第九講晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的微觀對稱和分析

1、第九講第九講 晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的微觀對稱和分晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的微觀對稱和分析析 一 平移軸 二 滑移面 三 螺旋軸 四 空間群 五 等效點系 研究研究空間格子空間格子僅僅是研究了晶體結(jié)構(gòu)的僅僅是研究了晶體結(jié)構(gòu)的平平移對稱性移對稱性, ,除了平移對稱外除了平移對稱外, ,晶體結(jié)構(gòu)還有具晶體結(jié)構(gòu)還有具平移、旋轉(zhuǎn)、反映復(fù)合操作性質(zhì)的平移、旋轉(zhuǎn)、反映復(fù)合操作性質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)特有的一些對稱要素；即：晶體的微觀對稱特有的一些對稱要素；即：晶體的微觀對稱分析也要借助于必要的分析也要借助于必要的內(nèi)部結(jié)構(gòu)對稱要素內(nèi)部結(jié)構(gòu)對稱要素 ：一、一、平移軸平移軸為一直線方向，相應(yīng)的對稱變換為為一直線方向，相應(yīng)的對稱變換為沿

2、此直線沿此直線 方向平移一定距離方向平移一定距離。晶體結(jié)構(gòu)中的。晶體結(jié)構(gòu)中的任一行列任一行列都是平移軸。都是平移軸。 平移軸不單獨表示，而是以平移軸不單獨表示，而是以平移群平移群來表征。來表征。 所謂平移群所謂平移群，是指空間格子中，是指空間格子中一切平移軸的集合一切平移軸的集合；用；用空間格子類型空間格子類型來表達。來表達。 所謂所謂空間格子類型空間格子類型，即為在一個晶格中，根據(jù)其，即為在一個晶格中，根據(jù)其對稱特點對稱特點，以不同，以不同的夾角關(guān)系和的夾角關(guān)系和平移距離平移距離，選擇三個，選擇三個不同方向不同方向的的 平移軸平移軸代表該晶格中的代表該晶格中的所有平移軸所有平移軸，即：，即：

3、平移群。平移群。 空間格子空間格子（平行六面體平行六面體）是由從是由從晶格晶格（晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)）中中抽取相當(dāng)點抽取相當(dāng)點構(gòu)成的、能反映該構(gòu)成的、能反映該晶格對稱特點晶格對稱特點的抽象的的抽象的幾何圖形。幾何圖形。 注意：注意：平移軸平移軸平移群平移群空間格子類型空間格子類型相當(dāng)點相當(dāng)點二、滑移面（象移面）二、滑移面（象移面） 一種復(fù)合對稱要素。對稱變化為：對于一個一種復(fù)合對稱要素。對稱變化為：對于一個假想假想平面的反映和沿此平面的某一條直線方向平移平面的反映和沿此平面的某一條直線方向平移的聯(lián)合，的聯(lián)合，其平移的距離等于該方向行列其平移的距離等于該方向行列結(jié)點間距結(jié)點間距的一半。的一半。 例如

4、例如: : NaClNaCl晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu). .示晶體格架示晶體格架. . 滑移面按其滑移的方向和距離可分為滑移面按其滑移的方向和距離可分為a a、b b、c c、n n、d d五種。五種。 其中其中a a、b b、c c為軸向滑移，移距分別為為軸向滑移，移距分別為 1/2a1/2a， 1/2b1/2b，1/2c1/2c。 n n為對角線滑移，移距為對角線滑移，移距為為1/21/2（a+ba+b） or or 1/21/2（b+cb+c） or or 1/21/2（c+ac+a） or 1/2or 1/2（a+b+ca+b+c）等。）等。 d d為金剛石型滑移，移距為為金剛石型滑移，移距為

5、1/41/4（a+ba+b）等。等。n舉例：舉例：三、螺旋軸三、螺旋軸 一種復(fù)合對稱要素。對稱變換為：圍繞一根一種復(fù)合對稱要素。對稱變換為：圍繞一根假想的直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和沿此直線方向平移假想的直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和沿此直線方向平移的聯(lián)合。若螺旋軸用的聯(lián)合。若螺旋軸用n ns s ( (n n為軸次，為軸次，s s為小于為小于n n的自的自然數(shù)然數(shù)) )表示，則對應(yīng)的平移距離為表示，則對應(yīng)的平移距離為(s/n)(s/n)T T（T T為為行列結(jié)點間距）；當(dāng)行列結(jié)點間距）；當(dāng)(s/n(s/n)1/2)1/21/2時為左旋；當(dāng)時為左旋；當(dāng)(s/n(s/n)=1/2)=1/2時為中性。螺旋軸一時為中

