2013年高考數(shù)學(xué)排列組合

1、高二數(shù)學(xué) 排列與組合1、2考點(diǎn)：經(jīng)典、難點(diǎn)試題選編 10. 排列與組合1、【特殊元素、特殊位置】?jī)?yōu)先法在排列、組合問(wèn)題中，如果某些元素或位置有特殊要求，那么一般需要優(yōu)先滿足要求。例：有0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)的五位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 解析：五位奇數(shù)的末尾必須是奇數(shù)，還有首位不能為0，都應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置，先安排末位共有；然后排首位共計(jì)有；最后排其他位置共計(jì)有；由分步計(jì)數(shù)原理得2、【相鄰問(wèn)題】捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例：五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 解析：把視為一人，且固定在的右邊，

2、那么此題相當(dāng)于4人的全排列，種， 3、【相離問(wèn)題】插空法元素相離即不相鄰問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例：七人并排站成一行，如果甲乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)有 解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種4、【選排問(wèn)題】先選后排法從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先選后排法.例：四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，那么恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解析：先取:四個(gè)球中選兩個(gè)為一組(捆綁法)，其余兩個(gè)球各自為一組的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有

3、種，故共有種.5、【相同元素分配問(wèn)題】隔板法將n個(gè)相同的元素分成m份(m,n均為正整數(shù))，每份至少一個(gè)元素，可以用 m-1塊隔板插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為:。例：110個(gè)三好生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案故共有不同的分配方案為為種解析：一、用先選后排法： 二、用隔板法+消序法： 答案選25本不同的書，全局部給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為 解析：一、用先選后排法：

4、6、【平均分組問(wèn)題】消序法平均分成的組，不管他們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要消除順序除以，n為均分的組數(shù)，防止重復(fù)計(jì)數(shù)。例：6本不同的書平均分成3組，每堆2本的分法數(shù)有 種解析：分三步取書得中分法，但是這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象。除去重復(fù)計(jì)數(shù)，即共有7、【有序分配問(wèn)題】逐分法有序分配問(wèn)題指把元素分成假設(shè)干組，可用逐步下量分組例：將12名警察分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，假設(shè)每個(gè)路口4人，那么不同的分配方案有( )種A、 B、 C、 D、 答案：A8、【可重復(fù)的排列問(wèn)題】求冪法分步允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個(gè)不同元素

5、排在個(gè)不同位置的排列數(shù)有種方法.例：把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種9、【“至少“至多問(wèn)題等用】排除法也可用分類列舉法例：從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)，那么不同的取法共有 種解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：正向思考，至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的

6、取法有臺(tái),選.10、【多元問(wèn)題】分類列舉法例：1由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( )解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有,個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選230030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取假設(shè)干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為：個(gè).解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=23571113；依題意偶因數(shù)2必取， 解排列組合應(yīng)用題的15種策略11.相鄰問(wèn)題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不

7、同的排法種數(shù)有 A、60種 B、48種 C、36種 D、24種解析：把視為一人，且固定在的右邊，那么此題相當(dāng)于4人的全排列，種2.相離問(wèn)題插空排:元素相離即不相鄰問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是 A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3.定序問(wèn)題縮倍法:在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.五人并排站成一排，如果必須站在的右

8、邊可以不相鄰那么不同的排法種數(shù)是 A、24種 B、60種 C、90種 D、120種解析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種，選.4.標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，那么每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有 A、6種 B、9種 C、11種 D、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法

9、，共有331=9種填法，選.5.有序分配問(wèn)題逐分法:有序分配問(wèn)題指把元素分成假設(shè)干組，可用逐步下量分組法.例5.1有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承當(dāng)，乙丙各需一人承當(dāng)，從10人中選出4人承當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是 A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種解析：先從10人中選出2人承當(dāng)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承當(dāng)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承當(dāng)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種，選.212名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，假設(shè)每個(gè)路口4人，那么不同的分配方案有 A、種 B、種 C、種 D、種 答案：.6.全員分配問(wèn)題分組法:例6.14名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3

10、所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，那么不同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有種，故共有種方法.說(shuō)明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配.25本不同的書，全局部給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為 A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 答案：.7.名額分配問(wèn)題隔板法:例7：10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方

11、案，故共有不同的分配方案為種.8.限制條件的分配問(wèn)題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種情況：假設(shè)甲乙都不參加，那么有派遣方案種；假設(shè)甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；假設(shè)乙參加而甲不參加同理也有種；假設(shè)甲乙都參加，那么先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種.9.多元問(wèn)題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分

12、成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì).例91由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 A、210種 B、300種 C、464種 D、600種解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個(gè)，個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選.2從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法不計(jì)順序共有多少種？解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個(gè)元素；由此可知，從中任取2個(gè)

