數(shù)字信號(hào)處理-第6章

1、第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.1 引言引言 6.2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 6.3 離散小波變換離散小波變換 6.4 小波分析的應(yīng)用小波分析的應(yīng)用 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.1 引引 言言 小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)分析和信號(hào)處理領(lǐng)域中迅速發(fā)展起來的一套新理論、新方法，至今才僅有十余年的歷史。 與傳統(tǒng)的傅里葉(Fourier)變換、加窗傅里葉變換相比，小波變換是一個(gè)時(shí)間和尺度上的局域變換， 因而能有效地從信號(hào)中提取信息， 通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度分析（Multiscale Analysis），從而解決傅里葉變換不能解決

2、的許多問題。 因此小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，并且通過物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)地建立了反演公式。早在20世紀(jì)70年代， A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、 Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究都為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備， 而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基； 1986年，著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基， 并與S. Mallat合作建立了構(gòu)造小波基與多尺度分析。 之后， 小 波 分 析 才 蓬

3、 勃 發(fā) 展 起 來 ， 其 中 ， 比 利 時(shí) 女 數(shù) 學(xué) 家I.Daubechies撰寫的小波十講(Ten Lectures on Wavelets)對(duì)小波的普及起了重要的推動(dòng)作用。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起的。在許多學(xué)科領(lǐng)域，如：信號(hào)分析、圖像處理、 量子力學(xué)、 軍事電子對(duì)抗與武器的智能化， 計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別、 數(shù)據(jù)壓縮、醫(yī)學(xué)成像與診斷，地震勘探數(shù)據(jù)處理、邊緣檢測(cè)、 音樂與語音人工合成、大型機(jī)械的故障診斷、大氣與海洋波的分析、分形力學(xué)、流體湍流以及天體力學(xué)等方面， 都已獲得了廣泛的應(yīng)用。其具體的應(yīng)用實(shí)例包括：數(shù)學(xué)方面的數(shù)值分

4、析、 構(gòu)造快速數(shù)值方法、 曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等，信號(hào)分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、 傳遞等，圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識(shí)別與診斷、去污等，醫(yī)學(xué)成像方面的縮短B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間以及提高分辨率， 等等。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 現(xiàn)如今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的重要組成部分。眾所周知，信號(hào)處理的目的是準(zhǔn)確的分析、正確的診斷、 編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、 精確的重構(gòu)或恢復(fù)。 而小波分析的許多應(yīng)用都可以歸結(jié)為信號(hào)處理的問題。目前， 對(duì)于平穩(wěn)的時(shí)不變信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅里葉分析。 但是在實(shí)際應(yīng)用中所遇到的信號(hào)絕大多數(shù)是非平穩(wěn)的，小波分析為分析

5、這種非平穩(wěn)信號(hào)提供了有效的處理工具。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 6.2.1 6.2.1 從短時(shí)傅里葉變換到小波變換從短時(shí)傅里葉變換到小波變換 由第五章時(shí)頻分析部分的介紹可知，短時(shí)傅里葉變換通過引入一個(gè)滑動(dòng)的窗函數(shù)w(t)，然后對(duì)窗函數(shù)內(nèi)的信號(hào)與窗函數(shù)的乘積進(jìn)行傅里葉變換，再讓窗函數(shù)沿時(shí)間軸移動(dòng)， 就可得到信號(hào)頻譜隨時(shí)間變化的規(guī)律。 這樣， 信號(hào)x(t)對(duì)于給定的窗口函數(shù)w(t)的短時(shí)傅里葉變換: de )()(),(STFTj -*xtwxt（6.2.2） 給出了信號(hào)x(t)的時(shí)間和頻率的二維分布。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 對(duì)于（6.2.

6、2）式定義的短時(shí)傅里葉變換， 如果取高斯(Gauss)函數(shù)作為窗函數(shù)，即 4221)()(tetgtw0 （6.2.3） 則此時(shí)窗口傅里葉變換演變成了戈伯(Gabor)變換: d)()e )(),(GTjtgxtx（6.2.4） 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 不論是短時(shí)傅里葉變換還是戈伯變換，由于使用了一個(gè)可移動(dòng)的時(shí)間窗函數(shù)，使其具有了一定的時(shí)間分辨率。但是，它們還存在一些自身的問題，其中最主要的就是時(shí)間分辨率與頻率分辨率之間的矛盾。根據(jù)海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理, 我們不可能知道在任何一個(gè)時(shí)刻存在何種頻率分量，最多我們可以了解在某一個(gè)時(shí)間段上存在的頻譜分量。對(duì)于時(shí)間，我們可以準(zhǔn)確地確定某一個(gè)時(shí)

7、間點(diǎn)，但是頻率則是另外的一個(gè)概念，它指的是在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，某一個(gè)量的變化次數(shù)，這從頻率的定義中就可以看得到。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.1 不同窗寬下分段正弦信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換結(jié)果 (d )(a)(b)(c)a0.01a0.001a0.00010500100010.500500100010.500500100010.50ga(t)ga(t)ga(t)(a)(b)(c)AMPLITUDE105025020015010050001020304050FREQUENCYTIMEAMPLITUDE15050020015010050001020304050100FREQUENCYT

8、IMEAMPLITUDE10050025020015010050001020304050150FREQUENCYTIMEttt第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.2.2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 1. 連續(xù)小波變換的定義連續(xù)小波變換的定義 設(shè)x(t)是平方可積函數(shù)，記作 ，(t)是基小波或“母小波函數(shù)”，則 )()(2RLtx )(),(d)(1),(*ttxtattxaaWTax (6.2.5) 稱之為x(t)的連續(xù)小波變換。顯然，該變換與兩個(gè)參數(shù)a和有關(guān)，其中a0 被稱為尺度因子，而則反映小波函數(shù)在變換中的位移。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 之所以命名為小波變換, 主要是基于以

