激光原理第三章

1、第三章第三章 高斯光束高斯光束一、高斯光束一、高斯光束的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)二、高斯光束的傳輸二、高斯光束的傳輸三、高斯光束通過薄透鏡的變換三、高斯光束通過薄透鏡的變換四、高斯光束的聚焦四、高斯光束的聚焦五、高斯光束的自再現(xiàn)變換和五、高斯光束的自再現(xiàn)變換和ABCDABCD定律在光學(xué)諧振腔中的應(yīng)用定律在光學(xué)諧振腔中的應(yīng)用六、高斯光束的匹配六、高斯光束的匹配七、高斯光束的準(zhǔn)直七、高斯光束的準(zhǔn)直第一節(jié)第一節(jié) 高斯光束的基本性質(zhì)高斯光束的基本性質(zhì)一、波動方程的基模一、波動方程的基模(TEM(TEM0000模模) )高斯光束高斯光束在標(biāo)量近似下穩(wěn)態(tài)傳播的電磁場滿足的赫姆霍茨方程在標(biāo)量近似下穩(wěn)態(tài)傳播的電磁場

2、滿足的赫姆霍茨方程：0020uku這里標(biāo)量這里標(biāo)量u u0 0 表示相干光的場分量表示相干光的場分量, ,式中式中u u0 0與電場強(qiáng)度的復(fù)表示與電場強(qiáng)度的復(fù)表示u u之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為: :0i tuu e可以證明它不是上述亥姆霍茲方程的精確解可以證明它不是上述亥姆霍茲方程的精確解, ,它是在緩變振幅近似下的一個特解它是在緩變振幅近似下的一個特解, ,它可它可被表示為被表示為: :(3-1-1)(3-1-1)(3-1-2)(3-1-2)0( , , )ikzux y z e這里這里 ( x , y , z )( x , y , z ) 可看成是振幅函數(shù)可看成是振幅函數(shù), ,一般是一個沿

3、一般是一個沿z z軸緩慢變化的復(fù)函數(shù)軸緩慢變化的復(fù)函數(shù). .222220ikxyz設(shè)該方程的試探解設(shè)該方程的試探解: :22exp ( )()2 ( )ki P zxyq zP(zP(z) )為與光波傳輸有關(guān)的復(fù)相移為與光波傳輸有關(guān)的復(fù)相移, , q(zq(z) )是復(fù)光束參數(shù)是復(fù)光束參數(shù), , 即復(fù)曲率半徑即復(fù)曲率半徑, ,表示光強(qiáng)距離軸表示光強(qiáng)距離軸距離距離r r呈高斯變化呈高斯變化, ,也表示也表示xyxy平面上的相移平面上的相移, ,將將(3-1-4)(3-1-4)代入代入(3-1-3)(3-1-3)式得：式得：(3-1-3)(3-1-3)( 3-1-4)( 3-1-4)2222()2

4、( )( )kkixyq zq z2( )( )22202( )dP zdq zkixydzdzq z(3-1-5)(3-1-5)將將x x和和y y的同次冪項合并在一起得的同次冪項合并在一起得: :222222( )( )()220( )( )( )kdq zkkdP zxyikqzdzqzq zdz欲使該式對欲使該式對 x x 和和 y y 的任何值都成立的任何值都成立, ,要求要求x x和和y y同次冪的系數(shù)之和分別等于零同次冪的系數(shù)之和分別等于零. . 結(jié)果可結(jié)果可得下列兩個簡單的常微分方程得下列兩個簡單的常微分方程: :( )1( )( )dq zdzdP zidzq z (3-1-

5、6)(3-1-6)(3-1-7)(3-1-7)由（由（3-1-63-1-6）式與其他參量無關(guān)，所以先討論）式與其他參量無關(guān)，所以先討論它的解及其含義。它的解很簡單：它的解及其含義。它的解很簡單：0( )q zqz（3-1-83-1-8）場的相對振幅rZ=010.368 0圖3-1-1 場在橫向平面上的變化q q 0 0 是是 z = 0z = 0 處的復(fù)光束參數(shù)處的復(fù)光束參數(shù), , 適當(dāng)選擇適當(dāng)選擇 z =0 ,z =0 ,就可消去就可消去q q 0 0 的實部的實部, ,因此因此q q 0 0為虛為虛數(shù)數(shù), ,令令 q q 0 0 = i z = i z 0 0 上式可寫為上式可寫為: :0

6、( )q zziz將（將（3-1-93-1-9）式代入）式代入 （3-1-43-1-4）式）式 , , 并令并令 z=0, z=0, 得得 z=0 z=0 處基模的振幅分布處基模的振幅分布: :（3-1-93-1-9）200(0)exp()exp(0)2krzip zz（3-1-103-1-10）第一指數(shù)項是實數(shù)，當(dāng)?shù)谝恢笖?shù)項是實數(shù)，當(dāng) 時時,振幅下降到中心值振幅下降到中心值的的 ,此時的此時的 r 值定義為光斑尺寸值定義為光斑尺寸 (光斑半徑光斑半徑) , 用用 0 表示表示, 則：則：202rzk1 e22000002, zzzk200iq(3-1-11)(3-1-11)0.368(3-1

