2013年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析（二輪）：專題10

1、高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱明確指出:數(shù)學(xué)學(xué)科的考試,按照“考查根底知識(shí)的同時(shí),注重考查能力.“以能力立意命題,這是近幾年來(lái)高考數(shù)學(xué)題遵循的原那么與命題指導(dǎo)思想,將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體,全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和考生進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能,考查考生的數(shù)學(xué)根本能力應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,表達(dá)?課程標(biāo)準(zhǔn)?中對(duì)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等目標(biāo)的要求.能力主要指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).【高考中的空間想象能力】空間想象能力指的是:能根據(jù)條件作出正確的圖形,根據(jù)圖形想象出直觀形象;能正確地分析出圖形中根本

2、元素及其相互關(guān)系;能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合;會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問(wèn)題的本質(zhì). 近幾年來(lái),立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定,一般有“1大2小,題目難易適中,解答題常常立足柱體、錐體、臺(tái)體等幾何體中位置關(guān)系的證明和夾角、距離的求解,而選擇題、填空題又經(jīng)常研究空間幾何體的幾何特征和幾何體積、外表積的求解.熱點(diǎn)一:圖形處理立體幾何是研究空間圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科,因此解答立體幾何問(wèn)題時(shí),正確理解空間圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,充分借助圖形的直觀性所提供的信息,常常有助于探尋問(wèn)題的求解思路,優(yōu)化問(wèn)題的解答過(guò)程.對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標(biāo)志,是高考

3、從深層次上考查空間想象能力的主要方面.【解析】由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是一個(gè)上面為正四棱錐下面是一個(gè)圓柱的組合體,故其俯視圖為B.【答案】B (2021年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試)一個(gè)幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同,均為右圖所示,那么其俯視圖可能是( )【歸納拓展】以空間三視圖為背景,考查常見組合體的體積、外表積和空間想象能力,是近年來(lái)熱點(diǎn)題型.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住三視圖之間的關(guān)系,平常在生活中要多多觀察身邊的實(shí)物都是由什么幾何形體構(gòu)成的,以及它們的三視圖的畫法. 熱點(diǎn)二:概念與推理的結(jié)合立體幾何就是通過(guò)概念、公理、定理等來(lái)演繹的,對(duì)概念的理解是解決立體幾何的根底.因此,理解概念的

4、本質(zhì),能夠根據(jù)概念,畫出圖形,通過(guò)圖形直觀來(lái)思考,分解出解題的元素,從而進(jìn)行推理與運(yùn)算,提高空間想象能力.假設(shè)a,那么ab;假設(shè)ab,那么a;假設(shè)b,那么;假設(shè),那么b.(A).(B).(C).(D).(山東省濰坊市2021年高三第二次模擬考試)兩條直線a、b,與兩個(gè)平面、,b,那么以下命題中正確的選項(xiàng)是( )【解析】由b且a,可得ab,正確;又由b且ab,得a或a,故不正確;由b且b,可得,正確;由b且,得b或b,故不正確.【答案】A【歸納拓展】線面平行、垂直問(wèn)題是高考備考的重點(diǎn).從解決“平行與垂直的有關(guān)根本問(wèn)題著手,熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能,掌握解決問(wèn)題的規(guī)律充分利用線線平行(垂直)、線

5、面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想,以提高推理論證、空間想象能力.(1)證明:BDPC;(2)假設(shè)AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30,求四棱錐P-ABCD的體積. (2021年湖南)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.【解析】(1)因?yàn)镻A平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又ACBD,PA,AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.(2)如圖,設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O,連結(jié)PO,由(1)知,BD平面PAC,所以DPO是直線PD和平面PAC所成的角,從而D

6、PO=30.由BD平面PAC,PO平面PAC,知BDPO.在RtPOD中,由DPO=30,得PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形,ACBD,所以AOD,BOC均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為AD+BC=(4+2)=3,于是梯形ABCD的面積為S=(4+2)3=9.在等腰三角形AOD中,OD=AD=2,所以PD=2OD=4,PA=4.故四棱錐P-ABCD的體積為V=SPA=94=12.【歸納拓展】此題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積的計(jì)算.熱點(diǎn)三:折展問(wèn)題對(duì)于空間想象力的考查雖然已從幾何思想方法向代數(shù)計(jì)算方法轉(zhuǎn)化,但不可否認(rèn)立體幾何對(duì)于空間想象能力的訓(xùn)練

7、是向量這一工具所無(wú)法取代的.因此,折展與剪拼題就承擔(dān)起了這一重要使命,它能很好地考查空間想象能力、動(dòng)手操作能力、探究能力和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力.(1)假設(shè)Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ平面A1EF;(2)求證:A1EEP.(2021年北京市東城區(qū)高三一模)如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E,F,P分別為AB,AC,BC上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面EFB,連結(jié)A1B,A1P(如圖2).【解析】(1)取A1E中點(diǎn)M,連結(jié)QM,MF. 在A1BE中,Q,M分別為A1B,A1E的中點(diǎn),所以 QMBE,且QM=BE. 因?yàn)?,

8、所以PFBE,且PF=BE,所以QMPF,且QM=PF.所以四邊形PQMF為平行四邊形.所以PQFM.又因?yàn)镕M平面A1EF,且PQ平面A1EF,所以PQ平面A1EF.(2)取BE中點(diǎn)D,連結(jié)DF.因?yàn)锳E=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2,而A=60,即ADF是正三角形. 又因?yàn)锳E=ED=1, 所以EFAD.所以在圖2中有A1EEF.因?yàn)槠矫鍭1EF平面EFB,平面A1EF平面EFB=EF,所以A1E平面BEF,又EP平面BEF,所以A1EEP.【歸納拓展】把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體,再研究其性質(zhì),是考查空間想象能力的常用方法,所以幾何體的展開與折疊是高考的一個(gè)熱點(diǎn).此類問(wèn)題,通

