，又采取什么措施呢？因為這種情況下一般是建設(shè)低等級公路，精度要求很低，這時我們可以建立自由坐標系，不考慮變形。第三章 相鄰帶的坐標換算§1概述當線路較長時 ，線路可能會穿越兩個、三個或更多的投影帶，因為越靠近投影帶的邊緣，高斯投影變形越大，我們必須采

28、取一定的方法對變形加以限制，采取的方法就是通過移動投影帶的中央子午線，將一個投影帶邊緣的線路坐標轉(zhuǎn)換到另一個帶中進行處理計算，從而達到減小變形、將變形控制在允許的范圍之內(nèi)的目的。那么具體該如何處理呢?下面我們將詳細論述并解決這個問題。前面已經(jīng)說過，我國國家測量規(guī)定采用6 º帶和3 º帶兩種分帶辦法 。一般地，對于1/250001/100000的地形圖采用6 º帶，對于1/10000或更大比例尺的地形圖采用3º帶，在實際的線路測量中，我們采用的地形圖一般都是1/10000或更大比例尺的地形圖，所以一般采用3º帶。如圖2所示，是一條線路穿過兩個3&

29、#186;帶的情況（一般情況下一條線路至多穿過兩個帶），因為越靠近投影帶的邊緣長度變形越大，所以，為了減小長度變形，我們向左適當移動2號帶的中央子午線，于是，2號帶邊緣的點通過移動就轉(zhuǎn)到靠近1號帶中央子午線的地方，因為這兩個帶有交叉，所以這兩個帶之間存在著共同的幾何關(guān)系，由這一幾何關(guān)系和相鄰帶的坐標換算就可以計算出該點在1號帶的相應(yīng)坐標，由此，我們實現(xiàn)了減小線路在投影帶邊緣的長度變形和坐標換算的目的，下面，我們詳細論述相鄰帶的坐標換算方法。 圖2§2換算方法該換算法是以大地坐標（）作為過渡，換算方法如下： 3.2.1取已知點的縱坐標，使，用子午弧長公式和逐次趨近法求3.2.2計算緯差

30、經(jīng)差求得后然后按式、式計算緯差、經(jīng)差（見圖3）。圖33.2.3計算地理坐標（）3.2.4計算點在鄰帶的經(jīng)差分別是兩相鄰帶的中央子午線的經(jīng)度，可由已知點坐標前的帶號求得。6º帶：3º帶：我國幅員遼闊，包含了西自75º東至135º范圍內(nèi)的投影帶。所有6º帶的中央子午線都是3º帶的中央子午線。3.2.5計算點在鄰帶的坐標高斯投影正算公式為：求得后，按式計算點在鄰帶的坐標最后，應(yīng)在值上加，前面再加上鄰帶的帶號。2.2.3坐標的換帶計算為了限制高斯投影長度變形，將橢球面按一定經(jīng)度的子午線劃分成不同的投影帶；或者為了抵償長度變形，選擇某一經(jīng)度的子

31、午線作為測區(qū)的中央子午線。由于中央子午線的經(jīng)度不同，使得橢球面上統(tǒng)一的大地坐標系，變成了各自獨立的平面直角坐標系，就需要將一個投影帶的平面直角坐標系，換算成另外一個投影帶的平面直角坐標，稱為坐標換帶。2.2.3. 1坐標換帶的方法坐標換帶有直接換帶計算法和間接換帶計算法兩種。目前采用間接換帶計算法，因此下面僅就此方法作一介紹。如將第一帶（東帶或西帶）的平面坐標換算為第二帶（西帶或東帶）的平面坐標，方法是先根據(jù)第一帶的平面坐標x,y和中央子午線的經(jīng)度L。按高斯投影坐標反算公式求得大地坐標B,L然后根據(jù)B,L和第二帶的中央子午線經(jīng)度按高斯投影坐標正算公式求得在第二帶中的平面坐標 ,。由于在換帶計算

