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1、平均值不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)平均值不等式:設(shè)為個(gè)正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.二、典型例題與基本方法1.設(shè)求證：2.設(shè)求的最小值.3.設(shè)是正數(shù),且求證：4.設(shè)且證明：5.設(shè)且證明：6.設(shè)證明：7.設(shè)為個(gè)正數(shù),證明：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.8.已知正實(shí)數(shù)滿足證明：9.已知正實(shí)數(shù)滿足證明：1.設(shè)證明：2.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足證明：3.設(shè)且證明：A2平均值不等式參考解答一、基礎(chǔ)知識(shí)平均值不等式:設(shè)為個(gè)正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.證明：我們首先證明為正整數(shù))時(shí),平均值不等式成立.為此對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí),顯然有假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,則當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.所以對(duì)于形式的正整數(shù),平均值不等式成立.現(xiàn)假設(shè)時(shí),平均值不等式成立,當(dāng)時(shí)
2、,則由假設(shè)得于是即所以當(dāng)時(shí)命題也成立.綜上可知對(duì)一切正整數(shù)平均值不等式成立.不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)所有的相等時(shí)等號(hào)成立.二、典型例題與基本方法1.設(shè)求證：證明：2.設(shè)求的最小值.證明：因?yàn)橛谑钱?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為10.3.設(shè)是正數(shù),且求證：證明：同理于是4.設(shè)且證明：證明：注意到恒等式于是原不等式等價(jià)于因?yàn)橛谑撬?.設(shè)且證明：證明：同理所以故6.設(shè)證明：證明：因?yàn)樗栽坏仁降葍r(jià)于由對(duì)稱性只須證明注意到令則且于是等價(jià)于因?yàn)樗栽坏仁降米C.7.設(shè)為個(gè)正數(shù),證明：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.證明：由平均值不等式令于是即就是平均值不等式.由恒等式知道于是也就是8.已知正實(shí)數(shù)滿足證明：證明：因?yàn)樗杂谑怯谑怯谑侵豁氉C明于是所以原不等式得證.9.已知正實(shí)數(shù)滿足證明：證明：由平均值不等式知道于是同理于是所以原來(lái)不等式得證.B2.練習(xí) 姓名： 1.設(shè)證明
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