13、元素的取法有，從中任取一個(gè)，又從中任取一個(gè)共有，兩種情形共符合要求的取法有種.3從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法不計(jì)順序有多少種？解析：將分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.10.定位問(wèn)題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，假設(shè)老師不站兩端那么有不同的排法有

14、多少種？解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種。.11.多排問(wèn)題單排法:把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.16個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是 A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此此題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選.28個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有種，其余5個(gè)元素任

15、排5個(gè)位置上有種，故共有種排法.12.“至少“至多問(wèn)題用間接排除法或分類法:例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)，那么不同的取法共有 A、140種 B、80種 C、70種 D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有臺(tái),選.13.選排問(wèn)題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.1四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，那么恰

16、有一個(gè)空盒的放法有多少種？解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有種，故共有種.29名乒乓球運(yùn)發(fā)動(dòng)，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析：先取男女運(yùn)發(fā)動(dòng)各2名，有種，這四名運(yùn)發(fā)動(dòng)混和雙打練習(xí)有中排法，故共有種.14.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個(gè)不同元素排在個(gè)不同位置的排列數(shù)有種方法.例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生

17、分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同方案.15.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題可以考慮枚舉法:例19.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為種

18、.解排列組合應(yīng)用題的15種策略2特殊優(yōu)先法對(duì)于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問(wèn)題，我們可以從這些特殊入手。先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。例：1名老師和4名學(xué)生排成一排，假設(shè)老師不排在兩端，那么共有多少種不同的排法？分析：解法1、特殊元素法老師在中間3個(gè)位置上任選1個(gè)的選法有A41種，然后剩余的四名學(xué)生在余下的四個(gè)位置上，排法有A44種。由分步記數(shù)原理，所以共有A31A44=72 種。解法2、特殊位置法先安排兩端站兩名學(xué)生共有A42種方法，其余位置安排有A33種。所以共有排法數(shù)為A42A33=72種。答案：72種。2、總體淘汰法對(duì)于含否認(rèn)詞的問(wèn)題，還

19、可以從總體中把不符合要求的除去。比方上面的例題中，1名老師和4名學(xué)生共5人，其排列方法為A55種，把老師排在隊(duì)伍兩端的情況A21A44減去。所以方法數(shù)為A55-A21 A44=72種。答案：72種。相鄰問(wèn)題用“捆綁法對(duì)于某些元素要求相鄰的問(wèn)題，可先將相鄰的元素捆綁并看作一個(gè)元素并與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。例：3個(gè)女生與5個(gè)男生排在一起，女生必須在一起，可以有多少種不同的方法？分析：因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起，所以可以把她們看作一個(gè)整體，連同5個(gè)男生共6個(gè)元素，排成一排有A66種不同的排法，同時(shí)每種排法中，女生之間又有A33種不同的排法，利用分步記數(shù)原理，可得有A66A33種

20、不同的排法。答案：A66A33問(wèn)題用“插空法對(duì)于幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，先將沒有限制條件的元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙插入即可。例：7人排成一排照相，假設(shè)要求甲、乙、丙三人不相鄰，有多少種不同的排法？分析：先將其余4人站好，有A44種排法，再于4人之間及兩端5個(gè)“空隙中選3個(gè)位置將甲、乙、丙插入，有A53種方法。由分步記數(shù)原理，這樣共有A44A53種不同的排法。答案：A44A53 順序問(wèn)題用“除法對(duì)于幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素同其余元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例：7個(gè)節(jié)目，甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目按給定順序出現(xiàn)，有多

21、少種排法？分析：7個(gè)節(jié)目的全排列為A77,甲、乙、丙之間的順序已定。所以有A77A33=840種。答案：840種。分排問(wèn)題用“直排法把n個(gè)元素排成幾排的問(wèn)題，假設(shè)沒有其它特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來(lái)處理。例：15人排成兩排，前排7人，后排8人，共有多少種不同的方法？分析：前排7人有A157種方法，后排8人有A88種方法，所以有A157A88=A1515種不同方法。其實(shí)就相當(dāng)于將15個(gè)人排成一排。答案：A1515種6、消序某些條件，使得元素位置確定。例：有3個(gè)男生，3個(gè)女生，排成一列，高矮互不相等。要求從前到后，女生從高到矮排列，有多少種不同的排法？分析：先從6個(gè)位置中選3個(gè)位置排男生，