9、下兩方面的原因： 其一，小波的“小”是指它的基函數(shù)的支撐區(qū)域是有限的，“波”是指基函數(shù)是振蕩的; 母小波則是指所有在變換中用到的窗函數(shù)都是由它推導(dǎo)而來，或者說母小波是其它窗函數(shù)的原型；其二，變換的概念與短時(shí)傅里葉變換是一樣的， 但是并不像在STFT中得到關(guān)于信號(hào)的頻率參數(shù)，而是得到尺度參數(shù)， 它被定義為頻率的倒數(shù)。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 對(duì)這樣的定義方式作如下說明： （1） 基小波函數(shù)可能為復(fù)函數(shù)，例如Morlet小波的表達(dá)式為 tjTtt02ee)(/ (6.2.6) 它是在高斯包絡(luò)下的負(fù)指數(shù)函數(shù)。 （2） 尺度因子的作用是將基小波作伸縮變換，在不同的尺度因子下，小波的持續(xù)時(shí)間

10、隨a的加大而增寬。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 （3） 在a前面所加的因子的作用是保證在不同的尺度因子下的小波函數(shù)的能量保持一致。即，設(shè)E= |(t)|2 dt作為基本小波的能量，則對(duì)基本小波進(jìn)行移位和伸縮后得到的a(t)的能量為 a/1EtatatataE d1d122(6.2.7)第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2. 2. 小波變換與短時(shí)傅里葉變換的比較小波變換與短時(shí)傅里葉變換的比較 將小波變換與短時(shí)傅里葉變換作比較，我們將會(huì)看到兩者的聯(lián)系。連續(xù)小波變換是短時(shí)傅里葉變換的一個(gè)發(fā)展，它的提出解決了分析的精度問題。兩者具有類似的操作，都要與一個(gè)“窗函數(shù)”相乘，并且變換都是在時(shí)間域上

11、分段進(jìn)行的。小波變換與短時(shí)傅里葉變換的不同之處在于： （1） 對(duì)于加窗后的信號(hào)并不是進(jìn)行傅里葉變換，所以信號(hào)變換后的表現(xiàn)形式是不同的； （2） 窗函數(shù)的寬度在對(duì)每一個(gè)單獨(dú)的頻譜計(jì)算時(shí)是變化的， 這也是小波變換的一個(gè)最顯著的特征。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 需要明確的是：在小波變換中的尺度類似于地圖中的比例尺，大的比例對(duì)應(yīng)的是一個(gè)對(duì)信號(hào)的全局的概略描述，而小的比例則相應(yīng)地對(duì)應(yīng)于細(xì)節(jié)性的描述。從信號(hào)頻率的角度來看， 低的頻率（大尺度）對(duì)應(yīng)信號(hào)的整體信息，而高頻率分量則對(duì)應(yīng)于在信號(hào)內(nèi)部隱藏的細(xì)節(jié)信息。在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中， 高頻分量（對(duì)應(yīng)小波分析的小尺度）一般并不是持續(xù)于信號(hào)的始終,而是在某些

12、時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)，表現(xiàn)為信號(hào)上的尖峰； 低頻分量通常則是有著長(zhǎng)的持續(xù)時(shí)間。這些是多分辨分析方法的物理基礎(chǔ)。在具體計(jì)算中，為方便起見，小波變換通常從尺度1開始，其后尺度不斷增大，因此對(duì)于頻率的分析也從高頻分析向低頻分析的方向進(jìn)行。在短時(shí)傅里葉變換中， 不同的時(shí)刻和不同的頻率上都采用相同的分辨率， 而小波變換則對(duì)不同的頻率分量采取不同的分析精度。第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖6.2.2給出了小波變換的分辨率特性的圖解。由圖示可知，在分析低頻成分時(shí)采用長(zhǎng)的時(shí)間窗和短的頻率窗，而分析高頻成分時(shí)則采用短的時(shí)間窗和長(zhǎng)的頻率窗。值得注意的是,小波變換中的變換軸和尺度軸并不是對(duì)應(yīng)于STFT中的時(shí)間軸和頻率

13、軸， 它們只是在變換運(yùn)算中的計(jì)算的樣本。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.2 小波變換的分辨率特性的圖解 時(shí)間頻率第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 3. 3. 連續(xù)小波變換的頻率域表達(dá)式連續(xù)小波變換的頻率域表達(dá)式在定義了連續(xù)小波變換后， 對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行傅里葉變換, 可以得到 ajjXaaxde )()(2),(WTj*其中X()和()分別對(duì)應(yīng)于信號(hào)x(t)與母小波函數(shù)(t)的傅里葉變換。 (6.2.8)式可以由傅里葉分析理論簡(jiǎn)單得到證明： )()()()(*jjXttx所以有 )()()(1*ajjXaattxa第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 推出 eajjXaajxd)

14、()(2),(WT*從以上的表達(dá)式可以看到, 從頻域上來看，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換的傅里葉變換相當(dāng)于信號(hào)的頻譜與小波函數(shù)頻譜共軛的乘積， 因此相應(yīng)地有如下結(jié)論： 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 （1） 如果()是幅頻特性比較集中的帶通函數(shù)，則小波變換便具有表征待分析信號(hào)X()頻域上局部性質(zhì)的能力。 例如，對(duì)于Morlet小波的頻譜 便具有這樣的特點(diǎn)， 如圖6.2.3(a)所示它是中心頻率在0的高斯型函數(shù)。 tTtt02j/-ee)(420)(e/)(TT第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 （2） 對(duì)應(yīng)于從母小波函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到的小波基而言，膨脹系數(shù)a取得越大，則小波基的支撐區(qū)域越大，

15、而反映在頻域上，則相應(yīng)的小波基的傅里葉變換的寬度就越大。在后續(xù)的部分可以證明：在小波變換的結(jié)果中，大的尺度對(duì)應(yīng)的是信號(hào)中的低頻分量，而小的尺度則對(duì)應(yīng)于信號(hào)的高頻部分。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 （3） 采用不同的尺度a作處理時(shí)，各個(gè)(a)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率帶寬”為常數(shù)。 仍以Morlet小波為例：當(dāng)a=1 時(shí)，(t)的傅里葉變換的中心頻率為0，帶寬為 。而取a2 時(shí), (t/2)的傅里葉變換為，因此這時(shí)的中心頻率為0 /2，而相應(yīng)的帶寬也降到， 如圖6.2.3(b)所示。 顯然， 兩種情況下具有相同品質(zhì)因數(shù)， 即 T/12202-e

