林群院士的《微積分魔術(shù)》簡介

1、林群院士微積分簡介講稿 史月杰 2021年6月微積分魔術(shù) 摘要 算術(shù)拿來與微積分對照：算術(shù)里有一招，2+9=9+2，一步便能改變難度甚或把困難變走，微積分也有這么一招微積分何用一、引入：微積分躲不開、繞不過，高中學(xué)它能快速解題、有利減負，對大學(xué)理工科學(xué)習(xí)都有好處。而對于文史類就不要學(xué)嗎？托爾斯泰對?戰(zhàn)爭與和平?的解讀：只有采取無限小的觀察單位歷史的微分，并運用積分的方法得到這些無限小的總和，我們才能得到問題的答案歷史的規(guī)律正是這種微積分，糾正了人類由于只觀察個別單位所不能不犯下的和無法防止的錯誤。例1，買菜只用初等算術(shù)，但存款利息的算法？ 復(fù)利或利滾利，底數(shù)每分秒在變化，要用微積分；例2，人口

2、預(yù)測。2000年大陸人口普查，挨家挨戶總發(fā)動，查了一年多，得 12.66億，又慢又費；假設(shè)用微積分，只要一個大學(xué)生花5分鐘，得13.45億，又快又省，相差8000萬6.4%可解釋為人口流動和少報造成此例凸顯了微積分的效率例3，有天氣預(yù)報、地震預(yù)報。 2021年6月日本宣布濱岡核電地帶在30年內(nèi)發(fā)生8級地震的概率高達87% 該核電因此被叫停，從而可能挽救多少人，像2021年3月日本地震引發(fā)核泄漏，全世界為之買單，中國的菠菜也測到污染簡言之，從人間、天上直到地下，許多事都會用到微積分 二、微積分與算術(shù)對照計算買菜之類日常只需要初等算術(shù)，有加減乘除表，但是預(yù)報地震之類人命關(guān)天之事需要一種全新的算術(shù)，

3、叫微積分，專門來計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分，有導(dǎo)數(shù)與積分表簡稱兩張表，見本文第一篇末，其功能就像加減乘除表一樣，高中學(xué)生不可不知知其然且知其所以然這就是微積分中壓倒一切的重點，破解微積分先破解兩張表 上天偏袒，最重要的東西反而容易：這兩張表的真相被縮小到兩條代數(shù)式書中式1-141-15上，完全的證明或推導(dǎo)又縮小到幾步高中數(shù)學(xué)甚或幾個裸例上沒有更多概念或定理，復(fù)雜度猛降甚或變走，高中學(xué)生也能明白知其所以然，微積分高中化了，這是當(dāng)務(wù)之急將傳統(tǒng)的論證從數(shù)百頁縮小到幾頁上？秘密何在？幼兒在計算2+9時由2出發(fā)用手掰9下才算出來，一旦變到9+2時由9出發(fā)只要掰2下，難度降低了，甚或把困難變走了 初等算術(shù)如此，

4、比照高等的微積分，也有同理：一旦變個角度，偶然的火花， 能把計算導(dǎo)數(shù)/積分的困難小除數(shù)/無窮次相加變走，改變形勢打破僵局，所以也被比作變魔術(shù)。 過去盛行的系統(tǒng)法：先要講極限、連續(xù)性、實數(shù)等，概念定理多、證明推導(dǎo)長，數(shù)百頁，迂回周折圖0-1下捉不住要領(lǐng)，讓人難以琢磨改變方法，走其他的路子。如圖右圖0-1系統(tǒng)法(盤山公路迂回戰(zhàn)) 和 直接法(抄近路速戰(zhàn)速決) 用第一篇短短的幾頁取代以往數(shù)百頁！簡單地破獲了兩張表，讓人及時知情知其所以然這是最原始的資本，以后的微積分便從此展開，不斷地使用， 所以有了這兩張表，雖不說一勞永逸，也是一通百通、一本萬利！把微積分的最初原因縮小到平面三角上：有三部曲，初中高

