多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

1、 第八章第八章 第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 平面曲線的切線與法線平面曲線的切線與法線 已知平面光滑曲線已知平面光滑曲線有有，在點在點)()(00yxxfy 切線方程切線方程0yy法線方程法線方程0yy若平面光滑曲線方程為若平面光滑曲線方程為，0)(yxF，因因)()(ddyxFyxFxyyx有有，故在點故在點)(00yx切線方程切線方程法線方程法線方程)(0yy )(00yxFy，)()(000 xxyxFx，0，)(00 xxxf. )()(100 xxxf.0)()(000y

2、yyxFx，)(00yxFy，)(0 xx 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面過點過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該與切線垂直的平面稱為曲線在該極限極限位置位置. 空間光滑曲線在點空間光滑曲線在點 M 處的處的切線切線為此點處割線的為此點處割線的點的法點的法平面平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停點擊圖中任意點動畫開始或暫停 TM 1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況. )()()(:tztytx ， ，zzzyyyxxx 000，上上述述方方程程之之分分母母同同除除以以t 得得，令令0t 切線方程切線方程.000zzyyxx，對應(yīng)對應(yīng)設(shè)設(shè))(0000zy

3、xMtt ，對應(yīng)對應(yīng))(0000zzyyxxMttt )(0t )(0t )(0t TM M:的的方方程程割割線線MMM)(00 xxt ，不全為不全為，此處要求此處要求0)()()(000ttt 也是法平面的法向量，也是法平面的法向量，切線的方向向量切線的方向向量:稱為曲線的稱為曲線的切向量切向量.)( )(00yyt .0)(00zzt 如個別為如個別為 0，則理解為分子為，則理解為分子為 0 . )()()(000tttT ，T因此得因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進(jìn)向量函數(shù)若引進(jìn)向量函數(shù) ，) )()()()(ttttr 則則 為為 r (t) 的矢端曲線的矢端曲線，處的導(dǎo)

4、向量處的導(dǎo)向量而在而在0t)()()()(0000ttttr ，就是該點的切向量就是該點的切向量.O)(trTM.)1,1,1(,132處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程在點在點求曲線求曲線例例tztytx解解,1,1,1zyx時，時，當(dāng)當(dāng)1t,1 x,2ty ,32tz ,1)1( x,2)1( y,3)1( z切線方程切線方程；312111zyx法平面方程法平面方程,0)1(3)1(2)1(1zyx.0632zyx即即.2sin,cos2法平面方程法平面方程對應(yīng)點處的切線方程和對應(yīng)點處的切線方程和在在，求圓柱螺旋線求圓柱螺旋線例例 kzRyRx，時時當(dāng)當(dāng)2 切線方程切線方程 Rx法平

5、面方程法平面方程xR.022kzkxR即即.002RykRzRxk，即即解解 ， sinRx0Ry，kkz2， cosRy ，kz )0(2kRM，對應(yīng)的切向量為對應(yīng)的切向量為，0)(2kzk，)0(kRT故故xyzoM 空間曲線方程為空間曲線方程為，)()(xzxy ，處處，在在)(000zyxM，)()(100000 xzzxyyxx .0)()()(00000zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：.211216322的的切切線線與與法法平平面面方方程程的的點點處處，在在對對應(yīng)應(yīng)于于：求求曲曲線線例例xxzxy 解解，34zy時，時，當(dāng)當(dāng)21x，為為

6、所以，曲線上的對應(yīng)點所以，曲線上的對應(yīng)點)3421(0M，16)21( y，12)21( z切線方程切線方程；123164121zyx法平面方程法平面方程，0)3(12)4(16)21(1zyx.020124322zyx即即 2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線光滑曲線0)(0)(:zyxGzyxF， 時，時，當(dāng)當(dāng)0)()(zyGFJ)()(xzxy ，xydd曲線上一點曲線上一點)(000zyxM，xyz且有且有xzdd，)()(1xzGFJ ，)()(1yxGFJ 可表示為可表示為處的切向量為處的切向量為 ，MMyxGFJxzGFJ)()(1,)()(11)()(100 xx

