2021-2022學(xué)年安徽省池州市貴池區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2021-2022學(xué)年安徽省池州市貴池區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合Ax|x22x0，Bx|x，則()AABBABRCBADAB【答案】B【詳解】依題意，又因?yàn)锽x|x，由數(shù)軸可知ABR，故選B.2復(fù)數(shù)z滿足，則z（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由數(shù)z滿足，可得.故選：C.3若向量滿足：則A2BC1D【答案】B【詳解】試題分析：由題意易知：即，即.

2、故選B.【解析】向量的數(shù)量積的應(yīng)用.4已知，則的大小關(guān)系為ABCD【答案】D【詳解】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，即，即，綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較這就必須掌握一些特殊方法在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確5已知直線，若，則的值為（）AB4C

3、4D【答案】B【解析】由可得解得，然后再檢驗(yàn),得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去.當(dāng)時(shí)，符合題意.所以.故選：B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：已知直線和直線平行求參數(shù)的值時(shí)，除了要計(jì)算，還一定要把求出的參數(shù)值代入原直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，看直線是否重合.本題就是典型例子，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解，屬于中檔題6如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC.M，N分別是對(duì)邊OB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，現(xiàn)用基向量表示向量，設(shè)，則的值分別是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】結(jié)合圖形,由M、N是OM、BC的中點(diǎn),用表示出,從而得出,即可得出.【詳解】連結(jié)ON.因?yàn)镸，N分別是對(duì)邊OB，AC

4、的中點(diǎn)，所以，所以.又，所以.故選：C7如圖，四位同學(xué)在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別選定了一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，各自作出三個(gè)函數(shù)， ，的圖像如下結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有一位同學(xué)作出的圖像有錯(cuò)誤，那么有錯(cuò)誤的圖像是ABCD【答案】C【詳解】考查三角函數(shù)圖像，通過三個(gè)圖像比較不難得出答案C8已知直線的傾斜角滿足方程，則直線的斜率為ABCD【答案】A【分析】利用直線的斜率進(jìn)行求解，需要先化簡(jiǎn)【詳解】解：，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，直線斜率（為傾斜角），是基礎(chǔ)題9已知，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在雙曲線存在點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為.若，則該雙曲線的離心率為（）ABCD【答案】A【分析】由，得，

5、再利用勾股定理和結(jié)合已知條件及雙曲線的定義可得，從而可求出雙曲線的離心率【詳解】由，得.設(shè)，.由，得，即.又，即，所以，所以，故選：A.10過點(diǎn)作圓（x+1）2+（y-2）2=169的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有（）A16條B17條C32條D34條【答案】C【解析】化簡(jiǎn)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出弦長(zhǎng)的最小值和最大值，取其整數(shù)個(gè)數(shù)【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，圓心，半徑，過點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是以為中點(diǎn)的弦，為10，有1條最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是過點(diǎn)的直徑，為26，有1條，還有長(zhǎng)度為11，12，25的各2條，所以共有弦長(zhǎng)為整數(shù)的條故選：【點(diǎn)睛】本題實(shí)際上是求弦長(zhǎng)問題，容易出錯(cuò)的地方是：除最短最長(zhǎng)弦外，長(zhǎng)度為11，12，2

6、5的各2條11已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上定點(diǎn)，則的最小值為（）A3B4C5D6【答案】B【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義，把轉(zhuǎn)化為，利用當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得 ，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知，要求取得最小值，即求取得最小，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即為.所以的最小值為.故選：B.12在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列說法正確的是（）A點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn)B線段的最大值為C點(diǎn)的軌跡是正方形D點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為【答案】D【解析】在正方體中，以點(diǎn)為

7、坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，確定點(diǎn)的軌跡，在逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；取，連接，則，所以四邊形為矩形， 則，即，又，且平面，平面，所以平面，又，所以為中點(diǎn)，則平面，所以，為使，必有點(diǎn)平面，又點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，因此點(diǎn)不可能是棱的中點(diǎn)，即A錯(cuò)；又，所以，則點(diǎn)的軌跡不是正方形；且矩形的周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)，D正確；因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，則點(diǎn)為矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，所以點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相

8、等，且最大，所以線段的最大值為，故B錯(cuò).故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，由，求出動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形，即可求解.二、填空題13圓與圓內(nèi)切，則的值為_.【答案】或【分析】首先根據(jù)題中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相切求出的值為.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距，又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有，解得或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求半徑與圓心，屬于基礎(chǔ)題.14已知，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則=_.【答案】【分析】由已知可得共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.【詳解】由P