16、/2)2(2TTT/1TTQ/12/1200第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.3 尺度伸縮時(shí)小波函數(shù)的恒Q性 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.2.3 連續(xù)小波變換的性質(zhì)連續(xù)小波變換的性質(zhì) 根據(jù)連續(xù)小波變換的定義, 可以得到如下的性質(zhì)： 1. 疊加性疊加性 如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,)，y(t)的連續(xù)小波變換是WTy(a,)，則z(t)=k1x(t)+k2y(t) 的連續(xù)小波變換是k1WTx(a,)+k2WTy(a,)。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2. 時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì) 如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,)，則x(t-t0)的連續(xù)小波變換是WT

17、x(a,-t0)，也就是說，x(t)的時(shí)移-t0對(duì)應(yīng)于小波變換的移位t0 。 3. 尺度變換尺度變換 如果x(t)的連續(xù)小波變換是WTx(a,)，則有 的連續(xù)小波變換是 tx0,WTax。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 4. 交叉項(xiàng)的性質(zhì)交叉項(xiàng)的性質(zhì) 由于連續(xù)小波變換是線性變換，滿足疊加性，因此不存在交叉項(xiàng)，但是由它引申出的能量分布函數(shù)|WTx(a,)|2卻有以下交叉項(xiàng)的表現(xiàn)： 設(shè)x(t)=x1(t)+x2(t)，則有 212121cos| ),(WT| ),(WT|2| ),(WT| ),(WT| ),(WT|222xxxxxxxaaaaa其中 和 分別是 和的輻角。 1x2x),(W

18、T1ax),(WT2ax第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 5. 5. 小波變換的內(nèi)積定理小波變換的內(nèi)積定理 以基小波(t)分別對(duì)x1(t)和x2(t)作小波變換。設(shè)x1(t)的連續(xù)小波變換是 )(),(),(WT11ttxaax(6.2.10) x2(t)的連續(xù)小波變換是 )(),(),(WT22ttxaax(6.2.11) 其中 atata1)(第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 則有 )(),(),(WT),(WT2121txtxcaaxx式中 cd)(20(6.2.12) 該定理稱之為小波變換的內(nèi)積定理，也稱為Moyal定理。 (6.2.12)式可以寫為更加明確的形式， 左邊的內(nèi)積是對(duì)

19、a和的雙重積分，有 ttxtxcttxttxaaaad)()(d)(),()(),(d*212102(6.2.13) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.2.4 小波變換的反演以及對(duì)基小波的要求小波變換的反演以及對(duì)基小波的要求 1. 容許條件容許條件 當(dāng) tcd| )(|)(20時(shí)才能夠由函數(shù)的小波變換WTx(a,)反演出原函數(shù)x(t)。這時(shí)有 d1),(WTd1d)(),(WTd1)(2020 ataaaactaaactxxax(6.2.14) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 在上面的表達(dá)式中 tcd| )(|)(20就是對(duì)(t)提出的容許性條件。 從上面的容許性條件我們也可以看到：

20、能夠用來作為基小波(t)的函數(shù)，最起碼要滿足(=0)=0。這說明()必須具有帶通性質(zhì)，而且(t)必然是具有正負(fù)幅度交替的振蕩波形，這也是“小波”之名的由來。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 證明證明 因?yàn)?0d )()0(de )()(tttttj所以 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2. 2. 能量的比例性能量的比例性 根據(jù)分析, 對(duì)連續(xù)小波變換能夠得到類似于傅里葉分析中的巴塞瓦爾定理的結(jié)論，即小波變換的幅度平方的積分和信號(hào)的能量成正比, ttxcaaaxd| )(|d| ),(WT|d2202(6.2.15) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 3. 正規(guī)性條件正規(guī)性條件 對(duì)于函數(shù)

21、而言，當(dāng)滿足小波變換的容許性條件時(shí)，就可以作為基本的小波函數(shù)，但是在實(shí)際上的要求往往要更高一些， 對(duì)基小波函數(shù)還提出了“正規(guī)性條件”。 這是為了使()在頻域上有更好的局部特性。而為了達(dá)到此目的，要求|WTx(a,)|隨著a的減小而迅速減小。這就要求(t)的前n階原點(diǎn)矩等于0， 而且n值越高越好，即要求： , 0d)(tttpp=1n (6.2.16) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 此要求的相應(yīng)頻域表示為：()在=0 處有高階零點(diǎn)， 且階次越高越好（一階零點(diǎn)為容許條件）, 0)0(),()(001n(6.2.17) 式中，n愈大愈好。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 4. 小波變換的重

22、建核（小波變換的重建核（Reproducing Kernel）與重建核方程）與重建核方程 重建核方程是小波變換的另一個(gè)重要性質(zhì)，它說明小波變換的冗余性。即a-在半平面上的各個(gè)點(diǎn)的小波變換是相關(guān)的。 在(a0,0)處的小波變換WTx(a0,0)可以表示成半平面(aR+, R)上其它各處WT值的總貢獻(xiàn)： d),(),(WTd),(WT0002000aaKaaaaxx第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 在上面的表達(dá)式中， )(),(1d111d)()(1),(000000*0*00ttctataatactttcaaKaaaa(6.2.19)可以看出,K是小波函數(shù)a(t)與 的內(nèi)積，它反映的是兩者的相

