自動控制原理課件1PPT課件

1、本章主要內(nèi)容本章在闡述了離散控制系統(tǒng)相關(guān)基本概念后，學(xué)習(xí)了采樣過程及采樣定理、保持器的作用和數(shù)學(xué)模型、z變換的定義和求法、基本定理和z反變換的求法、線性差分方程的建立及其解法、脈沖傳遞函數(shù)的概念及求取方法等。本章重點學(xué)習(xí)本章，需要掌握離散系統(tǒng)的相關(guān)基本概念，特別是采樣過程和采樣定理、z變換和z反變換及其性質(zhì)、差分方程和脈沖傳遞函數(shù)等概念。在此基礎(chǔ)上了解利用脈沖傳遞函數(shù)求解離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)性能計算等內(nèi)容。第1頁/共135頁概 述與連續(xù)系統(tǒng)顯著不同的特點是，在離散系統(tǒng)中的一處或數(shù)處的信號不是連續(xù)的模擬信號，而是在時間上離散的脈沖序列，稱為離散信號或采樣信號。相應(yīng)的離散系統(tǒng)也

2、稱為采樣系統(tǒng)。典型的采樣系統(tǒng)如圖8-0-1所示。 第2頁/共135頁圖8-0-1 采樣系統(tǒng)第3頁/共135頁在上述系統(tǒng)中,采樣誤差信號是通過采樣開關(guān)對連續(xù)誤差信號采樣后得到的,如圖8-0-2.圖8-0-2 模擬信號的采樣第4頁/共135頁圖8-0-2中，T稱為采樣周期，而 Tfs1及Tfss22 分別稱為采樣頻率和采樣角頻率。由圖可見，若采樣頻率太低，包含在輸入信號中的大量信息通過采樣就會損失掉。 在采樣系統(tǒng)中，當(dāng)離散信號為數(shù)字量時，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)，最常見的時計算機控制系統(tǒng)。圖8-0-3為一典型計算機控制系統(tǒng)的框圖。 第5頁/共135頁圖8-0-3 計算機控制系統(tǒng)框圖第6頁/共135頁在計算

3、機控制系統(tǒng)中，通常時數(shù)字模擬混合結(jié)構(gòu)。因此需要設(shè)置數(shù)字量和模擬量相互轉(zhuǎn)換的環(huán)節(jié)。圖8-0-3中，模擬信號e(t)經(jīng)模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（A/D轉(zhuǎn)換器）轉(zhuǎn)換成離散信號e*(t)，并把其值由十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)（編碼），輸入計算機進行運算處理；計算機輸出二進制的控制脈沖序列u*c(t)經(jīng)過數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器（D/A轉(zhuǎn)換器）轉(zhuǎn)換成模擬信號uc(t)去控制對象。 第7頁/共135頁8-1 采樣過程及采樣定理采樣過程采樣過程：按照一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣，將其變換為在時間上離散的脈沖序列的過程稱之為采樣過程。用來實現(xiàn)采樣過程的裝置稱為采樣器或采樣開關(guān)。 采樣器可以用一個按一定周期閉合的開關(guān)來表示，采樣周

4、期為T，每次閉合時間為。通常采樣持續(xù)時間遠小于采樣周期T，也遠小于系統(tǒng)中連續(xù)部分的時間常數(shù)。因此，在分析采樣控制系統(tǒng)時，可以近似認為0。 第8頁/共135頁理想的采樣器等效于一個理想的單位脈沖序列發(fā)生器，能產(chǎn)生單位脈沖序列T(t)，如圖8-1-1所示。 圖8-1-1 單位脈沖序列第9頁/共135頁單位脈沖序列T(t)的數(shù)學(xué)表達式為 nTnTtt（8-1-1） 式中 T采樣周期； n整數(shù)。脈沖調(diào)制器（采樣器）的輸出信號e*(t)可表示為 nTnTttettete*（8-1-2）第10頁/共135頁在控制系統(tǒng)中，通常當(dāng)t0時，e(t)0。因此上式可改寫為 00*nnnTtnTenTttete（8-