32、中，把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標，因而稱為間接換帶法。這種方法理論上是嚴密的，精度高，而且通用性強，他適用于6°帶與6°帶，3°帶與3°帶，6°帶與3°帶之間的坐標換帶。雖然這種方法計算量較大，但可用電子計算機計算來克服，故已成為坐標換帶中最基本的方法。2.2.3. 2坐標換帶的實際應(yīng)用在生產(chǎn)實踐中通常有以下兩種情況需要換帶計算控制網(wǎng)中的已知點位于相鄰的兩個投影帶中。如圖5（圖5：坐標換帶示意圖）中的附合導(dǎo)線，A,B,C,D為已知高級點。A,B 兩點位于西帶內(nèi)，具有西帶的高斯平面直角坐標值；C,D兩點位于東帶內(nèi)，具有東帶的高斯平面

33、直角坐標值。在坐標平差計算時，就必須將它們的坐標系統(tǒng)統(tǒng)一起來，或是將A,B點的西帶坐標值換算至東帶，或是將C,D點的東帶坐標值換算至西帶。國家控制點的坐標通常是6°帶的坐標，而在工程測量中往往需要采用帶或1.5°帶，這就產(chǎn)生了6°帶與帶或 1.5°帶之間的坐標換算問題。我們知道，帶的中央子午線中，有半數(shù)與6°帶的中央子午線重合。所以，由6°帶到3°帶的換算區(qū)分為2種情況： 3°帶與6°帶的中央子午線重合 如圖所示，3°帶第（圖6：坐標換帶示意圖）41帶與6°第21帶的中央子午線重合。既

34、然中央子午線一致，坐標系統(tǒng)也就一致。所以，圖中P1點在6°帶第21帶的坐標，也就是該點在3°帶第41帶的坐標。在這種情況下，6°帶與3°帶之間，不存在換帶計算問題。 3°帶中央子午線與6°帶分帶子午線不重合如圖所示，若已知P2點在6°帶第21帶的坐標，求它在3°帶第42帶的坐標。由于這2個投影帶的中央子午線不同，坐標系統(tǒng)不一致，必須進行換帶計算。不過P2點在6°帶第21帶的坐標與它在3°第41帶的坐標相同，所以6°帶到3°帶坐標換算，也可看作是3°帶到3°

35、帶的鄰帶坐標換算。換帶計算目前廣泛采用高斯投影坐標正反算方法 ，他適用于任何情況下的換帶計算工作。這種方法的程序是：首先將某投影帶的已知平面坐標(x1,y1 ),按高斯投影坐標反算公式求得其大地坐標（B,L）;然后根據(jù)緯度B和對于所選定的中央子午線的經(jīng)差,按高斯投影坐標正算公式求其在選定的投影帶的平面坐標（x2,y2）。例如，某點A在新54坐標系6°帶的平面坐標為x1=3589644.287y1=20679136.439求A點在3°帶的平面直角坐標（x2,y2）.首先確定A點所在投影帶中央子午線經(jīng)度。由橫坐標的規(guī)定值可以直接判定，A點位于6°帶第20帶，其中央子午

36、線經(jīng)度L。=117°，橫坐標的自然值為y1=679136.493-500000=+179136.439m;該坐標等同于3°帶第39帶的平面坐標。其次將已知的6°帶坐標反算為大地坐標。為此，可直接應(yīng)用坐標反算公式進行計算，其結(jié)果為B=32°2457.6522L=118°5415.2206由大地經(jīng)度L可判斷，A點位于3°第40帶，中央子午線為L。=120°。最后根據(jù)高斯投影坐標正算公式，由已知的緯度B和經(jīng)度計算A點在3°帶第40帶的平面直角坐標，得x2=3588576.591y2=40396922.874其中橫坐標y2

37、為規(guī)定值。2.2.3. 3相鄰帶坐標換算存在的問題及解決方案在具有不同抵償高程面的兩個相鄰?fù)队皫еg進行坐標換帶計算時，由于具有不同的抵償高程面而使一個帶中的坐標換至相鄰帶時使長度變形超線，在線路工程測量中就需要進行精度預(yù)算，從而在進行坐標換帶計算時使長度變形控制在允許的范圍內(nèi)。其基本方法如下：根據(jù)高斯投影長度綜合變形公式 將長度綜合變形容許值1：40000代入上式即可得到下列方程對于已知高程面的測區(qū)，利用該式可以計算出相對變形不超過1：40000的投影帶內(nèi)y坐標的取值范圍，根據(jù)y坐標的取值范圍使在布設(shè)控制導(dǎo)線邊時，使跨帶邊的長度變形在y坐標的取值范圍之內(nèi)，這樣就可以進行換帶計算而不使綜合長度

