工程隨機(jī)數(shù)學(xué)：第1章工程隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題_答案

1、 PAGE 2第1章 隨機(jī)事件及其概率習(xí)題 11寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。（1）記錄一個(gè)班級(jí)一次概率統(tǒng)計(jì)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分）。解：以表示該班的學(xué)生數(shù)，總成績(jī)的可能取值為，所以試驗(yàn)的樣本空間為 （2）同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和。解：（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。解：設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了件不合格品，樣本空間為或?qū)懗桑?）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。解：采用0表示檢查到一件次品，以1表示檢查到一件正品，例如0110表示第一次與

2、第四次檢查到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可以表示為（5）在單位正方形內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。解：（6）實(shí)測(cè)某種型號(hào)燈泡的壽命。解：2設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件，。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生。（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生。（4）A，B，C都發(fā)生。（5）A，B，C都不發(fā)生。（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生。（7）A，B，C至少有一個(gè)不發(fā)生。（8）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生。解：以下分別用表示中所給出的事件。注意到一個(gè)事件 不發(fā)生即為它的對(duì)立事件的發(fā)生，例如事件不發(fā)生即為發(fā)生。發(fā)生，與不發(fā)生，表示同時(shí)發(fā)生，故或

3、寫成。與都發(fā)生而不發(fā)生，表示同時(shí)發(fā)生，故或?qū)懗?。由和事件的含義知，事件即表示中至少有一個(gè)發(fā)生，故。也可以這樣考慮：事件“至少有一個(gè)發(fā)生”是事件“都不發(fā)生”的對(duì)立事件，因此。也可以這樣考慮：事件“中至少有一個(gè)發(fā)生”表示三個(gè)事件中恰有一個(gè)發(fā)生或恰有兩個(gè)發(fā)生或三個(gè)事件都發(fā)生，因此，又可寫成 。 ?！爸胁欢嘤谝粋€(gè)發(fā)生”表示都不發(fā)生或中恰有一個(gè)發(fā)生，因此。 又“中不多于一個(gè)發(fā)生”表示“中至少有兩個(gè)不發(fā)生”，亦即中至少有一個(gè)發(fā)生，因此又有。又“中不多于一個(gè)發(fā)生”是事件“中至少有兩個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事件，而事件可寫成，因此又可將寫成?！爸胁欢嘤趦蓚€(gè)發(fā)生”表示都不發(fā)生或中恰有一個(gè)發(fā)生或中恰有兩個(gè)發(fā)生。因此，。又“

4、中不多與兩個(gè)發(fā)生”表示中至少有一個(gè)不發(fā)生，亦即中至少有一個(gè)發(fā)生，即有。又“ 中不多于兩個(gè)發(fā)生”是事件“三個(gè)都發(fā)生”的對(duì)立事件，因此又有。，也可寫成。3 從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)中，任取其三，構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)。試求下列事件的概率：（1）三位數(shù)是奇數(shù)； （2）三位數(shù)為5的倍數(shù)；（3）三位數(shù)為3的倍數(shù)； （4）三位數(shù)小于350。解構(gòu)成三位數(shù)有種情況，而三位數(shù)是奇數(shù)則要求最后一位為1，3，5三個(gè)數(shù)之一，有，余下的兩位數(shù)則在剩余的四個(gè)數(shù)字之間選擇一個(gè)，有。則三位數(shù)是奇數(shù)的概率如下：三位數(shù)為5的倍數(shù)，則最后一位必然為5，有：三維數(shù)為3的倍數(shù)，則必有一個(gè)3，另外為：1，2；1，5；2，4；4，5。共4種組

5、合。首位為1，2，最后兩位有4，3種選擇，首位為3，最后兩位有3，3種選擇。4某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貸人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個(gè)定貨4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按所定顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？解： ：在17桶油漆中任取9桶給顧客。以表示事件“顧客取到4桶白漆，3桶黑漆與2桶紅漆”，則有，故。5在1700個(gè)產(chǎn)品中有500個(gè)次品、1200個(gè)正品。任取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率；（2）求至少有2個(gè)次品的概率。解：（1） （2）以表示事件“沒有取到次品”，以表示事件“取到一個(gè)次品”。以表示事件“至少有兩個(gè)次