9、過(guò)動(dòng)手操作,把幾何體折疊或展開,由平面問(wèn)題向立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化,通過(guò)折疊前后的邊角的“不變與“變,判斷所給問(wèn)題的答案.(2021年福建)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為棱DD1上的一點(diǎn).(1)求三棱錐A-MCC1的體積;(2)當(dāng)A1M+MC取得最小值時(shí),求證:B1M平面MAC.【解析】(1)由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1知,AD平面CDD1C1,點(diǎn)A到平面CDD1C1的距離等于AD=1,又=CC1CD=21=1,=AD=.(2)將側(cè)面CDD1C1繞DD1逆時(shí)針轉(zhuǎn)90展開,與側(cè)面ADD1A1共面,如圖,當(dāng)A1,M,C共線時(shí),A1M+MC取得最小值.由AD

10、=CD=1,AA1=2,得M為DD1中點(diǎn).連結(jié)C1M,在C1MC中,MC1=,MC=,CC1=2,C=M+MC2,得CMC1=90,即CMMC1,又由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1知,B1C1平面CDD1C1,B1C1CM.又B1C1C1M=C1,CM平面B1C1M,得CMB1M;同理可證:B1MAM,又AMMC=M,B1M平面MAC.【歸納拓展】沿著幾何體外表形成的折線的最短問(wèn)題,一般考慮幾何體的平面展開圖.熱點(diǎn)四:探究性問(wèn)題由于立體幾何中的探究性問(wèn)題, 描述的是動(dòng)態(tài)的過(guò)程,結(jié)果具有隱藏性或不唯一性,需要嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化,能夠很好地考查學(xué)生的空間想象能力、探究能力,因此它是命題的熱點(diǎn).解決在

11、立體幾何中的探究性問(wèn)題主要有探究條件型、探求結(jié)論型、探究存在型,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是合理利用空間概念進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化.(海南省瓊海市2021屆高考一模)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:PFFD;(2)判斷并說(shuō)明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG平面PFD.【解析】(1)(法一)設(shè)PA=x,因?yàn)镻A平面ABCD,且AD,AF平面ABCD,所以PAAD,PAAF.所以PD2=AD2+PA2=4+x2,FD2=CF2+CD2=12+12=2,PF2=PA2+AF2=x2+AB2+BF2=x2+12+12=x2+2

12、,所以FD2+PF2=2+2+x2=4+x2=PD2,所以PFFD.(法二)連結(jié)AF,那么AF=,DF=,又AD=2, DF2+AF2=AD2,DFAF,又PA平面ABCD, DFPA,又PAAF=A,PFFD.(2)線段PA上存在點(diǎn)G,且AG=AP,使得EG平面PFD.(法一)如圖,取AD的中點(diǎn)Q,連結(jié)BQ,那么可證得BQFD,再取AQ的中點(diǎn)H,那么因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),所以EHBQ,所以EHFD,且有AH=AD,再過(guò)點(diǎn)H作HGDP交PA于點(diǎn)G,那么HGPD,且AG=AP,平面EHG平面PFD,EG平面PFD.從而滿足AG=AP的點(diǎn)G即為所求.(法二)如圖,延長(zhǎng)AB、DF交于點(diǎn)H,連結(jié)PH;再

13、過(guò)E在平面APB中作EGPH交PA于G,那么EG平面PFD.因?yàn)镕是BC的中點(diǎn),所以BF=AD.又因?yàn)锽FAD,所以HB=BA,而E是AB的中點(diǎn),所以AE=AH,所以AG=AP.【歸納拓展】立體幾何中的存在性問(wèn)題,常是先假設(shè)“假設(shè),假設(shè)經(jīng)推理無(wú)矛盾,那么假設(shè)成立;假設(shè)推出矛盾,那么結(jié)論為“不存在.其中分析法或反證法是解這類題常用的方法.總結(jié):高考中的空間想象能力考查的主要題型有:(1)以空間幾何體為載體設(shè)置有關(guān)線線、線面、面面關(guān)系的證明題,有關(guān)空間角或空間距離的計(jì)算題.此類問(wèn)題需要有較強(qiáng)的邏輯推理能力與運(yùn)算能力,在高考中為必考題,且屬于中檔題.(2)以空間幾何體為載體設(shè)置有關(guān)軌跡、排列組合、函

14、數(shù)圖象等與代數(shù)方面綜合的試題,此類試題屬于創(chuàng)新題,一般以選擇題或填空題為主.解答此類題主要依靠空間想象能力及知識(shí)遷移能力和邏輯推理能力,是一種“多想少寫的試題,應(yīng)該在平時(shí)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.【高考中的抽象概括能力】抽象概括能力離不開思維,是一種數(shù)學(xué)思維能力,是人腦和數(shù)學(xué)思維對(duì)象、空間形式、數(shù)量關(guān)系等相互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)的能力,是高層次的數(shù)學(xué)思維能力.抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性,揭示其本質(zhì)屬性;概括是指把僅僅屬于某一類對(duì)象的共同屬性區(qū)分出來(lái)的思維過(guò)程.抽象和概括是相互聯(lián)系的,沒有抽象就不可能有概括,而概括必須在抽象的根底上得出某種觀點(diǎn)或某個(gè)結(jié)論.高考中對(duì)抽象概括能力