23、關(guān)程度，稱為重建核；而(6.2.18)式稱為重建核方程。 )(00ta第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.2.5 6.2.5 幾種常用的基本小波基幾種常用的基本小波基 1. Morlet1. Morlet小波小波 Morlet小波是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)， 即 22002)-( -j2e2)(ee)(tttt(6.2.20) (6.2.21) 圖6.2.4是Morlet小波（0=6），其中，實(shí)線代表實(shí)部，虛線代表虛部。這是一個(gè)經(jīng)常會(huì)用到的小波，從它的表達(dá)式以及傅里葉變換中我們可以看到， 該小波的時(shí)域和頻域的局部特性都比較好。雖然從嚴(yán)格的意義上來講， 它并不是有限支撐的， 同時(shí)也不滿足

24、容許條件，因?yàn)?=0)0。 不過在實(shí)際工作中，只要取05，便近似地滿足這一條件。另外， 由于()在=0 處的斜率很小，所以它在=0 處的一、 二階導(dǎo)數(shù)也是近似為 0 的。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.4 Morlet小波時(shí)頻域波形第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2. Marr2. Marr小波（墨西哥草帽小波）小波（墨西哥草帽小波）Marr小波是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（差負(fù)號(hào)）， 它的表達(dá)式如下： 222222e2)(e )1 ()(ttt(6.2.22) (6.2.23) 其波形圖見圖6.2.5。在=0 處，()有二階零點(diǎn)，所以滿足容許條件，而且其小波系數(shù)隨衰減得很快。M

25、arr小波比較接近人眼的空間響應(yīng)特性。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.5 Marr小波時(shí)頻域波形 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 3. DOG3. DOG（Difference of GaussianDifference of Gaussian）小波）小波DOG小波是兩個(gè)尺度差 1 倍的高斯函數(shù)之差， 其表達(dá)式為 22222282ee2)(e21e)(ttt (6.2.24) (6.2.25) 其波形圖見圖 6.2.6。 它也保證(=0)=0及 ，即在=0 處有二階零點(diǎn)。 0)0(/ )(第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.6 DOG小波時(shí)頻域波形 第六章 小

26、波分析的基本原理及其應(yīng)用 4. Harr4. Harr小波小波 Harr小波函數(shù)是一組互相正交歸一的函數(shù)集，它是支撐域在t0,1范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波, 即 12112101)(ttt(6.2.26) 由于 , 但, 因此，()在=0 處只有一階零點(diǎn)。 0d)(tt 0d)(ttt第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 Harr小波在時(shí)間域上是不連續(xù)的，因此作為基小波性能并不是很好，但它同時(shí)也具有如下的優(yōu)點(diǎn)：一是計(jì)算方便；二是(t)不但與(2jt)(jZ)相正交，即(t)(2jt)dt=0, 而且也與自己的整數(shù)位移正交，即 (t)(t-k) dt=0。 因此，在a=2j的多分辨率系統(tǒng)構(gòu)成一組最簡(jiǎn)單的正

27、交歸一的小波族。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 5. 樣條小波（樣條小波（Spline Wavelet） 樣條函數(shù)在曲線擬合中是用來使擬合的曲線不但本身平滑， 而且導(dǎo)數(shù)也平滑的函數(shù)。因此，它必定是低通函數(shù)，不是帶通函數(shù)，不能用作小波。但是，樣條函數(shù)卻能夠?qū)С鲆唤M具有帶通性質(zhì)的小波函數(shù)。下面對(duì)樣條小波作以簡(jiǎn)單說明。 三次樣條函數(shù)在任意兩個(gè)整數(shù)k, k+1 之間，用一個(gè)三次多項(xiàng)式來表示，而且整個(gè)曲線一次連續(xù)可微。三次樣條小波的頻率域表達(dá)式是 88482j2)(2)(e (6.2.27) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 式中 2sin322cos702cos2sin2)(2cos2sin3

28、02cos305)(2sin105)()()(6424222218218NNNN8()是的 6 階導(dǎo)數(shù)。三階樣條小波的圖形見圖6.2.7，它在 =0 處有三階零點(diǎn)。 2sin4/1)(22 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.7 三次樣條小波時(shí)頻域波形 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6. Daubechies小波小波 法國(guó)學(xué)者Daubechies對(duì)尺度取 2 的整數(shù)次冪，即a=2j,jZ+ 條件下的小波變換進(jìn)行了較為深入的研究, 提出了一類具有以下特點(diǎn)的小波，該小波故命名為Daubechies小波。 （1） 在時(shí)域上是有限支撐的，即(t)的長(zhǎng)度有限。而且其高階原點(diǎn)矩 N的值越

29、大，(t)的長(zhǎng)度就越長(zhǎng)。 （2） 在頻域上，()在=0 處，有N階零點(diǎn)。 （3） (t)和它的整數(shù)位移正交歸一， 即 ,N,0, 0d)(NNptttpktkttd)()(第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 有關(guān)(t)的若干結(jié)果列舉如下： （1） 小波函數(shù)(t)可以由所謂的“尺度函數(shù)”（Scaling function）(t)求出來。(t)的長(zhǎng)度有限，支撐域在t=0(2N-1)范圍內(nèi)。圖6.2.8左邊示出不同N值下的 (t)波形。 （2） (t)是(2t)的位移加權(quán)和： )2()(ktgtkk(6.2.28) k的范圍為2-2N1。N值不同，權(quán)重gk的值也不同，如表6.2.1所列。由于(t)是

30、有限支撐的，因而由式(6.2.28)求得的(t)也是有限支撐的。它的長(zhǎng)度和(t)一樣，也是 2N-1，如圖6.2.8 右邊所示。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.8 N=2,3,4,5,7,10 時(shí)各階Daubechies小波(t)和相 應(yīng)的尺度函數(shù)(t)(一) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.2.8 N=2,3,4,5,7,10 時(shí)各階Daubechies小波(t)和相 應(yīng)的尺度函數(shù)(t)(二) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.3 離散小波變換離散小波變換 從連續(xù)小波變換的重建核方程的討論中可以看到： 對(duì)一維信號(hào)x(t)作小波變換的結(jié)果為二維的WTx(a,

