統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基礎(chǔ)

1、1熱是人類最早發(fā)現(xiàn)的一種自然力，是地球上一切生命的源泉。 恩格斯2 熱學(xué)的根本內(nèi)容一個(gè)系統(tǒng)兩個(gè)方面兩種途徑兩種方法假設(shè)干規(guī)律熱系統(tǒng)（氣體系統(tǒng)）熱系統(tǒng)（氣體系統(tǒng)）系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的過程系統(tǒng)的過程宏觀宏觀微觀微觀熱力學(xué)方法熱力學(xué)方法統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法宏觀宏觀微觀微觀熱力學(xué)方法熱力學(xué)方法統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法熱學(xué)是研究物質(zhì)熱現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科3第20章統(tǒng)計(jì)物理學(xué)根底宏觀物體是由大量不停地運(yùn)動(dòng)的分子組成。用牛頓力學(xué)求解每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上不可能。熱現(xiàn)象：與宏觀物體的冷熱狀態(tài)相聯(lián)系的自然現(xiàn)象研究熱現(xiàn)象的性質(zhì)和規(guī)律 熱學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ推毡樾院涂尚判?1. 熱力學(xué)宏觀理論熱力學(xué)三大定律2.統(tǒng)計(jì)物理微

2、觀理論統(tǒng)計(jì)方法邏輯推理統(tǒng)計(jì)規(guī)律揭示熱現(xiàn)象微觀本質(zhì)知其然而不知其所以然4物質(zhì)的微觀模型1.宏觀物體由大量微粒分子(原子)組成的23-16.022 10 molAN 2.物質(zhì)的分子在永不停息地做無序熱運(yùn)動(dòng)3.物質(zhì)的分子存在相互作用力擴(kuò)散布朗運(yùn)動(dòng)()stfstrr915s 47t 合力合力斥力斥力引力引力Ofdr0r20.1 統(tǒng)計(jì)規(guī)律與概率理論5 統(tǒng)計(jì)方法的一般概念20.1.1. 伽爾頓板實(shí)驗(yàn):- 大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律.伽爾頓板實(shí)驗(yàn):單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)-偶然事件 (落入哪個(gè)槽)大量粒子運(yùn)動(dòng)-統(tǒng)計(jì)規(guī)律(粒子在槽中的分布)氣體系統(tǒng)的特點(diǎn)：大量，雜亂無章布朗運(yùn)動(dòng)， 無法建立動(dòng)力學(xué)方程實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，大量分子運(yùn)

3、動(dòng)符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律伽爾頓板 視頻6統(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn):(2) 是與單個(gè)粒子遵循的動(dòng)力學(xué)規(guī)律有本質(zhì)區(qū)別的新規(guī)律.(3) 與系統(tǒng)所處宏觀條件有關(guān).(4) 存在起伏(漲落) (1) 對大量偶然事件有效,對少量事件不適用。單個(gè)粒子遵循牛頓定律;大量粒子遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律 - 牛頓運(yùn)動(dòng)定律無法說明720.1.2 概率幾率的根本性質(zhì)一、概率的概念1.隨機(jī)現(xiàn)象 現(xiàn)象開展演化的結(jié)果不能事先預(yù)言，結(jié)局不是唯一的，這樣的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。2.隨機(jī)事件 隨機(jī)現(xiàn)象可以出現(xiàn)多種不同的結(jié)果，這些結(jié)果中的每一個(gè)稱為一個(gè)隨機(jī)事件。3.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 在一定條件下，就大量隨機(jī)事件的整體而言，具有較穩(wěn)定的特性，存在著必然的、確定的規(guī)律，這就是統(tǒng)計(jì)規(guī)

4、律性。 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性包容著單個(gè)隨機(jī)事件的偶然性，統(tǒng)計(jì)規(guī)律必然伴隨有漲落現(xiàn)象。8實(shí)驗(yàn)總觀測次數(shù)為N ,其中出現(xiàn)結(jié)果 A 的次數(shù)為 NA 事件A 出現(xiàn)的概率 limAWNNN概率是用來衡量偶然事件出現(xiàn)可能性大小的量9概率的根本性質(zhì)(1) 01WW=0為不可能事件; W=1為必然事件.(2) A,B為互斥事件,不可能同時(shí)出現(xiàn),那么出現(xiàn)A或B的總概率:ABWWW- 概率疊加原理3歸一化條件: 對所有可能發(fā)生的事件的概率之和必為1.11lim1nniiiNiiNNNWNNN或1dw (4) J,K為相容事件(可同時(shí)出現(xiàn)，那么同時(shí)發(fā)生J和K的概率.KJWWW- 概率乘法定理limAWNNN1020.1.3