5、1-3）上式的拉普拉斯變換式為 0*nnTsenTesEteL（8-1-4）綜上所述，采樣過程相當(dāng)于一個脈沖調(diào)制過程，采樣開關(guān)的輸出信號e*(t)可表示為兩個函數(shù)的乘積，其中載波信號T(t)決定采樣時間，而采樣信號的幅值則由輸入信號e(nT)決定，如圖8-1-2所示。 第11頁/共135頁圖8-1-2 采樣信號的調(diào)制過程第12頁/共135頁采樣定理理想單位脈沖序列T(t)是一個以T為周期的函數(shù)，展開成傅立葉級數(shù)，復(fù)數(shù)形式為 ntjnnTseAt（8-1-5）式中 為傅立葉系數(shù)。 dtetTAtjnTTTns221對于T(t)， 。將An代入式（8-1-5），得 TAn1第13頁/共135頁 n

6、tjnTseTt1（8-1-6）將式（8-1-6）代入式（8-1-2），并考慮式（8-1-3），可得 0*1nntjnnTtteeteTtes（8-1-7）由于e*(t)的拉普拉斯變換式為 nsjnsETsE1*（8-1-8）第14頁/共135頁上式表明，E*是s的周期性函數(shù)。 通常E*(s)的全部極點均位于s平面的左半部，因此，可以用 代入上式，得到采樣信號e*(t)的傅立葉變換 js nsjnjETjE1*（8-1-9）設(shè)采樣器輸入連續(xù)信號的頻譜E (j)為有限帶寬的圖形，其最大頻率為m,如圖8-1-3所示。則采樣后得到的離散信號的頻譜如圖8-1-4所示。第15頁/共135頁圖8-1-3

7、連續(xù)信號頻譜第16頁/共135頁圖8-1-3 離散信號頻譜第17頁/共135頁圖8-1-4a對應(yīng)于 的情況，而8-1-4b對應(yīng)于 的情況。由圖8-1-4可見，相鄰兩部分頻譜不重疊的條件是ms2ms2ms2（8-1-10）而2m,為連續(xù)信號的有限頻率帶寬。 綜上所述，只有在 的條件下，才能將采樣后的離散信號無失真地恢復(fù)為原來的連續(xù)信號。這就是香農(nóng)（Shannon）采樣定理。ms2第18頁/共135頁8-2 保持器 零階保持器 零階保持器是采用恒值外推規(guī)律的保持器。它將前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)保持到下一采樣時刻(n+1)T，其輸入信號與輸出信號的關(guān)系如圖8-2-1所示。 第19頁/共13

8、5頁圖8-2-1 零階保持器的輸入和輸出信號由圖可見，零階保持器的輸出信號是階梯形的，包含高次諧波，與要恢復(fù)的連續(xù)信號有區(qū)別的。 第20頁/共135頁若將階梯波輸出信號的各中點連接起來，可以得到一條比連續(xù)信號滯后T/2的曲線，反映了零階保持器的相位滯后特性。零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如圖8-2-2所示，它可以表示為 Ttttgh11上式的拉普拉斯變換式為 setgLsGTshh1（8-2-1） 第21頁/共135頁圖8-2-2 零階保持器的單位脈沖響應(yīng)第22頁/共135頁單位脈沖響應(yīng)的拉普拉斯變換，就是零階保持器的頻率特性jejGTjh1（8-2-2） 或jGjGjGhhh（8-2-3） 式中

9、222sinTjGTTTjGhh（8-2-4） 第23頁/共135頁零階保持器的幅頻特性如圖8-2-3所示。由圖可見，它的幅值隨角頻率的增大而衰減，具有明顯的低通濾波特性。 圖8-2-3 零階保持器的幅頻特性第24頁/共135頁若將零階保持器傳遞函數(shù)展開為下列級數(shù)形式 21111111122sTTssessesGTsTsh（8-2-5） 只取級數(shù)的前兩項，可得 TsTsssGh111111（8-2-6） 這就是說，零階保持器可以近似地用RC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。 第25頁/共135頁若取級數(shù)的前三項，則 2121211112222sTTsTsTsTTsssGh這可用圖8-2-4所示的無源網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。 圖8-

10、2-4 無源網(wǎng)絡(luò)第26頁/共135頁8-3 差分方程 設(shè)采樣系統(tǒng)的框圖如圖8-3-1所示。在第k個采樣時間間隔中，零階保持器的輸出為 TktkTkTeteh1,考慮到積分環(huán)節(jié)的作用，在該周期內(nèi)輸出c(t)由下式?jīng)Q定 式中 kTtkTekTctcTktkT1第27頁/共135頁圖8-3-1 采樣控制系統(tǒng)由此可得 kTTekTcTkc1第28頁/共135頁或簡寫為 kTekckc1（8-3-1）考慮到 kckrke，上式可改寫為 kTrkcTkc11（8-3-2）這就是圖8-3-1所示采樣系統(tǒng)的差分方程。 根據(jù)式(8-3-2)可得 第29頁/共135頁 10121011010111120011ki

