函數(shù)的連續(xù)性下PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的連續(xù)性下函數(shù)的連續(xù)性下三、函數(shù)的間斷點一、變量的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念四、初等函數(shù)的連續(xù)性五、函數(shù)的連續(xù)性在求極限中的應(yīng)用Continuity of Function六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第1頁/共39頁1.1、變量的改變量一、變量的改變量1.2、函數(shù)的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念2.1、f(x)在一點處連續(xù)性2.2、f(x)在區(qū)間上連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點3.1、間斷點定義3.2、間斷點分類四、初等函數(shù)的連續(xù)性4.1、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第2頁/共39頁.)0)()()(),()(),()()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點商商積積差差則它們的和則它們的和連續(xù)連續(xù)在點在點

2、若若xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 性質(zhì)14.1、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)即“連續(xù)函數(shù)四則運算后的新函數(shù)仍連續(xù)?！?()(lim)(000 xfxfxxfxx 連連續(xù)續(xù)在在點點)()(lim)(000 xgxgxxgxx 連連續(xù)續(xù)在在點點)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 第3頁/共39頁.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點連續(xù)連續(xù)在點在點若若xxfyuxxxuuufy 性質(zhì)2性質(zhì)3（反函數(shù)的連續(xù)性）三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)即“連續(xù)函數(shù)經(jīng)復(fù)合后的新函數(shù)仍連續(xù)?！眡yoab)(xf

3、y )(1xfy 單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍為單調(diào)連續(xù)函數(shù)。第4頁/共39頁4.2、定義區(qū)間連續(xù)性1.1、變量的改變量一、變量的改變量1.2、函數(shù)的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念2.1、f(x)在一點處連續(xù)性2.2、f(x)在區(qū)間上連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點3.1、間斷點定義3.2、間斷點分類四、初等函數(shù)的連續(xù)性4.1、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第5頁/共39頁4.2、定義區(qū)間連續(xù)性結(jié)論1 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.結(jié)論2 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.其中定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間._321)(2是是的連續(xù)區(qū)間的連續(xù)區(qū)間 xxxf例如：)3)(1(1 xx321)(2 xxxf), 3()3 ,

4、1()1,( fD), 3()3 , 1()1,( 、第6頁/共39頁4.2、定義區(qū)間連續(xù)性結(jié)論1 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.結(jié)論2 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.其中定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);注意:例如:, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 第7頁/共39頁例1。在其定義域內(nèi)的連續(xù)性在其定義域內(nèi)的連續(xù)性討論討論 1 210 10 )(2xxxxxxxf), 1(1 , 0)0

5、 ,( fD解：),( 都都是是初初等等函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)，、在在)(), 1(1 , 0)0 ,(xf .), 1(1 , 0)0 ,()( 內(nèi)內(nèi)均均連連續(xù)續(xù)、在在故故 xf處處在在0 x)(lim0 xfx )(lim0 xx 0 )(lim0 xfx 1)1(lim20 xx不不存存在在)(lim0 xfx處處不不連連續(xù)續(xù)。在在故故0)( xxf第8頁/共39頁例1處處在在1 x)(lim1xfx )1(lim21 xx2 )(lim1xfx 22lim1 xx2)(lim1 xfx處處連連續(xù)續(xù)。在在故故1)( xxf。在其定義域內(nèi)的連續(xù)性在其定義域內(nèi)的連續(xù)性討論討論 1 210 10 )(2

6、xxxxxxxf綜上知f(x)的連續(xù)區(qū)間是),0)0,( 、2)1()1(12 xxf第9頁/共39頁四、初等函數(shù)的連續(xù)性4.1、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4.2、定義區(qū)間連續(xù)性五、函數(shù)連續(xù)性在求極限中的應(yīng)用代入法求極限1.1、變量的改變量一、變量的改變量1.2、函數(shù)的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念2.1、f(x)在一點處連續(xù)性2.2、f(x)在區(qū)間上連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點3.1、間斷點定義3.2、間斷點分類第10頁/共39頁例2. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例3.11lim20 xxx 求求解：解：) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim

7、20 xxx20 .0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx1、“代入法”求極限的理論基礎(chǔ)初等函數(shù)求極限的方法代入法.第11頁/共39頁)()(lim)(000 xfxfxxfxx 連續(xù)連續(xù)在在2、極限符號與函數(shù)符號的可交換性00limxxxx )lim()(lim00 xfxfxxxx 例4xxx10)1ln(lim )1(limln)1ln(lim1010 xxxxxx 解：解：eln 1 例5121arctanlim22 xxx121limarctan22 xxx21arctan 第12頁/共39頁例6xxx)1ln(lim0 xxxxxx100)1ln(lim)1l