38、變形超線。其具體解決方案如下：國家統(tǒng)一帶相鄰帶的坐標換算方法：在線路工程中，如果由于線路過長而需要進行相鄰帶的坐標換算，這是就需要對控制點進行精度預(yù)算，從而使換帶計算順利進行。其主要方法如圖：根據(jù)高斯投影長度綜合變形公式 將長度綜合變形容許（圖7：坐標換帶示意圖）值1：40000代入上式即可得到下列方程對于已知高程面的測區(qū)，利用該式可以計算出相對變形不超過1：40000的投影帶內(nèi)y坐標的取值范圍，根據(jù)y坐標的取值范圍使在布設(shè)控制導(dǎo)線邊時使P點處于41帶的擴展區(qū)域內(nèi)，該擴展區(qū)內(nèi)所有的點都滿足精度要求。這樣P點在兩個投影帶中都滿足精度要求同時又利于換帶計算。利用這種方法就可以很方便的進行相鄰帶的坐

39、標換算。帶相鄰帶的換帶計算當國家統(tǒng)一帶不能滿足精度要求時，即如上圖P點在相交處不能達到精度要求時就必須考慮其他方法來解決此問題。由于投影帶劃分的目的是限制高斯投影長度變形，所以可以通過細分投影帶的方法來限制高斯投影長度變形。其方法是：如圖P點，當該點在帶第42帶換算至第41帶時不能滿足精度要求時，就可以通過在原帶的基礎(chǔ)上細劃分為帶從而減少高斯投影長度變形，這樣相鄰帶之間在滿足精度要求的基礎(chǔ)上就有（圖8：坐標換帶示意圖）一部分擴展區(qū)域，在這部分擴展區(qū)域內(nèi)所有的點在相鄰帶都滿足精度要求，這樣就可以用如上1分析的方法進行相鄰帶之間的坐標換算。3 獨立坐標系統(tǒng)的建立在工程建設(shè)地區(qū)(如公路、鐵路、管線)

40、布設(shè)測量控制網(wǎng)時,其成果不僅要滿足1:500比例尺測圖需要，而且還應(yīng)滿足一般工程放樣的需要。在線路測量中，總是要將測得的數(shù)據(jù)經(jīng)計算再放到實地而施工放樣時要求控制網(wǎng)由坐標反算的長度與實測的長度盡可能相符,但國家坐標系的成果很難滿足這樣的要求,這是因為國家坐標系每個投影帶（高斯投影）都是按一定的間隔(6°或3°)劃分,由西向東有規(guī)律地分布.由于每項工程的建設(shè)地區(qū)不同，且國家坐標系統(tǒng)的高程歸化面是參考橢球面,各地區(qū)的地面位置與參考橢球面都有一定的距離,這兩項將產(chǎn)生高斯投影變形改正和高程歸化改正,經(jīng)過這兩項改正后的長度不可能與實測的長度相等。 建立獨立坐標系的主要目的就是為了減小高

41、程歸化與投影變形產(chǎn)生的影響，因此必須將它們控制在一個微小的范圍內(nèi)，使計算出來的長度在實際利用時(如工程放樣)不需要做任何改算。本章就如何建立獨立坐標系統(tǒng)而使其長度變形控制在允許范圍內(nèi)作詳細討論。3.1.1測量投影面與投影帶的選擇3.1.1. 1 有關(guān)投影變形的基本概念平面控制測量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長度變形問題。這種投影變形主要由以下兩方面因素引起：實量邊長歸算到參考橢球體面上的變形影響 (3-1) 其推導(dǎo)過程為：（圖9：實量邊長歸算到參考橢球體面示意圖）由圖知 由上式可得從而可得式中,為歸算邊高出參考橢球面的平均高程；S為歸算邊的長度 ；為實量邊長在參考橢球面上的長度R為歸算邊方

42、向參考橢球法截弧的曲率半徑。歸算邊的相對變形為：(3-2)由公式可以看出： 值與成正比，隨增大而增大。將參考橢球面上邊長歸算到高斯投影面上的變形影響(3-3)式中,，即為投影歸算邊長即，為歸算邊兩端點橫坐標平均值，為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊的相對變形為：(3-4)由公式可以看出：的值總為正，即橢球面上長度歸算至高斯面上，總是增大的，值與成正比而增大，離中央子午線愈遠變形愈大。3.1.1. 2 有關(guān)工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念為便于施工放樣的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與實地量得的邊長，在長度上應(yīng)該相等，即由上述兩項歸算投影改正而帶來的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度