5、統(tǒng)計(jì)平均 系統(tǒng)的宏觀量是在測量時(shí)間內(nèi),系統(tǒng)所有微觀狀態(tài)中相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值!統(tǒng)計(jì)平均值1122121212limlimlim.limnnNNNnnnNA NA NA NNNAAANNNNNNAN 12nNNNN 對物理量M進(jìn)行N次測量，其統(tǒng)計(jì)平均值為11221nnniiiAAWA WA WAW lim(iiiNNWAN即 出現(xiàn)的概率）所以11熱學(xué)的研究對象：大量微觀粒子組成的宏觀體系熱力學(xué)系統(tǒng) 或簡稱系統(tǒng)宏觀量:如: 氣體的 V, P, T.描述系統(tǒng)整體特征的物理量.微觀量: ,vpm如: 粒子的系統(tǒng)中描述單個(gè)粒子特征的物理量.宏觀狀態(tài)參量 阿伏伽德羅常數(shù) NA= 6.023 10 23

6、 /mol20.2.1 微觀量與宏觀量20.2 溫度與壓強(qiáng)宏觀量是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值廣延量：有累加性(如質(zhì)量、體積)強(qiáng)度量：無累加性(如溫度、壓強(qiáng))12平衡態(tài)：在不受外界影響的條件下，一個(gè)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的狀態(tài)。動(dòng)態(tài)平衡動(dòng)態(tài)平衡20.2.2 平衡態(tài)與非平衡態(tài)TVp,TVp,真真 空空 膨膨 脹脹1單一性;2穩(wěn)定性；3自發(fā)過程的終點(diǎn)；4熱動(dòng)平衡.平衡態(tài)的特點(diǎn)平衡態(tài)的特點(diǎn)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí),系統(tǒng)的宏觀量具有穩(wěn)定值,而單個(gè)粒子的微觀量在不斷變化.13平衡態(tài)是概率最大的狀態(tài)a b c d 4個(gè)可分辨熱運(yùn)動(dòng)粒子，在等容體A,B兩室中：中間隔板翻開A AB BABa b c da b cda b

7、dca c dbb c daa b c da cb db ca da b c da cb cb da da b ca b da c db c ddcbaa b c d14641(平衡態(tài)概率最大)NNNNln!ln斯特令公式)!( !xNxN)!ln(!ln!lnlnxNxN)()ln()(lnlnxNxNxNxxxNNN)ln()(lnlnxNxNxxNN0)(ln由0)ln() 1() 1() 1(lnxxNxxNxNxxx0)ln(lnxxNx)ln(lnxNx2Nx 1420.2.3 理想氣體壓強(qiáng)思路: 壓強(qiáng)由大量氣體分子不斷碰撞容器壁而產(chǎn)生. 壓強(qiáng)為大量氣體分子在單位時(shí)間內(nèi)作用在器壁

8、單位面積上的平均沖量.建立理想氣體微觀模型利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)利用統(tǒng)計(jì)規(guī)律處理大量粒子的行為得到理想氣體壓強(qiáng)公式21233tpnmvn推導(dǎo):理想氣體微觀模型.(1)氣體分子看成質(zhì)點(diǎn)(2)除碰撞外,忽略其它力(3)完全彈性碰撞15速度在iiivdvv的分子一次碰撞ds后的動(dòng)量變化為ixmv2dt時(shí)間內(nèi),但凡在底面積為ds, 高為vixdt 的斜柱體內(nèi), iiivdvv的分子都能與 ds 相碰.這些分子作用于 ds 沖量為 推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式用圖v vivvidsx xvviv vivi =2vix而且速度在,2dtdsvnmvixiixdt內(nèi)各種速度分子對ds 的總沖量為:02i

