第二章(直線的投影)

1、1 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。到直線的同名投影。直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn) 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)投影反映線段實(shí)長(zhǎng) ab=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosABabAMBabmaa a b b b直線投影的基本特性直線投影的基本特性 一般情況下，一般情況下， 直線的投影直線的投影仍然為直線，特殊情況為一仍然為直線，特殊情況

2、為一個(gè)點(diǎn)。個(gè)點(diǎn)。22.3.12.3.1、 直線對(duì)投影面的各種相對(duì)位置直線對(duì)投影面的各種相對(duì)位置投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面34b a aba b b aa

3、b ba 在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)， 并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影 軸。軸。水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：與與H面的夾角面的夾角: 與與V面的角面的角:與與W面的夾角面的夾角: 實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)ba aa b b 5鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線6 反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直反映線段實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。于相應(yīng)的投影軸。鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個(gè)投影另外兩個(gè)投影， 在

4、其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有積聚性投影有積聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )78投影特性：投影特性： 三個(gè)投影都縮短。三個(gè)投影都縮短。即即: 都不反映空間線段都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。投影軸都傾斜。abb a b a 9|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2.3.5 用直角三角形法求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角用直角三角形法求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角10ABbb

5、aaCXO|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|11XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|12bbXaaBC例題例題 已知線段已知線段ABAB的投影，試定出屬于線段的投影，試定出屬于線段ABAB的點(diǎn)的點(diǎn)C C的投影，的投影， 使使BCBC 的實(shí)長(zhǎng)等于已知長(zhǎng)度的實(shí)長(zhǎng)等于已知長(zhǎng)度L L。cLABzA-zBcab13點(diǎn)點(diǎn)C在直線在直線AB上上點(diǎn)點(diǎn)K在直線在直線AB上上14ABbbaaXOccCc15 若點(diǎn)的投影有一個(gè)不若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，在直線的同名投影上， 則則該點(diǎn)必不在此直線上。該點(diǎn)必不在此直線

6、上。點(diǎn)在直線上的判別方法點(diǎn)在直線上的判別方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b =ABCVHbcc b a a定比定理定比定理點(diǎn)不在直線上的判別方法點(diǎn)不在直線上的判別方法： 若點(diǎn)在直線上若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割并將線段的同名投影分割 成與空間相同的比例。即：成與空間相同的比例。即：16點(diǎn)點(diǎn)C不在不在直線直線AB上上例例1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)C是否在線段是否在線段AB上。上。abca b c c abca b 點(diǎn)點(diǎn)C在直在直線線AB上上17例例2：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)K是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因

7、k 不在不在a b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 有沒(méi)有其它的判斷法有沒(méi)有其它的判斷法?18例題例題3 3 已知點(diǎn)已知點(diǎn)C C 在線段在線段ABAB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)C C 的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVAC/CB=ac/cb =ac/ c bMb M=ba19平行平行相交相交交叉交叉20空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行平行、相交相交、交叉交叉。 兩直線平行兩直線平行投影特性：投影特性： 空間兩直線平空間兩直線平行，則其各行，則其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦

8、然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a 21abcdc a b d 對(duì)于對(duì)于一般位置直一般位置直線線，只要有兩個(gè)同名，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。AB/CD22b d c a cbadd b a c 對(duì)于對(duì)于特殊位置直線特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？有沒(méi)有其它的判斷方法有沒(méi)有其它的判斷方法?

9、23HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判別方法：判別方法： 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影必則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間點(diǎn)的投影相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間點(diǎn)的投影規(guī)律規(guī)律。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)24cabb a c d k kd例：過(guò)例：過(guò)C點(diǎn)點(diǎn)作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影25d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線

10、上是兩直線上的一的一 對(duì)對(duì)重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的重影點(diǎn)，是面的重影點(diǎn)，、是是H面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。為什么？為什么？123 4 兩直線相交嗎？?jī)芍本€相交嗎？26例題例題 判斷兩直線的相對(duì)位置判斷兩直線的相對(duì)位置baacddcbX11d1c1點(diǎn)點(diǎn)不是直線不是直線AB與與直線直線CD的交點(diǎn)，故的交點(diǎn)，故AB與與CD交叉交叉27判斷兩直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷兩直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判斷重影點(diǎn)的可判斷重影點(diǎn)的可見(jiàn)性時(shí)，需要看重影見(jiàn)性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一

11、投影面上的點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見(jiàn)，反之不可投影可見(jiàn)，反之不可見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。加括號(hào)表示。28例題例題 判斷兩直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷兩直線重影點(diǎn)的可見(jiàn)性bbcddcXaa3(4)34121(2)29一、各種位置直線的投影特性一、各種位置直線的投影特性 一般位置直線一般位置直線三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線投影面平行線 在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。應(yīng)的投影軸

12、。 投影面垂直線投影面垂直線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。30二、直線上的點(diǎn)二、直線上的點(diǎn) 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。 點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。三、兩直線的相對(duì)位置三、兩直線的相對(duì)位置 平行平行 相交相交 交叉（異面）交叉（異面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的

13、投影規(guī)律。且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！敖稽c(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上一是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。對(duì)重影點(diǎn)的投影。31作業(yè)作業(yè):2.2(1,3)2.3(1,3,5)32標(biāo)注尺寸標(biāo)注尺寸習(xí)題課33343536小小 結(jié)結(jié) 點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置特殊位置 直線的投影特性直線的投影特性。 點(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方點(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方 法及投影特性。法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角三角形法求一般位置直線和對(duì)投影直角三角形法求一般位置

14、直線和對(duì)投影面的夾角（面的夾角（、） 重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：37點(diǎn)的投影規(guī)律 一點(diǎn)的兩投影之間的連線垂直于投影軸；點(diǎn)的一個(gè)投影到某投影軸的距離等于空間點(diǎn)到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。 因此在求作點(diǎn)A的a投影時(shí)，應(yīng)保證做到:點(diǎn)的V面投影與H面投影之間的連線垂直于0X軸，即aa0X ；點(diǎn)的V面投影與W面投影之間的連線垂直0Z軸，即a a“0Z；點(diǎn)的H面投影到0X軸的距離及點(diǎn)的W面投影到0Z 軸的距離兩者相等，都反映點(diǎn)到V面的距離。38XYZOVHWAaa a 點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律: a aOX軸軸 aax= a az=y=點(diǎn)點(diǎn)A到到V面的距離面的距離a ax= a ay=z=點(diǎn)點(diǎn)A到到H面的距離面的距離aay= a az=x=點(diǎn)點(diǎn)A到到W面的距離面的距離xaazayYZaza XYayOaaxaya a a