43、要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/50001/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對誤差為1/100001/40000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)，不應(yīng)該大于102.5cm。3.1.1. 3工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點 在滿足精度要求的前提下，為使測量結(jié)果一測多用，應(yīng)采用國家統(tǒng)一帶高斯平面直角坐標系，將觀測結(jié)果歸算至參考橢球面上。即工程測量控制網(wǎng)應(yīng)同國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系；當邊長的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時，為保證測量結(jié)果的直接利用和計算的方便，可采用任意帶的獨立高斯平面直角坐標系，歸算測量結(jié)果的參考面可自己選定

44、。為此可用以下手段實現(xiàn)： 通過改變從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）； 改變從而對中央子午線作適當移動，以抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）； 通過既改變（選擇高程參考面），又改變（移動中央子午線），來抵償兩項歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。3.1.2 投影改正值的變化規(guī)律一般情況下，將投影改正作為常數(shù)看待，不考慮測區(qū)內(nèi)不同位置投影改正值的變化問題。然而在實際情況中，即使在地形比較平坦的地區(qū)或較小范圍的測區(qū)，其影響也是不容忽視的。設(shè)測區(qū)中任一點 k 與測區(qū)中心在東西方向（y軸）上的距離為y，

45、與測區(qū)平均高程的高差為h 。k點的兩項投影改正與測區(qū)中心過平均高程面的改正是不一樣的。3.1.2. 1觀測值化至參考橢球面投影改正值的變化k 點的大地水準面投影改正為：上式中等號右邊的第二項即為橢球面投影改正的變化量，令由上式可知，高差h與投影改正的變化量成正比，隨著h的增大而增大。3.1.2. 2橢球面上的觀測值化至高斯平面投影改正值的變化k點的高斯平面投影改正為：令 上式即為橢球面上的觀測值化至高斯平面投影改正的變化量。由上式可見，若s為常量與y 和兩個變量有關(guān)，其規(guī)律為：當=0時，中央子午線在測區(qū)中心。與成正比關(guān)系，隨著值的增加而增加；與y 成拋物線的關(guān)系，隨著y的增加而增加；當一定時，

46、隨著（y）的值增加，y（）的值急劇減小。3.1.3觀測值化至橢球面上的計算3.1.3. 1預(yù)備計算其內(nèi)容包括水平方向的歸化改正（三差改正）、長度歸化改正和天文方位角歸化為大地方位角的計算。在這些公式中需要有關(guān)邊長的近似大地方位角，為此需進行一些必要的預(yù)備計算工作。 三角形閉合差及測角中誤差的計算計算三角形閉合差的目的是為了計算近似平面歸化角和測角中誤差；而求近似平面歸化角的目的是為求近似坐標方位角和各點的近似坐標做準備。三角形閉合差按下式計算：(3-5)測角中誤差按菲列羅公式計算(3-6)式中w為三角形閉合差（按2-33式計算），n為三角形個數(shù)。 近似坐標計算為計算近似子午線收斂角（為求近似大

47、地方位角用）及方向改化和距離改正，需計算各三角點的近似坐標。坐標的計算有兩種方法：變形戎格公式：(3-7)坐標增量公式：(3-8) 當有兩個已知點坐標時，前式計算較為方便，否則用后式為好。式中為近似平面邊長，由近似邊長計算得到。為近似坐標方位角，由已知的坐標方位角和近似平面角推算得到。近似坐標計算到0.1m（若三四等計算至1m）。高等級控制網(wǎng)要求歸化工作很高精度時，有時需經(jīng)過二次趨近計算近似坐標才能滿足要求（三四等一般只計算一次即可）。 近似子午線收斂角及近似大地方位角的計算計算目的是為了計算近似大地方位角，而計算近似大地方位角的目的是為滿足觀測值歸化至橢球面上的各項計算所需。近似子午線收斂角