15、的考查要求是:對(duì)具體的、生動(dòng)的實(shí)例,在抽象概括的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì);從給定的大量信息材料中,概括出一些結(jié)論,并能應(yīng)用于解決問(wèn)題或作出新的判斷.高考主要從數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)模式與數(shù)學(xué)模型等方面對(duì)抽象概括能力進(jìn)行考查,可以涉及高考中的每個(gè)試題.熱點(diǎn)一:從數(shù)學(xué)語(yǔ)言方面對(duì)抽象概括能力的考查數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言,在高考中主要集中用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言,并輔以圖形語(yǔ)言,呈現(xiàn)試題內(nèi)容,其考查的重點(diǎn)是文字語(yǔ)言,并要求考生能夠根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行三種形式語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+)上為增函數(shù),且f(1)=0,那么不等式0的解集為( )(A)(-1,0)(1,+).(B)(-,

16、-1)(0,1).(C)(-,-1)(1,+).(D)(-1,0)(0,1).【解析】f(x)為奇函數(shù),f(x)-f(-x)=2f(x),0等價(jià)于0 (k=1,2,20),集合B=(a,b)|aA,bA,且ab,那么集合B中的元素至多有( )(A)210個(gè).(B)200個(gè).(C)190個(gè).(D)180個(gè).【解析】不妨設(shè)a1a2a20,那么當(dāng)a=a1時(shí),b=a2,a3,a20,有19個(gè);當(dāng)a=a2時(shí),b=a3,a4,a20,有18個(gè);依次類推, 當(dāng)a=a19時(shí),b=a20,有1個(gè).故集合B中的元素至多有19+18+1=190.【答案】C【歸納拓展】?jī)?nèi)容的高度抽象是數(shù)學(xué)的主要特征之一,此題的解決就

17、是在正確理解抽象的集合語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的前提下,將問(wèn)題具體化、熟悉化.熱點(diǎn)二:從數(shù)學(xué)模式、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)方法方面對(duì)抽象概括能力進(jìn)行考查不管是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,還是單純解數(shù)學(xué)題,都離不開把問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法進(jìn)行比較分類,抽象概括出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式,然后利用這種結(jié)構(gòu)形式來(lái)熟練地解決同類型的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,ABC=90,E、F分別為AA1、C1B1的中點(diǎn),沿棱柱的外表從E到F的最短路徑的長(zhǎng)度為.【解析】把平面A1ABB1與平面B1BCC1展開到同一平面內(nèi),如圖:A1E=AA1=1,A1F=A1B1+B1F=,所以EF=;把A

18、1B1C1與側(cè)面A1B1BA展開如下圖:連結(jié)EF,過(guò)E作EMBB1于M,那么EM=AB=,FM=1+,所以EF=;假設(shè)把A1B1C1與側(cè)面A1ACC1展開如圖:連結(jié)EF,過(guò)E作EMCC1于M,作FDEM于D點(diǎn),那么ED=,FD=,所以EF=.比較可得,最小值為.【答案】 【歸納拓展】沿著幾何體外表形成的折線的最短問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模式與方法往往是將幾何體展開成平面圖,利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段最短.(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;(2)假設(shè)g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)設(shè)函數(shù)h(x)=x2-mx+4,當(dāng)a=2時(shí),假設(shè)x1(0,1),x21,2,總有g(shù)(x1

19、)h(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f(x)=,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.(湖南省衡陽(yáng)市2021屆高三六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ln x-,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中aR.(2)g(x)=ax-5ln x,g(x)的定義域?yàn)?0,+),g(x)=a+-=,因?yàn)間(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),所以x(0,+),g(x)0ax2-5x+a0a(x2+1)5xaamax,而=,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以a.(3)當(dāng)a=2時(shí),g(x)=2x-5ln x,g(x)=,由g(x)=0得x=或x=2,當(dāng)x(0,)時(shí),g(x)0;當(dāng)x(,1)

20、時(shí),g(x)0.所以在(0,1)上,g(x)max=g()=-3+5ln 2,而“x1(0,1),x21,2,總有g(shù)(x1)h(x2)成立等價(jià)于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在1,2上的最大值,而h(x)在1,2上的最大值為maxh(1),h(2),所以有 m8-5ln 2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是8-5ln 2,+).【歸納拓展】此題深入考查對(duì)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解,通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置從數(shù)學(xué)模式與數(shù)學(xué)方法上考查抽象概括能力.總結(jié):對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)模式、數(shù)學(xué)模型的抽象概括.抽象與概括是形成概念的思維過(guò)程和科學(xué)方法,只有經(jīng)過(guò)抽象與概括才能使人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)由感性轉(zhuǎn)化為理性.【高考中

21、的推理論證能力】推理是思維的根本形式之一,也是學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式,它由前提和結(jié)論兩局部組成.論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論正確的一連串的推理過(guò)程.推理既包括演繹推理,也包括合情推理.論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法,也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜測(cè),再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明.高考對(duì)推理能力的考查歷來(lái)以演繹推理為重點(diǎn),新課標(biāo)下的高考,更關(guān)注以歸納和類比推理為主的合情推理,考查觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括能力;注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言、普通語(yǔ)言的理解和運(yùn)用;注意思維品質(zhì)的考查.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,求證:

22、對(duì)任意的nN+,Sn+1-4an都為定值.【解析】(1)an+1=2an+2n,-=.數(shù)列是以=為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.(陜西師大附中2021屆高考模擬)在數(shù)列an中,a1=1,且對(duì)任意的nN+,都有an+1=2an+2n.(2)由(1)知=+(n-1)=,an=n2n-1.Sn=120+221+322+n2n-1.2Sn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n.由-可得Sn=n2n-(1+2+22+2n-1)=(n-1)2n+1.Sn+1-4an=n2n+1+1-4n2n-1=1,故結(jié)論成立.【歸納拓展】此題直接從條件出發(fā),根據(jù)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求和,進(jìn)行

