彈塑性力學(xué)9厚壁圓筒

1、第9章 厚壁圓筒的分析 厚壁圓筒的彈性分析 厚壁圓筒的彈塑性分析 組合厚壁圓筒的分析 厚壁圓筒的殘余應(yīng)力 強化材料的厚壁圓筒 厚壁圓球的分析9-1 厚壁圓筒的彈性分析厚壁圓筒：厚壁圓筒：外半徑外半徑b與內(nèi)半徑與內(nèi)半徑a之比之比 b/a1.2它的它的幾何形狀幾何形狀對稱于中心軸，且沿筒體軸向無變化，對稱于中心軸，且沿筒體軸向無變化，圓筒的圓筒的載荷載荷分布亦對稱于中心軸，并沿軸向均相同。分布亦對稱于中心軸，并沿軸向均相同。 平面軸對稱問題平面軸對稱問題在這類問題中，應(yīng)力、應(yīng)變和位移量均與環(huán)向坐標(biāo)在這類問題中，應(yīng)力、應(yīng)變和位移量均與環(huán)向坐標(biāo)無關(guān)，而僅是徑向坐標(biāo)無關(guān)，而僅是徑向坐標(biāo) r 的函數(shù)。的函

2、數(shù)。采用極坐標(biāo)采用極坐標(biāo)( r ,)表示各應(yīng)力分量。表示各應(yīng)力分量。軸對稱性軸對稱性（應(yīng)力軸對稱）（應(yīng)力軸對稱）0r徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力僅是徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力僅是r的函數(shù)，與的函數(shù)，與無關(guān)，無關(guān)，)(),(rrr)(),(rrr由于軸對稱性，筒體只產(chǎn)生沿半徑方向的均勻膨脹由于軸對稱性，筒體只產(chǎn)生沿半徑方向的均勻膨脹和收縮，即只產(chǎn)生徑向位移和收縮，即只產(chǎn)生徑向位移)(ru軸向位移僅與軸向位移僅與z有關(guān)，即有關(guān)，即)(zwv 基本方程平衡方程：平衡方程：0rdrdrr幾何方程：幾何方程：rudrdur, 物理方程：物理方程：（平面應(yīng)力）（平面應(yīng)力）)(1)(1rrrEE)(1)(122rrrEE邊界

3、條件：邊界條件：uuSFSuSurSr上在位移上在力的邊界邊界（平面應(yīng)變）（平面應(yīng)變）)1 ()1 (2EEEv 位移解法幾何方程幾何方程物理方程物理方程)(1)(122drduruErudrduEr平衡方程平衡方程01222rudrdurdrud0)(1drrudrdrdrBAru1p2p)1 ()1(1)1 ()1(12222rBAErBAErconstAEr1)(1rzzE|當(dāng)當(dāng) （平面應(yīng)力）或（平面應(yīng)力）或 （廣義平面應(yīng)力）（廣義平面應(yīng)力）時，得時，得 ，即軸向應(yīng)變?yōu)槌Ａ?。，即軸向應(yīng)變?yōu)槌Ａ俊?zconstzzconst此時在此時在 z 方向為方向為均勻變形均勻變形，垂直于軸線的平面在

4、變，垂直于軸線的平面在變形過程中保持為平面。形過程中保持為平面。 邊界條件：邊界條件：21,ppbrrarr)1 ()()(),1 ()(222122222221abEppbaBabEbpapA222212222122222221222212221)(1)(abpbparabppbaabpbparabppbar應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：)1 (1)()1 (1222212221222rabpbparabppbaEu位移分量：位移分量：Lam 公式公式它和彈性常數(shù)無關(guān)，因而適用于兩類平面問題它和彈性常數(shù)無關(guān)，因而適用于兩類平面問題| 討論厚壁圓筒僅受內(nèi)壓厚壁圓筒僅受內(nèi)壓p1，即，即p2=0)1 (),

