地下水數值模擬07

1、第六章第六章反求水文地質參數的數值方法反求水文地質參數的數值方法一、基本概念一、基本概念 正演問題與反演問題正演問題與反演問題正演問題（正問題）正演問題（正問題）： 在已知地下水流動的微分方程及水文地質參數在已知地下水流動的微分方程及水文地質參數K、M、W、*和邊界條件的前提下，求解滲流區(qū)域和邊界條件的前提下，求解滲流區(qū)域內的水頭分布規(guī)律和流量。內的水頭分布規(guī)律和流量。反演問題（逆問題）反演問題（逆問題）： 根據地下水的天然動態(tài)或抽水試驗的觀測資料根據地下水的天然動態(tài)或抽水試驗的觀測資料研究所選用的方程類型是否適當、確定方程的參數和檢研究所選用的方程類型是否適當、確定方程的參數和檢驗定解條件。

2、驗定解條件。一、基本概念一、基本概念 反求參數問題的適定性反求參數問題的適定性 解的存在性解是否存在？ 解的唯一性解是否唯一？ 解的穩(wěn)定性解是否穩(wěn)定？ 根據實際資料反求滲流區(qū)的水文地質參數根據實際資料反求滲流區(qū)的水文地質參數( (有時包括邊界流有時包括邊界流量量) )，這樣的解是否存在？，這樣的解是否存在？根據實際資料反求的水文地質參數是否唯一？根據實際資料反求的水文地質參數是否唯一？ 當實測資料有微小誤差時，反求的水文地質參數的誤差是當實測資料有微小誤差時，反求的水文地質參數的誤差是否也微小，即水文地質參數是否連續(xù)依賴于實測資料。否也微小，即水文地質參數是否連續(xù)依賴于實測資料?？梢詽M足很難滿

3、足很難滿足解的唯一性解的唯一性例1bBHHyHxHT02222均質等厚二維承壓含均質等厚二維承壓含水層穩(wěn)定流動問題水層穩(wěn)定流動問題在同一區(qū)域同一邊界條件下，不管導水系數在同一區(qū)域同一邊界條件下，不管導水系數T T取何取何值，水頭分布相同。值，水頭分布相同。例22100HHHHxHTxLxx正問題正問題：H為未知量，T為已知量可以求得：211CxTCHCxHT120HCxLHHTCLx121逆問題逆問題：T為未知量可以求得：xHCTCxHT需要補充相應條件以確定參數需要補充相應條件以確定參數若已知qxHTLxxHqTqC若單從觀測數據反求參數，可能存在多種解！若單從觀測數據反求參數，可能存在多種

4、解！解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性bBHHWyHxHT02222例2222yHxHWT水頭較小的誤差，可能會引起所求參數較大的誤差水頭較小的誤差，可能會引起所求參數較大的誤差!若實測水頭存在誤差若實測水頭存在誤差，即：，即： HH*22222222*yxyHxHWT2222222222222222*yHxHyxyHxHyxWTT從數學上講：雖然從數學上講：雖然很小，但其導數很小，但其導數 可能很大。若可能很大。若22x2222xHxTyxyHxHyxTTT222222222222*數值模型反演問題解的適定性數值模型反演問題解的適定性 以非均質承壓二維非穩(wěn)定流為例以非均質承壓二維非穩(wěn)定流為例(i,j)(i

5、-1,j)(i,j+1)(i,j-1)(i+1,j)tHWyHTyxHTx*如圖所示的有限差分網格，其差分方程為：如圖所示的有限差分網格，其差分方程為：thhWyHHTTyHHTTxHHTTxHHTTkjikjikjikjijijikjikjijijikjikjijijikjikjijiji,1,*21,11,1,21,11,1,21,1, 1, 121,1, 1, 1212121212, 1212, 12121211xHHTxHHT xHT xHTxxHTxjiji,jijiji,ji,ji,jii,j正問題正問題：H為未知量逆問題逆問題：T、*、W為未知量 fHB fkA數值模型反演問題解

6、的適定性數值模型反演問題解的適定性 fkA根據方程個數根據方程個數N和未知參數個數和未知參數個數M（m1+m2+m3）之間的關系：）之間的關系：（1）NM:一般不存在任何一組參數使所有方程同時滿足。然而，根據問題本身的一般不存在任何一組參數使所有方程同時滿足。然而，根據問題本身的物理特性，應該存在一組參數使這些方程基本得到滿足物理特性，應該存在一組參數使這些方程基本得到滿足（2）N=M:當系數矩陣行列式不等于當系數矩陣行列式不等于0，能求出唯一解（需要足夠多資料），能求出唯一解（需要足夠多資料）當系數矩陣行列式的值很小，則水頭觀測的微小變化可能造成參當系數矩陣行列式的值很小，則水頭觀測的微小變