5、中大學(xué)，圖0-2 微積分三部曲 第篇 微積分微積分壓倒一切的兩件事，求導(dǎo)數(shù)和求積分當(dāng)今盛行的課本要改變：求導(dǎo)數(shù)退出極限過程改用高中代數(shù)式；求積分退出函數(shù)的面積改求導(dǎo)數(shù)的面積理想的世界里，萬物終于簡單，動態(tài)過程終于靜態(tài)結(jié)局也稱極限狀態(tài)例如，割線OS變動的終結(jié)極限狀態(tài)是切線(OT)，切線是割線的簡化，代表了這個過程函數(shù)從來都不是一成不變的，要度量它在一點處的變化，必須考慮與之相鄰的點，于是想到利用差商 1-1但注意到，上式隨著的變化會產(chǎn)生多個數(shù)，太復(fù)雜了我們需要找到一個數(shù)來“代表它們既然問題出在上，就要想方設(shè)法將其消去自然的想法令，但是遇到了小除數(shù)的問題，陷入了死胡同那么到底什么是我們要找的那個“

6、代表數(shù)呢？這個小除數(shù)問題，能否解決或避開？當(dāng)今盛行的課本是通過一個所謂“取極限的過程找到一個所謂的“導(dǎo)數(shù)來解決的但要深究極限概念的哲學(xué)意義，其紛繁冗雜人所共知，我們要做的只是給中學(xué)生一個直接法，或者說一個更初等的標(biāo)準來避開小除數(shù)，選出那個“代表記那個代表為，希望有近似式 1-2能把小除數(shù)變走像變魔術(shù)，但留有一個尾巴，誤差= 1-3為中學(xué)生樹立的標(biāo)準就是要求這誤差跟成比例： 1-4于是當(dāng)，誤差略去不計，真有式1-2成立 但這個和那個“導(dǎo)數(shù)之間有什么聯(lián)系？事實上，我們發(fā)現(xiàn)對于初等函數(shù)它們結(jié)果是一致的詳見1.1節(jié)，但是更快更直接因此我們?nèi)杂洺?，?1-5經(jīng)上面分析，有了度量函數(shù)在一點處變化的方法，那

7、么函數(shù)在一個線段上又怎樣呢？自然想法就是取一批點，然后將函數(shù)在這些點上的變化，求平均的但是取哪些點，取多少點呢？我們面臨著和剛剛同樣的問題：當(dāng)今課本仍用極限無窮次求和，而我們就是要避開極限，選出那個代表元： ，把無窮次求和的困難變走了但仍按上面樹立的標(biāo)準，要求誤差跟成比例： ， 另一方面，函數(shù)在區(qū)間上總變化為，但二者之間有什么聯(lián)系？事實上，我們發(fā)現(xiàn)確有 ， 假設(shè)滿足式(1-5)， 1-6 所以確實可以做代表元，符合我們的標(biāo)準此即根本公式1.1 導(dǎo)數(shù)：微積分之首微積分是近代數(shù)學(xué)之首，求導(dǎo)數(shù)又是微積分之首，擒賊先擒首那么什么是導(dǎo)數(shù)呢？過去一直將函數(shù)在定點的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率定義為差商即割線的斜率，式

8、(1-1)， 當(dāng) 的“極限但有小除數(shù)，怎么算？這是長期以來高中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點或困惑, 過去只能不明不白地算，如下例 例1 = 例2 前面看作常數(shù),后面又令略去不計，中間各種極限運算，不明不白、百思難解！而遇到例3更是不能往下計算，成了死棋。例3 三角函數(shù)如高中教師只讓學(xué)生死背三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，知其然不知其所以然不能學(xué)好微分學(xué) 退出極限過程，回到差商：由于做題或考試，碰到的都是顯式函數(shù)，那就把式1-1寫出來，看看是什么樣？例4 多項式如，那么式1-1在定點經(jīng)約簡 1-7左式有小除數(shù)，但右式不再有小除數(shù)了：將代入已有意義，并有，這里誤差為符合我們的標(biāo)準1-4上例雖過簡單，但凸顯求導(dǎo)數(shù)的要領(lǐng)：式1

9、-7從左到右，把小除數(shù)變走了，像2+9=9+2把困難變走了！ 下面幾例想法過程一樣，只是計算稍復(fù)雜例5 根式如，那么式1-1在定點經(jīng)約簡 從左到右，把小除數(shù)變走了：將代入已有意義，你可以大膽設(shè)想式1-2，或希望有? 當(dāng)， 1-8但有 是否符合我們的標(biāo)準1-4。分子有以后還會看到,分母中的沒有影響，誤差只跟成比例于是當(dāng)，誤差略去不計，1-8 成立，右邊就定義為導(dǎo)數(shù)，代表了在的變化例6 有理多項式如，那么式1-1在定點經(jīng)約簡從左到右，把小除數(shù)變走了：將代入已有意義，你可以大膽設(shè)想式1-2，或希望有？ 當(dāng)， 1-9但有誤差=符合我們的標(biāo)準1-4。分子有以后還會看到,分母中的沒有影響, 誤差只跟成比例