9、xvixiixdtvdsnmvdIv vd ds sx xv vixixd dt tiixivviixdsdtvmndsdtnmvii20, 0222116因而 壓強(qiáng)iixivmndtdsdIp2由于,22nvnvixix所以2212123323tpnmvnmvn其中212tmv為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能這些分子作用于 ds 沖量為,2dtdsvnmvixiixdt內(nèi)各種速度分子對ds 的總沖量為:iixiiiixvixiixdsdtvmndsdtnmvdtvdsnmvdIix2202212222213xyzvvvv平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運(yùn)動(dòng)都不占優(yōu)勢17推導(dǎo)中用到的統(tǒng)計(jì)概念和統(tǒng)計(jì)假設(shè):分子以各

10、種方向入射角去碰ds的概率相同平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運(yùn)動(dòng)都不占優(yōu)勢，因而有:討論: 壓強(qiáng)公式將宏觀量 p 和微觀量 n,t 的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系在一起 注意推導(dǎo)中的思維方法 氣體分子相互碰撞時(shí),一個(gè)分子失去多少動(dòng)量必有另一個(gè)分子得到相同的動(dòng)量. 分子相互碰撞導(dǎo)致分子與ds碰撞的次數(shù)增加和減少的時(shí)機(jī)是相同的, 推導(dǎo)未考慮分子間的相互碰撞.222231vvvvzyx18二、溫度的定義熱平衡熱接觸傳熱(能量)系統(tǒng)1平衡態(tài)系統(tǒng)2平衡態(tài)傳熱停止a系統(tǒng)1平衡態(tài)a系統(tǒng)2平衡態(tài)bb熱平衡熱平衡定律 熱力學(xué)第零定律實(shí)驗(yàn)說明：如果兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)都與第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡，那么它們彼此處于熱平衡溫度決定一個(gè)熱力

11、學(xué)系統(tǒng)是否與其他系統(tǒng)處于熱平衡的宏觀性質(zhì)。19301930福勒福勒R.H.FowlerR.H.Fowler 19理想氣體的狀態(tài)方程RTRTMmPVkNRA111111kmollatm082. 0kmolcal987. 1kmolJ31. 8R氣體普適常數(shù)123mol10022. 6AN阿伏伽德羅常數(shù)123kJ1038066. 1k玻爾茲曼常數(shù)nkTP 給出了一個(gè)熱力學(xué)參量：溫度T 一切互為熱平衡的系統(tǒng)都具有相同的溫度。熱力學(xué)第零定律說明：互為熱平衡的系統(tǒng)必然存在一個(gè)相同的性質(zhì)或特征。2023tpnpnkTkTt23 4.溫度-溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度 2.溫度-分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度1.溫

12、度-描述宏觀熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)的一個(gè)物理量3.溫度-一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，是大量分子的集體行為5.溫度-氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的方均根速率212tmkT2323kTm3AAkN TmN3RTMMRT32 分子質(zhì)量越小，平均運(yùn)動(dòng)速率越大20.2.4 理想氣體溫度公式212) 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能32tkT2331.38 103002216.21 10J23.88 10 eV1) 常溫常壓下，分子的數(shù)密度25310/mn3) 氧氣的方均根速率23RTM33 8.31 30032 10483m/s2220.3 三種統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量粒子熱運(yùn)動(dòng)遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律經(jīng)典粒子微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別 費(fèi)密子 玻色子尋找并掌握平衡狀態(tài)概率最

13、大的狀態(tài)下粒子的分布規(guī)律麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)M-B 分布經(jīng)典粒子按能量的分布。 費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)F-D 分布 費(fèi)密子電子按能級(jí)的分布。玻色-愛因斯坦B-E 分布玻色子光子按能量 h的分布。 熱輻射規(guī)律23麥克斯韋玻耳茲曼分布 經(jīng)典分布 平衡狀態(tài)下，多粒子體系的分布規(guī)律。粒子如何按能級(jí)分布的。 1 經(jīng)典的眼光看粒子； 1粒子可以分辨的可以跟蹤，可以編號(hào)。 2一個(gè)能級(jí)可以容納多個(gè)粒子， 每一個(gè)狀態(tài)可以容納多個(gè)粒子。 2 理論依據(jù)； 1等概率假設(shè) 2平衡態(tài)是幾率最大的狀態(tài) 最概然分布24一 等概率假設(shè)處在平衡態(tài)的孤立體系, 其可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等 - 平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論的根底 如果可能微觀態(tài)總數(shù)