22、有A63種不同排法。余下3個(gè)位置排女生，因要求“從高到低所以女生的排法只有一種。故有A63=120 種。答案：120種。7、進(jìn)住法解決允許重復(fù)排列問(wèn)題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看成“一封信，能重復(fù)的元素看成“信箱。在利用乘法原理直接求解的方法稱為進(jìn)住法。例：5名運(yùn)發(fā)動(dòng)爭(zhēng)奪3個(gè)工程的冠軍沒有并列，所以可能的結(jié)果有多少種？分析：因?yàn)橥贿\(yùn)發(fā)動(dòng)可以同時(shí)奪得幾項(xiàng)冠軍，故運(yùn)發(fā)動(dòng)可以重復(fù)排列，將5名運(yùn)發(fā)動(dòng)看作五個(gè)信箱，3項(xiàng)冠軍看成3封信，每封信可以投進(jìn)五個(gè)信箱，有5種投遞方法。由乘法原理知有53種。答案：53種8、“樹圖表示法 對(duì)某些分步進(jìn)行的問(wèn)題，可依次對(duì)每步

23、可能出現(xiàn)的情況用“樹狀圖形表示出來(lái)。例：四人各寫出一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，那么四張賀卡的不同分配方式有 種。A.6 B.9 C分析：將四張賀卡分別記為A,B,C,D。由題意，某人不妨設(shè)為A卡的供卡人取卡有3種情況。因此將卡的不同分配方式分為三類，對(duì)于每一類，其它人依次取卡分步進(jìn)行。為防止重復(fù)或遺漏現(xiàn)象，可用樹狀圖表示。 ADC ADB ABCBCDA CDAB DCAB DAC DBA CBA所以共有9種不同的分配方式。答案：B 。9、用比例法有些排列應(yīng)用題，可以根據(jù)每個(gè)元素出現(xiàn)時(shí)機(jī)占整個(gè)問(wèn)題的比例，從而求得問(wèn)題的結(jié)果。例：A、B、C、D、E五人站成一排，如果B

24、必須站在A的右邊A、B 可以不相鄰，不同的排法有多少種？分析：假設(shè)沒有限制條件，那么5人的全排列有A55=120種，而A在B右邊與B在A右邊各占一半，所以B在A右邊的排列法有12A55=60種。答案：60種。例：從6個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)中選出4個(gè)參加4100 米接力賽。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少種不同的參賽方案？分析：假設(shè)不受條件限制，那么參賽方案有A64=360種，但其中限制甲、乙兩人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而這4人在第一棒中出現(xiàn)的可能性為4/6故所求參賽方案有46A64=240種。答案：240種。以上介紹了排列應(yīng)用題的幾種常見求解策略。這些策略不是彼此孤立的，而是相互依存

25、。有時(shí)解決某一問(wèn)題是要綜合運(yùn)用幾種求解策略。在處理具體問(wèn)題時(shí)，應(yīng)能合理分類與準(zhǔn)確分步。首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成這件事有幾類方法，每類方法中，又有幾個(gè)步驟。這樣才會(huì)不重復(fù)、不遺漏地解決問(wèn)題。解排列組合應(yīng)用題的15種策略31相鄰問(wèn)題1、全相鄰問(wèn)題，捆邦法例1、6名同學(xué)排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有 C 種。A720 B360 C240 D120說(shuō)明：從上述解法可以看出，所謂“捆邦法，就是在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰問(wèn)題時(shí)，可以整體考慮將相鄰元素視作一個(gè)“大元素。2、全不相鄰問(wèn)題，插空法例2、要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰

26、，問(wèn)有多少不同的排法，解：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其中不同的排法有6！，這6個(gè)節(jié)目的空隙及兩端共有七個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目有種排法，由乘法原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為種例3高三一班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，那么不同排法的種數(shù)是A1800 B3600 C4320 D5040解：不同排法的種數(shù)為3600，應(yīng)選B說(shuō)明：從解題過(guò)程可以看出，不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它隔開，此類問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。3不全相鄰排除法，排除處理例4五個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩

27、人相鄰，有多少排法？解：例5有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是解法一：前后各一個(gè)，有8122192種方法前排左、右各一人：共有44232種方法兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個(gè)位置：乙可坐2個(gè)位置乙可坐1個(gè)位置224112此種情況共有426種方法因?yàn)閮蛇叾际?個(gè)位置，都坐右邊亦有6種方法，所以坐在第一排總共有6612種方法兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右甲左乙右總共有種方法同樣甲、乙可互換位置，乙左甲右也同樣有55種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有552110種方法。綜上所述，按要求兩

28、人不同排法有 1923212110346種解法二：考慮20個(gè)位置中安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號(hào)座位與5號(hào)座位不算相鄰坐在前排相鄰的情況有12種。，7號(hào)座位與8號(hào)座位不算相鄰坐在后排相鄰的情況有22種。，共有種2、順序一定，除法處理或分類法。例6、信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把5面旗都掛上去，可表示不同信號(hào)的種數(shù)是 用數(shù)字作答。解：5面旗全排列有種掛，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有 說(shuō)明:在排列的問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序問(wèn)題,這類問(wèn)題用縮小倍數(shù)的方法求解比擬方便快捷例706湖北卷某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需