7、-12)(3-1-12)如圖如圖3-1-1在任意在任意 z z 處處, , q q 值按值按 3-1-7 3-1-7 式變化式變化, ,下面討論下面討論 q q 的倒數(shù)的倒數(shù)0222200011( )zziq zzizzzzz(3-1-13)(3-1-13)將（將（3-1-133-1-13）代入（）代入（3-1-43-1-4）可得：）可得：220222200expexpexp( )2()2()kz rikzriP zzzzz在上式的第一個指數(shù)因子中，乘以在上式的第一個指數(shù)因子中，乘以 的項是一個標(biāo)度的長度，并把它稱為光束的的項是一個標(biāo)度的長度，并把它稱為光束的光斑尺寸，它是光斑尺寸，它是Z Z

8、的函數(shù)：的函數(shù)：2222000022( )()1zzzzzkzkz（3-1-143-1-14）222020( )1() zz（3-1-153-1-15）2r利用（利用（3-1-113-1-11）式，則上式可寫成：）式，則上式可寫成：再將（再將（3-1-143-1-14）式中的第二個指數(shù)因子中）式中的第二個指數(shù)因子中的有關(guān)項寫成：的有關(guān)項寫成： R ( z ) =z1( z 2 + z0 )2 = z 1 + ( ) 0 z 22（3-1-163-1-16）根據(jù)第二章第七根據(jù)第二章第七節(jié)節(jié)可以可以清清楚滴了解（楚滴了解（3-1-153-1-15）式和（）式和（3-1-163-1-16）式的物理意

9、）式的物理意義義。現(xiàn)現(xiàn)在在討論討論（3-1-73-1-7）式的解，把（）式的解，把（3-1-83-1-8）式代入（）式代入（3-1-73-1-7）式，表示）式，表示P P（z z）與與q q（z z）的）的關(guān)關(guān)系系0( )( )dP ziidzq zzq （3-1-173-1-17）上式關(guān)于參數(shù)上式關(guān)于參數(shù)P P的解為：的解為：20( )ln1()ziP zi現(xiàn)在我們利用關(guān)系式現(xiàn)在我們利用關(guān)系式:2 1/22220001()1() exparctan()zzzii(3-1-17)(3-1-17)0000lnlnzdzip zz qqz q則上式成為則上式成為0ln(1)zPiq（3-1-18)

10、3-1-18)將（將（3-1-123-1-12）代入（）代入（3-1-183-1-18）式，得：）式，得：求出求出 P (z)P (z) 的實部和虛部的實部和虛部: :2 1/22200( )ln1() arctan()zziP zi這樣這樣, ,我們感興趣的指數(shù)項變?yōu)槲覀兏信d趣的指數(shù)項變?yōu)? :22 1/20200201exp( )exp arctan()1() =exp arctan()( )ziP zizziz將將(3-1-20) ,(3-1-14) (3-1-20) ,(3-1-14) 代入代入(3-1-2) (3-1-2) 式式, , 并考慮到前面所作的各種定義并考慮到前面所作的各種

11、定義 , , 求得波求得波動方程的解動方程的解: :(3-1-20)(3-1-20)(3-1-19)(3-1-19)u0 ( x,y,z) = exp - 0 (z)r 2 2(z)振幅因子振幅因子 exp - i k z - arc tan ( ) z02縱向相位縱向相位 exp - i k r 22 R(z)徑向相位徑向相位(3-1-21)（3-1-213-1-21）式是波動方程（）式是波動方程（3-1-223-1-22）式的一個特解，叫做基模（）式的一個特解，叫做基模（TEM00TEM00）高斯光束。光束參）高斯光束。光束參數(shù)數(shù)R R（z z）表示等相面的曲率半徑，）表示等相面的曲率半徑

12、，w(zw(z) )表示光斑半徑，表示光斑半徑， 表示附加相位。由該式可見表示附加相位。由該式可見基模高斯光束的性質(zhì)，包括場分布及傳輸特點(diǎn)，主要由下面三個參數(shù)決定：基模高斯光束的性質(zhì)，包括場分布及傳輸特點(diǎn)，主要由下面三個參數(shù)決定：20tanzarcw 200220011zzwwzwzw)(1 )1 ()(2020zzzzwzzR200wz )(2exp)arctan(expexp,2202200zRkriwzkzizwrzwwzyxu二、基模高斯光束的性質(zhì)二、基模高斯光束的性質(zhì)1 1、振幅：在橫截面內(nèi)的場振幅分布按高斯函數(shù)所描述的規(guī)律從中心向外平滑降落。光、振幅：在橫截面內(nèi)的場振幅分布按高斯函