11、ikkirTTcTkcTrTrTcTTrcTcTrcTc（8-3-3）一般n階線性常系數(shù)差分方程的形式為 krbmkrbmkrbkcankcankcmn11101（8-3-4）第30頁/共135頁8-4 Z變換 Z變換的定義連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式為設(shè)f(t)的采樣信號為f*(t) 0dtetftfLsFst（8-4-1）其拉普拉斯變換式為 0*nnTtnTftf第31頁/共135頁 0*nnTsenTfsF（8-4-2）上式中 是s的超越函數(shù)，不便于直接運算，因此引入一個新的復(fù)變量 sTeTsez （8-4-3）將上式代入式（8-4-2），得 0*nnznTfzFtfZ（8-4-4）

12、第32頁/共135頁式（8-4-4）被定義為采樣函數(shù)f*(t)的z變換。它和式（8-4-2）是互為補充的兩種變換形式。前者表示z平面上的函數(shù)關(guān)系，后者表示s平面上的函數(shù)關(guān)系。 第33頁/共135頁 Z變換的方法1、級數(shù)求和法 將離散函數(shù)f*(t)展開如下 nTtnTfTtTfTtTftfnTtnTftfn2200*（8-4-5）然后逐項進行拉普拉斯變換，得第34頁/共135頁 nTsTsTsenTfeTfeTffsF2*210（8-4-6）或 nenTfeTfeTffzF21210上式即為離散函數(shù)的z變換的展開形式。第35頁/共135頁、210, 11nnT得：代入式將)648(11nTnTf

13、 nzzztz1111121上式寫成閉合形式，即 1 111111zzzzztz例8-4-1 求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換 。解 單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為(8-4-7)第36頁/共135頁例8-4-2 求 的z變換。 atetf解 anTenTftf*根據(jù)式(8-4-6)可得 nnaTaTaTzezezezF2211，得上式兩邊同乘1zeaT nnaTaTaTaTzezezezFze2211上兩式相減，可以求得第37頁/共135頁 111zezFaT aTaTaTezezzzezF ,111(8-4-8)2、部分分式法設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式為有理函數(shù)，可以展開為部分分式的形式，即

14、 niiipsAsF1(8-4-9)第38頁/共135頁 變換為上式的常系數(shù)；的極點；式中zAsFpii nitpiiezzAzF1(8-4-10)例8-4-3 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式為 assasF，試求其z變換。解 將F(s)展開為部分分式第39頁/共135頁 assassasF11由例8-4-1和例8-4-2可知 111111111111zezzezezzFaTaTaT例8-4-4 求 的z變換。 ttFsin解 將F(s)展開為部分分式 jsjjsjssF212122第40頁/共135頁由此可得變換為，其的原函數(shù)為因為1111zezejsTjtj 1cos2sincos21

15、sin 11211121221111TzzTzzzTzTzejzejzFTjTj第41頁/共135頁3、留數(shù)計算法設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式F(s)及其全部極點ip為已知，則可用留數(shù)計算法求其z變換 。 niiniTpiRezzpFrestfZzFi11*(8-4-11) 時的留數(shù)。在為式中isTTpiipsezzsFezzpFresRi 為時，其留數(shù)具有一階極點當(dāng)11RpssF第42頁/共135頁 sTpsezzsFpsR11lim1(8-4-12)若f(s)具有q階重復(fù)極點，則響應(yīng)的留數(shù)為 sTqqqpsezzsFpsdsdqR11lim!11(8-4-13)例8-4-5 求 的z

16、變換。解tcos jsjsssssF22，相應(yīng)的留數(shù)為：和其兩個極點分別為jsjs第43頁/共135頁TjjssTTjjssTezzezzjssRezzezzjssR212121由此可得1cos2cos 12 21)(222221TzzTzzeezzeezzezzezzRRzFTjTjTjTjTjTj(8-4-14)第44頁/共135頁例8-4-6 求f(t)=t的z變換(f(t)=0,t0)。解 21ssF它在s=0處有兩階重極點，其留數(shù)為 220201 1zTzzFzTzezzTeezzdsdRssTsTssT即(8-4-15)第45頁/共135頁例8-4-7 求f(t)=t2的z變換(f