10、于是當(dāng)，誤差略去不計，1-9或成立，右邊就定義為導(dǎo)數(shù)，代表了在的變化總之，誤差的共同點：分子有，雖然分母也含，但它可以去掉，終被分子的夾?。?， 1-10 符合我們的標(biāo)準1-重要的是，其中常數(shù)與無關(guān)!于是當(dāng)，誤差略去不計，差商便簡化為常數(shù)主項，稱導(dǎo)數(shù)所以，導(dǎo)數(shù)是差商的簡化！上面所說分母的怎么去掉？怎么找？先略去不講，可參看林老師博客。如例5中定義在既然差商中出現(xiàn)，自然要求根號內(nèi)只要，于是分母中這一項可去掉，所以誤差終被夾住 即與及無關(guān)如例6中定義在，誤差分母中只要可換掉，所以誤差終被夾住 即與及無關(guān)。 注 在前一例中因為分母中出現(xiàn)的是加法，所以和有關(guān)的項可以直接放縮到0；而本例中分母中是乘法，

11、必須放縮到正常數(shù)。三角函數(shù)與上面各例又有所不同，并用到面積不等式如下例7 三角函數(shù)如，那么式1-1在就是 有小除數(shù)，不能再約簡，但留意到分子見圖1-2， 圖1-2 面積不等式 當(dāng)還是把小除數(shù)變走了：？ 1-11但有誤差=符合我們的標(biāo)準1-4。由圖1-7的不等式有，所以誤差終被夾住：|誤差|于是當(dāng)，誤差略去不計，真有式1-11成立，右邊就定義為導(dǎo)數(shù)當(dāng)，計算幾乎一樣，只是長些：=，其中常數(shù)怎么得來？因為剩下就是誤差 外表復(fù)雜，最終仍被夾?。河谑钱?dāng)，誤差略去不計，所以下節(jié)定義了積分之后，我們還能定義對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們的誤差也符合標(biāo)準1-10，其中常數(shù)C與無關(guān)，也不難找第篇由此捕獲靈感，有

12、了一般概念：初等函數(shù)在點求導(dǎo)數(shù)，有差商近似式1-2： 右邊為常數(shù)項，把小除數(shù)變走了，但有式(1-3):誤差被夾住，符合標(biāo)準1-10，與無關(guān)，不難找于是當(dāng)，誤差略去不計，真有式1-2成立，差商便簡化為常數(shù)主項兩個變數(shù)簡化為一個變數(shù)，它是唯一 反證：假設(shè)在一點有兩條切線分別有兩個斜率與,令, 又令誤差，那么存在使，結(jié)果導(dǎo)致，矛盾！的結(jié)局，稱為在點的導(dǎo)數(shù)所以導(dǎo)出顯式的導(dǎo)數(shù)式(1-5):根據(jù)就是以例4-7，幾步高中數(shù)學(xué)，把小除數(shù)變走了！ 更重要的是，有了這幾個裸例，不用再試其它函數(shù)了它們的導(dǎo)數(shù)由以下套法生成為什么？別小看幾個裸例，它們是最根本的初等函數(shù)，代表了99%以上的初等函數(shù)除了個別點外，在有定義

13、的閉區(qū)間上，因為后者只是前者的各種復(fù)合前者符合顯式導(dǎo)數(shù)式或標(biāo)準1-5，可證后者也會符合同樣的標(biāo)準前書附錄2然后只要利用極少數(shù)幾個最根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)套法-微分法前書附錄2，即可生成任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不需要一個一個地找導(dǎo)數(shù)了這樣，把微分學(xué)縮小到幾個裸例上，然后由微分法按套路去操作，高中學(xué)生也能求出99%以上初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了這就圓了導(dǎo)數(shù)高中化之夢那么，對任何初等函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)總能計算出來，而且也是初等函數(shù)微積分的首道關(guān)口前半壁江山，導(dǎo)數(shù)的計算，幾步攻破。1.2 積分：微積分的頂峰積分公式1-13可得：在區(qū)間各段上列出導(dǎo)數(shù)式或斜率差1-5，再借此做一下平均式1-12或圖1-3即是 圖1-3