23、一系列的化簡(jiǎn),到達(dá)解決問(wèn)題的目的.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)x-1,1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到x軸的距離不小于.試證明你的結(jié)論.【解析】(1)f(x)=3x2-3a-3a,+),對(duì)任意mR,直線x+y+m=0都不與y=f(x)相切,-1-3a,+),-1-3a,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1;當(dāng)0a時(shí),f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表: x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)極大值2a極小值-2af(x)在(0,)上遞減,在(,1)上遞增, 注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)時(shí),g(x)=-f(x),x(,1)時(shí),g(x

24、)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),由f(1)=1-3a及0a,解得0a,此時(shí)-f()f(1)成立.g(x)max=f(1)=1-3a.由-f()=2a及0a,解得a,此時(shí)-f()f(1)成立.g(x)max=-f()=2a.在x-1,1上至少存在一個(gè)x0,使得|f(x0)|成立. (法二:反證法)假設(shè)在x-1,1上不存在x0,使得|f(x0)|成立,即x-1,1,|f(x)|恒成立,設(shè)g(x)=|f(x)|,那么g(x)在x-1,1上是偶函數(shù),x0,1時(shí),|f(x)|max,當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)在0,1上單調(diào)遞增,且f(0)=0,g(x)=f(x),g(x)ma

25、x=f(1)=1-3a與a0矛盾;當(dāng)0a時(shí),f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表: f(x)在(0,)上遞減,在(,1)上遞增, 注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)時(shí),g(x)=-f(x),x(,1)時(shí),g(x)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)極大值2a極小值-2a注意到0a,由:得矛盾,得矛盾,x-1,1,|f(x)|與a0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線焦點(diǎn),直線y=x截拋物線C所得弦|ON|=4.(2)顯然直線l的斜率一定存在,設(shè)其方程為y=kx+1,l與x軸交于M(-,0),設(shè)直線l交拋物線

26、于A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0,x1+x2=4k,x1x2=-4.又由=a,得(x1+,y1)=a(-x1,1-y1),即a=-,同理有b=-,a+b=-(+)=-(2+)=-1,對(duì)任意的直線l,a+b為定值-1.【歸納拓展】此題主要考查直線與拋物線等根底知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力及探究能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.總結(jié):高考中思維能力型問(wèn)題的常見考查類型有:(1)運(yùn)用演繹推理求解型.演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā),運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算,得出特殊事實(shí)應(yīng)遵循的規(guī)律,即從一般到特殊.它是由普遍性的前提推

27、出特殊性結(jié)論的一種推理.(2)運(yùn)用歸納推理求解型.根據(jù)一類事實(shí)對(duì)象具有的性質(zhì),推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì),它是從特殊到一般的過(guò)程,屬于合情推理的一種.(3)運(yùn)用聯(lián)想類比求解型.根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似(或一致)性,推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理,也是合情推理的一種.(4)運(yùn)用直覺思維求解型.直覺思維就是具有意識(shí)的人腦由于思維的高度活動(dòng),對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)及規(guī)律的直接領(lǐng)悟和整體把握.【高考中的運(yùn)算求解能力】數(shù)學(xué)中的運(yùn)算能力,是指根據(jù)運(yùn)算定義及其性質(zhì)從數(shù)據(jù)及算法式推導(dǎo)出結(jié)果的一種綜合能力.運(yùn)算能力具體表現(xiàn)在三個(gè)方面:會(huì)根據(jù)概念、公式和法那么對(duì)數(shù)、式和

28、方程進(jìn)行正確的運(yùn)算和變形;能分析條件,尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),并能進(jìn)行近似計(jì)算.中學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)算包括數(shù)的計(jì)算,式的恒等變形,方程和不等式同解變形,初等函數(shù)的運(yùn)算和求值,各種幾何量的測(cè)量與計(jì)算,求數(shù)列和函數(shù)、積分、概率、統(tǒng)計(jì)的初步計(jì)算等.?高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?對(duì)高中階段運(yùn)算求解能力作了明確要求,而高考命題對(duì)運(yùn)算求解能力的考查主要是針對(duì)算法、推理及以代數(shù)運(yùn)算的.無(wú)論是選擇題、填空題,還是解答題,均要考查運(yùn)算求解能力的準(zhǔn)確性、敏捷性、靈活性和合理性.當(dāng)然,高考試題大多考查的是運(yùn)算的通性、通法,且控制在一定的運(yùn)算難度范圍之內(nèi).(1)求A的大小;(2)求sin B+sin

29、C的最大值.【解析】(1)由,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=-,A=120.在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊,且2asin A=(2a+c)sin B+(2c+b)sin C.(2)由(1)得:sin B+sin C=sin B+sin(60-B)=cos B+sin B=sin(60+B),故當(dāng)B=30時(shí),sin B+sin C取得最大值1. 【歸納拓展】此題需要把正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行運(yùn)算. (廣東省韶關(guān)市

30、二模)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且S1,2S2,3S3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an+n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,(法一)假設(shè)q=1,那么S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=1022S2,與矛盾,故q1,從而得Sn=,由S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,得S1+3S3=22S2,即1+3=4,解得q=.所以an=a1qn-1=()n-1.(法二)由S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,得S1+3S3=22S2,那么a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2),整理得3a3=a2,所以=,