6、性。螺旋軸一共有共有 ：2 21 1、3 31 1、3 32 2、4 41 1、4 42 2、4 43 3、6 61 1、6 62 2、6 63 3、6 64 4、6 65 5十一種；十一種； 十一種微觀螺旋軸的表述：十一種微觀螺旋軸的表述：2 21 1中性二次螺旋軸中性二次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線右旋或者左旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋或者左旋180180，再，再 沿直線方向平移沿直線方向平移1/21/2結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。3 31 1右旋三次螺旋軸右旋三次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線右旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋120120，再沿直線方，再沿直線方 向平移向平移1/31/

7、3結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。3 32 2左旋三次螺旋軸左旋三次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線左旋。質(zhì)點圍繞假想直線左旋120120，再沿直線方，再沿直線方 向平移向平移1/31/3結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；或或質(zhì)點圍繞假想直線右質(zhì)點圍繞假想直線右旋旋 120120，再沿直線方向平移，再沿直線方向平移2/32/3結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)4 41 1右旋四次螺旋軸右旋四次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線右旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋9090，再沿直線方向，再沿直線方向 平移平移1/41/4結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。

8、4 42 2中性四次螺旋軸中性四次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線右旋或者左旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋或者左旋9090，再沿，再沿 直線方向平移直線方向平移1/21/2結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。4 43 3左旋四次螺旋軸左旋四次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線左旋。質(zhì)點圍繞假想直線左旋9090再沿直線方向平再沿直線方向平 移移1/41/4結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；或或質(zhì)點圍繞假想直線右旋質(zhì)點圍繞假想直線右旋9090, , 再沿直線方向平移再沿直線方向平移3/43/4結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。6 61 1右旋右旋6 6次螺旋軸次螺旋軸。

9、質(zhì)點圍繞假想直線右旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋6060, ,再沿直線方向平移再沿直線方向平移1/61/6 結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。6 62 2右旋右旋6 6次螺旋軸次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線右旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋6060, ,再沿直線方向平移再沿直線方向平移1/31/3 結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。6 63 3中性中性6 6次螺旋軸次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線右旋或者左旋。質(zhì)點圍繞假想直線右旋或者左旋6060, ,再沿直線方再沿直線方 向平移向平移1/21/2結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。6 64 4左旋左旋6 6次螺旋軸

10、次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線左旋。質(zhì)點圍繞假想直線左旋6060, ,再沿直線方向平移再沿直線方向平移1/31/3 結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；或或質(zhì)點圍繞假想直線右旋質(zhì)點圍繞假想直線右旋6060, ,再沿直線再沿直線方方 向平移向平移2/32/3結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。6 65 5左旋左旋6 6次螺旋軸次螺旋軸。質(zhì)點圍繞假想直線左旋。質(zhì)點圍繞假想直線左旋6060, ,再沿直線方向平移再沿直線方向平移1/61/6 結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)；或或質(zhì)點圍繞假想直線右旋質(zhì)點圍繞假想直線右旋6060, ,再沿直線再沿直線方方 向

11、平移向平移5/65/6結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。結(jié)點間距即有相同質(zhì)點重復(fù)。舉例：舉例：4 41 1 意為按右旋方向旋轉(zhuǎn)意為按右旋方向旋轉(zhuǎn)9090度后移距度后移距1/4 T1/4 T；而；而4 43 3意為意為按右旋方向旋轉(zhuǎn)按右旋方向旋轉(zhuǎn)9090度后移距度后移距3/4 T3/4 T。那么，。那么， 4 41 1和和4 43 3是什么關(guān)是什么關(guān)系？系？4 43 3在旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)2 2個個9090度后移距度后移距2 23/4 T=1T+1/2T3/4 T=1T+1/2T，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)3 3個個9090度后度后移距移距3 33/4 T=2T+1/4T3/4 T=2T+1/4T。T T的整數(shù)倍移距相當(dāng)于平移

12、軸，可的整數(shù)倍移距相當(dāng)于平移軸，可以剔除，所以，以剔除，所以， 4 43 3相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)270270度移距度移距1/4T1/4T，也即反向旋，也即反向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9090度移距度移距1/4T 1/4T 。所以，所以，4 41 1和和4 43 3是旋向相反的關(guān)系。是旋向相反的關(guān)系。1/41/23/403/41/21/404143四、空間群四、空間群n 空間群空間群為晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有對稱要素的集合。為晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有對稱要素的集合。n 空間群空間群亦稱之為亦稱之為費德洛夫群費德洛夫群（FedrovFedrov group group）或）或圣佛利斯群圣佛利斯群（SchoenfliesScho

