自動(dòng)控制_08a非線性控制系統(tǒng)分析

1、 控制系統(tǒng)在不同程度上都存在著非線性。有些系統(tǒng)可通過在工作點(diǎn)附近線性化來處理，但當(dāng)系統(tǒng)包含有本質(zhì)非線性特性時(shí)，就不能用線性化的方法處理。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有本質(zhì)的差別，非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理，它的穩(wěn)定性不僅取決于控制系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始條件與輸入信號有關(guān)。第第8 8章章 非線性控制系統(tǒng)分析非線性控制系統(tǒng)分析內(nèi)容提要 81 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述1.研究非線性控制理論的意義研究非線性控制理論的意義3.非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法1.基本概念82 常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響常見非線性特性及其對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響 靜態(tài)非線性特性中，死區(qū)

2、特性、飽和特性、繼電特性、間隙特性是最常見的，也是最簡單的。)128 ( )(xfy 一個(gè)單輸入單輸出靜態(tài)非線性特性的數(shù)學(xué)描述為： 定義非線性環(huán)節(jié)輸出與輸入的比值為等效增益K：）（變增益138)()(xxfxyK 繼電特性顧名思義就是繼電器所具有的特性, 繼電特性有雙位特性如附圖1（a）和（b），三位特性如附圖1（c）等。當(dāng)然，不限于繼電器，其它裝置如果具有類似的非線性特性，我們也稱之為繼電特性，比如：電磁閥、斯密特觸發(fā)器等。 分析繼電特性有十分重要的意義，因?yàn)椴捎美^電器、電磁閥等元件的的控制系統(tǒng)比比皆是，例如大多數(shù)家用電冰箱、空調(diào)就是繼電器控制系統(tǒng)。 2.常見非線性因素對系統(tǒng)特性的影響常見非

3、線性因素對系統(tǒng)特性的影響(1).繼電特性附圖1 幾種典型的繼電特性圖1（a）所示繼電特性的數(shù)學(xué)描述為：00 xMxMy 0:0 0:022111122hxMhxhhxMyxhxMhxhhxMyx當(dāng)當(dāng)圖（c）所示繼電特性的數(shù)學(xué)描述為： (2)死區(qū)特性附圖 2 死區(qū)特性 死區(qū)特性常常是由放大器、傳感器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)造成的。實(shí)際的死區(qū)特性一般如附圖2中的點(diǎn)劃線所示，為了分析的方便，我們將它用附圖2 中的三段直線（實(shí)線）來近似，并稱之為理想死區(qū)特性。理想型死區(qū)特性的的數(shù)學(xué)描述為： )(|0)(xxkxxxky 死區(qū)特性可能給控制系統(tǒng)帶來不利影響，它會(huì)使控制的靈敏度下降，穩(wěn)態(tài)誤差加大；死區(qū)特性也可

4、能給控制系統(tǒng)帶來有利的影響，有些系統(tǒng)人為引入死區(qū)以提高抗干擾能力。(3)飽和特性附圖附圖3 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙也是控制系統(tǒng)中常見的非線性特性，齒輪傳動(dòng)是典型的間隙特性，附圖4表示齒輪傳動(dòng)原理，附圖4（b）表示主動(dòng)輪位移與從動(dòng)輪位移的關(guān)系。設(shè)主動(dòng)輪與從動(dòng)輪間的最大間隙為2b，那么當(dāng)主動(dòng)輪改變方向時(shí)，主動(dòng)輪最大要運(yùn)動(dòng)2b從動(dòng)輪才能跟隨運(yùn)動(dòng)。間隙特性類似于線性系統(tǒng)的滯后環(huán)節(jié)，但不完全等價(jià)，它對控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)特性都不利。一般來說，它會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，相角滯后增大，影響動(dòng)態(tài)特性 。(4) 間隙特性間隙特性式中，K為等效增益。 bkyxbxkbkyxbcbkyxbxky/)(/)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)附圖4 間隙

5、特性 相平面法是龐加萊（Poincare）1885年首先提出的，本來它是一種求解二元一階非線性微分方程組的圖解法,兩個(gè)變量構(gòu)成的直角坐標(biāo)系稱為相平面，方程組的解在相平面上的圖象稱為相軌跡。 本章將相平面法用于分析一階尤其是二階非線性控制系統(tǒng)，并形成了一種特定的相平面法，它對弄清非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)定域等基本屬性,解釋極限環(huán)等特殊現(xiàn)象，起到了直觀形象的作用。 83 相平面法 因?yàn)槔L制兩維以上的相軌跡是十分困難的，所以相平面法對于二階以上的系統(tǒng)幾乎無能為力，但是，如果我們將相平面概念推廣到到抽象空間，就得到三維狀態(tài)空間。下面討論相平面和相軌跡的基本概念。 考察二階非線性時(shí)不變微分方程:)158