14、各段斜率差微分學(xué)或求導(dǎo)數(shù)只占微積分的半壁江山費馬就知道了，已由1.1節(jié)解決了另一半是積分學(xué)是牛頓-萊布尼茨的杰作，微積分的封頂之作 過去盛行的一直是：求函數(shù)的積分，無法直接算如今偶然的火花見57或圖0-20改道去求導(dǎo)數(shù)的積分，馬上找出結(jié)果既然在一段上已有導(dǎo)數(shù)式1-10：，或式1-5：(注意:與也無關(guān))，那么，在全段上分成段后圖1-11，對各段的誤差作平均即乘以權(quán)再相加圖1-4 求導(dǎo)數(shù)只需在你站的地方，求積分那么需一排人站在各分點還能得到： ，或標(biāo)準 式1-12左邊是縮寫：取絕對值，由定義式1-5，放大為式1-12的右邊： ， 1-12(因為式，但左邊轉(zhuǎn)換為(因為也分成份：)，結(jié)果式(1-12)

15、 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(1-6): 假設(shè)為初等函數(shù) 這是什么？不就是可積，把無窮次相加的困難變走了：微分和，或的面積，對隨便的分割當(dāng)都會趨于共同的常數(shù) 以及我們一門心思想要得到、出盡了風(fēng)頭的根本公式 ，或縮寫為 式1-13只是上面長句的縮寫，但它確實給出了面積的嚴格定義即無論怎么分割，結(jié)局都是一個數(shù)這就是為什么托馬斯的微積分直到最后都不用積分號！ 1-13 其中積分號對應(yīng)于式1-6的和號，微分號對應(yīng)于嗎？還要什么別的證明？ 再短沒有了：由式1-5到式1-12只是平均一下，由式1-12到式1-13只是換個說法，或同義語，唾手可致事情的巨變猛然登上微積分的頂峰！怎么就這么容易？因為借助了導(dǎo)數(shù)式1-5做平臺(

16、不必從零開始)! 初等函數(shù)微積分，剩兩條相屬的公式初等函數(shù)微分學(xué):=， 1-14 初等函數(shù)積分學(xué):= 1-15即把小除數(shù)以及無窮次相加的困難變走了，留有誤差跟成比例；或幾何意義， 前式站在一點又縮小到幾個裸例上，后式站在各分點借助于前式自動推論：只是平均一下，青出于藍而勝于藍一門學(xué)問被兩條相屬的公式點破了，不再百思難解以上針對初等函數(shù)，似乎太窄但做題碰到的99%都是初等函數(shù)除了個別點外，在有定義的閉區(qū)間上第一遍微積分，或主流方法或直接法，在于抓大面上99%，像西瓜放小個別1%，像芝麻大踏步朝前走但畢竟遺漏了邊邊角角芝麻，接下來如何修修補補，且看下篇反之，對學(xué)過傳統(tǒng)微積分的人，先入為主，更習(xí)慣于

17、系統(tǒng)法但也有研究生說，要是先學(xué)這個版本再學(xué)傳統(tǒng)的微積分課本，估計就不會像當(dāng)初那么吃力了有的數(shù)學(xué)家張立群等也贊同，說微分積分作為一種運算，應(yīng)該像加減乘除一樣，教給中學(xué)生，本書不用極限來教他們，對于涉及到的初等函數(shù)的微分和積分都可以求出來，從而極大地豐富了過去的運算附 根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表以及積分表：1. 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為02. 3. ，4. 5. 以及1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 特別，第2篇微積分普遍化 本篇，對一切可能的函數(shù)做微積分，將保持第篇對初等函數(shù)的框架，只改語言，將式1-141-15右端由顯式，改為隱式： 可微， 2-1可積 2-2這是自然推廣沒有難度這里的符號，其實就是的代替詞，所以該為正名平反，只是初學(xué)先回避由可微，式2-1，不能推出可積，式2-2前者只是導(dǎo)數(shù)存在，后者還要求導(dǎo)數(shù)幾乎處處連續(xù)，需要用“幾乎的概念，所以頭幾遍的微積分還不夠！有關(guān)可積條件的探討將放到第四遍微積分 第3篇根本公式的