31、即q=.所以an=a1qn-1=()n-1.(2)由(1)得,bn=an+n=()n-1+n,所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+(an+n)=Sn+(1+2+n)=+ =+=.【歸納拓展】本小題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力.在求公比時(shí),法二防止了運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的分類討論,計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷. (安徽省宣城市2021屆高三第三次調(diào)研測(cè)試)如圖,正方形ABCD所成平面與圓O所在平面相交于CD,線段CD為圓O的弦,AE垂直于圓O所成平面,垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn),AE=3,圓O的直徑為9.(1)求證:平面ABCD平

32、面ADE;(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值.【解析】(1)AE圓O所在的平面,CD在圓O所在的平面上,AECD,在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE,CD在平面ABCD內(nèi),平面ABCD平面ADE.(2)(法一)CD平面ADE,DE在平面ADE內(nèi),CDDE,CE為圓O的直徑,即CE=9,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9或a=3,DE=6,過(guò)點(diǎn)E作EFDA交DA于點(diǎn)F,作FGCD交BC于點(diǎn)G,連結(jié)GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE內(nèi),EFCD,ADCD=D,EF平面ABCD,

33、EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-E的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3,AE=3,DE=6,ADEF=AEEF,EF=,在直角三角形EFG中,FG=AB=3,tanEGF=,故二面角D-BC-E的平面角的正切值是.(法二)CD平面ADE,DE在平面ADE內(nèi),CDDE,CE為圓O的直徑,即CE=9,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9,故a=3,DE=6,過(guò)點(diǎn)E作EFDE于點(diǎn)F,作FGCD交BC于點(diǎn)G,連結(jié)GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE內(nèi),EFCD,ADCD=D,

34、EF平面ABCD,EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-F的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3,AE=3,DE=6,以D為原點(diǎn),分別以ED,CD所在的直線為x軸,y軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.那么D(0,0,0),E(-6,0,0),C(0,-3,0),A(-6,0,3),B(-6,-3,3),設(shè)平面ABCD的法向量為n1=(x1,y1,z1),可求n1=(1,0,2),設(shè)平面BCE的法向量為n2=(x2,y2,z2),可求n2=(,2,2),cos=,tan=.【歸納拓展】本小題主要考查空間線面、面面關(guān)系等根底知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想,以及空

35、間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.在計(jì)算二面角的平面角的三角函數(shù)值時(shí),可以根據(jù)自己的情況選擇自己熟悉的方法,給考生以發(fā)揮的空間.(1)假設(shè)x1=-,x2=1,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)假設(shè)|x1|+|x2|=2,求b的最大值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx2-a2x(a0),所以f(x)=3ax2+2bx-a2,依題意,-和1是方程3ax2+2bx-a2=0的兩根,所以且a0,解得a=1,b=-1.所以經(jīng)檢驗(yàn)f(x)=x3-x2-x. (江西省南昌市20212021學(xué)年度高三第三次模擬測(cè)試)假設(shè)x1、x2(x1x2)是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的兩個(gè)極值點(diǎn)

36、.(2)f(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依題意:x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)根;x1x2=-0,且|x1|+|x2|=2,(x1-x2)2=12,(-)2+=12.b2=3a2(9-a),b20,00得0a6,由p(a)6,即函數(shù)p(a)在區(qū)間(0,6上是增函數(shù),在區(qū)間6,9上是減函數(shù),當(dāng)a=6時(shí),p(a)有極大值為324,p(a)在(0,9上的最大值是324,b的最大值為18.【歸納拓展】此題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)及應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力及抽象概括能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.求解時(shí),利用根與系數(shù)之間的關(guān)系,可使求解簡(jiǎn)便.總結(jié):針對(duì)高考的“運(yùn)算能力考查,我們必須

37、有意識(shí)地進(jìn)行運(yùn)算能力訓(xùn)練,以提高自身的運(yùn)算能力.一般地,在二輪復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意:(1)加強(qiáng)雙基練習(xí),提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性.根底知識(shí)是運(yùn)算的依據(jù),對(duì)運(yùn)算具有指導(dǎo)意義,根底知識(shí)混淆、模糊,往往引起運(yùn)算錯(cuò)誤,所以加強(qiáng)和落實(shí)雙基教學(xué)是提高運(yùn)算能力的首要問(wèn)題.具體地說(shuō),就是要熟記公式和法那么,正確的記憶公式和法那么是運(yùn)算準(zhǔn)確的前提.正確理解概念,并能掌握公式的推導(dǎo),只有理解某些概念與公式的推導(dǎo),才能做到公式的正用、反用和活用,從而提高運(yùn)算能力.(2)優(yōu)化解題途徑,提高運(yùn)算速度.運(yùn)算速度是運(yùn)算能力的重要標(biāo)志,在運(yùn)算準(zhǔn)確的前提下,首先加強(qiáng)通性、通法的訓(xùn)練,優(yōu)化解題途徑,努力做到準(zhǔn)確合理、快速.合理利用概念、性質(zhì)、法

38、那么、原理去簡(jiǎn)化運(yùn)算,以提高速度.除公式、法那么外,善于記住一些常用的結(jié)論,便可大大提高運(yùn)算速度.如常用的勾股數(shù)、奇函數(shù)y=f(x)在x=0時(shí)有定義,那么f(0)=0等.(3)注意培養(yǎng)自己的運(yùn)算靈活性.抓好心理和思維靈活性訓(xùn)練可以促進(jìn)運(yùn)算的靈活性.心理和思維靈活性訓(xùn)練的核心是識(shí)別文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言等各種表達(dá)形式的本質(zhì),迅速抓住運(yùn)算的實(shí)質(zhì),以迅速聯(lián)想、形成策略、提高自己的洞察能力.(4)善于分析題目條件,尋求合理簡(jiǎn)捷的算法.要做一個(gè)運(yùn)算問(wèn)題,首先要善于分析題目條件,做到審視性讀題、多角度觀察、綜合性思考,以確定運(yùn)算方向及方法.(5)有意識(shí)地進(jìn)行比較復(fù)雜的運(yùn)算.每年高考都說(shuō)要控制運(yùn)算量,