31、)，其信息是有冗余的。因此從數(shù)據(jù)壓縮以及節(jié)約計(jì)算的角度上看，我們希望只在一些離散的尺度和位移的取值下計(jì)算小波變換，而又不至于丟失信息。 這樣將具有很大的實(shí)用意義。 小波變換的離散化首先是變換尺度的離散化，目前通用的做法是對(duì)尺度按照冪級(jí)數(shù)作離散化。即令a取, 此時(shí)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為 jaaa01000, 2 , 1 , 0),(02j0jtaaj。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 再來看對(duì)于位移的離散化，當(dāng) 時(shí)， 即對(duì)應(yīng)j=0的情況，可以以某一個(gè)基本的間隔0作均勻地采樣。而在其它的尺度下，由于 寬度是(t)的 倍，因此采樣間隔相應(yīng)地也擴(kuò)大為原來的 倍（相當(dāng)于其頻率降低為原來的）。也就是說， 在

32、某一個(gè)j值下沿軸以為間隔均勻采樣仍然可以保證信息不丟失。這樣，在計(jì)算中小波函數(shù)a(t)將被改寫為 100aa)(0tajja0ja0ja0/ 100ja)(002000020ktaakataajjjjj(6.3.1) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 記為 。 在這些點(diǎn)上計(jì)算得到的小波變換記作： )(00,tkajtttxkakajxjd)()(),(WT*,0000j=0,1,2,; kZ Z(6.3.2) 這種小波變換通常被稱為“離散小波變換”, 也稱為離散a,柵格下的小波變換。 在實(shí)際的工作中，最常見的情況是取a0=2，此時(shí)a取值為 20,21,2j。如果采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，并以ln2為坐標(biāo)

33、單位，則a的離散值將如圖 6.3.1 縱軸所示。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.3.1 a-平面的二進(jìn)離散柵格 TskTs01234567123j ln2第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 在a=2j 時(shí)沿軸的相應(yīng)的采樣間隔是2j0，即j每增加 1， 采樣間隔將擴(kuò)大 1 倍。此時(shí)a-平面內(nèi)的采樣點(diǎn)將如圖 6.3.1 所示。 此時(shí)， 連續(xù)小波變換中的基函數(shù)a(t)變?yōu)?)2(202/ktjj記為jk(t),j=0,1,2,;kZ Z。為了書寫簡(jiǎn)便，往往認(rèn)為0=1 （也就是把軸用0加以歸一），這樣就有 )2(2)(2kttjjjk(6.3.3) 相應(yīng)地，離散小波變換可表示為 tttx

34、kjjkxd)()(),(WT*(6.3.4) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 在對(duì)信號(hào)采用離散小波分析之前， 首先要解決以下兩個(gè)方面的問題。 問題一： 信號(hào)的離散小波變換能不能完整地表征信號(hào)x(t)？ 也就是說, 由離散小波變換的結(jié)果能否穩(wěn)定地重建信號(hào)x(t)? 問題二： 是不是任意的函數(shù)x(t)都可以表示為以小波函數(shù) 為基本單元的加權(quán)和， )(00,tkaj)()(00,tctxzkkajkzjj如果是，各個(gè)權(quán)重cjk應(yīng)當(dāng)如何去求？ 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.3.1 框架的概念框架的概念 定義線性變換Txj=x(t),j(t)，簡(jiǎn)單記作x,j,jZ。 如果要求能夠用Tx表

35、征x，則該變換應(yīng)該至少能夠滿足下列條件： (1) 惟一性：如果x1=x2，則Tx1=Tx2必定成立。 (2) 正變換的連續(xù)性：如果x1與x2很接近，則Tx1= x1,j(jZ)，也必然與Tx2= x2, j (jZ)很接近。表達(dá)成數(shù)學(xué)形式， 也就是要求 22|,|jjxBx0B 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 這是因?yàn)?，令x=x1-x2， 代入上式便得到 221221|,|jjjxxBxx(6.3.5) 當(dāng)x1與x2很接近時(shí)，x1- x22將任意小。由上式可以看到此時(shí)也將任意小，即T x1 和T x2很接近。 jjjxx221|)T()T( |第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 如果進(jìn)一步

36、要求此變換的反演也是連續(xù)的， 這時(shí)就要滿足下述的第三個(gè)要求： (3) 反演連續(xù)性：當(dāng)x1,j(jZ)與x2,j(jZ)十分接近時(shí)，x1,x2也十分接近。即要求： jjxAx22|,|0A (6.3.6) 把(6.3.5)式和(6.3.6)式合到一起， 得到如下條件: jjxBxxA222|,|(6.3.7) 合理的Tx變換應(yīng)該滿足以上的條件。 滿足該條件的j|jZ Z便稱為構(gòu)成一個(gè)“框架”。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 對(duì)(6.3.7)式的含義還可以作這樣的解釋：范數(shù)x0 的任意函數(shù)，其在框架上的投影x,j至少有一個(gè)不為 0；范數(shù)x的任意函數(shù)，其在框架上的各個(gè)投影的平方和必定小于無窮。

37、 當(dāng)A=B時(shí), 稱之為“緊框架”（Tight Frame），此時(shí)有。 如果此時(shí)不但有A=B，同時(shí)還有A=1，則有 。由此可以看出， 此時(shí)各個(gè)j構(gòu)成一組規(guī)范正交基。 22|,|xAxjj22|,|xxjj第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 設(shè)有j|jZ，滿足如下要求： （1） zjzjjjBAccA0 ,22（2） 當(dāng) 0jzjjc時(shí), 便有cj=0，也就是要求j|jZ 是一組線性獨(dú)立的基。此時(shí)稱j|jZ為一組Riesz基。 通過比較, 可以看到框架與Riesz基的含義是很相近的， 只是后者的要求更強(qiáng)一些， Rieze基除了要滿足條件（1）外, 還要滿足線性獨(dú)立的要求。 第六章 小波分析的基本原

38、理及其應(yīng)用 6.3.2 通過框架對(duì)原函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)通過框架對(duì)原函數(shù)進(jìn)行重構(gòu) 如前所述，在A =B =1的情況下，j是一組規(guī)范正交基， 因此重建公式是 )(,)(txtxjzjj(6.3.8) 在緊框架的情況下，重建的工作也不難，表達(dá)式為 )(,1)(txAtxjzjj(6.3.9) 但是在的AB情況下，重建工作相對(duì)而言困難一些。為了說明此點(diǎn)， 定義算子F如下： )(,1FtxAxjzjj(6.3.10) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 并記作g, 則其逆運(yùn)算可以表示為 jzjjjzjjxxFgx111 -F,F (6.3.11) 令F-1j=j, 則上式又可以寫為 jzjjxx, (6.3.