48、公式： (3-9)式中 , K和可在測量計算用表中以近似坐標x,y查取。近似大地方位角的計算公式： (3-10)式中抄自近似坐標計算時的近似坐標方位角。 已知數(shù)據(jù)的換算平面直角坐標換算為大地坐標為計算已知點的子午線收斂角和垂線偏差分量，當已知點的起算坐標為高斯投影平面直角坐標x,y時，則應(yīng)將其換算為大地坐標。公式即為高斯投影坐標反算公式（計算過程與前面介紹的完全相同）(3-11) 垂線偏差分量的計算為對水平方向施加垂線偏差改正，必須計算各點的垂線偏差分量。若有測區(qū)范圍的垂線偏差圖，則可根據(jù)各三角點的近似坐標查取，而不必進行該項計算。如無分量圖，應(yīng)視情況采用不同方法進行計算。對有天文觀測資料（天

49、文經(jīng)緯度）的全部三角點，按下式計算：(3-12)對有重力資料的三角點按下式計算：(3-13)將算得的垂線線分別標在圖上，并據(jù)其數(shù)值內(nèi)插描繪的等間隔曲線，則其余控制點的值可在該圖上內(nèi)插得到。將獲得的取至（對于三、四等三角測量，在我國東部平原地區(qū)，當時，可不進行此項計算。）大地水準面差距的計算為將基線長度歸算至參考橢球面以及為了在水平方向中加入標高差改正數(shù)，需計算各點的大地水準面差距。如有大地水準面差距圖，可采用天文水準的方法推求，其公式為：(3-14) 大地水準面差距也可由大地水準面差距圖中查取的。有時在平原地區(qū)由于不大，往往略去該項計算。 三角點上的三角高程計算為了計算三差改正中的“標高差”改

50、正數(shù)，必須要知道各三角點的高程。在沒有幾何水準測定高程的三角點上，可用三角高程方法推求，其公式為：(3-15) 式中為已知點高程，S為兩點間球面邊長， 為觀測的高度角，c為地球曲率半徑和大氣折光差改正數(shù)，及分別為測站點儀器高和照準點標高，為高差改正項，或，當兩點高差小于1000m時，可略去的計算。3.1.3. 2觀測值化至橢球面上的計算觀測方向值歸化改正數(shù)的計算水平方向歸化到橢球面上須在測站平差和歸心改正后的方向值中加入以下三項改正： 垂線偏差改正計算公式為(3-16)計算取至（三、四等三角測量通常不計算，只有當時才考慮的改正，此時取至即可）。 標高差改正計算公式為： (3-17) 式中為照準

51、點的海拔高程，為照準點的大地水準面差距，為標高。按在測量計算用表中查取。算至（三、四等測量時，通常不考慮，但當時，應(yīng)計算改正，計算取至即可）。 由法截弧方向化為大地線方向的改正計算公式為：(3-18) 式中按S和B在測量計算用表中查取。因很小，只有在一等三角測量概算時才計算。三項改正計算后,并取各改正數(shù)的代數(shù)和，然后化算為歸零值，即得到觀測方向值歸化至橢球面上的改正數(shù)。把歸算至標石中心的觀測方向值加上相應(yīng)的歸化改正數(shù)，便獲得歸化到橢球面上的方向值。 基線長度和觀測邊長的歸化改正起算邊長及實測邊長都應(yīng)歸化為橢球面上的大地線長度。歸化公式為 (3-19)式中為邊長歸化改正數(shù)，d為經(jīng)傾斜及歸心改正后

52、的實測邊長，s為橢球面上相應(yīng)的大地線長度，為歸化邊長高出橢球面的平均高程（大地高），R為歸化邊長方向法截弧曲率半徑。起始方位角的化算已知的起始天文方位角或?qū)崪y的天文方位角都必須歸化成橢球面上大地方位角。其計算公式為：(3-20) 式中為觀測的天文方位角，分別為測站點的天文經(jīng)、緯度，為測站點的大地經(jīng)度，為垂線偏差改正。至此，已將地面觀測值都歸化到橢球面。3.1.4橢球面上的觀測值化至高斯平面上的計算為了在平面上進行平差，還必須將橢球面上的觀測值化至高斯平面上，這項工作包括方向改化、距離改化和大地方位角化算為坐標方位角等三項內(nèi)容。3.1.4. 1方向改化的計算為將橢球面上方向值化算到高斯平面上，需