5、1 (222212222212rbabparbabpar)1 ()1 ()(22212rrbabEpau厚壁圓筒僅受外壓厚壁圓筒僅受外壓p2，即，即p1=0)1 (),1 (222222222222raabpbraabpbr)1 ()1 ()(22222rraabEpbu1p2p+-r-r-9-2 厚壁圓筒的彈塑性分析v 屈服條件Tresca屈服條件：屈服條件：)1 ()1 (2222222222rbabparbabpar厚壁圓筒僅受內(nèi)壓厚壁圓筒僅受內(nèi)壓 p1=p 作用的情況。作用的情況。的大小排序？的大小排序？zr,00平面軸對稱問題：平面軸對稱問題：0z平面應(yīng)力平面應(yīng)力)(rz平面應(yīng)變平面

6、應(yīng)變5 . 00z 為中間主應(yīng)力為中間主應(yīng)力srMises屈服條件：屈服條件：22222)()()(srzzr)(21rz平面應(yīng)變平面應(yīng)變ssr155. 132|在軸對稱平面應(yīng)變條件下，并設(shè)在軸對稱平面應(yīng)變條件下，并設(shè)=0.5，按兩種，按兩種屈服條件進入塑性狀態(tài)時，其應(yīng)力組合相同，所屈服條件進入塑性狀態(tài)時，其應(yīng)力組合相同，所滿足的條件僅相差一個系數(shù)。滿足的條件僅相差一個系數(shù)。|Tresca屈服條件的系數(shù)為屈服條件的系數(shù)為1；Mises屈服條件的系屈服條件的系數(shù)為數(shù)為1.155。v 彈塑性分析當(dāng)內(nèi)壓當(dāng)內(nèi)壓 p 較小時，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，較小時，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，)1 (),1 (2222

7、222222rbabparbabpar)(r在在r=a處，處，有最大值有最大值內(nèi)壁處最先屈服內(nèi)壁處最先屈服sarr)(彈性極限壓力彈性極限壓力)1 (222bapse%當(dāng)當(dāng) p pe 時，圓筒處于彈塑性狀態(tài)。時，圓筒處于彈塑性狀態(tài)。塑性區(qū)塑性區(qū)aprppq塑性區(qū)塑性區(qū)prra平衡方程：平衡方程：0rdrdrr屈服條件：屈服條件：sr0rdrdsrCrsrln邊界條件：邊界條件：parrpapCsplnpspsrparpar)ln1 (ln彈塑性交界面彈塑性交界面qprrrarpqpspln%當(dāng)當(dāng) p=pp pe 時，部分塑性部分彈性。時，部分塑性部分彈性。彈性區(qū)彈性區(qū)brrp彈性區(qū)彈性區(qū)bpr

8、q)1 ()1 (2222222222rbrbqrrbrbqrppppr彈塑性交界面彈塑性交界面)1 (222brqpssrrrp)(arpqpspln)1 (2ln22brarppspsp塑性極限壓力塑性極限壓力abpsllnbrp時，整個截面時，整個截面進入塑性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)brsrln)ln1 (brs| 應(yīng)力分布情況應(yīng)力分布情況彈性極限狀態(tài)彈性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)ep+r-pp彈塑性狀態(tài)彈塑性狀態(tài)r-+lpr-+r 絕對值的最大值發(fā)生在筒體的內(nèi)壁處；絕對值的最大值發(fā)生在筒體的內(nèi)壁處；的的 最大值隨著內(nèi)壓的增加而由內(nèi)壁移到外壁，最大值隨著內(nèi)壓的增加而由內(nèi)壁移到外壁，隨著塑性

9、區(qū)的擴大，應(yīng)力分布也變得隨著塑性區(qū)的擴大，應(yīng)力分布也變得“緩和緩和”些。些。v 彈塑性狀態(tài)下的位移塑性區(qū)塑性區(qū)prra平面應(yīng)變平面應(yīng)變0z體積不可壓縮體積不可壓縮0r利用幾何方程利用幾何方程0rudrdurCu1彈性區(qū)彈性區(qū)brrp)21()()1 (2222rbrrbEqrupp塑性區(qū)塑性區(qū)aprppq彈性區(qū)彈性區(qū)bprqq為彈性為彈性極限載荷極限載荷)21()1 (2122222brrEbrusp彈塑性交界處位移彈塑性交界處位移u的連續(xù)條件的連續(xù)條件)(prr )21()1 (2122221brEbrCpsp)21()1 (2122222brrEbrupsp塑性區(qū)：塑性區(qū)： arupoeu