14、為 ，那么系統(tǒng)的任意微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 1/ : 121P tP tPt 系統(tǒng)自發(fā)趨向于最概然分布求經(jīng)典粒子例：氣體分子按能量的最概然分布的思路:(1)求將N個(gè)粒子按 12,iN NN12, ,i 的各種量子態(tài)中去的可能占據(jù)的方式數(shù)分別放到能量為2 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)20.3.2 麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)25能級(jí)上每個(gè)量子態(tài)被占據(jù)的概率討論過程中要用到等概率假設(shè)和約束條件約束條件: 孤立體系?Ni？）（gNiiifiiiiEiNNN恒量能量守恒恒量粒子數(shù)守恒- - -(1)求將N個(gè)粒子按 iNNN21, i,21的各種量子態(tài)中去的可能

15、占據(jù)的方式數(shù)分別放到能量為2 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)26二. 麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì) ( M-B分布 )經(jīng)典粒子彼此可以區(qū)分, 每個(gè)量子態(tài)中的粒子數(shù)不受限制. 2個(gè)經(jīng)典粒子在3個(gè)量子態(tài)中的可能分布共9種)(M-B分布)哈爾濱哈爾濱飛機(jī)飛機(jī)火車火車汽車汽車飛機(jī)飛機(jī)火車火車汽車汽車北京北京上海上海共有共有93332種方案種方案2個(gè)不同粒子放入3個(gè)盒子，分2步完成。2個(gè)不同色子扔下，先扔1個(gè)，再扔另1個(gè)，共62種狀態(tài)27)!(!) 1()2)(1(mnnmnnnnAmn例：從 n 個(gè)不同物體中，任選m 個(gè)作為一組，共有多少種選法？)!( !m

16、nmnCmn例：把n個(gè)不同物體分成r組，第一組有n1個(gè)，第二組有n2個(gè)，第r 組有 nr個(gè)，共多少種分法？!21rnnnnN例：從n個(gè)不同物體中取出m個(gè)(mn)，允許重復(fù)(放回取樣)，共多少種方法？mnnnnnN!211rriinnnn例：從n個(gè)不同物體中取出m個(gè)(mn)按順序排成一列，共多少種方法？28 (2) 個(gè)粒子分別占用能級(jí)個(gè)粒子分別占用能級(jí) 的的 個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式為個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式為.,21NNNi.,21i.,21gggiigiNi因而iiiNNNNNNNNNNNNNNNCCC!21321211!iNiiiiiNgNiNNiigN N 個(gè)可區(qū)分個(gè)可區(qū)分 粒子，分為粒子，分為 個(gè)

17、粒子的組合方式為個(gè)粒子的組合方式為.,21NNNi(3)(3) Ni個(gè)經(jīng)典粒子分布在個(gè)經(jīng)典粒子分布在i i 能級(jí)的能級(jí)的 個(gè)量子態(tài)上的占據(jù)方式為個(gè)量子態(tài)上的占據(jù)方式為gigiNi(1)29(2) 為使 極大, 令ln0BM利用斯特令公式) 1(ln!lnNNNiii10NiiiiiiiiiiiiiiiiiiBMgNNNNNgNNNgNNNNNlnlnlnln) 1(ln) 1(lnln!ln!lnln 因而iiiiiiBMNNgNln) 1(lnln0lniiiiNgN!iNiiiiiNgNiNNiigNy1 1 2 2 3 3x xxylnNNln2ln1ln!ln1ln)ln(ln)ln(

18、ln!ln|111NNNxxxxxdxxdxdxNNNN)0(iiiiNN這里30由宏觀約束條件0iiNN0iiNiEiiiiiBMNgNEN0lnlnNNNNi 21,NNiiiiiiBMgNln) 1(lnln0lnNiiiigN!iNiiiiiNgNiNNiigN0lniiigNiiigNe（3） 由宏觀約束條件確定由宏觀約束條件確定 ,由拉格朗日乘子法原理個(gè)為任意變量中有)2(31最后可得/iikTigNe ()1iiiKTiNfgekT1egiiiN由可得0lnlnNiiiiBMgN!iNiiiiiNgNiNNiigNiiigNe,經(jīng)典粒子按能級(jí)的最概然分布M-B分布理論和實(shí)驗(yàn)證明e