6、( ),(xxfx 1 1. .相平面的基本概念相平面的基本概念 為了引入相平面法，將二階微分方程改寫成二元一階微分方程組: 1)*(8 ),(xxfdtxdxdtdx 上述微分方程組有兩個(gè)變量: x可以看作廣義位移， 可以看作廣義速度。 一般，直接對微分方程（8-15）求解，可以得到該系統(tǒng)的時(shí)間解 x(t),還可以作出x(t)與t的關(guān)系圖時(shí)間響應(yīng)曲線。 .x.xx. 如果我們對上述微分方程組1求解，可以得到解x(t)和 ,如果我們?nèi)?x 和 為坐標(biāo)，以時(shí)間 t 為參變量,則系統(tǒng)的每一時(shí)刻的狀態(tài)均對應(yīng)于該平面上的一點(diǎn)，當(dāng) t 變化時(shí)，這一點(diǎn)在 平面上繪出的曲線，表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，這個(gè)曲線就

7、是相軌跡。我們用一個(gè)二階線性時(shí)不變系統(tǒng)來體驗(yàn)一下相平面和相軌跡。 xxx.)(tx 附例1 考慮二階系統(tǒng)：將它寫成微分方程組：0000.)(,)(,0,0 xtxxtxaaxxaxdtxdxdtdx.兩式相除得到：xaxdxxd.即：axdxxdx兩邊積分得: 202022axxaxx在相平面上繪出的相軌跡如附圖5(a)所示橢圓，如果取遍所有的初始值，就會(huì)得到無數(shù)一環(huán)套一環(huán)的橢圓稱為相軌跡場，相軌跡場布滿了整個(gè)相平面，相軌跡場從全局上展示了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，圖（a）只繪出了相軌跡場中的2根相軌跡。當(dāng) xo=0 時(shí)，響應(yīng)曲線如圖（b）。附圖5 附例1的相軌跡與時(shí)間響應(yīng)00 xm1K1x平衡位置

8、例81 某彈簧質(zhì)量運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖811所示，圖中m為物體質(zhì)量，K為彈簧的彈性系數(shù)，若初始條件為 試確定系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡。 00)0(,)0(xxxx解：描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程為 0 xx 為半徑的圓跡為以原點(diǎn)為圓心，該系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌）（整理得：有則按照令將上式寫為2020202022202202)(21)()(21)()188(,)(,)(0000 xxxxxxxxxdxdxxhxxxdxxdxgxxhxxgxdxxdxxxxxxxxx2 2. .相軌跡圖相軌跡圖繪制相軌跡圖有多種辦法，概括起來有如下幾類：第一類：手工繪制概略圖。概略圖就象相軌跡的素描，它是根據(jù)相軌跡的基本特征、特殊

9、點(diǎn)、特殊線等信息而隨手畫出的草圖，它雖然在具體細(xì)節(jié)上缺乏精度，但卻能提供許多重要的定性結(jié)論。第二類：手工圖解繪制近似圖。在計(jì)算機(jī)未得到廣泛應(yīng)用的年代，人們研究出好幾種手工近似作圖法，如等傾線法、法等。這些手工作圖法要繪出有一定精度的相軌跡圖是十分繁瑣的，如今已沒有多大實(shí)用價(jià)值。第三類：計(jì)算機(jī)繪制精確圖。借助計(jì)算機(jī)數(shù)值解法以及SIMULINK等軟件繪制相軌跡圖。 相軌跡的基本特征有：1 1）奇點(diǎn)）奇點(diǎn) 對于二階系統(tǒng)，相平面上滿足 的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，記作 。對照方程組（8*1）知，奇點(diǎn)座標(biāo) 是代數(shù)方程 的解。00.xx且eX)(.,eexx) 2*8 ( 0),(0 xxfx 對于二階系統(tǒng)，對于二階系