29、要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 。用數(shù)字作答解一：依題意，只需將剩余兩個(gè)工程插在由甲、乙、丙、丁四個(gè)工程形成的5個(gè)空中插一個(gè)或二個(gè)，可得有30種不同排法。解二：=30例8、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位的數(shù)字的共有 A210個(gè) B300個(gè) C464個(gè) D600個(gè)解： 應(yīng)選B4、多元問(wèn)題，分類法例9(06陜西卷)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)遙遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,那么不同的選派

30、方案共有 種解析：某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)遙遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論， 甲、丙同去，那么乙不去，有=240種選法；甲、丙同不去，乙去，有=240種選法；甲、乙、丙都不去，有種選法，共有600種不同的選派方案5、多排問(wèn)題，單排法例10、兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，假設(shè)8名學(xué)生入座每人一座位，那么不同的座法為A B C D解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有 種座法。選D 說(shuō)明：把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸納為一排考慮，再分段處理。6、至少問(wèn)題，分類法 或 間接法排除處理例1106福建卷從4名男生和3名女生中選

31、出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，假設(shè)這3人中至少有1名女生，那么選派方案共有A108種 B186種 C216種 D270種解析：從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186種，選B.例1206遼寧卷5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號(hào)參加團(tuán)體比賽,那么入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員,且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有_種.(以數(shù)作答) 【解析】?jī)衫弦恍聲r(shí), 有種排法；兩新一老時(shí), 有種排法,即共有48種排法.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有限制條件的排列組合問(wèn)題以及分類討論思想.例13(06重慶卷)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的個(gè)班實(shí)習(xí)，每班

32、至少名，最多名，那么不同的分配方案有A種B種 C種D種解析：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，那么將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個(gè)班，共有種不同的分配方案，選B.說(shuō)明：含“至多或“至少的排列組合問(wèn)題，是需要分類問(wèn)題，或排除法。排除法，適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。7分組問(wèn)題與分配問(wèn)題分組問(wèn)題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例14。有9個(gè)不同的文具盒：1將其平均分成三組；2將其分成三組，每組個(gè)數(shù)2，3，4。上述問(wèn)題各有多少種不同的分法？分析：1此題屬于分組問(wèn)題：先取3個(gè)為第一組，有 種分法，再取3個(gè)不第二組，

33、有種分法，剩下3個(gè)為第三組，有 種分法，由于三組之間沒有順序，故有種分法。2同1，共有種分法，因三組個(gè)數(shù)各不相同，故不必再除以。練習(xí)：12個(gè)學(xué)生平均分成3組，參加制作航空模型活動(dòng)，3個(gè)教師各參加一組進(jìn)行指導(dǎo)，問(wèn)有多少種分組方法？分配問(wèn)題： 定額分配，組合處理； 隨機(jī)分配，先組后排。例15。有9本不同的書：1分給甲2本，乙3本，丙4本；2分給三個(gè)人，分別得2本，3本，4本。上述問(wèn)題各有多少種不同的分法？1此題是定額分配問(wèn)題，先讓甲選，有種；再讓乙選，有種；剩下的給丙，有種，共有種不同的分法2此題是隨機(jī)分配問(wèn)題：先將9本書分成2本，3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個(gè)人，共有種不同的分法。例16：

34、對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，假設(shè)所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，那么這樣的測(cè)試方法有多少種可能?解：第5次必測(cè)出一次品，余下3件次品在前4次被測(cè)出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，前4次測(cè)試中的順序有種，由分步計(jì)數(shù)原理即得：576。【評(píng)述】此題涉及一類重要問(wèn)題：?jiǎn)栴}中既有元素的限制，又有排列的問(wèn)題，一般是先選元素即組合后排列練習(xí)：1。3名教師分配到6個(gè)班里，各人教不同的班級(jí)，假設(shè)每人教2個(gè)班，有多少種分配方法？ 2將10本不同的專著分成3本，3本，3本和1本，分別交給4位學(xué)者閱讀，問(wèn)有多少種不同的分法？例1706湖南卷某外商方案在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的工程,且在同一個(gè)城市投資的工程不超過(guò)2個(gè),那么該外商不同的投資方案有種種種種解析：有兩種情況，一是在兩個(gè)城市分別投資1個(gè)工程、2個(gè)工程，此時(shí)有， 二是在在兩個(gè)城市分別投資1，1，1個(gè)工程，此時(shí)有， 共有=60， 應(yīng)選 D8隔板法：隔板法及其應(yīng)用技巧 在排列組合中，對(duì)于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個(gè)，求方法數(shù)的問(wèn)題，常用隔板法。見下例：例18。求方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。(即：10個(gè)相同的小球分給三人，每人至少1個(gè)，有多少種方法？) 分析：將10個(gè)球排成一排，球與球之間形成9個(gè)空隙，將兩個(gè)隔