19、giiiiiiiNE3220.3.3 費(fèi)米狄拉克分布費(fèi)米子：自旋是1/2的奇數(shù)倍。電子，子，質(zhì)子，中子等全同性粒子。 每個(gè)狀態(tài)只容納一個(gè)粒子。平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)， N個(gè)粒子能級(jí),321l狀態(tài)數(shù)粒子數(shù),321lgggg,321lNNNNNl個(gè)粒子占據(jù)gl個(gè)狀態(tài))!( !lllllNgNgW)!( !lllllNgNg分布的微觀態(tài)總數(shù)33得1iegNii0d0d0lndiiiNN平衡狀態(tài)利用 /11iiKTiiNfge 1/ KT3420.3.4 玻色愛因斯坦分布玻色子：自旋是1/2的偶數(shù)倍。光子，介子等全同性粒子。 每個(gè)狀態(tài)可容納多個(gè)粒子。平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)， N個(gè)粒子能級(jí),321l狀態(tài)數(shù)粒

20、子數(shù),321lgggg,321lNNNN將i個(gè)粒子放在i個(gè)位置上，每個(gè)位置可容納多個(gè)粒子。第一個(gè)量子態(tài)是固定的。Nl個(gè)粒子占據(jù)gl個(gè)狀態(tài)lN1lg)!1( !)!1(lllllgNgNW)!1( !)!1(lllllgNgN平衡狀態(tài)下1iegNii /11iiKTiiNfge 35iegNiiieNgiiF-D1iegNii或ieNgii1B-E1iegNii或ieNgii1當(dāng) 時(shí)，量子統(tǒng)計(jì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)1iigNkT1一般，當(dāng)T 高時(shí) 空位子多iigN M-B 三種統(tǒng)計(jì)的比較3620.4 麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)在理想氣體中的應(yīng)用1. 麥克斯韋分子速度分布律 利用M-B分布可導(dǎo)出在沒有勢場情況下，理想

21、氣體按速度的分布規(guī)律。 對理想氣體，在溫度T的平衡態(tài)下:分子速度在zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv的概率2223222xyzmvvvkTxyzdNmdWedv dv dvNkT37egNkTiii/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdN3/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdNN3/32/1222hdpdpdpedxdydzNezyxmkTpppzyx3233222/)2(/222hmkTNVhdpedpedpeNVezmkTpymkTpxmkTpzyxdxdydzdpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(dxdydz

22、dpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(zyxkTmvmvmvdvdvdvekTmNdNzyx223222)2(2223222xyzmvvvkTxyzdNmdWedv dv dvNkT2xedx利用附近中 pV的粒子382. 麥克斯韋分子速率分布律如果不考慮分子速度的方向，只考慮速度大小,由2222zyxvvvvzyxdvdvdvdddvvsin2并對并對由由積分由20,0 在T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在 v-v+dv 范圍 內(nèi)的概率2322242mvkTdNmdWev dvNkT速率分布函數(shù) dNf vNdv- 概率密度麥克斯韋速率分布函數(shù) 23/2224

23、2mvkTmfvv ekT滿足歸-化條件: 10dvvfovyvzvxv) 1)(00NNNdNdvvf*39 dNf vNdv 23/22242mvkTmfvevkT 23/22242mvkTdNmfv dvev dvNkT0 0v vf(v)f(v). . . . . . . . .。T銀蒸汽銀蒸汽真空真空麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)銀相對厚度40 23/22242mvkTdNdWmfvevNdvdvkTvv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1討論:(1) f (v)曲線下面積的物理意義 寛度為dv的窄條面積:曲線下總面積:( )vdNf v dvNNNNdNdvvfvvvvvv21

24、2121)(1)(00NNNdNdvvf12vv區(qū)間的面積：413 最概然速率最可幾速率- f(v)-v曲線極大值所對應(yīng)的速率 vpvp 的物理意義： vp 附近概率密度最大同樣速率間隔dv, 速率在 vp - vp+ d v 的分子數(shù)最多)由0)(dvvdf及pVdvvfd可得0)(22vv2vv+dvo f (v)v12 由( )vdNf v dvN2121)(vvvvdvvNfN0( )vdNdNvvvf v dvNN同理，220( )vv f v dvpv)(pvf42vo f (v)3 三種速率 222/3224vekTmvfkTmv平均速率 08kTvvf v dvm方均根速率22