17、(t)=0,t0)。解 32ssF它在s=0處有三個重極點，其留數(shù)為3203322112!131zzzTezzssdsdRssT(8-4-16)常見函數(shù)及其相應(yīng)的拉普拉斯變換和z變換參見教材的表8-4-1。第46頁/共135頁 Z變換的性質(zhì)1、線性定理設(shè)函數(shù)為 tfatfatfatfatfnninii22111則 zFazFiii0(8-4-17)第47頁/共135頁2、滯后定理(負偏移定理)設(shè)在t0時連續(xù)函數(shù)f(t)為零，其z變換為F(z)，則 zFzkTtfZk(8-4-18)證明根據(jù)z變換定義 01100 01 nknknkkknnzFzznTfznTfzTfzfzTkfzkTfzkTn

18、TfkTtfZ第48頁/共135頁。參見圖個采樣周期樣信號延遲代表滯后環(huán)節(jié)，它把采) 148(kzk圖8-4-1 滯后定理第49頁/共135頁3、初值定理設(shè)函數(shù)f(t)的z變換為F(z)，并且 zFfzlim0(8-4-19) 存在，則zFzlim證明 得證。零，式外，其余各項均趨近于時，上式右邊除第一項當(dāng))1948(z 20210zTfzTffznTfzFnn第50頁/共135頁4、終值定理證明 離散函數(shù)f(nT)的z變換為 外均無極點，則有為圓心的單位圓上和圓在原點，而且變換為的設(shè)函數(shù)zFzzFztf11 zFzzFznTftfzznt1 1limlimlimlim111(8-4-20)

19、zFznTfnTfZnn0而f(n+1)T的z變換為第51頁/共135頁上面兩式相減可得 0zzF 00 2 111110zffznTfzTffzznTfzTfTfzTnfTnfZnnnn zF1010zzfznTfTnfnn zF11lim1zfzz的極限，得對上式兩邊取第52頁/共135頁5、超前定理(正偏移定理) ，則變換為的設(shè)函數(shù)nnznTfzFztf0 nknkkznTfzzFzkTtfZ10(8-4-21) zFzkTtfZTkfTffk , 010定理可表示為則超前若滿足(8-4-22)第53頁/共135頁證明 根據(jù)z變換定義可知 100101100 1 1 knnkknknnn

20、kknnknkkkknnnznTfzzFzznTfznTfzznTfzzTnkfzTkfzkTfzzTknfzTkfzkTfzkTnTfkTtfZ第54頁/共135頁6、復(fù)數(shù)偏移定理設(shè)函數(shù)f(t) 的z變換為F(z)，則 aTatzeFetfZ(8-4-23)證明 根據(jù)z變換定義可知 nanTnatzenTfetfZ0則上式可化為令,1aTzez aTnnatzeFzFznTfetfZ110第55頁/共135頁7、卷積和定理設(shè) nTrTnkgkTckn0(8-4-24) zRzGzCnTrnTgnTcnn表示為：，則卷積和定理可以為負數(shù)時，當(dāng)正整數(shù)、式中0210 (8-4-25) . ; ;

21、nTrZzRnTgZzGnTcZzC式中第56頁/共135頁證明 根據(jù)z變換定義可知 kkzkTczC0將式(8-4-24)代入上式，得 kkknznTrTnkgzC 00由于kn時，g(k-n)T=0,上式可改寫為 0000knkkknzTnkgnTrznTrTnkgzC 第57頁/共135頁，上式化為：時，則令njkjnk0 zRzjTgznTrzjTgnTrzCjnjnjnnnjzG 000第58頁/共135頁和拉普拉斯反變換相類似，z反變換可表示為 Z反變換 tfzFZ*1（8-4-26）下面介紹三種比較常用的z反變換方法。1、長除法 離散函數(shù)的脈沖序列。反變換求出相應(yīng)的后用排列的級數(shù)