8、n(lim 解：解：eln 1 例7ln)1ln(limnnnn )1(limln10 xxx )11ln(limln)1ln(limnnnnnnn 解：解：nnn)11ln(lim )11(limlnnnn 1ln e第13頁/共39頁例8xexx1lim0 tex 1 令令解：解：)1ln(tx 則則時時且且0 x0t)1ln(lim1lim00ttxetxx 于是于是ttt10)1ln(1lim 1ln1 e第14頁/共39頁*._)21(12lnlim21 nnannana，則，則設(shè)設(shè)nnan)21(11lnlim 原式原式解：解：aannan211)21()21(11 lnlim a

9、annan211)21()21(11 limlnae211ln a211 a211 第15頁/共39頁四、初等函數(shù)的連續(xù)性4.1、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4.2、定義區(qū)間連續(xù)性五、函數(shù)連續(xù)性在求極限中的應(yīng)用代入法求極限六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最值;有界;介值;零點)1.1、變量的改變量一、變量的改變量1.2、函數(shù)的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念2.1、f(x)在一點處連續(xù)性2.2、f(x)在區(qū)間上連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點3.1、間斷點定義3.2、間斷點分類第16頁/共39頁 f(x)在a,b上連續(xù)，在點 x1處取得最大值M，在點x2處取得最小值m。6.1、最大值與最小值定理定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b

10、上連續(xù)，它在這個區(qū)間上一定有最大值和最小值。幾何解釋xy)(xfy MmabO x x注函數(shù)的最值可能在區(qū)間內(nèi)取得，也可能在區(qū)間的端點處取得。第17頁/共39頁注若f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，則不一定有最大最小值；注若f(x)在a,b內(nèi)不連續(xù)，則不一定有最大最小值。xy)(xfy Obcaxy1 xyOxyxy abO第18頁/共39頁6.2、有界性定理定理: 若f(x)在a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上必有界.證明: 由最值定理易證之.6.3、介值定理定理: 若f(x)在a,b上連續(xù), M和m分別f(x)在a,b上的最大值與最小值, 則對介于m與M之間的任一實數(shù)c(mcM), 至少存

11、在一點(a,b), 使f()=c.幾何意義: 閉區(qū)間上連續(xù)曲線 y=f(x)與平行于x軸的直線y= c(mcM)至少相交一次，而且交點的橫坐標(biāo)為x =(a,b).xy)(xfy MmabOc )( f)( f 第19頁/共39頁)(xfy 12xyO1 )( f例91)()2 , 0(3)2()1()0(2 , 0)( ffffxf使使證明：至少存在一點證明：至少存在一點上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在Mm分析：只要讓值 1 在f(x)的最大最小值之間。第20頁/共39頁例91)()2 , 0(3)2()1()0(2 , 0)( ffffxf使使證明：至少存在一點證明：至少存在一點上連續(xù)，且上連續(xù)，且

12、在在證：上連續(xù)上連續(xù)在在2 , 0)(xfmMxf最小值最小值上必有最大值上必有最大值在在2 , 0)(Mfm )0(Mfm )1(Mfm )2(Mfffm3)2()1()0(3 Mm 11)()2 , 0( f使使在一點在一點由介值定理知：至少存由介值定理知：至少存得證。第21頁/共39頁6.4、零點定理定理: 若f(x)在a,b上連續(xù), 且f(a)與f(b)異號,即f(a)f(b)0, 則至少存在一點(a,b), 使得 f()=0.即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個實根。 幾何意義: 連續(xù)曲線弧的兩個端點分別位于 x 軸的上、下兩側(cè)，則該曲線弧與x軸至少相交一次。xy)(xfy a