25、033( )1.73kTRTRTvv f v dvmMM最概然速率221.41pkTRTRTvmMMpvvv2vp81.60RTRTMM2vv可以看出21322mvkT231vnmP kTvm23212nkTP 前面說明kT1是合理的43 麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)施特恩實(shí)驗(yàn)：銀相對厚度銀相對厚度實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)裝置llvv2lHg金屬蒸汽金屬蒸汽顯示屏顯示屏狹縫狹縫接抽氣泵接抽氣泵 f(v)-變化規(guī)律vf(v)T T1 1T T2 2TT1 1 vf(v)m2 2 m1 1m1 144v vf(v)f(v)溫度T相同，哪個(gè)是H2? 哪個(gè)是O2?都是H2, 溫度不同，哪個(gè)溫度高？221.41pkTRTR

26、TTvmMMMVp1Vp20例45例、關(guān)于速率分布函數(shù),說明各式的意義:21(1)( )dvvNf vv21(2)( )dvvf vv21(3)( )vvNvf v dv解：由速率分布函數(shù)( )vdNf vNdv的物理意義可以知道：2211()()(1)( )vN vvN vNf v dvdNN 表示在v1-v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。21201(4)( )2vvm v Nf v dv222111(2)( )vvvvvvdNdNf v dvNN表示在v1-v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。462211(3)( )vvvvNvf v dvvdN222111220011(4)( )22vvvkv

27、vvm v Nf v dvm v dNE dN表示在v1-v2 速率區(qū)間內(nèi)所有分子速率的總和。表示在v1-v2速率區(qū)間內(nèi)所有分子平動(dòng)動(dòng)能的總和。47?)()(11vvdvvfdvvvf物理意義？11)()(vvdvvfdvvvf11vvNdNNdNv11vvdNvdN速率大于V1的速率平均值( )dNf v dvN由例48例、圖中v0將速率分布曲線下的面積分為相等的兩局部,試說明v0的意義.f(v)v0v0解：根據(jù)Maxwell速率分布函數(shù)，可以知道f(v)v0v0( )dNf v dvN所以根據(jù)題意，兩局部面積相等，也就是說在v0的兩邊的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率相同。所以v0的意義是：速率大于

28、v0的分子數(shù)=速率小于v0的分子數(shù)490( )vf v dv求得v2220( )vv f v dvv用求出在統(tǒng)計(jì)方法和氣體分子速率分布律這一局部中，給定分布函數(shù)f(v)，可以用( )0pdf vvv用求出最概然速率2112( )vvNf v dvvv用求出速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)0如果分布函數(shù)中有待定常數(shù)時(shí)，需要用到歸一化條件f(v)dv=1求出待定常數(shù)。50例、設(shè)由 個(gè)氣體分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)，其速率分布函數(shù)為：N00() (0)( )0A vv vvvf v其分布曲線圖如下圖。求： 1分布函數(shù)中的常數(shù) ；2分子的最概然速率；3分子的平均速率和方均根速率；4分子在0-0.3v0 之間的分子數(shù)。v

29、f(v)v0OA51分析：分布函數(shù)中的常數(shù)可以由歸一化條件求得。在此根底上，可以求得各種速率和某個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。解： 1由歸一化條件，0( )1f v dv0003300000011( )( )0()132vvvf v dvf v dvdvA vv vdvAvAv 306Av可以得到：解得：所以0306( )()f vvv vv 2由( )0pv vdf vdv可以得到：32001260pvvv所以012pvv523平均速率為：0200300061( )()2vvvf v dvvv v dvvv0223200300063( )()10vvv f v dvvv v dvvv220030.551

30、0vvv所以，方均根速率為：4由速率分布函數(shù)( )dNf vNdv可以得到：000.30.3030006( )()0.216vvNdNNf v dvNvv vdvNv即：速率在0-0.3) 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的21.6%。0v53例、判斷下述論斷是否正確：“最概然速率相同的兩種不同氣體，它們的速率分布曲線一定相同。解：這種說法正確。由麥克斯韋速率分布函數(shù)：23222( )4()2mvkTdNmf vveNdvkT( )0pv vdf vdv由得到：2pkTvm54這樣將麥克斯韋速率分布函數(shù)進(jìn)行變換，以vp 的形式表示出來：23222( )4()22mvkTpmf vvekTkTvm2()3