10、統(tǒng)， 和和 就是就是速度速度和和加速度加速度均為零，也就意味著不均為零，也就意味著不再運(yùn)動(dòng)，所以，奇點(diǎn)又稱平衡點(diǎn)。相平面上任再運(yùn)動(dòng)，所以，奇點(diǎn)又稱平衡點(diǎn)。相平面上任何其它點(diǎn)，都叫普通點(diǎn)。奇點(diǎn)又分穩(wěn)定奇點(diǎn)和何其它點(diǎn)，都叫普通點(diǎn)。奇點(diǎn)又分穩(wěn)定奇點(diǎn)和不穩(wěn)定奇點(diǎn)。不穩(wěn)定奇點(diǎn)。 0.x0.x奇點(diǎn)處的斜率不確定。線性微分方程的一般形式為022xxxnn 則 xxxdxxdnn22 求奇點(diǎn)，令 和02),(2xxxxfnn0 x 00 xx得奇點(diǎn)坐標(biāo)為： 即為坐標(biāo)原點(diǎn)。下面根據(jù) 取值的不同，介紹幾種性質(zhì)不同的奇點(diǎn)。 1中心點(diǎn) 當(dāng) 時(shí)，原方程變?yōu)?，若定義初始條件，可得特征方程的一對純虛根 002.xxnjp

11、2, 1得通解 )cos(),sin(tAxtAx則 222)(Axx2 穩(wěn)定焦點(diǎn) 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)特征根是一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，收斂于平衡點(diǎn)的周期性衰減振蕩。 103 穩(wěn)定節(jié)點(diǎn) 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)特征根是兩個(gè)負(fù)實(shí)根，對應(yīng)收斂于平衡點(diǎn)的非周期衰減。 14 不穩(wěn)定焦點(diǎn) 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)特征根是一對具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，對應(yīng)發(fā)散的振蕩。 015 不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn) 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)特征根是兩個(gè)正實(shí)根，對應(yīng)非周期的發(fā)散。 16 鞍點(diǎn) 當(dāng)線性微分方程的一般形式為 022xxxnn 相當(dāng)于正反饋系統(tǒng)的情況，系統(tǒng)的特征根為一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，對應(yīng)非周期發(fā)散。 2 2）奇線）奇線 當(dāng)非線性系統(tǒng)存在多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的相軌跡就當(dāng)非

12、線性系統(tǒng)存在多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的相軌跡就取決于多個(gè)奇點(diǎn)的共同作用，會(huì)產(chǎn)生特殊的相軌跡，這取決于多個(gè)奇點(diǎn)的共同作用，會(huì)產(chǎn)生特殊的相軌跡，這類相軌跡叫奇線。最常見的奇線是極限環(huán)。類相軌跡叫奇線。最常見的奇線是極限環(huán)。 1穩(wěn)定極限環(huán)：相軌跡卷入，自持振蕩。 2 不穩(wěn)定極限環(huán)：相軌跡卷離，小偏差穩(wěn)定，大偏差不穩(wěn)定。 3 半穩(wěn)定極限環(huán)：兩種情況，內(nèi)部卷入外部卷離，或內(nèi)部卷離外部卷入。小偏差等幅振蕩，大偏差不穩(wěn)定；小偏差穩(wěn)定，大偏差等幅振蕩。3 3）相軌跡切線斜率）相軌跡切線斜率 由方程組（8*1）知，相軌跡上任一點(diǎn)的切線斜率為：某點(diǎn)的切線斜率就是相軌跡通過該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，前面提到的等傾線就是相軌跡場上

13、所有切線斜率等于某一常數(shù)的點(diǎn)的連線。 )(.,xx)218(),(),(.xxxfdxxdxx 若 ，則 增大，相軌跡在相平面的上半部從左向右運(yùn)動(dòng) 若 ，則x減小，相軌跡在相軌跡的下半部從右向左運(yùn)動(dòng) 0 x 0 x x4)相軌跡的性質(zhì)： 1 若 ，相軌跡對稱于x軸。 ),(),(.xxfxxf若 ，相軌跡對稱于 軸。 ),(),(.xxfxxf若 ，相軌跡對稱于原點(diǎn)。 ),(),(.xxfxxfx 2 3 相軌跡與x軸相交時(shí)， ，斜率 無窮大，相軌跡與x軸正交。 0 x dxxd 研究線性系統(tǒng)相軌跡的意義主要在兩個(gè)方面：一是許多非線性特性可以近似為分段線性的，如死區(qū)特性、飽和特性、繼電特性等，