39、但結(jié)果是每年都控制不了.理由很簡(jiǎn)單:有數(shù)學(xué)就有運(yùn)算.不厭其煩的運(yùn)算(或加大運(yùn)算量,或一題多設(shè)問(wèn),或參數(shù)要屢次討論等),可以培養(yǎng)我們的耐性和堅(jiān)忍不拔的性格.當(dāng)然,在進(jìn)行這方面的訓(xùn)練時(shí),要根據(jù)自身的實(shí)際情況而精心設(shè)計(jì),切不可盲目加大難度.【高考中的數(shù)據(jù)處理能力】高考中的數(shù)據(jù)處理能力,是指會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息,并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析,并解決給定的實(shí)際問(wèn)題.統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué),它可以為人們制定決策提供依據(jù),它逐漸成為未來(lái)公民的一個(gè)必備常識(shí),統(tǒng)計(jì)的教學(xué)具有重要的地位,新課標(biāo)高考題對(duì)統(tǒng)計(jì)

40、的知識(shí)的考查力度得到加強(qiáng).高考中的數(shù)據(jù)處理能力在高考考查中主要表現(xiàn)在:(1)在概率統(tǒng)計(jì)中命制試題,它是把有關(guān)數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計(jì)題綜合在一起,試題側(cè)重點(diǎn)在于概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí).具體表現(xiàn)在抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表、用樣本估計(jì)總體等.(2)在線性回歸分析中命制試題,具體表現(xiàn)在求回歸方程并由此解決其他有關(guān)問(wèn)題,其側(cè)重在于最小二乘估計(jì),此類試題有較復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程,同時(shí)考查運(yùn)算能力.(3)在獨(dú)立性檢驗(yàn)方面命制試題,具體表達(dá)在22列聯(lián)表(關(guān)聯(lián)表)與相關(guān)系數(shù)的理解與應(yīng)用.日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差()101113128發(fā)芽數(shù)(顆)2325302616(江蘇省南通市2021屆高三上學(xué)期

41、第一次調(diào)研測(cè)試)某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;(2)假設(shè)選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;(3)假設(shè)由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,那么認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,

42、試問(wèn)(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?2組數(shù)據(jù)共有10種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的,其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種, 所以P(A)=1-=. 【解析】(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A,因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取(2)由數(shù)據(jù),求得=12,=27.由公式,求得b=,a=-b=-3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=x-3. (3)當(dāng)x=10時(shí),y=10-3=22,|22-23|2; 同樣,當(dāng)x=8時(shí),y=8-3=17,|17-16|10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異. (1)在概率統(tǒng)計(jì)中命制試題,它是把有關(guān)數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計(jì)題綜合在一起

43、,試題側(cè)重點(diǎn)在于要概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)考查之中.具體表現(xiàn)為概率分布列、頻率分布直方圖、正態(tài)分布曲線等方面的試題.(2)在線性回歸分析中命制試題,具體表現(xiàn)為求回歸方程并由此解決其他有關(guān)問(wèn)題,其重點(diǎn)在于最小二乘法,此類試題有較復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程,因此也考查了運(yùn)算能力.(3)在獨(dú)立性檢驗(yàn)方面命制試題,具體表現(xiàn)為22列聯(lián)表與相關(guān)系數(shù)的理解與應(yīng)用.【高考中的應(yīng)用意識(shí)】應(yīng)用意識(shí)就是指能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題,包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題,能理解對(duì)問(wèn)題陳述的材料,并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類,將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題并

44、加以驗(yàn)證,并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表述和說(shuō)明.應(yīng)用的主要過(guò)程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)生活背景,提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,并加以解決.縱觀近幾年高考試題,高考命題在“用中必考,問(wèn)題的設(shè)計(jì)多與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等高中數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系,考查貼近生活、有社會(huì)意義和時(shí)代意義的應(yīng)用題,立意考查“群眾數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考命題的一個(gè)趨勢(shì),也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.在應(yīng)用題中主要考查閱讀能力、應(yīng)用能力和探究能力,關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)、文化,緊扣時(shí)代的主旋律,凸現(xiàn)了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗風(fēng)景線,其解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.試求該商品的日銷售額

45、S(t)的最大值和最小值.(江蘇省南通市2021屆高三第一次調(diào)研考試)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某商品在過(guò)去100天內(nèi)的銷售量和價(jià)格均為時(shí)間t(天)的函數(shù),且日銷售量近似地滿足g(t)=-t+(1t100,tN).前40天價(jià)格為f(t)=t+22(1t40,tN),后60天價(jià)格為f(t)=-t+52(41t100,tN),【解析】當(dāng)1t40,tN時(shí),S(t)=g(t)f(t)=(-t+)(t+22)=-t2+2t+ =-(t-12)2+,所以768=S(40)S(t)S(12)=.當(dāng)41t100,tN時(shí),S(t)=g(t)f(t)=(-t+)(-t+52)=t2-36t+=(t-108)2-,所以8=S(1