9、，A，B，C四點(diǎn)共面，可得共面，解得.故答案為：15橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為_.【答案】【分析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系在解決弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的16阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表

10、作圓錐曲線一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A、B的距離之比為（0，1），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題已知圓：x2+y21和點(diǎn)，點(diǎn)B（1，1），M為圓O上動(dòng)點(diǎn)，則2|MA|+|MB|的最小值為_【答案】 【分析】由題意，取點(diǎn)K（2，0），連接OM、MK由MOKAOM，可得，推出MK2MA，在MBK中，MB+MKBK，推出2|MA|+|MB|MB|+|MK|的最小值為BK的長(zhǎng)【詳解】如圖所示，取點(diǎn)K（2，0），連接OM、MKOM1，OA，OK2，MOKAOM，MOKAOM，MK2MA，|MB|+2|MA|MB|+|MK|，在MBK

11、中，|MB|+|MK|BK|，|MB|+2|MA|MB|+|MK|的最小值為|BK|的長(zhǎng)，B（1，1），K（2，0），|BK|.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中檔題三、解答題17已知函數(shù)，其圖象過點(diǎn).（1）求的值；（2）將函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值和最小值分別為和.【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換得,再待定系數(shù)法得；（2）根據(jù)三角函數(shù)平

12、移變換得，再根據(jù)整體代換思想求解函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?又函數(shù)圖像過點(diǎn)，所以，即.又，所以.（2）由（1）知，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，可知，因?yàn)?，所以，因此，?所以所以在上的最大值和最小值分別為和.18已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為（I）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（II）求直線的方程【答案】（1）.（2）.【詳解】分析：（I）設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；由頂點(diǎn)在直線上，所以在直線上， 列方程組求解即可；（II）設(shè)頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,以及直線垂直斜率之積為，列方程組求得的值，利用兩點(diǎn)式可得結(jié)果.詳解：

13、（I）設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；因?yàn)轫旤c(diǎn)在直線上，所以由題意知的坐標(biāo)為，因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上，所以，即；聯(lián)立方程組，解得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （II）設(shè)頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由于線段的中點(diǎn)在直線上，得方程，即由直線與直線垂直，得方程，即；聯(lián)立方程組，得顯然在直線上，且頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，整理得.點(diǎn)睛：本題主要考查直線的方程以及解析幾何中的軸對(duì)稱問題，屬于中檔題. 解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱問題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用，且 點(diǎn) 在對(duì)稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對(duì)稱，利用已知直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對(duì)稱直線方程；

14、（3）曲線關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.19如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M是PD上一點(diǎn)，且.(1)求異面直線PB與CM所成角余弦的大?。?2)求點(diǎn)M到平面PAC的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）可通過找平行線方法，將異面直線所成角（或補(bǔ)角）轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)兩直線所成角問題處理；也可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角的公式計(jì)算異面直線所成角；（2）采用幾何法，M到面PAC的距離為D到面PAC的距離的一半，即可求解；也可用向量法求空間中點(diǎn)到面的距離公式求得.【詳解】(1)解法一：連BD交AC于O，連MO，如圖（一）所示，平面ABCD，所以，.

15、在中，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸是PD上一點(diǎn)，且，所以M為PD中點(diǎn)，所以（或補(bǔ)角）就為PB與CM所成的角，因?yàn)?，所以平面PAD，.，所以異面直線PB與CM所成角余弦值為；解法二：分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖（二）所示的空間直角坐標(biāo)系，（1）則，設(shè)，則，所以，由，知，所以，M為PD中點(diǎn)，所以，.所以異面直線PB與CM所成角的余弦值為.(2)解法一：過D做于N，如圖（一）所示，平面ABCD，所以，所以平面PAC，DN為點(diǎn)D到平面PAC的距離，在中，又M是PD中點(diǎn)，所以點(diǎn)M到平面PAC的距離為.解法二：由問題（一）中解法二，可知，設(shè)平面PAC

16、的法向量為，由，得，所以，取，得，所以是平面PAC的一個(gè)法向量.所以點(diǎn)M到平面PAC的距離為.20在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）由離心率，得到，再由點(diǎn)在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率，即，可得，又橢圓過點(diǎn)，可得，將代入，可得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消去y整理，得，所以，又直

17、線與橢圓相交，所以，解得，則，點(diǎn)P到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，且.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，由勾股定理得逆定理可得，結(jié)合可得平面，進(jìn)而證得結(jié)果；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，結(jié)合圖形進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以，因?yàn)椋?，所以，則.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由（1）知，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空問直角坐標(biāo)系.則，故，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.，記二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則.22如圖，圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若