6、品”。則有=6把10本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率。解：十本書任意放有種排列方法，而將三本書看作一個(gè)整體（此三本書之間有種排布）與其他7本書（共有8個(gè)元素）在一起排列共有種情況，設(shè)三本放在一起為事件，那么：7 從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解： ：從5雙不同的鞋子中任取四只。以表示事件“所取4只鞋子中至少有兩只配成一雙鞋子”，則表示事件“所取4只鞋子無配對(duì)”。先計(jì)算較為簡(jiǎn)便?？紤]4只鞋子是有次序一只一只取出的。自5雙（10只）鞋子中任取4只共有種取法，。現(xiàn)在來求。第一只可以任意取，共有10種取法，第二只只能在剩下的9只中且除

7、去與已取的第一只配對(duì)的8只鞋子中任取一只，共8種取法。同理第三只、第四只各有6種、4種取法，從而 。故。8把長(zhǎng)度為a的線段在任意二點(diǎn)折斷成為三線段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。 解： 設(shè)兩段長(zhǎng)度分別為X、Y , XY滿足方程X+Ya，Xa,Ya/2 Xa/2 Ya/2，。 9甲乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)碼頭的時(shí)刻是等可能的，若甲船停泊時(shí)間一小時(shí)，乙船停泊時(shí)間二小時(shí)，求它們中任意一艘不需要等待碼頭空出的概率。解：本題是一道幾何概型的題目，設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，A為“甲、乙兩船都不需要等待碼頭空出”。則要想使甲乙兩船都不要等待，那么甲船應(yīng)該早

8、于乙船1一小時(shí)以上或乙船早于甲船2小時(shí)以上，即有或。又有，根據(jù)做出圖形，求出其圍成的面積與圍成的面積之比，即為事件的概率。具體如下圖1-1：考慮平面直角坐標(biāo)系的第一象限上，的正方形區(qū)域，其中（x，y）表示甲船于x時(shí)刻，乙船于y時(shí)刻到達(dá)碼頭。記錄為直線L1，為直線L2，則L1上方區(qū)域表示甲船先到，乙船在1小時(shí)之后的某個(gè)時(shí)間到；L2下方區(qū)域表示乙船先到，甲船在2小時(shí)之后的某個(gè)時(shí)間到。而L1與L2之間的帶狀區(qū)域是有一船需要等候碼頭的情況。所求的概率即為帶狀區(qū)域之外的兩個(gè)三角形面積和占正方形面積的比例。即為：10已知求。解: ，11在做鋼筋混凝土構(gòu)件以前，通過拉伸試驗(yàn)，抽樣檢查鋼筋的強(qiáng)度指標(biāo)，今有一組

9、A3鋼筋100根，次品率為2%，任取3根做拉伸試驗(yàn)，如果3根都是合格品的概率大于0.95，認(rèn)為這組鋼筋可用于做構(gòu)件，否則作為廢品處理，問這組鋼筋能否用于做構(gòu)件？解：由次品率為2%可知，本組A3鋼筋中有2根次品。設(shè)事件本組鋼筋能用于構(gòu)件為事件，則有：12某人忘記了密碼鎖的最后個(gè)數(shù)字，他隨意地?fù)軘?shù)，求他撥數(shù)不超過三次而打開鎖的概率。若已知最后一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，那么此概率是多少？解： 以表示事件“第i次撥數(shù)”，i=1,2,3.以表示事件“撥數(shù)不超過3次打開鎖”，則有因兩兩互不相容，且 ,。即有：當(dāng)已知最后一位數(shù)是偶數(shù)時(shí)，所求的概率為。13袋中有8個(gè)球，6個(gè)是白球、2個(gè)是紅球。 8個(gè)人依次從袋中各取一球

10、，每人取一球后不再放回袋中。問第一人，第二人，最后一人取得紅球的概率各是多少個(gè)。解：設(shè)以表示事件“第個(gè)人取到的是紅球”。則，又因，由概率的全概公式得類似地，有14設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有一件是不合格品，問另一件也是不合格品的概率是多少？解：設(shè)事件為另一件也是不合格品，又已知兩件中有一件是不合格品，則有以下兩種情況：第二件是合格品，第二件是不合格品。概率分別為：。則知：15設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球，今從甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再從乙袋中任意取只球。問取到白球的概率是多少？解：以表示事件“最后取到的是白球”，以