31、24( )pvvpf vv ev所以，只要最概然速率vp 相同，f(v)就一定相同，與氣體種類無關(guān)。55232222()32( )4()24pmvkTvvpNmf vvevvNkTvevv2()24()pvvppvvevv2pkTvmMRT2pv用簡化運(yùn)算例56例：求300K時(shí)，空氣中速率在vp附近和10vp附近單位速率區(qū)間)/1(smv 的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比各是多少？解：2()24()pvvppNvvevNvmkTvp2)/29(molgM空氣3102930031. 82sm/415%2 . 04151141 eNNpv%102 . 0415110044210010 eNNpvMRT2

32、57例、設(shè)某氣體的速率分布函數(shù))0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：解：1常量a 和 v0 的關(guān)系1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf 1歸一化條件303v a)(vfvv00為3速率在01/2v0 之間分子的平均速率2平均速率vv582設(shè)總分子數(shù)為N，3求速率在01/2v0 之間分子的平均速率？000v2v2/230000v3vv(v)dv64vdNfav dvvN那么對否？不對！上式分母上的N應(yīng)為 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424)()(00vvaa vv 0830vvdNN 0d)(vvvf404va

33、 002dvvvv a0403043)3(41vvv 59例、設(shè)氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能：212mvd( )dwFd在之間的概率為：試用麥克斯韋速率分布函數(shù)求：1分布函數(shù)( )F2最概然能量； 3平均能量解：氣體分子速率在 之間的概率為：23222( )4()2mvkTmdwf v dvvedvkTvvdv 60把上述方程改寫成能量的形式為：31222()( )kTdwkTedFd232224()2mvkTmdwvedvkT所以，能量分布函數(shù)31222( )()kTFkTe6131222( )()kTFkTe2pkTvm211222ppkTmvmkTm2由麥克斯韋速率分布函數(shù)得到：所以最概然能量：正

34、確嗎？事實(shí)上，最概然能量必須滿足：( )0pdFd 所以：311222( )211()()02pkTkTdFkTeedkT 得到最概然能量：12pkT623平均能量：3133222200022( )()()32kTkTFdkTedkTedkT63vdsdsx xvx xdtdt用麥克斯韋速度分布函數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)碰撞到單位面積容器壁的分子數(shù)X軸方向垂直ds，那么碰到ds的分子數(shù)為：xvxNdn v dtds()xvxxdnn f v dv/()xxdN dtdsn f v dv 21/2202xmvkTxxmdnev dvkT 21/22()2xmvkTxmf vekT積分只取vx0，因?yàn)樾∮?/p>

35、零不能撞ds1/2124KTnnvm 64外勢場中, 粒子在速度在的分子數(shù)30/22kpEEkTxyzmdNedv dv dv dzkTnxdyd對所有速度積分,3/20()2kpEEkTxyzmdNnedv dv dv dxdydzkTxxdxyydyzzdzxxxvvdvyyyvvdvzzzvvdv由速度分布函數(shù)的歸一化條件,得0pEkTdNn edxdydz得體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù):22232212xyzmvvvkTxyzmedv dv dvkT20.4.3 重力場中粒子按高度的分布3/20()2pkEEkTkTxyzmdNedv dv dvn edxdydzkT650pEkTd

36、Nn edxdydz用空間粒子數(shù)密度表示: 0pEkTdNnn edxdydzn0為 Ep =0 處的粒子數(shù)密度重力場中pEmgh重力場中粒子按高度的分布0mghkTnn epnkT00lnlnppkTRThmgpgp- 恒溫氣壓公式0mghkTn kTe0mghkTp e66nmnmgdhgdh1nkTP 0mghkTnn ekTdndP dhkTmgndnnmgdhkTdn dhkTmgndnhnn00kTmghnn0ln空氣密度氣體壓強(qiáng)P可以看作單位面積上空氣柱重量由dhhPdPPh重力場中粒子按高度的分布0mghkTnn e另一種推導(dǎo)方法：gdVdP6720.5 能量按自由度均分定理