13、數(shù)所描述的規(guī)律從中心向外平滑降落。光斑半徑隨斑半徑隨z z的變化規(guī)律為：的變化規(guī)律為： 200220011zzwwzwzw光斑半徑隨著坐標(biāo)光斑半徑隨著坐標(biāo)z z按雙曲線規(guī)律變化：按雙曲線規(guī)律變化： 1202202zzwzww(z)w02w020ZR=fR(f)=2fw(z)R(Z)圖圖3-1-2 高斯光束通過截面的輪廓高斯光束通過截面的輪廓2 2、高斯光束的相移和等相位面分布、高斯光束的相移和等相位面分布基模高斯光束的相移特性由相位因子決定基模高斯光束的相移特性由相位因子決定)arctan()(2,202wzzRrzkzyx它描述高斯光束在點(diǎn)它描述高斯光束在點(diǎn)( (r,zr,z) )處相對于原

14、點(diǎn)處相對于原點(diǎn)( (0,00,0) )處的相位滯后，其中處的相位滯后，其中 描描述幾述幾何相位為何相位為 描述高斯光束在空間行進(jìn)描述高斯光束在空間行進(jìn)距離距離z z時相對幾何相移的時相對幾何相移的附加相位超前，因子附加相位超前，因子 描述與徑向有關(guān)的相移。描述與徑向有關(guān)的相移。在近軸條件下，高斯光束的等相位面是以在近軸條件下，高斯光束的等相位面是以R R（z z）位半徑的球面，由（）位半徑的球面，由（3-1-163-1-16）式）式?jīng)Q定。由此可得等相位面的曲率半徑?jīng)Q定。由此可得等相位面的曲率半徑R R和傳播距離和傳播距離z z的關(guān)系曲線，如圖的關(guān)系曲線，如圖3-1-33-1-3所示，所示，下面

15、對該曲線進(jìn)行討論：下面對該曲線進(jìn)行討論：kz)arctan(20wz)(22zRkr(3-1-22)(3-1-22)0zR束腰處的等相位面為平面，曲率束腰處的等相位面為平面，曲率中心在無窮遠(yuǎn)處中心在無窮遠(yuǎn)處 0zz02)(zzR為最小值為最小值0zz zzR)(在遠(yuǎn)場處可將高斯光束近似為一個由在遠(yuǎn)場處可將高斯光束近似為一個由z=0z=0發(fā)出，發(fā)出，半徑為半徑為z z的球面波的球面波z,R無窮遠(yuǎn)處等相位面為平面，無窮遠(yuǎn)處等相位面為平面，曲率中心在曲率中心在z=0z=0處處圖圖3-1-33-1-3 R=Z3 3、瑞利長度、瑞利長度 取取 時，這段長度內(nèi)時，這段長度內(nèi), ,可近似認(rèn)為高斯光束是平行的

16、可近似認(rèn)為高斯光束是平行的, ,這段距離為高斯光這段距離為高斯光束的準(zhǔn)直距離束的準(zhǔn)直距離. .所以瑞麗長度越長，就意味著高斯光束準(zhǔn)直范圍越大，并可看所以瑞麗長度越長，就意味著高斯光束準(zhǔn)直范圍越大，并可看到，高斯光束的最小光斑到，高斯光束的最小光斑 半徑越大，它的準(zhǔn)直性越好，準(zhǔn)直距離越長。半徑越大，它的準(zhǔn)直性越好，準(zhǔn)直距離越長。由圖（由圖（3-1-33-1-3）式可知，瑞利長度的物理意義為：當(dāng)）式可知，瑞利長度的物理意義為：當(dāng) 時時 ，則則 ，即光斑從，即光斑從 最小半徑最小半徑 , ,增大到增大到 。這個范圍是瑞利范圍，從最小。這個范圍是瑞利范圍，從最小光斑處算起的這個長度叫瑞麗長度光斑處算起

17、的這個長度叫瑞麗長度 。200wz02w0z z002ww z0wRzz0z0w4 4、遠(yuǎn)場發(fā)散角、遠(yuǎn)場發(fā)散角遠(yuǎn)場發(fā)散角：遠(yuǎn)場發(fā)散角： 高斯光束振幅減小到中心最大值高斯光束振幅減小到中心最大值1/e1/e處與處與z z軸的交角。軸的交角。z包含在全角發(fā)散角范圍內(nèi)的功率占高斯基模光束總功率的包含在全角發(fā)散角范圍內(nèi)的功率占高斯基模光束總功率的86.586.521/0( )limezw zzfw21 /2e為全角發(fā)散角，是直徑為全角發(fā)散角，是直徑2 光束可能具有的最小發(fā)散角。光束可能具有的最小發(fā)散角。（3-1-23)3-1-23)0w三、高階高斯光束三、高階高斯光束波動方程在直角坐標(biāo)下可解得橫截面內(nèi)