22、展開式，然降冪次序求出按的分母去除分子，可以用zzzFn第59頁/共135頁 的一般表達式為zF nnnmmmazazabzbzbzF110110（8-4-27），用分母除分子可得通常nm 022110nnnzczczcczF（8-4-28）上式的z反變換為 nTtcTtctctfn10*第60頁/共135頁例8-4-8 反變換式。的求zezzzezFTT11解 用長除法可以求得 221110zezezFTT上式的z反變換為 nTtetfnnT0*1第61頁/共135頁2、部分分式法例8-4-9 用部分分式法求出上例中F(z)的反變換式。解 TTTezzezzezzF11111 Tezzzzz

23、F1根據(jù)表8-1可知，其對應(yīng)的時間函數(shù)為第62頁/共135頁 tetf1 nTtetfnnT0*1或3、留數(shù)計算法根據(jù)z變換的定義 nnnznTfzTffznTfzF100乘上式兩邊，得用1nz第63頁/共135頁 21111 10zTnfznTfTnfzfzzFnn由復(fù)變函數(shù)理論可知 1121nCnCzzFresdzzzFjnTf（8-4-29）（8-4-30） 封閉曲線。全部極點的任何可以是包含積分曲線1nzzFC對于一階極點的留數(shù)為第64頁/共135頁 1limnpzzzFpzR（8-4-31）對于q階重極點的留數(shù)為 111lim11nqqqpzzzFpzdzdqR?。?-4-32）第6

24、5頁/共135頁例 8-4-10 的反變換。求21zTzzF解 F(z)在z=1處有二重極點，因此nTnTzTzdzdRznnz111lim由此可得nTnTf第66頁/共135頁例 8-4-11 的反變換。用留數(shù)法求5 . 015 . 0zzzzF解 5 . 015 . 01zzzreszzFresnTfnn 處各有一個極點，因此和在5 . 011zzzzFnnznznzzzzRzzzzR5 . 05 . 05 . 015 . 0115 . 015 . 05 . 0211第67頁/共135頁由此可得nnTf5 . 01，上式可改寫為考慮到5 . 0695. 0e nTtenTttfntTnn0

25、695. 00*1 5 . 01式中 t=nT(n=0,1,2,).第68頁/共135頁8-5 脈沖傳遞函數(shù)基本概念傳遞函數(shù)：在線性連續(xù)系統(tǒng)理論中，把初始條件為零的情況下系統(tǒng)輸出信號的拉普拉斯變換與輸入信號的拉普拉斯變換之比，定義為傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)：在線性采樣系統(tǒng)理論中，把初始條件為零的情況下系統(tǒng)的離散輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比，定義為傳遞函數(shù)。第69頁/共135頁對于圖8-5-1a 所示的采樣系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)為 zRzCzG(8-5-1)由上式可求采樣系統(tǒng)的離散輸出信號 zRzGZzCZtc11*在實際上，許多采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號，如圖8-5-1b所示。在這種情況

26、下，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù) 的概念，可以在輸出端虛設(shè)一個采樣開關(guān)，并令其采樣周期與輸入端采樣開關(guān)的相同。第70頁/共135頁8-5-1 采樣系統(tǒng)第71頁/共135頁脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)由線性連續(xù)系統(tǒng)的理論已知，但線性部分的輸入信號為單位脈沖信號 時，其輸出信號稱為單位脈沖響應(yīng)，以g(t)表示。當(dāng)輸入信號為如下的脈沖序列時 t nTtnTrtrn0*根據(jù)疊加原理，輸出信號為一系列脈沖響應(yīng)之和，即 nTtgnTrTtgTrtgrtc0第72頁/共135頁在t=kT時刻，輸出的脈沖值為由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是從t=0才開始出現(xiàn)的信號，當(dāng)tk時，上式中的g(k-n)T=0。因此，上式可寫成： nTrTnk

27、gTnkgnTrTkgTrkTgrkTck0n 10nTrTnkgkTc0n根據(jù)卷積和定理，可得上式的z變換第73頁/共135頁由此可見，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)經(jīng)過采樣后離散信號 的z變換，可表示為 zRzGzc tg* nnznTgzG0(8-5-2)上式表明，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，即其單位脈沖響應(yīng)g(t)衰減越快，則響應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)的展開式中包含的項數(shù)越少。第74頁/共135頁開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況圖8-5-2 兩種串聯(lián)結(jié)構(gòu)第75頁/共135頁如圖8-5-2a所示的開環(huán)系統(tǒng) zRzGzX1 zRzGzGzXzGzC212 zGzG