13、enflies group group） n經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得知經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得知空間群空間群一共有一共有230230種種。n每一個每一個空間群空間群均有均有兩部分兩部分組成：組成：平移群平移群（格子類型格子類型）+ +點群點群（由（由微觀對稱要素微觀對稱要素組成）組成） 由于由于微觀對稱要素微觀對稱要素是無窮多的，因此，在表征是無窮多的，因此，在表征點群點群的時候，就的時候，就不可能不可能像表征宏觀對稱要素一樣采取像表征宏觀對稱要素一樣采取羅列法羅列法，而只能而只能選取代表方位選取代表方位的對稱要素來表征，這就要的對稱要素來表征，這就要必須采用必須采用國際符號國際符號。 因為微觀對

14、稱要素的因為微觀對稱要素的組合組合關(guān)系也同樣關(guān)系也同樣遵循遵循對稱要素對稱要素的的組合定理組合定理，因此，我們同樣可以根據(jù)選取代表方位的對，因此，我們同樣可以根據(jù)選取代表方位的對稱要素，經(jīng)過組合定理的稱要素，經(jīng)過組合定理的推導(dǎo)推導(dǎo)，將該晶體結(jié)構(gòu)中的，將該晶體結(jié)構(gòu)中的所有對所有對稱要素稱要素都推導(dǎo)出來。都推導(dǎo)出來。 在確定在確定空間群的國際符號空間群的國際符號時，各晶系規(guī)定的選取代時，各晶系規(guī)定的選取代表方位表方位同前所述同前所述（參見見（參見見趙教材趙教材P56P56表表7-187-18）。）。空間群空間群P42/mmm的投影，如圖所示：的投影，如圖所示： 空間群與對稱型的關(guān)系主要表現(xiàn)為空間群

15、與對稱型的關(guān)系主要表現(xiàn)為： （1）晶體的宏觀對稱受微觀對稱控制；即：）晶體的宏觀對稱受微觀對稱控制；即：微觀對稱性決定宏微觀對稱性決定宏 觀對稱性觀對稱性。（2）宏觀對稱要素宏觀對稱要素是相應(yīng)微觀對稱要素的是相應(yīng)微觀對稱要素的集合反映集合反映；即：；即： 內(nèi)部構(gòu)造中同方向的內(nèi)部構(gòu)造中同方向的一組滑移面一組滑移面反映在外形上為反映在外形上為一個對稱面一個對稱面 ，同方向的，同方向的一組螺旋軸一組螺旋軸反映在外形上為反映在外形上為一個對稱軸一個對稱軸。 （3）宏觀對稱要素宏觀對稱要素是有限的，均相交于一點，不具有平移性質(zhì)是有限的，均相交于一點，不具有平移性質(zhì) ，用，用對稱型對稱型表征；而表征；而微

16、觀對稱要素微觀對稱要素是無限的，具有平移的性是無限的，具有平移的性 質(zhì)，用質(zhì)，用空間群空間群表征。表征。（4）微觀對稱要素微觀對稱要素除包括宏觀對稱要素外，還有自己特有的對除包括宏觀對稱要素外，還有自己特有的對 稱要素稱要素平移軸、象移面和螺旋軸平移軸、象移面和螺旋軸。 （5）由于）由于微觀對稱要素微觀對稱要素具有具有平移的性質(zhì)平移的性質(zhì)，決定了其，決定了其組合方式組合方式由由 32種對稱型增加到種對稱型增加到230種空間群種空間群 。五、等效點系五、等效點系 （一）基本概念：（一）基本概念： 等效點系等效點系是指：晶體結(jié)構(gòu)中由是指：晶體結(jié)構(gòu)中由一原始點一原始點經(jīng)空間群中經(jīng)空間群中所有對稱要素