11、表示事件“最后取到的是甲袋中的球”，因于是。而（這是因?yàn)樽詈笫菑囊掖腥∏虻模藭r(shí)乙袋中共有只球，其中只有一只是甲袋中的球）。又有 故。16盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比賽時(shí)從其中任取3只來用，比賽后仍放回盒中。第二次比賽時(shí)再從盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。 解：令Hi=第一次比賽時(shí)取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球，i=0,1,2,3，A=第二次比賽取出的3個(gè)球均為新球。于是 而 由全概率公式便可得所求的概率 17將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:l，若接收站

12、收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：以D表示事件“將信息傳遞出去”，則表示事件“將信息B傳遞出去”，以R表示“接收到信息”，則表示事件“接收到信息”，按題意需求概率.已知=0.02，=0.01，且有=2，由于,得知由貝葉斯公式得到18甲、乙、丙三組工人加工同樣的零件，它們出現(xiàn)廢品的概率：甲組是0.01，乙組是0.02，丙組是0.03，它們加工完的零件放在同一個(gè)盒子里，其中甲組加工的零件是乙組加工的2倍，丙組加工的是乙組加工的一半，從盒中任取一個(gè)零件是廢品，求它不是乙組加工的概率。解：設(shè)乙組加工零件數(shù)為，則甲組為，丙組為。 有，因此知：若從盒中任取一個(gè)零件是廢品，且它不是乙組加工，

13、那么必為甲組或丙組加工。設(shè)此事件為，則有：19有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解 以表示事件“從第一箱取零件”，則表示事件“從第二箱中取零件”。由已知條件。又以表示事件“第次從箱中（不放回抽樣）取得的是一等品”。（1）由條件， ，故。（2） 需要求的是 。因 ，而由條件概率的含義，表示在第一箱中取兩次，每次取一只零件，做不放回抽樣，且兩次都取得一等品的概率

14、。因第一箱50只零件，其中有10只一等品，故有。同理，故有20設(shè)有四張卡片分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，今任取一張，設(shè)事件A為取到4或2，事件B為取到4或3，事件C為取到4或1，試驗(yàn)證 。證： 以(=1,2,3,4)表示取到第張卡片,則,又，且兩兩互不相容，故.另外，.從而有： 如果一危險(xiǎn)情況C發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開關(guān)并聯(lián)以改善可靠性，在C發(fā)生時(shí)這些開關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且若至少一個(gè)開關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出，如果兩個(gè)這樣的開關(guān)并聯(lián)聯(lián)接，它們每個(gè)具有0.96的可靠性（即在情況C發(fā)生時(shí)閉合的概率），問這時(shí)系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少？如果需要有一個(gè)可靠性至少為0

15、.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)？這里設(shè)各開關(guān)閉合與否都是相互獨(dú)立的。 解 以表示事件“第只開關(guān)閉合”，=1,2，n.已知，由此可得兩只這樣的開關(guān)并聯(lián)而電路閉合的概率為(注意各開關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的) 設(shè)需要n只這樣的開關(guān)并聯(lián)，此時(shí)系統(tǒng)可靠性， 注意到，且由的獨(dú)立性推得也相互獨(dú)立.故要使即要使，亦即要使故應(yīng)有因?yàn)檎麛?shù)，故應(yīng)有即至少要用3只開關(guān)并聯(lián)。22甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人中的概率分別為0.4，0.5，0.7飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：設(shè)甲擊中飛機(jī)概率為，乙擊中飛機(jī)概率為，丙擊中飛機(jī)概率為。飛機(jī)被擊落設(shè)為事件，飛機(jī)被擊落分為以下三種情況，概率分別為：被一人擊中而被擊落，概率為，被兩人擊中而被擊落，概率為，三人都擊中飛機(jī)被擊落，概率為。則：23在裝有6個(gè)白球，8個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋中，有放回地從中任取5次，每次取出一個(gè)。試求恰有3次取到非白球的概率。解：24電燈泡使用時(shí)數(shù)在