37、理想氣體內(nèi)能1、自由度確定一物體的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目 sccc1)平動(dòng)自由度 t 3t222212121zyxtmmm 動(dòng)能為三個(gè)獨(dú)立的速度分量的平方項(xiàng)之和2)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r cyxz3r232221212121zyxrIII 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為三個(gè)獨(dú)立的角速度分量的平方項(xiàng)之和68剛體的自由運(yùn)動(dòng) ccccc6rts(平動(dòng)) 加 (轉(zhuǎn)動(dòng))rt 3)振動(dòng)自由度v兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間相對位置的變化1v動(dòng)能為六個(gè)獨(dú)立的平方項(xiàng)之和r221122vmrkr能量為二個(gè)平方項(xiàng)之和假設(shè)有 v 個(gè)振動(dòng)自由度，能量為2v個(gè)平方項(xiàng)之和v 個(gè)動(dòng)能，v個(gè)勢能692、分子的自由度單原子分子(He、Ne、Ar等)3t只有平動(dòng)自由度能量表

38、達(dá)式中有三個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)雙原子分子(O2、H2、CO等)剛性3t2rsrti5能量表達(dá)式中有五個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)多原子分子H2O、CH4剛性6i t r 能量表達(dá)式中有六個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)70分子、平衡態(tài)kTmmmzyx21212121222vvv20.5.1 能量按自由度均分定理：動(dòng)能表達(dá)式中，每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值都是動(dòng)能表達(dá)式中，每一個(gè)平方項(xiàng)的平均值都是 kT21在溫度為在溫度為T T的的平衡態(tài)平衡態(tài)下，系統(tǒng)中分子能量表達(dá)下，系統(tǒng)中分子能量表達(dá)式中每一個(gè)獨(dú)立的平方項(xiàng)都具有相同的式中每一個(gè)獨(dú)立的平方項(xiàng)都具有相同的平均平均熱熱運(yùn)動(dòng)能量，其大小等于運(yùn)動(dòng)能量，其大小等于 kT21一個(gè)分子的總平均能量kTivrt

39、kT222PKkTt23 7120.5.2 理想氣體內(nèi)能內(nèi)能是狀態(tài)量.通常),(VTEE 理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)2MiER T 廣義內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有粒子各種能量的總和. 熱力學(xué)內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和分子間 相互作用 勢能之和. 理想氣體內(nèi)能：僅為分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和.()EE T只含有一種分子的 1 mol 理想氣體2AAiENNkTRTi272kTNiNEAA2 RTi2單原子分子 雙原子分子 多原子分子kT23kT25kT26平均動(dòng)能1 mol 理想氣體的內(nèi)能RT23RT25RT37373例、 以下各式中那一式表示氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能？.23)(,23)(,23)(,23

40、)(pVMMDnpVCpVMMBpVMmAmolmol解 氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為32kT答案 (A)032RTN03 12m olMpVNM32mpVM0()m olMN mm olMpVR TM74例、一個(gè)氧氣瓶的容積為 ，充入氧氣的壓強(qiáng)為 ，用了一段時(shí)間后壓強(qiáng)降為 ，那么瓶中剩下的氧氣的內(nèi)能與未用前氧氣的內(nèi)能之比為解：內(nèi)能：11122222iERTiERT2222211 11 1ETN TETN T111222NPkTVNPkTV壓強(qiáng)：22211 1PN TPN T由以上兩式：2211EPEP21PPV1P2P75例、一絕熱容器，體積為2V0，由絕熱板將其分隔成相等的兩局部A和B，如下圖

41、。設(shè)A內(nèi)貯有1mol的單原子分子的氣體，B內(nèi)貯有2mol的雙原子分子的氣體，A、B兩局部的壓強(qiáng)均為p0。如果把兩種氣體都看作理想氣體。現(xiàn)在抽去絕熱板，求兩種氣體混合后到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)的溫度和壓強(qiáng)。AB分析：一定量理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)。當(dāng)抽去絕熱板后，因?yàn)槿萜魇墙^熱的，所以兩種氣體混合后的內(nèi)能等于混合前兩種氣體的內(nèi)能之和，即內(nèi)能保持不變，由此可以計(jì)算出混合氣體的溫度。再由理想氣體的狀態(tài)方程可以求出壓強(qiáng)。解：混合前，兩種氣體的內(nèi)能為：003322AAAERTp V005522BBBERTp V76因此兩種氣體的總內(nèi)能為：10000035422ABEEEp Vp Vp V23535131222222A