7、化可能造成參數的很大變化數的很大變化不滿足穩(wěn)定性不滿足穩(wěn)定性反求參數問題的適定性反求參數問題的適定性 反求參數問題本身不一定是唯一的，也不反求參數問題本身不一定是唯一的，也不一定是穩(wěn)定的。一定是穩(wěn)定的。 但是對于實際問題，我們可以根據對水文但是對于實際問題，我們可以根據對水文地質條件的初步認識以及通過其它手段得地質條件的初步認識以及通過其它手段得到一些輔助的資料和參數的約束條件從而到一些輔助的資料和參數的約束條件從而使得反求參數問題在一定程度上是唯一的使得反求參數問題在一定程度上是唯一的和穩(wěn)定的。和穩(wěn)定的。二、反求參數的直接解法二、反求參數的直接解法 求解思路：求解思路： 指在地下水流動微分方

8、程指在地下水流動微分方程(或描述地下水流動的數值模型或描述地下水流動的數值模型)中，中，將水頭值作為已知量，將待求的參數將水頭值作為已知量，將待求的參數(往往包括源匯項及邊往往包括源匯項及邊界流量界流量)等作為未知量，直接求解未知參數的方法。等作為未知量，直接求解未知參數的方法。 常用方法：常用方法： 局部直接求逆法局部直接求逆法 數學規(guī)劃法數學規(guī)劃法 應用現狀：應用現狀： 對數據誤差十分敏感，對觀測資料有過高的要求，因而目前對數據誤差十分敏感，對觀測資料有過高的要求，因而目前還難以應用。還難以應用。局部直接求逆法例tHWyHxHT*2222已知不同時刻局部區(qū)域水頭已知不同時刻局部區(qū)域水頭H和

9、源匯項和源匯項W的實測值，需要求解的實測值，需要求解T和和*122221ayHxHtt222222ayHxHtt11btHtt22btHtt 11wWtt 22wWtt設：設：2*221*11bwTabwTa2112211221122112*babawbwbTbabawawa優(yōu)點：不需要初始條件，也不需要邊界條件。對均質各向同性、等厚的滲流區(qū)來說，只需要知道某個局部區(qū)域在兩個不同時刻的水頭值和垂直方向的水量交換的實測資料，因此，這個方法稱為“局部直接求逆法”。難點：如何求出方程中水頭對時間和空間的導數。實際計算發(fā)現系數矩陣對應的行列式之值通常很小，因此求參數住往會產生很大的誤差數學規(guī)劃法 bk

10、A 當方程個數當方程個數N未知參數個數未知參數個數M時，方程為超定方程組，時，方程為超定方程組，一般不存在任一般不存在任何一組參數使所有方程同時滿足。何一組參數使所有方程同時滿足。 根據問題本身的物理特性，應該存在一組參數根據問題本身的物理特性，應該存在一組參數使這些方程基本得到滿足。使這些方程基本得到滿足。設對應于參數組（設對應于參數組（k1,k2,k3,km）,第第i個方程存在剩余個方程存在剩余imjmijimimiiibkabkakakaR12211求一組參數，使得剩余求一組參數，使得剩余Ri達到最小。可表示為剩余的平方加權和最小達到最小?？杀硎緸槭Ｓ嗟钠椒郊訖嗪妥钚」蕵嫿ㄗ顑?yōu)化問題（規(guī)

11、劃問題）如下：故構建最優(yōu)化問題（規(guī)劃問題）如下：miimjmijimiiimbkaRkkkE1211221,minik目標函數約束條件優(yōu)點：所求參數較好的符合實測資料難點：需要較多的觀測資料，對數據誤差敏感三、反求參數的間接解法三、反求參數的間接解法 求解思路：求解思路： 先給待定的水文地質參數假設一組初值，通過解正演問題計先給待定的水文地質參數假設一組初值，通過解正演問題計算相應的水頭分布，然后將計算水頭值與實測水頭值進行對算相應的水頭分布，然后將計算水頭值與實測水頭值進行對比，看二者擬合程度如何。比，看二者擬合程度如何。 常用方法：常用方法： 試估試估校正法校正法 數學規(guī)劃法數學規(guī)劃法 應

12、用現狀：應用現狀： 較為穩(wěn)定，因而應用較多，但被廣泛采用的有限。較為穩(wěn)定，因而應用較多，但被廣泛采用的有限。間接解法的常用公式故解逆問題轉化為最優(yōu)化問題（規(guī)劃問題）如下：故解逆問題轉化為最優(yōu)化問題（規(guī)劃問題）如下： IiJjiobjjijmtHtHkkkE1121)(, 先給待定的水文地質參數先給待定的水文地質參數k假設一組初值，通過解正演問題計算假設一組初值，通過解正演問題計算出出ti時刻的水頭分布時刻的水頭分布Hj(ti)，設該點相應的水頭觀測值為，設該點相應的水頭觀測值為Hjobj(ti) ，則計算，則計算值與實測值之間的擬合程度的衡量標準為：值與實測值之間的擬合程度的衡量標準為：ikm