28、zGzRzC21(8-5-3)第76頁/共135頁串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器的情況圖8-5-2 兩種串聯(lián)結(jié)構(gòu)第77頁/共135頁注意式(8-5-3) 和式(8-5-4)的區(qū)別：如圖8-5-2a所示的系統(tǒng)，這時系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 zGGsGsGZzRzCzG2121(8-5-4)采樣開關(guān)分隔的兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳函等于兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳函之積；沒有采樣開關(guān)分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳函為這兩個環(huán)節(jié)的傳函相乘之積的Z變換。第78頁/共135頁例例8-5-1 8-5-1 設(shè)在圖設(shè)在圖8-5-28-5-2中中 asasGssG21,1求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解圖8-5-2a所示系統(tǒng)的開環(huán)脈

29、沖傳遞函數(shù)為 aTezazzzzGzGzG121圖8-5-2b所示系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 aTaTezzezassaZsGsGZzG1121第79頁/共135頁采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖 8-5-3 采樣控制系統(tǒng)第80頁/共135頁由圖8-5-3知 sCsHsRsE sEsGsC* sEsHsGsRsE*求上式采樣信號的拉普拉斯變換，得 sEsGHsRsE*第81頁/共135頁寫成z變換形式，即得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) sGHsRsE*1或考慮到輸出信號采樣后的拉普拉斯變換為 sEsGsC* sGHsGsRsC*1 sGHsGsRsC1(8-5-5)第82頁/共135頁以及脈沖傳遞函數(shù) zGHz

30、RzE11對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，則有 zGzGzRzC1 zGzRzE11(8-5-6)(8-5-7)(8-5-8)第83頁/共135頁采樣系統(tǒng)中有數(shù)字控制器D(s)時，系統(tǒng)的框圖如圖8-5-4所示。圖8-5-4 具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)第84頁/共135頁由圖8-5-4可見由此可得 sXsGsC* sEsDsX* sXsHsGsRsE* sRsHsGsDsGsDsC*1Z變換得第85頁/共135頁 zRzGHzDzGzDzC1 zGHzDzGzDzRzC1或采樣系統(tǒng)中有干擾信號時，系統(tǒng)的框圖如圖8-5-5所示。圖中N(s)為干擾信號的拉普拉斯變換。第86頁/共135頁圖8-5-5 有

31、干擾信號的采樣系統(tǒng)由圖可見 sEsGsGsNsGsC*212第87頁/共135頁由以上兩式得 sCsE* sGGsNsGsC*21*2*1或 zGGzNGzC2121典型采樣系統(tǒng)的框圖及其輸出離散信號的z變換參見教材表8-5-1。第88頁/共135頁8-6 采樣控制系統(tǒng)的時域分析 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件1、s平面與z平面的映射關(guān)系復(fù)變量z與s的關(guān)系為Tsez 式中 T采樣周期第89頁/共135頁由以上分析可知，s平面的虛軸在z平面上的映射曲線是以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓(參見圖8-6-1)。而改變。，隨角頻率角為的單位旋轉(zhuǎn)向量，其相平面上幅值為，它是，對應(yīng)的平面上沿虛軸移動，即在設(shè)復(fù)變量Tzez

32、jsssTj1的單位圓。為圓心平面上畫出一個以原點弧度，在變到的相角由時，變化到由當(dāng)角頻率zezTTTj第90頁/共135頁圖8-6-1 s平面上虛軸在z平面上的映象第91頁/共135頁由此可見，s平面虛軸左半部在z平面上的映象為以原點為圓心的單位圓的內(nèi)部區(qū)域。，則設(shè)復(fù)變量jsTjTTseeez。為正數(shù)，則平面虛軸的右半部，位于反之，若。為負數(shù)，這時平面虛軸的左半部時，位于當(dāng)11zsszssTez其幅值第92頁/共135頁2、線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件討論圖8-5-3所示閉環(huán)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此系統(tǒng)之閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)已由式(8-5-5)給出，即 zGHzGzDzRzC1相應(yīng)的特征方程式為 01