10、eplulp厚壁圓筒內(nèi)表厚壁圓筒內(nèi)表面處徑向位移面處徑向位移與內(nèi)壓的關(guān)系與內(nèi)壓的關(guān)系v 圓筒端面條件的影響工程中的圓筒，其端部通常為開口或閉口。工程中的圓筒，其端部通常為開口或閉口。前面討論中假設(shè)的平面應(yīng)變狀態(tài)，與實際情況的差別前面討論中假設(shè)的平面應(yīng)變狀態(tài)，與實際情況的差別對結(jié)果的有多大影響呢？對結(jié)果的有多大影響呢？彈性狀態(tài)下的軸向應(yīng)力彈性狀態(tài)下的軸向應(yīng)力)(rzzE)1 (),1 (2222222222rbabparbabpar2222abapEzz若筒體端部軸向合力為若筒體端部軸向合力為F，則按，則按圣維南條件圣維南條件有有bazAzrdrdAF2)2()(2222paFabEaz| 討論

11、端部為端部為閉口時，閉口時，paF2pabEaz)()21 (222222()zapba端部為開端部為開口時，口時，0FpabEaz)(22220z2222abapEzz)2()(2222paFabEaz平面應(yīng)變條件下平面應(yīng)變條件下，0zpabarz2222)(平面應(yīng)變介于前兩種情平面應(yīng)變介于前兩種情況之間，且接近于端部況之間，且接近于端部為閉口的情況，為閉口的情況，= 0.5時，兩種情況重合。時，兩種情況重合。9-3 組合厚壁圓筒的分析當(dāng)厚壁圓筒的內(nèi)半徑尺寸固定時，為了提高塑性當(dāng)厚壁圓筒的內(nèi)半徑尺寸固定時，為了提高塑性承載力，可以采用承載力，可以采用增加壁厚增加壁厚的方法。的方法。abpsl

12、ln%考慮到某些因素（反復(fù)加卸載）時，壁厚的增加考慮到某些因素（反復(fù)加卸載）時，壁厚的增加受到限制；受到限制；%按彈性設(shè)計，彈性極限壓力的提高隨壁厚的增加按彈性設(shè)計，彈性極限壓力的提高隨壁厚的增加并不明顯。并不明顯。)1 (222bapse組合厚壁圓筒lpb,2sv 圓筒的套裝abcab12bc套裝處的套裝處的過盈量過盈量：21采用采用加熱外筒方式加熱外筒方式進行套裝進行套裝若溫度升高若溫度升高T線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)外筒內(nèi)半徑的膨脹量外筒內(nèi)半徑的膨脹量TbbbT 套裝后在兩個筒體的套裝后在兩個筒體的套裝面套裝面上將產(chǎn)生上將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力均勻的壓應(yīng)力ab12bcpp內(nèi)筒外半徑處：內(nèi)筒外半徑處：

13、)(22221ababEpbubr外筒內(nèi)半徑處：外筒內(nèi)半徑處：)(22222bcbcEpbubr21幾何條件幾何條件套裝壓力套裝壓力2222222()()2()ppEbacbbca| 套裝套裝應(yīng)力分布情況應(yīng)力分布情況彈性極限狀態(tài)彈性極限狀態(tài)ep+套裝應(yīng)力分布套裝應(yīng)力分布+-+p2材料的屈服極限沿筒體厚度的變化規(guī)律：材料的屈服極限沿筒體厚度的變化規(guī)律：)25()()2()21()() 1 (00arrarrssss平衡方程：平衡方程：0rdrdrr屈服條件：屈服條件：)(rsr0, 0rCrarsr)ln21(0)211(0radrdsr情況情況(1)(1)邊界條件：邊界條件：21,ppbrra