39、12) 聯(lián)系小波變換j=jk, 則可以表示為 jkzjjjkxtx,)( (6.3.13) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (6.3.12)式和(6.3.13)式就是重建的形式上的公式表示。該公式的意義在于指出為對(duì)原函數(shù)進(jìn)行重建時(shí)所需要的基函數(shù)是j,jk,而不是j和jk。但是，此式只具有形式上的意義， 還不能直接用于計(jì)算，因?yàn)閖k=F-1jk的具體計(jì)算方法還不明確，而且也不能保證jk可以由一個(gè)基本小波函數(shù)通過位移和伸縮得到： )()(,020tktaatkjjjjk (6.3.14) 只有在(6.3.14)式成立的條件下，才會(huì)有 )(,)(,txtxjkkjzj (6.3.15) 這樣的

40、)(jjk或稱為jk（或j） 的“對(duì)偶”（dual）。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (1) 也構(gòu)成一個(gè)框架， 其上、下界恰好與j的上、下界成倒數(shù)關(guān)系, 即 j|,|1221xAxxBzjj(6.3.16) (2) 在A與B比較接近時(shí)，作為一階近似，可以取： jjBA2(6.3.17) 因此有 )(,1)(txBAtxjzjj(6.3.18) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 更確切地說， 此時(shí) RxtxBAtxjzjj)(,2)(其中Rx表示對(duì)x(t)作一階逼近的殘差。 (6.3.19) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (3) 如果希望把j求得更加精確， 則可以用級(jí)數(shù)展開： jk

41、kjRBA02(6.3.20) 式中 ddIABABRIABABId是單位算子, xId=x。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.3.3 小波框架小波框架 (1) 小波框架的定義： 當(dāng)由基小波(t)經(jīng)過伸縮與位移而引出的函數(shù)族，具有滿足(6.3.21)式的要求時(shí)，便稱jk(t)|jZ+,kZ構(gòu)成一個(gè)框架： ZkZjkttjjjk,| )2(2)(2222|,|xBxxAkjkj0AB (6.3.21) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (2) jk(t)的對(duì)偶函數(shù)也構(gòu)成一個(gè)框架。其框架的上、下界為jk(t)框架上、下界的倒數(shù)： )2(2)(2kttjjjk21221|,|xAxxBkj

42、kj(6.3.22) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (3) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行重建。 對(duì)于緊框架, 有 22|,|xAxkjkj(6.3.23) 所以有 )(),(WT1)(,1)(tkjAtxAtxjkkxjjkkjkj(6.3.24) 對(duì)于一般的情況，當(dāng)A、B比較接近時(shí)，作為一階逼近，可以?。?)(2)(tBAtjkjk(6.3.25) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 所以 )(,2)(,)(txBAtxtxjkkjkjjkkjkj(6.3.26) 逼近誤差的范數(shù)為 |xABABxR(6.3.27) 從該式可以看出，A和B越接近，則誤差越小。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (4)

43、在一般的情況下，框架中的各個(gè)jk(t)并不正交，甚至還有可能線性相關(guān)， 因此經(jīng)過框架處理后所含的信息是有冗余的。 在緊框架的情況下, )(),(WT1)(tkjAtxjkkxj(6.3.28) 又，在(j0,k0)處的WT為 tttxkjkjxd)()(),(WT*0000(6.3.29) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 將(6.3.28)式代入(6.3.29)式，可以得到 ),(WT),;,(1d)()(),(WT1d)( )(),(WT1WT00*0000kjkjkjKAtttkjAtttkjAxkjkjkjkxjkjkjkxjx(6.3.30) 式中 )(),(d)()(),;,(0

44、000*00tttttkjkjKkjjkkjjk第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 和連續(xù)小波變換相同，(6.3.30)式給出在任意一點(diǎn)(j0,k0)處小波變換的值與柵格上其它各點(diǎn)的小波變換的內(nèi)在聯(lián)系，稱之為重建核方程，K被稱為重建核。該式說明, 并不是任意函數(shù)F(j,k)都可以作為離散柵格上的小波變換，而是必須滿足(6.3.30)式。只有當(dāng)K(j0,k0; j,k)=(j-j0, k-k0)時(shí)，信息才是沒有冗余的， 此時(shí), 各個(gè)jk(t)相互正交。例如支撐寬度為 1 的Haar小波便具有這一性質(zhì)。 因?yàn)榫臀灰苼砜矗?t-k1)與(t-k2)不重疊，所以相互正交，如圖6.3.2(a)所示。就尺

45、度而言，j1k(t)與j2k(t)也正交， 如圖6.3.2(b)所示。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.3.2 Haar小波的正交性 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 從頻率域上看，還可以推導(dǎo)出小波框架的下列性質(zhì)： (1) 滿足小波框架條件的jk(t)，其基本小波函數(shù)(t)必定滿足容許性條件。這是因?yàn)橛尚〔蚣軛l件可以演化出下式： BA22n1d| )(|22n120 (6.3.31) 可見()滿足容許條件。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (2) 小波框架的頻率域表示： 2| )2(|zjj式中 0 (6.3.32) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.3.4 多分辨率