33、zGH脈沖傳遞函數(shù)的極點。即為閉環(huán)、系統(tǒng)特征方程式的根n21第93頁/共135頁根據(jù)以上的分析可知，閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根均位于z平面上以原點為圓心的單位圓之內(nèi)。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)對于線性采樣系統(tǒng)，不能直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，因為勞斯判據(jù)只能判斷系統(tǒng)特征方程式的根是否在s平面虛軸的左半部。因此，必須采用一種變換方法，使z平面上的單位圓，映射為新坐標(biāo)系的虛軸。這種坐標(biāo)變換稱為雙線性變換，又稱w變換。第94頁/共135頁根據(jù)復(fù)變函數(shù)的雙線性變換方法，設(shè)上式中z和w均為復(fù)變量，可以用下式表示：11wwz（8-6-1）則11zzw（8-6-2）jvuwjyxz將上兩式代入（

34、8-6-2），得第95頁/共135頁對于w平面上的虛軸，實部u=0，即2222221211yxyjyxyxjvuw0122 yx上式即為z平面上以坐標(biāo)原點為圓心的單位圓的方程。軸的映射圖形如圖平面上虛平面上的單位圓和為正數(shù)的右半部。平面上實部，對應(yīng)于左半部。單位圓外為負數(shù)的虛軸平面，對應(yīng)于單位圓內(nèi)268112222wzuwyxuwyx第96頁/共135頁圖8-6-2 z平面與w平面的映射關(guān)系第97頁/共135頁綜上所述，令 代入閉環(huán)采樣系統(tǒng)的特征方程，進行w變換之后，即可應(yīng)用勞斯判據(jù)。11wwz例8-6-1 設(shè)采樣系統(tǒng)的框圖如圖8-6-3。其中 )4(1ssKsG采樣周期T=0.25s，求能使

35、系統(tǒng)穩(wěn)定的k1值范圍。圖8-6-3 采樣系統(tǒng)第98頁/共135頁解 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 TTTezzzeKezzzzKssKZssKZzG4414111114 14 4114 )4(第99頁/共135頁 zGzGzRzC1和特征方程 01411414zeKezzzGTT代入上式，得令sTwwz25. 0,11根據(jù)上式可求系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)第100頁/共135頁011158. 0368. 0111111wwKwwww根據(jù)上式列出勞斯表0 158. 0-2.736 0 1.264 0.158-2.736 0.158 10112KwwKw為了使此系統(tǒng)穩(wěn)定工作，必須使勞斯表中的第一列各項均大

36、于零。這就要求第101頁/共135頁 穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算0158. 0-2.7361K3 .171K由此可見，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益k1 應(yīng)在017.3之間取值。設(shè)圖8-6-3所示的單位反饋采樣控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)，由式(8-5-8)可得 zRzGzE11)(第102頁/共135頁 變換。采樣函數(shù)的輸入信號變換；的采樣誤差信號式中ztrzRztezE )( *設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)z變換的終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值)(1z)(1 )( limlim1srsrzGzGzteezt（8-6-3）上式表明，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)和輸入

37、信號的形式。第103頁/共135頁下面討論三種典型輸入信號的情況1、輸入信號為單位階躍信號這時1z )(zzR pzKe11 zG11 lim1sr將R(z)代入式(8-6-3)，得 。為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)zG lim1zpK（8-6-4）第104頁/共135頁2、輸入信號為單位斜坡信號這時21z )(TzzR vzzKTTTe zG1-z zG11-z limlim11sr將R(z)代入式(8-6-3)，得 。為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)zG 1-zlim1zvK（8-6-5）第105頁/共135頁3、輸入信號為單位拋物線信號這時321z21z )(zTzR nzzKTTTe2221221sr zG

38、1-z zG11-z21z limlim將R(z)代入式(8-6-3)，得 數(shù)。為系統(tǒng)的加速度誤差系zG 1-z21limznK（8-6-6）第106頁/共135頁表8-6-1 不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值表8-6-1中列出了以上三種輸入信號作用下之穩(wěn)態(tài)誤差終值。第107頁/共135頁 采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與脈沖傳遞函數(shù)極點、零點分布的關(guān)系設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為nmazazazabzbzbzbzMzNzRzCnnnnmmmm ,)()( )()(11101110（8-6-7）式中 N(z)、M(z)分子、分母多項式。第108頁/共135頁設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點為假設(shè)沒有相重的極點。，ni