17、操作所推導(dǎo)出來的所有對稱要素操作所推導(dǎo)出來的規(guī)則點系規(guī)則點系。等效點系等效點系與與空間群空間群的關(guān)系的關(guān)系，相當(dāng)于相當(dāng)于單形單形與與對稱型對稱型（點群）（點群）的關(guān)系的關(guān)系。 在在晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)中，中，質(zhì)點按等效點系質(zhì)點按等效點系分布，分布，同種質(zhì)點同種質(zhì)點占占據(jù)據(jù)一套或幾套一套或幾套等效點系，等效點系，不同種質(zhì)點不能占據(jù)同一套等不同種質(zhì)點不能占據(jù)同一套等效點系效點系。 思考思考：晶體結(jié)構(gòu)中的：晶體結(jié)構(gòu)中的質(zhì)點質(zhì)點相當(dāng)點相當(dāng)點等效點等效點（二）理解：（二）理解： 1. 晶體結(jié)構(gòu)中的晶體結(jié)構(gòu)中的所有質(zhì)點所有質(zhì)點都是由空間群聯(lián)系起來的都是由空間群聯(lián)系起來的等效點等效點 系系。若晶體結(jié)構(gòu)由。若晶體

18、結(jié)構(gòu)由同種質(zhì)點同種質(zhì)點組成，則該質(zhì)點可以是組成，則該質(zhì)點可以是一套等效點一套等效點 系系，這就好比是由，這就好比是由一個單形構(gòu)成的晶體一個單形構(gòu)成的晶體；該同種質(zhì)點也可以分；該同種質(zhì)點也可以分 屬屬不同的等效點系不同的等效點系，這就好比是由，這就好比是由兩個以上同種單形構(gòu)成的晶兩個以上同種單形構(gòu)成的晶 體體（聚形聚形）；若晶體結(jié)構(gòu)由）；若晶體結(jié)構(gòu)由不同種質(zhì)點不同種質(zhì)點組成，則不同種質(zhì)點必組成，則不同種質(zhì)點必 定定分屬不同的等效點系分屬不同的等效點系，這就好比由，這就好比由多種不同單形聚合多種不同單形聚合的晶體的晶體. 2. 相當(dāng)點相當(dāng)點是從晶體結(jié)構(gòu)中按是從晶體結(jié)構(gòu)中按一定條件抽取一定條件抽取的

19、點，用以的點，用以構(gòu)成構(gòu)成反映該晶體結(jié)構(gòu)對稱特點的反映該晶體結(jié)構(gòu)對稱特點的空間格子空間格子（平行六面體平行六面體）的）的抽象抽象點點，其抽取條件是：，其抽取條件是：質(zhì)點種類相同，物質(zhì)環(huán)境質(zhì)點種類相同，物質(zhì)環(huán)境（指周圍質(zhì)點指周圍質(zhì)點分布分布）相同，幾何環(huán)境相同，幾何環(huán)境（指（指周圍質(zhì)點分布的距離和方位周圍質(zhì)點分布的距離和方位）相相同同；因此，；因此，一組相當(dāng)點一組相當(dāng)點一定屬于一定屬于一組等效點系一組等效點系，而，而一組等效一組等效 點系點系不一定屬于一組相當(dāng)點，可能包括不一定屬于一組相當(dāng)點，可能包括多組相當(dāng)點多組相當(dāng)點。 3. 同一同一晶體結(jié)構(gòu)中晶體結(jié)構(gòu)中按不同種質(zhì)點按不同種質(zhì)點抽取的相當(dāng)點所

20、構(gòu)成的抽取的相當(dāng)點所構(gòu)成的空間空間 格子格子（平行六面體平行六面體）相同相同。（三）晶體結(jié)構(gòu)分析的步驟和方法（三）晶體結(jié)構(gòu)分析的步驟和方法： 1. 抽取抽取相當(dāng)點相當(dāng)點，從而確定，從而確定平移群平移群（格子類型格子類型）；）； 2. 根據(jù)根據(jù)格子類型格子類型，判定，判定晶體常數(shù)特點晶體常數(shù)特點，從而確定所屬，從而確定所屬晶系晶系； 3. 根據(jù)根據(jù)晶系晶系，選取代表，選取代表方位方位，找出代表方位的，找出代表方位的對稱要素對稱要素，從，從 而構(gòu)成而構(gòu)成點群的國際符號點群的國際符號； 4. 將將平移群平移群（格子類型）（格子類型）符號符號與與點群國際符號點群國際符號連寫，組成連寫，組成空空 間群國際符號間群國際符號；5.分析分析一個單位晶胞中有幾組一個單位晶胞中有幾組等效點系等效點系。一般來說，。一般來說，不同質(zhì)不同質(zhì) 點點必然屬于必然屬于不同等效點系不同等效點系；而；而相同質(zhì)點相同質(zhì)點可能可能不止一組等效不止一組等效 點系點系，如赤銅礦、金紅石、金剛石，關(guān)鍵是按