46、分析與離散序列的小波變換多分辨率分析與離散序列的小波變換 1. 由理想濾波器組引入由理想濾波器組引入 當(dāng)信號(hào)的采樣頻率滿足采樣定理要求時(shí)，歸一化頻帶=/fs被限制在-+之間，fs為采樣頻率。此時(shí)可以分別用理想低通與高通濾波器H0與H1將它分解（對(duì)正頻率而言）為頻帶在0/2 的低頻部分，和頻帶在/2的高頻部分， 分別反映信號(hào)的概貌與細(xì)節(jié)， 如圖 6.3.3 所示。 處理后兩路輸出必定正交（因?yàn)轭l帶不交疊）， 而且由于兩種輸出的帶寬均減半， 因此相應(yīng)的采樣頻率可以減半， 而不至于引起信息的丟失（帶通信號(hào)的采樣頻率決定于其帶寬， 而不是取決于其頻率上限）。 這就是圖 6.3.3 上在濾波后引入“二抽

47、取”環(huán)節(jié)的理由。 所謂的二抽取, 就是將輸入序列每隔一個(gè)輸出一次（例如只取偶數(shù)），組成長(zhǎng)度縮短一半的新序列。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.3.3 頻帶的理想劃分示意圖 H0()H1() 2 22x(n)高頻部分細(xì)節(jié)部分低頻部分平滑概貌20(a)221)(1H221)(0H(b)(c)第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 1） 頻率空間的劃分 如果把原始x(n)占據(jù)的總頻帶（0）定義為空間V0， 經(jīng)過第一級(jí)分解后，該空間被分解為兩個(gè)子空間：低頻的V1（頻帶 0/2）和高頻的W1（頻帶/2）。經(jīng)過第二級(jí)分解后，V1被分解為低頻的V2（頻帶0/4）和高頻的W2（頻帶/4/2），如圖 6

48、.3.4(b)所示，這種子空間的分解過程可以記作： jjjWVVWVVWVV1221110,其中,各個(gè)Wj是反映Vj-1空間信號(hào)細(xì)節(jié)的高頻子空間;Vj是反映Vj-1信號(hào)概貌的低頻子空間。將上式分別代入，可以看到這些子空間之間有以下的性質(zhì)： 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 逐級(jí)包含： 110VVV逐級(jí)替換： jjVWWWVWWVWV21221110式中, 符號(hào)表示“直和”; 符號(hào)ab表示b被a包含。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2） 各個(gè)帶通空間Wj的恒Q特性 由圖6.3.4(b)可以看到,W1空間的中心頻率為，帶寬為 ；而W2空間的中心頻率為 ，較W1減半，而其帶寬為 ，也較W1減

49、半。 可見, 各個(gè)Wj的品質(zhì)因數(shù)是相同的。 432834第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 3） 各級(jí)濾波器的一致性 各級(jí)的低通濾波器H0和高通濾波器H1是一樣的。這是因?yàn)榍耙患?jí)輸出被二抽取，而濾波器的設(shè)計(jì)是根據(jù)歸一頻率來進(jìn)行的。例如，第一級(jí)H0的真實(shí)帶寬是（Ts是采樣間隔），其歸一化頻率則是 。第二級(jí)H0的真實(shí)帶寬是 ，但是歸一化頻率卻仍然是 ，這是因?yàn)榈诙?jí)輸入的采樣間隔是2Ts，而 s20T20s40T20224ss TT第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 4） 樹形分解帶來的好處其一，由于在樹形分解中采用的濾波器都是一樣的，這樣可以大大減少對(duì)于濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)的工作量。 其二， 樹形分解

50、的計(jì)算量較小。如果如圖 6.3.4 所示， 在第一級(jí)的計(jì)算量是c0(2濾波器階數(shù)總樣本數(shù))， 則以后的各級(jí)由于樣本數(shù)的減半，相應(yīng)的計(jì)算量也減半。 最后, 最重要的是樹形分解適應(yīng)“由粗及精”的多分辨率分析過程。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 H0()H1()x(n) 2 2H0()H1() 2 2H0()H1() 2 2V4W4W3W2W1V3V2V1V00168163483243(a)(b)21W242W483W201V402V803V圖 6.3.4頻帶的逐級(jí)劃分示意圖第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 其三， 信號(hào)經(jīng)過分解后可以進(jìn)行傳輸， 然后在接收端進(jìn)行重建。重建是分解的逆過程，其基

51、本步驟如圖 6.3.5 所示， 每一個(gè)支路先作“二插值”（即在輸入序列每?jī)蓚€(gè)相鄰的樣本之間補(bǔ)一個(gè) 0， 使數(shù)據(jù)長(zhǎng)度增加 1 倍），從而恢復(fù)二抽取前序列的長(zhǎng)度。 然后作相應(yīng)的低通濾波G0()或者帶通濾波G1()，其目的在于平滑補(bǔ)零后的波形，也就是去掉補(bǔ)零后產(chǎn)生的鏡像譜。在H0和H1是理想濾波器的情況下，令G0=H0， G1 =H1即可。從時(shí)域上來看，理想濾波就是將各個(gè)樣本值乘以插值函數(shù)（sinc函數(shù)），再移位求和，以恢復(fù)原信號(hào)。在逐級(jí)重建的過程中就實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)由粗及精的觀察。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.3.5 信號(hào)重建示意圖 x (n)G0() 2G1() 2G0() 2G1(

52、) 2G0() 2G1() 2第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2. 由函數(shù)空間的剖分對(duì)多分辨分析的解釋由函數(shù)空間的剖分對(duì)多分辨分析的解釋 1） 函數(shù)空間的逐級(jí)劃分 其出發(fā)點(diǎn)與上節(jié)相似，即把空間作逐級(jí)二分解, 從而產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間：j是-+范圍的整數(shù)，j值越小, 空間越大。圖 6.3.6 表示了這一剖分的示意圖。而且這樣的劃分是完整的，這是指： ,1221110jjjWVVWVVWVV第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 圖 6.3.6 函數(shù)空間的二剖分 V1W1V0W0V2W2Vj1VjWjVjVj1Vj1第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (1) 當(dāng)j-時(shí)，VjL2(R)，包含整個(gè)