46、00)S(t)S(41)=.所以S(t)的最大值為,最小值為8.【歸納拓展】此題是一道函數(shù)應(yīng)用題,在解題思維中蘊(yùn)含著分類討論思想,主要考查運(yùn)用函數(shù)知識(shí)分析問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力. (湖北省武昌區(qū)2021屆高三年級(jí)元月調(diào)研測(cè)試)某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué),該商場(chǎng)向他提供了三種付酬方案:第一種,每天支付38元;第二種,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此類推;第三種,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,工作時(shí)間為n天.(1)工作n天,記三種付費(fèi)方式薪酬總金額依次為An,Bn,Cn,寫出An,Bn,Cn關(guān)于n的表達(dá)式; (2)如果n=10,你會(huì)選擇哪種方式

47、領(lǐng)取報(bào)酬?【解析】(1)三種付酬方式每天金額依次為數(shù)列an,bn,cn,它們的前n項(xiàng)和依次為An,Bn,Cn.依題意,第一種付酬方式每天金額組成數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列,An=38n.第二種付酬方式每天金額組成數(shù)列bn為首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列,那么Bn=4n+4=2n2+2n.第三種付酬方式每天金額組成數(shù)列cn為首項(xiàng)是0.4,公比為2的等比數(shù)列,那么Cn=0.4(2n-1).(2)由(1)得,當(dāng)n=10時(shí), An=38n=380, Bn=2n2+2n=220, Cn=0.4(210-1)=409.2.所以B10A100,0,|),x4,8時(shí)的圖象,圖象的最高點(diǎn)為B(5,),DFOC,垂足為F.

48、 如下圖,某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC;另一側(cè)修建一條觀光大道,它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn),x軸為對(duì)稱軸,開口向右的拋物線的(1)求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式;(2)假設(shè)在湖泊內(nèi)修建如下圖的矩形水上樂園PMFE,問(wèn)點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí),水上樂園的面積最大?【解析】(1)對(duì)于函數(shù)y=Asin(x+),由圖象知,A=,=,將B(5,)代入到y(tǒng)=sin(x+)中,得+=2k+(kZ),=2k-.又|0,S遞增;當(dāng)t(,4)時(shí),S0,S遞減,所以當(dāng)t=時(shí),S最大,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).【歸納拓展】此題是一道三角函數(shù)與拋物線綜合的應(yīng)用問(wèn)題,考查學(xué)生提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)

49、化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,并加以解決.總結(jié):數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的全在于應(yīng)用,所以我們必須“在用中學(xué),高考命題也必“在用中考.考查貼近生活、有社會(huì)意義和時(shí)代意義的應(yīng)用題,適當(dāng)降低難度,立意考查群眾數(shù)學(xué)是高考命題的一個(gè)趨勢(shì).在應(yīng)用題中主要考查閱讀能力、應(yīng)用能力和探究能力.高考中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,已逐漸成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型,而熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)、文化,緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線,其解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.【高考中的創(chuàng)新意識(shí)】對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是

50、對(duì)高層次理性思維的考查,主要要求考生不僅能理解一些概念、定義,掌握一些定理、公式,更重要的是能夠應(yīng)用這些知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中的比較新穎的問(wèn)題.回憶近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題,不難發(fā)現(xiàn):關(guān)注探究創(chuàng)新意識(shí),考查數(shù)學(xué)理性思維,已成為高考命題的一種趨勢(shì).在高考試題中常常通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些比較新穎的問(wèn)題情境,構(gòu)造一些具有一定深度和廣度、能表達(dá)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問(wèn)題,著重考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容. 正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列,且b1+b2+b9=90,那么b4b6的最大值是( )(1)(江西師大附中2021年高三數(shù)學(xué)模擬試卷)假設(shè)數(shù)列an滿足-=d(nN*,d為常數(shù)),那么稱數(shù)列an為“調(diào)和數(shù)列.(A)10.(B)100. (C

51、)200. (D)400.(2)(山東省日照一中2021屆高三第七次考試)對(duì)a、bR,定義運(yùn)算“、“為:ab=ab=給出以下各式:(sin xcos x)+(sin xcos x)=sin x+cos x;(2xx2)-(2xx2)=2x-x2,(sin xcos x)(sin xcos x)=sin xcos x,(2xx2)(2xx2)=2xx2.其中等式恒成立的是.(將所有恒成立的等式的序號(hào)都填上)【解析】(1)由“調(diào)和數(shù)列的定義可得bn+1-bn=d,從而正項(xiàng)數(shù)列bn是等差數(shù)列,所以=90,所以b1+b9=20,那么由等差數(shù)列的性質(zhì)得b4+b6=20,所以b4b6()2=()2=100

52、.(2)由題意可得sin xcos x= sin xcos x= 所以當(dāng)sin xcos x時(shí), sin xcos x=sin x,sin xcos x=cos x,那么sin xcos x+sin xcos x=sin x+cos x,(sin xcos x)(sin xcos x)=sin xcos x;當(dāng)sin xcos x時(shí), sin xcos x=cos x,sin xcos x=sin x,那么sin xcos x+sin xcos x=cos x+sin x=sin x+cos x,(sin xcos x)(sin xcos x)=cos xsin x=sin xcos x故恒成

53、立.而2xx2=2xx2= 所以當(dāng)2xx2時(shí),(2xx2)-(2xx2)=2x-x2, (2xx2)(2xx2)=2xx2.當(dāng)2x0).由a2-b2=4-3=1,得c=1.拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),p=2,拋物線D的方程為y2=4x. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).()直線l的方程為:y=x-4, 聯(lián)立整理得:x2-12x+16=0 AB=4.(ii)設(shè)存在直線m:x=a滿足題意,那么圓心M(,),過(guò)M作直線x=a的垂線,垂足為E,設(shè)直線m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2,即|EG|2=|MA|2-|ME|2=-(-a)2=+a(x1+4)-a2=x