18、的場分布，它可由厄米多項式與高斯函數(shù)波動方程在直角坐標(biāo)下可解得橫截面內(nèi)的場分布，它可由厄米多項式與高斯函數(shù)乘積描述：乘積描述： )(2exp)arctan()1 (expexp)(2)(2,220220zRkriwznmkzizwrzwyHzwxHzwwCzyxunmmnmn（3-1-24)3-1-24)式中式中 是歸一化常數(shù)。當(dāng)是歸一化常數(shù)。當(dāng)m0,n=0m0,n=0時，上式退化為基模高斯光束的表達(dá)式（時，上式退化為基模高斯光束的表達(dá)式（3-1-213-1-21），式），式中中 和和 分別為分別為m m階和階和n n階厄米多項式。階厄米多項式。mnc2( )xw zmH2( )yw znH1

19、 1、垂直于光軸的橫截面上的厄米高斯分布、垂直于光軸的橫截面上的厄米高斯分布高階高斯光束在垂直于光軸的橫截面上場振幅或光強(qiáng)的分布由厄米多項式與高斯函高階高斯光束在垂直于光軸的橫截面上場振幅或光強(qiáng)的分布由厄米多項式與高斯函數(shù)的乘積決定：數(shù)的乘積決定： )(2)(2exp22zwyHzwxHzwrnm對應(yīng)著不同整數(shù)對應(yīng)著不同整數(shù)m m和和n n，場振幅的橫向分布不同，場振幅的橫向分布不同2 2、高階模的總相移、波面的曲率半徑光斑半徑、高階模的總相移、波面的曲率半徑光斑半徑高階模的總相移與模階數(shù)高階模的總相移與模階數(shù)m m和和n n有關(guān)，表示為有關(guān)，表示為)arctan()1 ()(2(,202wz

20、nmzRrzkzyx（3-1-25)3-1-25)u相移因子隨模階數(shù)的變化導(dǎo)致了諧振腔中不同橫模之間諧振頻率的差異相移因子隨模階數(shù)的變化導(dǎo)致了諧振腔中不同橫模之間諧振頻率的差異. .u高階模波面的曲率半徑高階模波面的曲率半徑R(zR(z) )與模階數(shù)與模階數(shù)m m和和n n無關(guān)，說明在同一傳播距離無關(guān)，說明在同一傳播距離z z處，各階厄處，各階厄米高斯光束波面的曲率半徑都相同，且隨米高斯光束波面的曲率半徑都相同，且隨z z的變化規(guī)律也相同。的變化規(guī)律也相同。u高階光束的光斑半徑和光束發(fā)散角也隨模階數(shù)高階光束的光斑半徑和光束發(fā)散角也隨模階數(shù)m m和和n n而增大。而增大。3 3、波動方程在圓柱坐

21、標(biāo)系統(tǒng)下的場分布、波動方程在圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)下的場分布在圓柱坐標(biāo)下，高階高斯光束場的形式：由拉蓋爾多項式與高斯函數(shù)乘積描述：在圓柱坐標(biāo)下，高階高斯光束場的形式：由拉蓋爾多項式與高斯函數(shù)乘積描述： llzRriwzlpkzizwrzwrLzwrzwwCzrulplplplsincos)(2exp)arctan()21 (expexp)(2,22022220上式中上式中 為常數(shù)，為常數(shù)， 為締合拉蓋爾多項式，在垂直于光束的為締合拉蓋爾多項式，在垂直于光束的任意一個截面上，如果省略掉常數(shù)因子，振幅部分的表達(dá)式為：任意一個截面上，如果省略掉常數(shù)因子，振幅部分的表達(dá)式為：（3-1-26)3-1-26)lpc

22、22( )lprLw z llzwrzwrLzwrzrAlplplsincosexp2)(2,2222（3-1-27)3-1-27)arctan()21 ()(2(,202wzlpzRrzkzr在圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)中，高階光束的光斑半徑和光束發(fā)散角也隨模階數(shù)在圓柱坐標(biāo)系統(tǒng)中，高階光束的光斑半徑和光束發(fā)散角也隨模階數(shù)p p和和 而增大。而增大。四、高斯光束的孔徑四、高斯光束的孔徑根據(jù)（根據(jù)（3-1-213-1-21）式：）式： )(2exp)arctan(expexp,2202200zRriwzkzizwrzwwzyxu式（式（3-1-273-1-27）表示沿徑向）表示沿徑向r r和和p p個節(jié)線圈，

23、沿輻射角方向有個節(jié)線圈，沿輻射角方向有l(wèi) l根節(jié)線。根節(jié)線。 模高斯光束的總相移為：模高斯光束的總相移為：plTEM（3-1-283-1-28）l基?；?TEM(TEM0000模模) )高斯光束在某一橫截面上的光場振幅分布和光強(qiáng)分布：高斯光束在某一橫截面上的光場振幅分布和光強(qiáng)分布：220exp)(wrArA2202exp)(wrIrIr r為從光斑中心算起的距離，為從光斑中心算起的距離，w w為該截面處的光斑尺寸為該截面處的光斑尺寸功率透過率功率透過率T T：開孔半徑為：開孔半徑為a a的圓孔，高斯光束通過半徑為的圓孔，高斯光束通過半徑為a a的圓孔的功率的圓孔的功率PaPa與總的功與總的功