14、rrCbpCapss)ln211 (,)ln211 (02010021653. 0)ln21(ssabaabpp情況情況(2)(2)0021733. 0)ln25(ssaababpp屈服極限為常數(shù)屈服極限為常數(shù)0021693. 0lnssabpp|從選材來講，從選材來講，提高內(nèi)表面處的屈服極限提高內(nèi)表面處的屈服極限可以提高可以提高塑性塑性極限承載能力；極限承載能力；|使用屈服極限高的材料作為內(nèi)筒使用屈服極限高的材料作為內(nèi)筒可以獲得較高的可以獲得較高的塑性塑性極限承載能力。極限承載能力。v 兩種不同材料的組合厚壁圓筒兩種不同材料的組合厚壁圓筒abcp2s1s平衡方程：平衡方程：0rdrdrr屈服

15、條件：屈服條件：1srCrsrln1邊界條件：邊界條件：qpbrrlarr,內(nèi)筒內(nèi)筒外筒外筒abqpslln1塑性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)bcqsln2塑性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)bcabpssllnln21illlppp219-4 厚壁圓筒的殘余應(yīng)力作用于厚壁圓筒內(nèi)表面上的壓力超過彈性極限壓力作用于厚壁圓筒內(nèi)表面上的壓力超過彈性極限壓力時，筒體內(nèi)出現(xiàn)塑性變形。時，筒體內(nèi)出現(xiàn)塑性變形。若將作用的壓力卸至零，在筒體中所卸除的應(yīng)力服若將作用的壓力卸至零，在筒體中所卸除的應(yīng)力服從從彈性規(guī)律彈性規(guī)律，卸載后在筒體內(nèi)將出現(xiàn)，卸載后在筒體內(nèi)將出現(xiàn)殘余應(yīng)力殘余應(yīng)力。殘余應(yīng)力是結(jié)構(gòu)經(jīng)歷彈塑性變形歷史后殘余應(yīng)力是結(jié)構(gòu)經(jīng)

16、歷彈塑性變形歷史后零外載零外載對應(yīng)對應(yīng)的一種應(yīng)力場。的一種應(yīng)力場。eijijrij彈性區(qū)彈性區(qū)塑性區(qū)塑性區(qū)abpppr殘余的應(yīng)力分量：殘余的應(yīng)力分量：)1 ()ln1 ()1 (ln2222222222raabpbarraabpbarpsrpsrr卸除的應(yīng)力分量：卸除的應(yīng)力分量：)1 ()1 (2222222222rbabparbabpapeper塑性區(qū)塑性區(qū)prra彈性區(qū)彈性區(qū)brrp)1 (2)1 (222222222222222rbabpabrrbabpabrppsrppsrr軸向軸向殘余應(yīng)力分量殘余應(yīng)力分量端部為端部為開口時，開口時，端部為閉端部為閉口時，口時，0z平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力

17、問題0rz平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題21)(21rrrrz222)ln21 (2abpbarpsrz塑性區(qū)塑性區(qū)prra彈性區(qū)彈性區(qū)brrp222222abpabrppsrz| 殘余殘余應(yīng)力分布情況應(yīng)力分布情況由由 pl 開始卸載開始卸載lp由由 pp 開始卸載開始卸載pp-r+rr-r+rr- 殘余應(yīng)力的屈服條件：殘余應(yīng)力的屈服條件：srrr在在r=a處，處，產(chǎn)生最大值。產(chǎn)生最大值。rrr 卸載不產(chǎn)生卸載不產(chǎn)生反向屈服反向屈服的條件：的條件：esppbap2)1 (22max),2min(maxlepppp9-5 強化材料的厚壁圓筒v 冪強化材料的厚壁圓筒abp材料的應(yīng)力材料的應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系：應(yīng)變關(guān)系：nAA材料常數(shù)；材料常數(shù)；n 強化指數(shù)。強化指數(shù)。0 n pe 時，圓球處于時，圓球處于彈塑性彈塑性狀態(tài)。狀態(tài)。ozyxpp彈性區(qū)彈性區(qū)塑性區(qū)塑性區(qū)abpr塑性區(qū)塑性區(qū)prra平衡方程：平衡方程：屈服條件：屈服條件：srCrsrln邊界條件：邊界條件：qpprrrparr,