53、計算方向改化用的方向改正數(shù)。公式為：(3-21) 三、四等方向改正計算公式(3-22) 以上兩式，由高斯克呂格計算用表按兩點間平均緯度查取。x,y均抄自近似坐標計算，取至0.1m。方向改化為每個三角形三個內(nèi)角的角度方向改化之代數(shù)和應(yīng)等于該三角形的球面角超的反號，以此作為方向改正數(shù)計算正確性的檢核，不符值應(yīng)在內(nèi)（三、四等應(yīng)在之內(nèi)）。歸零后再加到已歸化至橢球面上的方向值上，于是便得到化算至高斯平面上的方向值（取至，三、四等取至）。3.1.4. 2距離改化計算為把橢球面上大地線的長度化算為高斯平面上的直線長度，需計算距離改化的改正數(shù)，其公式為：(3-23) 其中S為橢球面上大地線長度，D為高斯平面上

54、長度。，以km為單位，抄自近似坐標計算。以為引數(shù)從測量計算用表中查取，以km為單位，距離改化計算值取至1mm。3.1.4. 3大地方位角化算為坐標方位角的計算為在高斯平面上進行坐標計算，要求推求各邊的坐標方位角，為此需把起始大地方位角化算成坐標方位角，計算公式為：式中為大地方位角，為起算點的子午線收斂角，可由起算點的坐標算得，為起始方向的方向改化值。至此，觀測成果及有關(guān)已知數(shù)據(jù)的化算工作已全部結(jié)束。3.2.1抵償投影面的帶高斯正形投影平面直角坐標系這種坐標系仍采用國家?guī)Ц咚拐瓮队埃队暗母叱堂娌挥脜⒖紮E球面而另選用一高程參考面，借以補償因高斯投影帶來的長度變形。在這個高程參考面上，投影長度

55、變形為零。公式（31）表明，將距離由較高的高程面化算至較低的橢球面時，長度總是減小的；公式（33）表明，將橢球面上的距離化算至高斯平面時，長度總是增加的。所以兩個投影過程對長度變形具有抵償?shù)男再|(zhì)。如果恰當選擇橢球的半徑，使距離化算到這個橢球面上所減小的數(shù)值，恰好等于由這個橢球面化算至高斯平面所增加的數(shù)值的話，那么，高斯平面上的距離就同實地的距離一致了。這個適當?shù)臋E球面，就稱之為“抵償高程面”。 欲使長度綜合變形得以抵償，最好是以測區(qū)中心的綜合長度變形為0 ，既= 0 ，也就是保證 ： 。將推導(dǎo)公式 所引用的關(guān)系和數(shù)據(jù)代入，則有式中，若y以百公里為單位，H以米作為單位，則有H = 785 （3-

56、24） 利用上式就可以確定抵償高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影帶的坐標為 y =91 km ，該地區(qū)的平均高程為400 m ，按上式算得：H = 785 =650 m（圖10：以抵償面作投影面示意圖）即抵償面應(yīng)比高程面低650 m 如圖所示： 抵償面的高程應(yīng)為抵償面的位置確定后，就可以選擇其中一個國家控制點作為“原點” ，保持它在國家?guī)?nèi)的國家統(tǒng)一坐標值（ ，）不變，而將其他大地控制點的坐標（X ，Y）換算到抵償高程面相對應(yīng)的坐標系中去，換算公式為： 式中，R為該地區(qū)平均緯度處的橢球平均曲率半徑。這樣，經(jīng)過上式換算的大地控制點坐標就可以作為控制測量的起算數(shù)據(jù)。通過上述方法測得的控制點的局部坐標系中的坐標，可以按下式反算成國家統(tǒng)一坐標系內(nèi)的坐標：可以看出，通過此方法建立的獨立坐標系，其測區(qū)中心的綜合變形為 0 ，但離測區(qū)中心越遠，變形也就越大，抵償面與平均高程面的高差越大，測區(qū)的范圍越小，而由（324）可知，此高差是由測區(qū)中心距帶中央子午線的距離來決定的，也就是說，測區(qū)中心離中央子午線越遠，測區(qū)的范圍也就越小，這些可以由變形相似公式推導(dǎo)出來：而在實際應(yīng)用中的允許值大都為2.5 cm/