24、率率P P之比。之比。)2exp(1)()(22020020wardrdrIrdrdrIPPTaa 高斯光束功率透過率與孔徑的關(guān)系高斯光束功率透過率與孔徑的關(guān)系：w21ww23w2孔徑半徑孔徑半徑a a透過功率百分比透過功率百分比39.300086.500098.890099.9877（3-1-293-1-29）3-1-303-1-30（3-2-313-2-31）透過功率1.00.50.0086%99%d=w1a/w2a2w圖3-1-4 高斯光束通過功率與孔徑關(guān)系第二節(jié)第二節(jié) 高斯光束的傳輸高斯光束的傳輸一、普通球面波在自由空間的傳播規(guī)律一、普通球面波在自由空間的傳播規(guī)律普通球面波波前曲率半徑

25、隨傳播過程的變化為：普通球面波波前曲率半徑隨傳播過程的變化為：R1(z)R2(z)z1z2zL00R1R2zz11122( )( )R zzR zR zzzR zL（3-2-13-2-1）（3-2-13-2-1）式表示球面波在自由空間的傳播規(guī)律。）式表示球面波在自由空間的傳播規(guī)律。圖圖3-2-1 球面波的傳輸球面波的傳輸圖圖3-2-2 近軸球面波通過薄透鏡的傳輸近軸球面波通過薄透鏡的傳輸O Xf當(dāng)傍軸波面通過焦距為當(dāng)傍軸波面通過焦距為f f的透鏡時，其波前曲率半徑滿足關(guān)系的透鏡時，其波前曲率半徑滿足關(guān)系 ： 111RzR zf沿光束傳播方向的發(fā)散球面波曲率半徑為正沿光束傳播方向的發(fā)散球面波曲率

26、半徑為正, ,會聚球面波曲率半徑為負(fù)會聚球面波曲率半徑為負(fù). . 對球面波經(jīng)透對球面波經(jīng)透鏡的傳輸可表示為鏡的傳輸可表示為: :211211AxBxCxD21222( )( )( )xAR zBRzCRzD這個式子反映了近軸球面波曲率半徑的傳輸與光學(xué)系統(tǒng)矩陣元之間的關(guān)系這個式子反映了近軸球面波曲率半徑的傳輸與光學(xué)系統(tǒng)矩陣元之間的關(guān)系(3-2-2)(3-2-2)(3-2-3)(3-2-3)(3-2-4)(3-2-4)二二. . 高斯光束的復(fù)參數(shù)高斯光束的復(fù)參數(shù) q q 表示表示復(fù)參數(shù)復(fù)參數(shù)q q的定義的定義: :0( )q zziz211( )( )( )iq zR zz（3-2-53-2-5）

27、 具體來說，高斯光束可由波前曲率半徑具體來說，高斯光束可由波前曲率半徑R（z ）,光斑半徑光斑半徑W（z）和位置）和位置z中任意中任意兩個量來表述。因此引入兩個量來表述。因此引入復(fù)參數(shù)復(fù)參數(shù)q（z）將這三個量聯(lián)系起來。）將這三個量聯(lián)系起來。利用式（利用式（3-1-15），（），（3-1-16）代入（）代入（3-2-5）式，可得：）式，可得：（3-2-6）利用復(fù)參數(shù)利用復(fù)參數(shù)q可將（可將（3-1-21）式表示為：）式表示為： 200201exp()exparctan2( )wrzuiki kzw zq zw（3-2-7）研究高斯光束在空間的傳輸規(guī)律研究高斯光束在空間的傳輸規(guī)律, ,就是研究其光斑

28、半徑就是研究其光斑半徑 (z), (z), 波面曲率半徑波面曲率半徑 R(zR(z) ) 在在傳輸過程中的變化規(guī)律傳輸過程中的變化規(guī)律. . 2222200200222200( )1() ( )1() zzzzzzzR zzzz由上面兩式可得：由上面兩式可得：212222101() 1() RzRR三三. . 高斯光束高斯光束 q q 參數(shù)的傳輸參數(shù)的傳輸（3-1-15）（3-1-16）02zzzR z（3-2-10）還可得：還可得：（3-2-11）下面證明下面證明, , 高斯光束的復(fù)曲率半徑在傳輸過程中與球面波的曲率半徑所遵從的規(guī)律高斯光束的復(fù)曲率半徑在傳輸過程中與球面波的曲率半徑所遵從的規(guī)