7、T ， 000zzyyxxMzyGF),(),(有有，則在點則在點)(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy .0)(0 zz或或，MMMyxGFxzGFzyGFT),(),()()()()(法平面方程法平面方程MzyGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy .0)(0 zz.0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為也可表為.)121(064222方程方程處的

8、切線方程與法平面處的切線方程與法平面，在點在點，求曲線求曲線例例MzyxzyxMzyGF)()(，切線方程切線方程，121zyx解法解法1 ，令令zyxGzyxF222則則即即.0202yzx，切向量切向量，0)()(MxzGFMzy1122Mzy)(2，606xyz6，6)()(MyxGF，)606(T法平面方程法平面方程，0)1(6)2(0)1(6zyx即即.0 zxxxzzxyydddd解法解法2. 方程組兩邊對方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點曲線在點 M(1, , 2, , 1) 處有處有:切向量切向量解得解得11zx

9、，zyxz，zyyx，)101(MMxzxyTdddd1，切線方程切線方程，121zyx即即.0202yzx，法平面方程法平面方程，0)1()1()2(0)1(1zyx即即.0 zx011切向量切向量，)101(MMxzxyTdddd1，0)(:zyxF 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 設(shè)設(shè)有有光滑曲面光滑曲面通過其上定點通過其上定點)(000zyxM，且，且對應(yīng)點對應(yīng)點設(shè)設(shè)Mtt0)()()(000ttt ，切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 不全為不全為 0 . 則則 在在，)()()(:tztytx 點點 M 的切向量為的切向量為任意引一條光滑

10、曲線任意引一條光滑曲線M T下面證明下面證明:此平面稱為此平面稱為 在該點的切平面在該點的切平面. 上過點上過點 M 的任何曲線在該點的切的任何曲線在該點的切線都在同一平面上線都在同一平面上. ，)()()(000tttT 證證上上，在在， )()()(:tztytx ，0) )()()(tttF 處求導(dǎo)，處求導(dǎo)，兩邊在兩邊在0tt ，對應(yīng)點對應(yīng)點注意注意Mtt0)(0t ，0)(000zyxFx，)(000zyxFy，)(000zyxFz，)(0t M T)(0t 得得，)()()(000tttT ，)()()(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令.nT 切切向向量量 由于

11、曲線由于曲線 的任意性，的任意性，表明這些切線都在以表明這些切線都在以n為法向量為法向量的平面上，的平面上，從而切平面存在從而切平面存在 .n)( )(0000 xxzyxFx，曲面曲面 在點在點 M 的的法向量法向量法線方程法線方程. 000zzyyxx)( )(0000yyzyxFy，.0)(0000zzzyxFz，切平面方程切平面方程)(000zyxFx，)(000zyxFy，)(000zyxFz，M Tn，)()()(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)( )(000 xxyxfx，時時， )(yxfz ，zyxfzyxF)()(，則則在在點點)(zyx有有，在點在點曲

12、面曲面有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，在點在點故當(dāng)函數(shù)故當(dāng)函數(shù))()(),(00000zyxyxyxf .1)()(0000000zzyxfyyyxfxxyx，法線方程法線方程，yyfF ，1zF令令特別，特別，當(dāng)光滑曲面當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式的方程為顯式 . )( )(000yyyxfy，0zz，xxfF 切平面方程切平面方程法向量法向量.11cos22yxff ，則則，分分別別記記為為，將將yxyxffyxfyxf)()(0000法向量的方向余弦：法向量的方向余弦： 用用 ， ， 表示法向量的方向角表示法向量的方向角, , 并假定法向并假定法向.為為銳銳角角則則 ，22221cos1co

13、syxyyxxffffff 量方向向上，量方向向上，)1)()(0000yxfyxfnyx.)321(36325222的切平面及法線方程的切平面及法線方程處處，在點在點求橢球面求橢球面例例zyx解解，令令3632)(222zyxzyxF所以球面在點所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有處有:切平面方程切平面方程 )1(2x；03694zyx即即法線方程法線方程.321zyx)2(8y，0)3(18z149法向量法向量，)642(zyxn ，)1882()321(n，000000000zyxyzxxzy.)(60002222相切相切，在點在點與球面與球面使曲面使曲面確定正數(shù)確定正數(shù)例例zyx