13、bO第22頁/共39頁應(yīng)用: (1)可以證明方程根的存在性。 例10至少存在一個實根。至少存在一個實根。內(nèi)內(nèi)在在證明：方程證明：方程)2, 0(01cos2 xx證：1cos2)( xxxf設(shè)設(shè)顯顯然然連連續(xù)續(xù)，在在則則2, 0)( xf310cos20)0( 且且 f0 1212cos22)2( f0 0)()2, 0(00 xfx使使在一點在一點由零點定理知：至少存由零點定理知：至少存故故 01cos2 00 xx即即上式表明 x0 是原方程得一個實根，得證。第23頁/共39頁應(yīng)用: (2)的的證證明明?；蚧虻鹊仁绞?)( 0)( Cff 證：MxfxF )()(設(shè)設(shè)輔輔助助函函數(shù)數(shù)顯顯然

14、然連連續(xù)續(xù)，在在則則,)(baxFMafaF )()( 且且0 MbfbF )()(0 0)(),( Fba使使在在一一點點由由零零點點定定理理知知：至至少少存存于于是是0)( Mf 即即得證。例11MfbabfMafbaxf使使證明至少存在一點證明至少存在一點上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè))(),()()(,)( Mf )( 亦亦即即第24頁/共39頁的方法：的方法：或或的等式的等式或或證明含證明含 )()( ) 0)(0)( 000CxfCfxffx (1)將要證的等式改寫為等號右邊為零的形式，并將 或x0改寫為x，則左邊的表達(dá)式就是輔助函數(shù)F(x)；),( 0)(baF (2) 驗證F(x

15、) 是否在閉區(qū)間連續(xù)； 是否端點函數(shù)值異號若滿足，直接使用零點定理得：(3) 轉(zhuǎn)化為要證等式。第25頁/共39頁例12證：xexFx 2)(設(shè)設(shè)輔輔助助函函數(shù)數(shù)上上顯顯然然連連續(xù)續(xù)，在在則則2 , 0)(xF0102)0( 0 eF且且0422)2(22 eeF0)()2 , 0(00 xFx使使在一點在一點由零點定理知：至少存由零點定理知：至少存于是于是02 00 xex即即得證。02 0 xex 亦亦即即002 )2, 0(0 xexx 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個證證明明在在第26頁/共39頁作業(yè)：P75 1，6(2)，8 第27頁/共39頁Continuity of Functio

16、n二、等價無窮小在求極限中的應(yīng)用一、無窮小量的比較第28頁/共39頁1.1、問題的提出一、無窮小量的比較第29頁/共39頁1.1、問題的提出無窮小的和、差、積仍為無窮小.無窮小的商是什么？引例:.,2 ,02都都是是無無窮窮小小時時當(dāng)當(dāng)xxxx 趨向于零的“快慢”程度不同.結(jié)論:x10.50.10.010.001002x210.20.020. 00200 x210.250.010.00010.00000100第30頁/共39頁1.1、問題的提出一、無窮小量的比較1.2、兩個無窮小的關(guān)系第31頁/共39頁1.2、兩個無窮小的關(guān)系:);(;, 0lim)1( o 記作記作高階的無窮小量高階的無窮小

17、量是比是比則稱則稱若若.個無窮小量個無窮小量為同一變化過程中的兩為同一變化過程中的兩設(shè)設(shè)、;,lim)2(低低階階的的無無窮窮小小量量是是比比則則稱稱若若 ;),1 , 0(lim)3(同階無窮小量同階無窮小量與與則稱則稱若若 cc;, 1lim)4( 記為記為是等價無窮小量；是等價無窮小量；與與則稱則稱若若 定義：第32頁/共39頁1.2、兩個無窮小的關(guān)系:22lim)1(0 xxxxxxsinlim0, 1 ).0( sinxxx引例：是是同同階階無無窮窮小小與與時時，在在xxx200lim)2(20 xxx的的高高階階無無窮窮小小是是時時，在在xxx20)0( )( 2 xxox或或第3

18、3頁/共39頁例1解.)(,速度的快慢速度的快慢趨于零趨于零與與試比較無窮小試比較無窮小時時當(dāng)當(dāng) xxx,lim)(lim xxxxxx)()()( xxox.)( ,的高階無窮小的高階無窮小是是時時即即 xxx:)(,趨趨于于零零的的速速度度快快得得多多要要比比趨趨于于零零的的速速度度從從下下表表可可以以看看出出事事實實上上 xxx21.51.11.011.00111(x- -1)21 0.25 0.01 0.00010.000001 00 x2- -13 1.25 0.21 0.02010.002001 00第34頁/共39頁例2比比較較試試將將下下列列無無窮窮小小與與時時當(dāng)當(dāng)xx,0解：xx 11)1()1ln()2(x xxsin)3