39、i21 變換為這時系統(tǒng)輸出信號的，為單位階躍信號時，當(dāng)輸入信號zzzzRtr1niiinmmmmzzAzzAzzbzbzbzbazzzC101111001 11 )(（8-6-8）第109頁/共135頁。；式中)(1)( )()( 10iiiiZMNAzMzNA對上式進行z變換，可以求出某一采樣時刻的輸出值 nikiiAkAkc10* 1（8-6-9）上式中第一項為系統(tǒng)輸出采樣信號的穩(wěn)態(tài)分量，第二項為輸出采樣信號的暫態(tài)分量。由此可見，極點第110頁/共135頁下面分析幾種情況。態(tài)分量的性質(zhì)。平面上的位置會影響暫在zi為正實數(shù)、i1 為一指數(shù)函數(shù)。態(tài)分量為正實數(shù)時，對應(yīng)的暫當(dāng)kiiiiAkc。見

40、圖衰減速度愈快。平面坐標(biāo)原點愈近，距減型函數(shù)。極點時，上述指數(shù)函數(shù)為衰當(dāng)?shù)脑黾友杆僭鲩L。隨著散型函數(shù)，時，上述指數(shù)函數(shù)為發(fā)當(dāng))468(101kiiikiizk第111頁/共135頁圖8-6-4 各種閉環(huán)極點對應(yīng)的暫態(tài)分量第112頁/共135頁為負實數(shù)、i2 。頻率為的角的衰減速度愈快。振蕩平面原點愈近，則振蕩距時，為衰減振蕩?；?，呈振蕩規(guī)律。當(dāng)?shù)姆柺墙惶孀兊脑黾?，為負。因此，隨著為奇數(shù)時，為正；為偶數(shù)時，為偶數(shù)或是奇數(shù)。，取決于可為正數(shù)，也可為負數(shù)為負實數(shù)時，當(dāng)Tzkckkkkiiikikikii1第113頁/共135頁ii和點、存在一對共軛復(fù)數(shù)極3 。愈快。振蕩角頻率為，則衰減速度平面上

41、的坐標(biāo)原點愈近距函數(shù)。為衰減的振蕩時，對應(yīng)的暫態(tài)分量當(dāng)Tzkciiiii1iijiijiiee,（8-6-10）這時 iikiiikAkccos2第114頁/共135頁閉環(huán)極點在z平面不同位置時對應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量如圖8-6-4所示。綜上所述，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在z平面上的位置決定相應(yīng)暫態(tài)分量的性質(zhì)與特點。當(dāng)閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)時，其對應(yīng)的暫態(tài)分量是衰減的。極點距z平面坐標(biāo)原點愈近，則衰減速度愈快。若極點位于單位圓內(nèi)的正實軸上，則對應(yīng)的暫態(tài)分量按指數(shù)函數(shù)衰減。單位圓內(nèi)一對共軛復(fù)數(shù)第115頁/共135頁極點所對應(yīng)的暫態(tài)分量為衰減的振蕩函數(shù)，其角頻率為 。若閉環(huán)極點位于單位圓內(nèi)的負實軸上，其對應(yīng)

42、的暫態(tài)分量也為衰減振蕩函數(shù)，其振蕩角頻率TiT為了使采樣控制系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應(yīng)性能，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點最好分布在單位圓內(nèi)的右半部，并盡量靠近z平面的坐標(biāo)原點。若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點位于單位圓外，則其對應(yīng)的暫態(tài)分量是發(fā)散的。這意味著閉環(huán)采樣系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第116頁/共135頁 小結(jié)v 為能無失真地恢復(fù)連續(xù)信號，采樣頻率的選定應(yīng)符合香農(nóng)采樣定理。v 理想濾波器能將采樣后的離散信號無失真地恢復(fù)為連續(xù)信號。但實際上不存在理想濾波器，常用的是零階保持器。v 離散信號的拉普拉斯變換式包含有超越函數(shù)，采用z z變換能將其有理化。第117頁/共135頁v 在零初始條件下，采樣系統(tǒng)的離散輸出信號的z z變換與離散輸入信號z z變換之比是脈沖傳遞函數(shù)。v計算線性連續(xù)穩(wěn)態(tài)誤差的方法可以推廣用于進行z變換之后的采樣控制系統(tǒng)。v在采樣系統(tǒng)中常使用數(shù)字PID控制器。第118頁/共135頁習(xí)題習(xí)題8-1 2 122ssFassssF 2134 132ssssFasssF求下列拉普拉斯變換式所對應(yīng)的