29、律是相同的。根據(jù)（是相同的。根據(jù)（3-2-53-2-5）式復(fù)參數(shù)）式復(fù)參數(shù)q q的定義：的定義：211( )( )( )iq zR zz200( )q zizqz21211()()()()q zq zzzq zL可見高斯光束的復(fù)數(shù)曲率半徑與普通球面波的曲率半徑遵循相同的傳輸規(guī)律。可見高斯光束的復(fù)數(shù)曲率半徑與普通球面波的曲率半徑遵循相同的傳輸規(guī)律。（3-2-5）將（將（3-1-15）和（）和（3-1-16）代入（）代入（3-2-5）式，整理得：）式，整理得：（3-2-12）由（由（3-2-12）可推得：）可推得：（3-2-13）四四. . 高斯光束的高斯光束的 ABCD ABCD 定律定律現(xiàn)在討

30、論如何用矩陣方法來描述高斯光束的傳播和變換。高斯光束復(fù)參數(shù)現(xiàn)在討論如何用矩陣方法來描述高斯光束的傳播和變換。高斯光束復(fù)參數(shù)q q通過傳輸矩陣通過傳輸矩陣 的光學(xué)系統(tǒng)，其變換遵守的光學(xué)系統(tǒng)，其變換遵守ABCDABCD定律：定律：121AqBqCqDA A、B B、C C、D D為該光學(xué)系統(tǒng)的光線矩陣元，為該光學(xué)系統(tǒng)的光線矩陣元，q1q1和和q2q2分別為在入射平面分別為在入射平面(1)(1)和出射平面和出射平面(2)(2)的復(fù)光束參數(shù)。的復(fù)光束參數(shù)。光線傳輸?shù)木仃嚴(yán)碚摵透咚构馐煤唵蔚姆绞铰?lián)系起來，我們光線傳輸?shù)木仃嚴(yán)碚摵透咚构馐煤唵蔚姆绞铰?lián)系起來，我們可以把（可以把（3-2-14）寫成倒數(shù)形

31、式：）寫成倒數(shù)形式：A BMC D（3-2-14）222111CDqqABq（3-2-15）21nMMMM如果復(fù)參數(shù)如果復(fù)參數(shù)q1q1的高斯光束順次通過傳輸矩陣為的高斯光束順次通過傳輸矩陣為11111,ABMCD22222,ABMCD,nnnnnABMCD的光學(xué)系統(tǒng)后變?yōu)榈墓鈱W(xué)系統(tǒng)后變?yōu)閝n的高斯光束，如圖的高斯光束，如圖3-2-3所示，利用矩陣乘法法則，此時所示，利用矩陣乘法法則，此時ABCD定律亦成立，其中定律亦成立，其中ABCD為下面矩陣為下面矩陣M的諸元：的諸元：11112222DCBADCBADCBADCBAMnnnn（3-2-16）（3-2-17）zzw0www0RRqfqff第三

32、節(jié)第三節(jié) 高斯光束通過薄透鏡的變換高斯光束通過薄透鏡的變換圖圖3-3-1 薄透鏡對高斯光束的變換薄透鏡對高斯光束的變換當(dāng)傍軸波面通過焦距為當(dāng)傍軸波面通過焦距為f f的透鏡時，其波前曲率半徑滿足的透鏡時，其波前曲率半徑滿足 關(guān)系式關(guān)系式 ：fRR111出射光束在透鏡處的光斑尺寸滿足：出射光束在透鏡處的光斑尺寸滿足：lww 表示入射高斯光束在透鏡處的表示入射高斯光束在透鏡處的q參數(shù)：參數(shù)：fq211fiqRw 表示出射高斯光束在透鏡處的表示出射高斯光束在透鏡處的q參數(shù)：參數(shù)：lfq211llfiqRw（3-3-2）（3-3-3）根據(jù)上面四個式子可以得到：根據(jù)上面四個式子可以得到：111ffqfq距

33、離透鏡分別為距離透鏡分別為z z和和z zl l處的復(fù)參數(shù)：處的復(fù)參數(shù)：zqqffqqz將（將（3-3-73-3-7）式與（）式與（3-2-143-2-14）式代入（）式代入（3-3-43-3-4）式可以得到）式可以得到z zl l處的處的q ql l: :(1)()(1)zzzqzzffqqzff上式表明，已知透鏡的焦距，只要知道入射高斯光束的上式表明，已知透鏡的焦距，只要知道入射高斯光束的q q和和z z，就可求得出射高斯光，就可求得出射高斯光束在束在z zl l處的處的q ql l 。(3-3-7)(3-3-7)（3-3-4）（3-3-5）(3-3-6）將（將（3-3-73-3-7）式與

34、（）式與（3-2-143-2-14）式比較可得）式比較可得ABCDABCD諸矩陣元為諸矩陣元為DCqBAqq01/11AzfBzzzz fCfDz f （3-3-8）由此可知用傳輸矩陣由此可知用傳輸矩陣 也可計算出射高斯光束的也可計算出射高斯光束的q參數(shù)：參數(shù)：A BC D將（3-3-9）式和（3-3-10）式代入（3-3-7）式，得：200wiqq200wqqi（3-3-9）（3-3-10）0000(1) (1)()q qzzzzqqzzffff（3-3-11）由于由于q0和和q0都是虛數(shù)，所以上式的左右兩端的虛部和實部應(yīng)分別對等，于是得到下列兩式都是虛數(shù)，所以上式的左右兩端的虛部和實部應(yīng)分