14、Mazyxzyx 解解二曲面在點二曲面在點 M 相切，故相切，故0 x，202020zyx又點又點 M 在球面上，在球面上，故故32202020azyx于是有于是有000zyx .333a，)(0000001yxzxzyn ，)(0002zyxn ，21/ nn因此有因此有20y20z2二曲面在二曲面在 M 點的法向量分別為點的法向量分別為1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程切線方程， 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt 1) 參數(shù)式情況參數(shù)式情況. .)()()(:tztytx 空間光滑曲線空間光滑曲線切向量切向量 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(0t )(0

15、t )(0t )( )(00yyt .0)(00zzt ，)()()(000tttT 切線方程切線方程法平面方程法平面方程，MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空間光滑曲線空間光滑曲線0)(0)(:zyxGzyxF， MzyGF),(),(切向量切向量2) 一般式情況一般式情況. .)(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(.0)(0 zz，MMMyxGFxzGFzyGFT),(),()()()()(空間光滑曲面空間光滑曲面，0)(:zyxF 曲面曲面 在點在點法線方程法線方程1) 隱式情況隱式情況 . .的的法向量法

16、向量)(000zyxM，切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線，)()()(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)( )(0000 xxzyxFx，. 000zzyyxx)( )(0000yyzyxFy，.0)(0000zzzyxFz，)(000zyxFx，)(000zyxFy，)(000zyxFz，空間光滑曲面空間光滑曲面， )(:yxfz 切平面方程切平面方程法線方程法線方程2) 顯式情況顯式情況. .法線的方向余弦法線的方向余弦法向量法向量，)1)()(0000yxfyxfnyx.11cos22yxff ，22221cos1cosyxyyxxffff

17、ff .1)()(0000000zzyxfyyyxfxxyx，)( )(000 xxyxfx，. )( )(000yyyxfy，0zz思考與練習(xí)思考與練習(xí).16301633. 1222 相切，求相切，求與橢球面與橢球面如果平面如果平面zyxzyx提示提示: : 設(shè)切點為設(shè)切點為，)(000zyxM則則000226zyx3 301633000zyx 163202020zyx.2 (二法向量平行二法向量平行) (切點在平面上切點在平面上)(切點在橢球面上切點在橢球面上)證明曲面證明曲面)(xyfxz 上任一點處上任一點處的切平面都通過原點的切平面都通過原點.提示提示: 在曲面上任意取一點在曲面上任

18、意取一點，),(000zyxM則通過此則通過此0zz 作業(yè)作業(yè) P45 2，4，6，8，10.)(0 xxxzM，)(0yyyzM2. 設(shè)設(shè) f ( u ) 可微，可微，證明原點坐標(biāo)滿足上述方程證明原點坐標(biāo)滿足上述方程 .點的切平面為點的切平面為練習(xí)與自測練習(xí)與自測 一、一、 客觀題客觀題)1,()(),()()1,1,1()()1,()(. )(),(. 1yxzyxzyxzyxFFDFFFCFFFBFFFAzyxFz的的一一個個法法向向量量為為曲曲面面114121)(114121)(114121)(114121)(. )(1),1,(142. 222zyxDzyxCzyxBzyxAyxz法法線線方方程程為為處處的的在在點點橢橢圓圓拋拋物物面面AB211)(2111)(21111)(1111)(. )(1ln)1sin(. 32zyxDzyxCzyxBzyxAttztytx處處的的切切線線方方程程為為在在對對應(yīng)應(yīng)于于，曲曲線線.1),1,(1. 423stztytx量量處的切向處的切向在點在點，曲線曲線.1),1,(11. 5222處的切平面方程為處的切平面方程為在點在點zyxC)1,2,3(01zyx.),(切切平平面面方方程程和和法法線線方方程程處處的的在在點點求求曲曲面面二二、zxyyx，令令),(zxyyxzyxF解解，則則yyyxFxyxln1，