14、而分段線性系統(tǒng)的相軌跡可以由幾段線性系統(tǒng)的相軌跡連接而成；二是大多數(shù)非線性系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的相軌跡，與其在奇點(diǎn)附近的線性化系統(tǒng)的相軌跡十分接近。 3.線性系統(tǒng)的相軌跡(1).線性一階系統(tǒng)的相軌跡線性一階系統(tǒng)的相軌跡描述線性一階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程為： )148(11)0()0(10000圖直線上。的點(diǎn)，斜率為由此得相軌跡位于過原，給定初始條件相軌跡方程為TcTcccccTcccT其中， 為常數(shù)。將它寫成微分方程組： 假如用下列二階微分方程描述二階線性系統(tǒng)： 0000)(,)(,xtxxtxVbxxax bxxadtxdxdtdx(2).線性二階系統(tǒng)的相軌跡線性二階系統(tǒng)的相軌跡Vba,容易求出奇

15、點(diǎn)為: 0,00,0,bxbxbVxeee當(dāng)當(dāng)可見，當(dāng) 且 時(shí)，奇點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)（0，0），當(dāng) 且 時(shí)的奇點(diǎn)為 軸上的 點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)奇點(diǎn)為整個(gè) 軸。上述二階系統(tǒng)的特征根為：0b0V0b0VxbVx/0bx2422 , 1baas 顯然，當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí)，特征根在根平面上的分布也不同，響應(yīng)曲線和相軌跡的形態(tài)也不同。 4.非線性系統(tǒng)的相平面分析 非線性系統(tǒng)相平面分析的關(guān)鍵是繪出相軌跡圖，有了相軌跡圖，我們就可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)定域、振型、穩(wěn)態(tài)誤差等方面的結(jié)論。我們也可以繪出不同初始條件、不同輸入、不同系統(tǒng)參數(shù)所對應(yīng)的相軌跡圖，研究其中的規(guī)律。我們還可以繪出加進(jìn)某種校正環(huán)節(jié)后的相軌跡圖，研究非線性系統(tǒng)

16、的校正。當(dāng)然，相平面分析是有局限性的，比如參數(shù)的改變只能取幾個(gè)離散值，校正環(huán)節(jié)不能使系統(tǒng)階次高于2階等等。本節(jié)主要討論具有幾種典型非線性特性的控制系統(tǒng)。附圖7 具有分離結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如附圖7所示，其顯著特點(diǎn)是：系統(tǒng)具有靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)的分離結(jié)構(gòu)，且靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)是分段線性的，動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)為一階或二階。(1)具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng) 分析附圖7 所示非線性系統(tǒng)的具體方法是：先將靜態(tài)非線性特性分為幾個(gè)線性段，劃分出每段對應(yīng)的相平面分區(qū)；然后在每個(gè)分區(qū)按線性系統(tǒng)繪出相軌跡；最后將各分區(qū)的相軌跡進(jìn)行銜接就得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡。 附圖7 中，如果非線性特性為死區(qū)特性，線性

17、部分的方程為：聯(lián)列上述兩式得到整個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：)()()()(,)(, )(0000tctrtectcctctKmccT eKkrrTKkeeeTerrTeeTeKkrrTKkeeeT )458( |在階躍輸入 作用下，因?yàn)?,系統(tǒng)的分區(qū)域方程簡化為： )( 1)(ttr0 rr )3(0)()()(468 )2(|0) 1(0)()()(區(qū)域）（區(qū)域區(qū)域 eeKkeeTeeeTeeKkeeT 向心螺旋線為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡為，：奇點(diǎn)區(qū)域相軌跡沿直線收斂：奇點(diǎn)區(qū)域心螺旋線穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡是向，：奇點(diǎn)區(qū)域，可得奇點(diǎn)類型，若給定參數(shù))0(3),(),0 ,(2)0(111xxKkT代入初始條件可作出相軌跡曲線。圖829。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 (2)具有繼電特性的非線性系統(tǒng)具有繼電特性的非線性系統(tǒng) 附圖7 具有分離結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)30)518(201000區(qū)域區(qū)域區(qū)域KMccTccTKMccT 如果非線性特性為帶滯環(huán)的繼電特性，按繼電特性表達(dá)式將相平面劃分為3個(gè)區(qū)域，當(dāng) 時(shí)該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為： )( 1)(ttr 整個(gè)系統(tǒng)的相軌跡場如附圖8。這里，又看到了非線性系統(tǒng)的特殊現(xiàn)象極限環(huán)。極限環(huán)是一條封閉曲線，它是一些相軌跡的極限，屬于奇線。 附圖8 具有