53、平方可積的實(shí)變函數(shù)空間。 在逐級(jí)包含的情況下，上式等效為： (2) 當(dāng)j+時(shí)，即空間最終剖分到空集為止。在逐級(jí)包含的情況下，上式等效為： 。上述的剖分顯然保證了空間Vj與空間Wj正交，并且各個(gè)Wj之間也是正交的， 即： VjWj, WjWj , jj。 )(2RLVzjj。 0zjjV第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 進(jìn)一步還要求剖分具有如下的兩項(xiàng)特性： (1) 位移不變性：函數(shù)的時(shí)移不改變其所屬的空間。即： 如果x(t)Vj，則x(t-k)Vj仍然成立。 (2) 二尺度伸縮性：如果x(t)Vj，則必然有 11)2(,2jjVtxVtx第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2） 在上述的基礎(chǔ)上

54、對(duì)各個(gè)子空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析 (1) 子空間V0：設(shè)V0中有低通的平滑函數(shù)(t)，它的整數(shù)位移集合(t-k); kZ是V0中的正交歸一基。稱(t)為尺度函數(shù)（Scaling Function）。正交歸一性可以記為 (t-k), (t-k)=(k-k) (6.3.34) 或者記作： 0k(t), 0k(t)=(k-k) (6.3.35) 其中0k是 )2(21)(2/kttjjjk在j=0時(shí)的另一種表現(xiàn)形式。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 同時(shí), 根據(jù)正交歸一化性， 有 (t) dt=1 (6.3.36) 因此,在V0中的任意函數(shù)必定可以被表示為0k(t)|kz的線性組合。也就是說，

55、設(shè)P0 x(t)代表x(t)在V0上的投影，則必有 kkktxtxP)()(0)0(0(6.3.37) 其中， 是線性組合的各個(gè)權(quán)重，其值求法如下：把上式兩邊對(duì)0k(t)作內(nèi)積， 由(6.3.35)式的正交歸一性, 得 )0(kx)(),()(),(000)0(ttxttxPxkkk(6.3.38) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (2) 子空間V1：如果(t)V0，則根據(jù)二尺度伸縮性， 必定成立。而且如果0k(t)|kZ是V0中的正交歸一化的基，則1k(t) | kZ，必然是V1空間中的正交歸一化基。 即： 12Vt) ()(),(11kkttkk(6.3.39) 因此,V1中的任何函數(shù)

56、，如P1x(t)，必然可以被表示為1k(t)|kZ的線性組合： kkktxtxP)()(1)1(1(6.3.40) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 而且其權(quán)重為：。P1x(t)被稱作是x(t)在V1中的平滑逼近。它也同時(shí)就是x(t)在分辨率j=1下的概貌，x(1)k也被稱為是x(t)在分辨率j=1下的離散逼近。 )(),()(),(111)1(ttxttxPxkkk第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (3) 子空間W1：如果在子空間W0中能夠找到一個(gè)帶通函數(shù)(t)，其整數(shù)位移的集合(t-k)|kZ，構(gòu)成W0中的正交歸一基，則同樣根據(jù)二尺度變換性，必然有 成立， 而且必然構(gòu)成W1空間的一組正

57、交歸一基： 12Wtzkkttk221)(1) ()(),(11kkttkk(6.3.41)又由于(t)是帶通函數(shù)， 所以有 0d)(tt(6.3.42)第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 因此，W1中的任意函數(shù)必然可以表示為1k(t)|kz的線性組合。可以這樣解釋，設(shè)D1x(t)是x(t)在W1上的投影，則必然有 )()(1)1(1tdtxDkkk(6.3.43) 而且權(quán)重為)(),()(),(111)1(ttxttxDdkkk(6.3.44) 因?yàn)樵趯?duì)函數(shù)空間的劃分中有：V0=V1W1，所以有 )()()(110txDtxPtxP或者 )()()(101txPtxPtxD(6.3.45)

58、(6.3.46) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 6.3.5 尺度函數(shù)和小波函數(shù)的一些重要性質(zhì)尺度函數(shù)和小波函數(shù)的一些重要性質(zhì) 1. 1. 二尺度差分方程二尺度差分方程 二尺度差分方程是空間逐級(jí)剖分賦予(t)和(t)的最基本的性質(zhì)。它是許多其它的性質(zhì)的基礎(chǔ)。它闡明了任意兩個(gè)相鄰空間劃分Vj-1Vj, Wj內(nèi)基函數(shù)j-1,k(t), jk(t)和jk(t)之間的內(nèi)在聯(lián)系。 由于 jjjjVtt221)(2/0第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 而Vj包含在Vj-1中，因此j0(t)必定可以被表示為j-1,k(t)=2-(j-1)/2(2-(j-1)t-k)的線性組合，因?yàn)閖-1,k(t)是V

59、j-1空間的正交歸一基， 即 )()(, 100thtkjkkj(6.3.47) 整理后, 得 kthtjkkj10222(6.3.48) 類似的分析可應(yīng)用在Wj與Vj-1之間，得 kthtjkkj11222(6.3.49) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 (6.3.48)式和(6.3.49)式就是二尺度差分方程，h0k與h1k分別是線性組合的權(quán)重。 它們可以通過如下的計(jì)算來得到： )(),(d)(221d2222)(),(010*1*2/ )1(2/, 100tttktttktttttthkjjjjkjjk12jtt(6.3.50) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 利用相同的方法可以

60、得到 )(),(0101tthkk (6.3.51) 二尺度差分關(guān)系存在于任意兩個(gè)相鄰的分辨級(jí)j-1和j之間。 需要指出的是, 在上面的差分方程中的權(quán)重h0k、h1k是與 j 的具體值沒有關(guān)系的，不論是對(duì)哪兩個(gè)相鄰的空間, 它們的值都是相同的。 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 2. 2. 其它性質(zhì)其它性質(zhì)（1） h0k、h1k的總和： kkkkhh0,210（2） 頻域關(guān)系表達(dá)式： )()()2(20H)()()2(21H, (6.3.53) (6.3.52) （3） 頻率域的初值： 0)0(,2)0(10HH(6.3.54) 第六章 小波分析的基本原理及其應(yīng)用 （4） 遞推關(guān)系。()、(