定積分的幾何應(yīng)用(面積和弧長(zhǎng))PPT課件[通用]

1、利用元素法解決: 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分的元素法 一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ? 表示為一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過(guò)“分割, 近似代替, 求和, 取極限”定積分定義一個(gè)整體量 ;二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?第一步 利用“分割 , 近似代替” 求出局部量的微分表達(dá)式第二步 利用“ 求和 , 取極限 ” 求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )元素的幾何形狀常取為: 條, 帶,

2、 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值第二節(jié) 一、 平面圖形的面積二、 平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及 x 軸所圍曲則邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 OO例1. 計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積 . 解: 由得交點(diǎn)O例2. 計(jì)算拋物線與直線的面積 . 解: 由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有O例3. 求橢圓解: 利用對(duì)稱性 , 所圍圖形的面積 . 有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)

3、值則曲邊梯形面積O例4. 求由擺線的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .解:O2. 極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為O對(duì)應(yīng) 從 0 變例5. 計(jì)算阿基米德螺線解:到 2 所圍圖形面積 . O心形線 例6. 計(jì)算心形線所圍圖形的面積 . 解:(利用對(duì)稱性)心形線O心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 尖點(diǎn): 面積: 弧長(zhǎng):參數(shù)的幾何意義例7. 計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解: 利用對(duì)稱性 ,所求面積例8. 求雙紐線所圍圖形面積 . 解: 利用對(duì)稱性 ,則所求面積為思考: 用定積分表示該雙

4、紐線與圓所圍公共部分的面積 .答案:O二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí),折線的長(zhǎng)度之和趨向于一個(gè)確定的極限 ,則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) ,即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(自己驗(yàn)證)例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng) . 解:下垂懸鏈線方程為例10. 計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng) .解:例11. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng) . 解:內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .提示: 交點(diǎn)為弧線