35、別對等，于是得到下列兩式00qfzqfz0()zzqqz zff （3-3-12）（3-3-13）2020wfzwfz2200w wzzzzff將（將（3-3-9）（）（3-3-10）式代入，得：）式代入，得：（3-3-14）（3-3-15）2200242022(1)wwwzff由以上二式可得出由以上二式可得出W0和光腰所在位置的和光腰所在位置的Z的公式的公式為為：（3-3-16(3-3-17)(3-3-17)(3-3-18)(3-3-18)(3-3-19)(3-3-19)242022(1) 1(1)zfzfwzff為為了了討論討論方便起方便起見見（3-3-16）（）（3-3-17）式可改）式

36、可改寫為寫為：20242200221(1)wwzwff242022(1)1(1)zzfwzfff可進(jìn)一步寫成可進(jìn)一步寫成: :經(jīng)透鏡變換后的腰斑大小由（經(jīng)透鏡變換后的腰斑大小由（3-3-183-3-18）式?jīng)Q定，）式?jīng)Q定，經(jīng)透鏡變換后的束腰位置由（經(jīng)透鏡變換后的束腰位置由（3-2-193-2-19）式?jīng)Q定）式?jīng)Q定 下面討論（下面討論（3-3-183-3-18）（）（3-3-193-3-19）這兩個表達(dá)式）這兩個表達(dá)式, , 借以說明高斯光束通過薄透鏡的借以說明高斯光束通過薄透鏡的傳輸特點(diǎn)傳輸特點(diǎn). .。 （1 1）242022(1)wzff即：即：|, Rfzz（3-3-20）式中式中 為為入

37、射高斯光束的瑞利距離。入射高斯光束的瑞利距離。則則（3-3-19）式近似）式近似為為：Rz111zzff（3-3-21）圖3-3-2圖3-3-3 w0/w0與z/f的關(guān)系 （2）當(dāng)入射高斯光束的光腰處在薄透鏡前焦點(diǎn)附近時，我們可以把（）當(dāng)入射高斯光束的光腰處在薄透鏡前焦點(diǎn)附近時，我們可以把（3-3-16）寫成）寫成下面形式：下面形式：（3-3-22）0Ffww122021Fofzwww（3-3-23）0Ffww（3-3-24）WF是入射光束在透鏡前焦面上的光斑半徑是入射光束在透鏡前焦面上的光斑半徑. .(3-3-26)(3-3-26)002 1/22()1 Fzfwww0Ff（3-3-25）W

38、F是透鏡后焦面上的光斑半徑是透鏡后焦面上的光斑半徑式（式（3-3-24）表明只要測得透鏡焦面上的光斑）表明只要測得透鏡焦面上的光斑WF，就能根據(jù)下式求出入射光束，就能根據(jù)下式求出入射光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角（半角）：的遠(yuǎn)場發(fā)散角（半角）：這是測量光束發(fā)散角最常采用的方法。這是測量光束發(fā)散角最常采用的方法。第四節(jié)第四節(jié) 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦 現(xiàn)在討論高斯光束通過單透鏡的聚焦問題。我們利用（現(xiàn)在討論高斯光束通過單透鏡的聚焦問題。我們利用（3-3-163-3-16）（）（3-3-173-3-17式），式），分析分析 高斯光束高斯光束射腰斑射腰斑 0 0 隨隨 0 0 , z , f , z , f

39、的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。一一. f . f 一定一定, , w w0 0l l 隨隨 z z 的變化情況的變化情況將（將（3-3-163-3-16）式對）式對z z求一階偏導(dǎo)：求一階偏導(dǎo)：0023/20()()ww ffzzzzf這里這里 為共焦參數(shù)即瑞利距離為共焦參數(shù)即瑞利距離ZR，由此可得，由此可得200wz（3-4-1）1.0, 0,wzfz隨隨 z 減小減小 w0隨之減小隨之減小. z = 0 時達(dá)最小時，時達(dá)最小時，w0達(dá)到最小。達(dá)到最小。2002200min011fzf(3-4-2)(3-4-2)由（由（3-3-17）式可得：）式可得：021ffzz(3-4-3) 由由(3-4-2

40、) 和和(3-4-3) 可見可見, z=0 時時, 有有 0總小于總小于 0 , 故不論故不論 f 多大多大, 只要只要 f 0 , 總能起到會聚作用總能起到會聚作用,且且 z f , 即像方腰斑在透鏡的后焦點(diǎn)內(nèi)即像方腰斑在透鏡的后焦點(diǎn)內(nèi). f f 時時, w0 zf時，有： 式中式中 （3-4-3-4-7 7）且有且有z f若還滿足若還滿足 z w0 2= z0 , 則則W0= f w0z0z= fw0z(3-4-8)因此因此z 越大越大, f 越小越小, 聚焦效果就越好。聚焦效果就越好。3.當(dāng)當(dāng)Z=f時，這時時，這時w0達(dá)到極大值。達(dá)到極大值。00maxfww(3-4-9)且且z=f,僅當(dāng)