54、1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2,當(dāng)a=3時(shí),|EG|2=3,此時(shí)直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2.因此存在直線m:x=3滿足題意.【歸納拓展】此題主要考查直線、圓、橢圓、拋物線等根底知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證、探究創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識(shí).(1)求f(x)在x=1處的切線方程;(2)假設(shè)不等式f(x)0恒成立,求a的取值范圍;(3)數(shù)列an中,a1=2,2an+1=an+1,數(shù)列bn滿足bn=nln an,記bn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn0,f(x)=+a,f(1)=a+1,切點(diǎn)是(1,a+1),所以切線方程為y-(a+1)=(a+1)(x-1)

55、,即y=(a+1)x. 函數(shù)f(x)=ln x+ax+1,aR.(2)(法一)x0,f(x)=,當(dāng)a0時(shí),x(0,+),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,顯然當(dāng)x1時(shí),f(x)0,f(x)0不恒成立.當(dāng)a0,f(x)單調(diào)遞增,x(-,+),f(x)0,所以不等式f(x)0恒成立,等價(jià)于ax-ln x-1,即a,令h(x)=,那么h(x)=-+=,當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞增. h(x)min=h(x)極小值=h(1)=-1,a-1.所以不等式f(x)0恒成立時(shí),a的取值范圍是(-,-1.(3)2an+1=an+1,an+1-1=(an-1),a1=2,an-1=()n-1,an=

56、()n-1+1,bn=nln()n-1+1,由(2)知,當(dāng)a=-1時(shí),ln x-x+10恒成立,即ln xx-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).b1=1ln()1-1+11()1-1+1-1,b2=2ln()2-1+12()2-1+1-1,bn=nln()n-1+1n()n-1+1-1,Tn1()1-1+1-1+2()2-1+1-1+n()n-1+1-1=1()1-1+2()2-1+n()n-1,令Sn=1()0+2()1+n()n-1,那么Sn=1()1+2()2+(n-1)()n-1+n()n,Sn=()0+()1+()n-1-n()n=-n()n=2-(n+2)()n,Sn=4-(n+2)()

57、n-1,Tn4-.【歸納拓展】此題是一道函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合試題,主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)圖象與性質(zhì)、數(shù)列等根底知識(shí),考查學(xué)生抽象概括能力、推理論證能力、創(chuàng)新能力,考查函數(shù)與方程思想,有限與無(wú)限思想,分類與整合思想. (福建省泉州市2021屆高三下學(xué)期高中畢業(yè)班5月質(zhì)量檢測(cè))某工廠欲加工一件藝術(shù)品,需要用到三棱錐形狀的坯材,工人將如下圖的長(zhǎng)方體ABCD-EFPH材料切割成三棱錐H-ACF. (1)假設(shè)點(diǎn)M,N,K分別是棱HA,HC,HF的中點(diǎn),點(diǎn)G是NK上的任意一點(diǎn),求證:MG平面ACF;(2)原長(zhǎng)方體材料中,AB=2 m,AD=3 m,DH=1 m,根據(jù)藝術(shù)品加工需要,工程師必須求

58、出該三棱錐的高.(i)甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角,再根據(jù)公式h=AHsin 求出三棱錐H-ACF的高.請(qǐng)你根據(jù)甲工程師的思路,求該三棱錐的高.(ii)乙工程師設(shè)計(jì)了一個(gè)求三棱錐的高度的程序,其框圖如下圖,那么運(yùn)行該程序時(shí)乙工程師應(yīng)輸入的t的值是多少?(請(qǐng)直接寫出t的值,不要求寫出演算或推證的過(guò)程).【解析】(1)(法一)HM=MA,HN=NC,HK=KF,MKAF,MNAC.MK平面ACF,AF平面ACF,MK平面ACF,同理可證MN平面ACF,MN,MK平面MNK,且MKMN=M,平面MNK平面ACF, 又MG平面MNK,故MG平面ACF.(法二)連HG并延長(zhǎng)交FC于T,

59、連結(jié)AT.HN=NC,HK=KF,KNFC,那么HG=GT,又HM=MA,MGAT, MG平面ACF,AT平面ACF,MG平面ACF.(2)(i)如圖,分別以DA,DC,DH所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.那么有A(3,0,0),C(0,2,0),F(3,2,1),H(0,0,1). =(-3,2,0),=(0,2,1),=(-3,0,1). 設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量n=(x,y,z),那么有解得 令y=3,那么n=(2,3,-6),sin =|=,三棱錐H-ACF的高為AHsin =.(ii)t=2. 【歸納拓展】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置

60、關(guān)系和算法初步等根底知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用創(chuàng)新意識(shí). 總結(jié):高考中有關(guān)創(chuàng)新型的題型主要有:(1)條件探究型:這類題目的特點(diǎn)是給出了題目的結(jié)論,但沒有給出滿足結(jié)論的條件,并且這類條件常常是不唯一的,需要解題者從結(jié)論出發(fā),通過(guò)逆向思維去判斷能夠追溯出產(chǎn)生結(jié)論的條件,并通過(guò)推理予以確認(rèn).這種條件探究性問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是尋找使命題為真的充分條件和充要條件.(2)結(jié)論開放型:這類題目的特點(diǎn)是給出一定的條件,要求從條件出發(fā)去探索結(jié)論,而結(jié)論往往是不唯一的,甚至是不確定的,需要解答者從條件出發(fā),運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行推理、探究或?qū)嶒?yàn)