13、kkkE,min21 21121)(,IiJjiobjjijmtHtHkkkE 21121)(,IiJjiobjjijijmtHtHkkkE非線性約束優(yōu)非線性約束優(yōu)化問題化問題誤差絕對值誤差平方和加權平方和試估校正法優(yōu)點：優(yōu)點：除用正演問題的程序外，不需要其它計算程序。充分發(fā)揮解題人員的能動性。除用正演問題的程序外，不需要其它計算程序。充分發(fā)揮解題人員的能動性。難點：難點：當待求參數很多時，反復調整的過程可能延續(xù)很長。缺乏一個收斂準則，很難當待求參數很多時，反復調整的過程可能延續(xù)很長。缺乏一個收斂準則，很難求得最優(yōu)參數。求得最優(yōu)參數。 根據研究區(qū)水文地質條件和已有的抽水試驗資料初步擬定一組參數

14、值，通根據研究區(qū)水文地質條件和已有的抽水試驗資料初步擬定一組參數值，通過解正演問題計算出各結點各時刻的水頭值，然后將計算水頭值與實測水頭過解正演問題計算出各結點各時刻的水頭值，然后將計算水頭值與實測水頭值進行擬合對比，如擬合不好，則對給出的參數初值進行調整，再按正演問值進行擬合對比，如擬合不好，則對給出的參數初值進行調整，再按正演問題計算。重復這一過程，直到計算水頭值與實測水頭值之差足夠小為止。題計算。重復這一過程，直到計算水頭值與實測水頭值之差足夠小為止。 逐個修正法基本思想：基本思想：初步選定一組參數初步選定一組參數k (0) ，逐個修正其中每一個分量，逐個修正其中每一個分量ki0，全部，

15、全部修正完后便得到一組參數的改進值修正完后便得到一組參數的改進值 k (1) 。特點：特點：以單因素優(yōu)選法為基礎，對參數進行逐個修正，能在滿足約束條件下逐步減小以單因素優(yōu)選法為基礎，對參數進行逐個修正，能在滿足約束條件下逐步減小目標函數值。但收斂速度不快，只有參數個數不多（目標函數值。但收斂速度不快，只有參數個數不多（n10）且初值選取得比較好時）且初值選取得比較好時才能體現出優(yōu)越性。才能體現出優(yōu)越性。 步驟：步驟：怎么找到最優(yōu)值呢？單因素優(yōu)選法例：0.618法、二次插值法給定參數初值：00201,nkkk保持其余n-1個參數值不變，對第一個參數按單因素優(yōu)選法在變化范圍內選出參數的改進值，得到

16、參數：00211,nkkk保持其余n-1個參數值不變，對第二個參數按單因素優(yōu)選法在變化范圍內選出參數的改進值，得到參數：01211,nkkk重復上述步驟，直至全部參數修改一遍，得到參數的改進值11211,nkkk檢查收斂條件。若滿足則停止運算，否則以改進值代替初值，重復第一步0.6180.618法法設函數設函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b內具有單峰性，即函數在區(qū)間內具有單峰性，即函數在區(qū)間上有唯一極小點。上有唯一極小點。若在此區(qū)間之內任取兩點若在此區(qū)間之內任取兩點a1和和b1，且，且a1 b1，然后計，然后計算這兩點的函數值，則可能出現以下三種情況：算這兩點的函數值，則可能出現以下三種情況： x

17、abxabxab)()(11bfaf1a1b1a1b)()(11bfaf1a)()(11bfaf1a1b1b1,bax11,baxbax,1)(618. 0)(618. 011ababbaba怎樣取怎樣取a a1 1、b b1 1？二次插值法 假設評價函數假設評價函數E對單個參數而言，可近似的看作拋物線關對單個參數而言，可近似的看作拋物線關系，即二次函數。系，即二次函數。 將此拋物線最低點相對應的參數值作為該參數的最優(yōu)值。將此拋物線最低點相對應的參數值作為該參數的最優(yōu)值。 2121101kakaakEmkkkE,21 021211kaakE2112aakmkkkE,211取三個不同的k1值，確

18、定拋物線方程中a1，a2323231022222101212110ExaxaaExaxaaExaxaa13322132121313221332213222122123123221xxxxxxExxExxExxaxxxxxxExxExxExxa單純形搜索法單純形搜索法 多維直接搜索法，可同時修正所有的待求參數。多維直接搜索法，可同時修正所有的待求參數。 所謂單純形是指在所謂單純形是指在n維空間中具有維空間中具有n+1個頂點的多面體。利個頂點的多面體。利用單純形的頂點，計算其函數值并加以比較，從中確定有用單純形的頂點，計算其函數值并加以比較，從中確定有利的搜索方向和步長，找到一個較好的點取代單純形中較利的搜索方向和步長，找到一個較好的點取代單純形中較差的點，組成新的單純形來代替原來的單純形，差的點，組成新的單純形來代替原來的單純形， 例需要確定兩個水文地質參數需要確定兩個水文地質參數k1，k2取取3組不同的（組不同的（k1,k2），在二維平面上對應三個點），在二維平面上對應三個點pHpLpG單純形單純形單純形的基本操作pHpLpG評價函數最大評價函數最大評價函數最小評價函數最小評