2021-2022學(xué)年河南省商丘市高二下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題解析

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 14 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 14 頁2021-2022學(xué)年河南省商丘市高二下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1拋物線的焦點坐標(biāo)為（）ABCD【答案】A【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可得焦點坐標(biāo).【詳解】由得：，其焦點坐標(biāo)為.故選：A.2用反證法證明命題“已知如果，那么a，b都不為0”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（）Aa，b都為0Ba，b不都為0Ca，b中至少有一個為0Da不為0【答案】C【分析】按要求否定命題的結(jié)論即可【詳解】命題“已知如果，那么a，

2、b都不為0”，則用反證法證明命題時假設(shè)應(yīng)否定結(jié)論，故假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為：a，b中至少有一個為0，故選：C3函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（）AB0CD1【答案】A【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，故選：A4已知函數(shù)，則（ ）A3BCD0【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由得，所以.故選：C.5已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為（）ABCD【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，則在有根，且根的兩側(cè)異號即可.【詳解】由，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)的極值點為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故選：C.6函數(shù)在上的最大值為（）

3、A6B7C8D9【答案】B【分析】求出函數(shù)，由此探討在上單調(diào)性即可作答.【詳解】因，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，當(dāng)時，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值.故選：B7在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則為（）A等腰三角形B直角三角形C銳角三角形D鈍角三角形【答案】B【分析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【詳解】因為，所以，由余弦定理，因為，所以，又，故為直角三角形.故選：B.8已知函數(shù)，則下列正確的是（）ABCD【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可做出判斷.【詳解】，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，又，.故選：C.9已知，類比這些等式，若（a，b

4、均為正整數(shù)），則（）A72B71C55D42【答案】B【分析】分析式子的特點找出規(guī)律，用歸納推理求解即可【詳解】由題可知，規(guī)律可表示為，故可得，則故選：B10已知是曲線上的動點，點Q在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取最小值時，點P的坐標(biāo)為（）ABCD【答案】D【分析】如圖所示，若使得取最小值，則曲線在點P處的切線與直線平行，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點P的坐標(biāo)【詳解】如圖所示：若使得取最小值，則曲線在點P處的切線與直線平行，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，因為，解得，當(dāng)時，所以點P的坐標(biāo)為，故選：D11已知函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，則a的最大值是（）A2B1CD【答案】D【分析】等價轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立

5、，利用分離參數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解即可得到實數(shù)的取值范圍，從而做出判定.【詳解】由題得在恒成立，所以在恒成立，因為函數(shù)在上當(dāng)時取得最小值為，所以，所以a的最大值為.故選：D.12已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的不同兩點，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】依題意，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于對稱的不同兩點，則存在，且，使得，即，構(gòu)造函數(shù)，故問題轉(zhuǎn)化為存在，使得函數(shù)與有交點，然后通過研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于對稱的不同兩點，則存在，且，使得，則，因此，設(shè)，故問題轉(zhuǎn)化為存在，使得函數(shù)與有交點，又在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此，為使函

6、數(shù)與有交點，只需.故選：B.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理二、填空題13在等差數(shù)列中，公差，則_.【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是等差數(shù)列，公差，所以，故答案為：14已知雙曲線的離心率，左右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，若，則_.【答案】【分析】根據(jù)題意得，結(jié)合已知解出求解即可.【詳解】由已知得，且，解得，又雙曲線的離心率，所以，即.故答案為：.15已知函數(shù)有三個零點，則

7、實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值，畫出其大致圖象，由此求得的取值范圍.【詳解】令，有三個零點即與有三個交點，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，的極大值為，極小值為.結(jié)合圖象與有三個交點，即，.故答案為：16某生物病毒繁殖規(guī)則如圖，現(xiàn)有一個這種生物病毒，初始狀態(tài)為（表示時間，單位：小時），由此推測小時后此病毒的個數(shù)為_.【答案】【分析】設(shè)當(dāng)時（單位：小時），設(shè)病毒的個數(shù)為，推導(dǎo)出，利用累加法可求得，即可求得結(jié)果.【詳解】時，病毒的個數(shù)是個；時，病毒的個數(shù)是個；時，病毒的個數(shù)是個；時，病毒的個數(shù)是個；（的單位為小時）則，以此類推可知，當(dāng)時（單位：小時），

8、設(shè)病毒的個數(shù)為，則，所以，也滿足，所以，對任意的，故小時后此病毒的個數(shù)為.故答案為：.三、解答題17已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值，最小值【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線斜率，利用點斜式即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求得最值.【詳解】（1）由得，曲線在點處的切線方程，即；（2）令可得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，令可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，的最大值，最小值18已知函數(shù)在處取得極值（1）求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有零點，求實數(shù)b的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得

9、，從而可求出a的值；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可由函數(shù)的變化情況可知，要函數(shù)在內(nèi)有零點，只要函數(shù)在內(nèi)的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式組可得答案【詳解】解：（1）在處取得極值，經(jīng)驗證時，在處取得極值（2）由（1）知，極值點為2，將x，在內(nèi)的取值列表如下：x024/-0+/b極小值 由此可得，在內(nèi)有零點，只需19如圖，在長方體中，底面是正方形，點M是正方形的中心.(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，證明與法向量平行即可；（2）求出向量的坐標(biāo)，利用線面角的公式可求結(jié)果

10、.【詳解】(1)分別以為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，設(shè)平面的一個法向量為，取，則（1）證明：，即與平面的法向量平行，平面.(2)解：由（1）可知平面的一個法向量為，直線與平面所成角的正弦值為.20已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出代入等于可得的值；（2）求出，轉(zhuǎn)化為，令，求最大值可得答案.【詳解】（1）由題可知，則，解得.（2）在上是增函數(shù)，對恒成立，令，則由得，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故只需，故的取值范圍是.21已知橢圓的左焦點為F，離心率為，點是橢圓C

11、上一點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若MN為橢圓C上不同于A的兩點，且直線關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與y軸交于點，求d的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率公式和，的關(guān)系，以及點是橢圓C上一點，可得，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）設(shè)直線AM的斜率為，由對稱性可得直線AN的斜率為，求得直線AM的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得M的橫坐標(biāo)，將其中的換為，可得N的橫坐標(biāo)，求得MN的斜率和方程，聯(lián)立橢圓方程，由判別式大于0，結(jié)合M，N的位置，解不等式可得所求范圍.【詳解】(1)，又在橢圓C上，由解得，所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由（1）知，軸，設(shè)直線的斜率為k，因為，關(guān)于直線對稱

12、，所以直線的斜率為，又，所以直線的方程是，設(shè)，所以，將上式中的k換成得，所以，所以直線的方程是，代入橢圓方程得，所以，解得，又由題意知點M，N在A點兩側(cè)，而直線中，當(dāng)時，故.22已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若，且在時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論分析單調(diào)性即可；（2）由已知不等式可令，通過恒成立，得到；再證明當(dāng)時，在時恒成立.利用放縮法得到，所以只需證在時恒成立.記，求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】解：（1），當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)在遞減；當(dāng)時，令，解得，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，即當(dāng)時在時恒成立，即在時恒成立.記，則，記，在遞增，又，當(dāng)時，得.下面證明：當(dāng)時，在時恒成立.因為.所以只需證在時恒成立.記