41、僅當(dāng) f 0 2= z0 , 透鏡才有會聚作用透鏡才有會聚作用.上面討論的結(jié)果可用圖上面討論的結(jié)果可用圖3-4-1表示。有圖知，只要表示。有圖知，只要 總能聚焦?？偰芫劢?。 ffz=fW0zf0 w0 fw0 1 + (z0 /f ) 2圖圖3-4-1 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦二二. z . z 一定一定, , w w0 0 隨隨 f f 而變的情況而變的情況 w0 f= w0 z0 + z ( z - f ) z0 + ( z - f ) 223/ 2(3-4-10)將（將（3-3-16）式對）式對f求一階偏導(dǎo)數(shù)，得：求一階偏導(dǎo)數(shù)，得：當(dāng)當(dāng)w0 和和 z 一定一定時時, w0隨隨 f 而

42、而變變的情的情況況如下如下圖圖:R(z)w012w010z1 / 2 R(z)圖圖3-4-2 1. 當(dāng)當(dāng) f = z 1 + ( )2 = R(z) 時時, （3-4-11） w0取極大值，亦可看出取極大值，亦可看出z0z(3-4-12)式中式中R(z), w(z) 為入射在透鏡前表面的波陣面曲率為入射在透鏡前表面的波陣面曲率半徑和光斑半徑。半徑和光斑半徑。2. f 0 , w0 隨隨 f 的減小而減小的減小而減小12當(dāng)當(dāng) f = R(z) 時時,w0= w0 (3-4-12)max120001 ( )( )zwww zz從圖可以看出，從圖可以看出， 對于一定的對于一定的z z 值值, , 只

43、有只有 f (1/2)R(z) f (1/2)R(z) 時時, , 透鏡才能對高斯光束起聚透鏡才能對高斯光束起聚焦作用焦作用, , 且且 f f 越小越小, , 聚焦聚焦 效果越好效果越好. . 當(dāng)當(dāng) f z f R(z)時時, w0 f f z f 時時, , 總會使高斯光束聚焦?？倳垢咚构馐劢?。 將（將（3-3-22）式寫成如下形式：）式寫成如下形式：w0= f (z)fD = F (3-4-14)焦焦深就是縱向聚焦范圍深就是縱向聚焦范圍, , 一般用束腰長度來表示一般用束腰長度來表示: : 2z0= 2 0 2(3-4-15)第五節(jié)第五節(jié) 高斯光束的自再現(xiàn)變換和高斯光束的自再現(xiàn)變換和

44、ABCDABCD定律在光學(xué)諧振腔中的應(yīng)用定律在光學(xué)諧振腔中的應(yīng)用應(yīng)同時滿足：應(yīng)同時滿足：W0= w0z= z (3-5-1)用用 q 參數(shù)來描述參數(shù)來描述, 即即:q(z=z) = q(3-5-2) 下面討論利用下面討論利用 ABCDABCD 定律來求解復(fù)雜光學(xué)諧振腔的基模光束參數(shù)定律來求解復(fù)雜光學(xué)諧振腔的基模光束參數(shù). . 我們用我們用 q q 參數(shù)來描述模參數(shù)來描述模的自再現(xiàn)變換的自再現(xiàn)變換. .當(dāng)高斯光束通過透鏡后模結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，稱為自再現(xiàn)變換。當(dāng)高斯光束通過透鏡后模結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，稱為自再現(xiàn)變換。A1 B1C1 D1A2 B2C2 D2pR1R2P為參考面為參考面 q為為p 處復(fù)光束

45、參數(shù)，光束在諧振腔中循環(huán)一周處復(fù)光束參數(shù)，光束在諧振腔中循環(huán)一周的變換矩陣為的變換矩陣為:=A BC DD2 B2C2 A21 0-2/R2 1A2 B2C2 D2A1 B1C1 D11 0-2/R1 1 D1 B1C1 A1 (3-5-3) q = 往返一周復(fù)參數(shù)按復(fù)參數(shù)傳輸?shù)耐狄恢軓?fù)參數(shù)按復(fù)參數(shù)傳輸?shù)腁BCDABCD定律為定律為: :A q + BC q + D (3-5-4)根據(jù)高斯光束在腔內(nèi)形成自再現(xiàn)模的條件為根據(jù)高斯光束在腔內(nèi)形成自再現(xiàn)模的條件為:q= q(3-5-5)將將(3-5-5) 代入代入 (3-5-4) 可得得: :q =A q + BC q + D由上式對1/q求解并等于（3-2-5）式：q1=( D - A )2B i 4 - ( A + D) 22B= R1- i 2 (3-5-6)式中 號的選取應(yīng)保證 為負(fù)值。24 () /(2 )A DB 從從 ( 3-5-6) 式可求出高斯模在參考面式可求出高斯模在參考面