第八章控制系統(tǒng)分析方法

1、檢測(cè)技術(shù)與自動(dòng)控制工程基礎(chǔ)檢測(cè)技術(shù)與自動(dòng)控制工程基礎(chǔ)第八章第八章 控制系統(tǒng)的分析方法控制系統(tǒng)的分析方法材料成型及控制工程專業(yè)（必修）材料成型及控制工程專業(yè)（必修）控制系統(tǒng)的分析方法控制系統(tǒng)的分析方法o對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一旦建立起數(shù)學(xué)模型，就可以運(yùn)用適當(dāng)學(xué)模型，一旦建立起數(shù)學(xué)模型，就可以運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)系統(tǒng)的控制性能進(jìn)行全面的分析。對(duì)于的方法對(duì)系統(tǒng)的控制性能進(jìn)行全面的分析。對(duì)于線性定常系統(tǒng)常用的工程分析方法有：線性定常系統(tǒng)常用的工程分析方法有：o時(shí)域分析法時(shí)域分析法o根軌跡法根軌跡法1.頻率法頻率法8.18.1時(shí)域分析法時(shí)

2、域分析法o時(shí)域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯時(shí)域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，變換作為數(shù)學(xué)工具，直接解出控制系統(tǒng)的時(shí)間響直接解出控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)應(yīng)。然后根據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及其描述曲線來(lái)分析。然后根據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及其描述曲線來(lái)分析系統(tǒng)的控制性能，如系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性穩(wěn)定性、快速性快速性、穩(wěn)態(tài)精度穩(wěn)態(tài)精度等。等。o為了衡量控制系統(tǒng)性能，設(shè)立了一定的指標(biāo)，所為了衡量控制系統(tǒng)性能，設(shè)立了一定的指標(biāo)，所以系統(tǒng)分析的基本內(nèi)容就是分析系統(tǒng)在上述三個(gè)以系統(tǒng)分析的基本內(nèi)容就是分析系統(tǒng)在上述三個(gè)方面的性能是否達(dá)到了規(guī)定的性能指標(biāo)。方面的性能是否達(dá)到了規(guī)定的性能指標(biāo)。8.18

3、.1時(shí)域分析法時(shí)域分析法o時(shí)域法的特點(diǎn)時(shí)域法的特點(diǎn)：(1) (1) 直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析校正，直觀，準(zhǔn)確；直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析校正，直觀，準(zhǔn)確；(2) (2) 可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息；可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息；(3) (3) 基于求解系統(tǒng)輸出的解析解，比較煩瑣。基于求解系統(tǒng)輸出的解析解，比較煩瑣。o時(shí)域分析方法的基本假設(shè)時(shí)域分析方法的基本假設(shè) 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外部作用信號(hào)有關(guān)。且還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外部作用信號(hào)有關(guān)。為了比較系統(tǒng)性能

4、的優(yōu)劣，對(duì)于外作用信號(hào)和初始狀態(tài)作典型為了比較系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，對(duì)于外作用信號(hào)和初始狀態(tài)作典型化處理?；幚怼?規(guī)定：控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)；規(guī)定一些具有特規(guī)定：控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)；規(guī)定一些具有特殊形式的試驗(yàn)信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，這些典型的輸入信號(hào)殊形式的試驗(yàn)信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，這些典型的輸入信號(hào)應(yīng)能反應(yīng)系統(tǒng)的大部分實(shí)際情況，并應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，便于分析應(yīng)能反應(yīng)系統(tǒng)的大部分實(shí)際情況，并應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，便于分析處理，并且應(yīng)是對(duì)工程最不利的信號(hào)。處理，并且應(yīng)是對(duì)工程最不利的信號(hào)。時(shí)域法常用的典型輸入信號(hào)時(shí)域法常用的典型輸入信號(hào)線性系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)線性系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)穩(wěn)穩(wěn)( ( 基本要

5、求基本要求) )：系統(tǒng)受脈沖擾動(dòng)后能回到原來(lái)的平衡位置：系統(tǒng)受脈沖擾動(dòng)后能回到原來(lái)的平衡位置準(zhǔn)準(zhǔn)( ( 穩(wěn)態(tài)要求穩(wěn)態(tài)要求):):穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差( (穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差) )要小要小快快( ( 動(dòng)態(tài)要求動(dòng)態(tài)要求 ):): 過(guò)渡過(guò)程要平穩(wěn)，迅速過(guò)渡過(guò)程要平穩(wěn)，迅速延遲時(shí)間延遲時(shí)間t td d 階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值的階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值的5050所需的時(shí)間所需的時(shí)間上升時(shí)間上升時(shí)間trtr 階躍響應(yīng)從終值的階躍響應(yīng)從終值的1010上升到終值的上升到終值的9090所需所需 的時(shí)間。有振蕩時(shí)，可定義為從的時(shí)間。有振蕩時(shí)，可定義為從0 0到第一次達(dá)到到第一次達(dá)到 終

6、值所需的時(shí)間終值所需的時(shí)間峰值時(shí)間峰值時(shí)間tptp 階躍響應(yīng)越過(guò)終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間階躍響應(yīng)越過(guò)終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間tsts 階躍響應(yīng)到達(dá)并保持在終值規(guī)定的允許誤差帶階躍響應(yīng)到達(dá)并保持在終值規(guī)定的允許誤差帶（5 5，2 2）內(nèi)所需的最短時(shí)間）內(nèi)所需的最短時(shí)間超超 調(diào)調(diào) 量量 峰值超出終值的百分比峰值超出終值的百分比線性系統(tǒng)時(shí)域線性系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) (s) 標(biāo)準(zhǔn)形式及標(biāo)準(zhǔn)形式及 h(s)sKsG )(11111)(1 TsTsTKsKsKsKsKTT11 TsssTs

7、sRssC111111)()()( TtesCLth 1)()(1 3.2.3 3.2.3 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)一階系統(tǒng)的典型響應(yīng) r(t) R(s) C(s)= (s) R(s) c(t) 一階系統(tǒng)典型響應(yīng)一階系統(tǒng)典型響應(yīng) d(d(t) 1 1(t) t一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)o一階系統(tǒng)響應(yīng)包括一階系統(tǒng)響應(yīng)包括穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量和和動(dòng)態(tài)分量動(dòng)態(tài)分量。o單位階躍輸入的響應(yīng)單位階躍輸入的響應(yīng) 表示穩(wěn)態(tài)分量，表示穩(wěn)態(tài)分量， 代表動(dòng)態(tài)分量。代表動(dòng)態(tài)分量。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差o一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜

8、坡響應(yīng)( )1tTssuh tecc1ssc tTuce ( )( )|10sstsser th tc ( )()tTssuuc tcctTTe( )( )|()sstsser tc ttcttTT 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能例例 已知單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)已知單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 試求試求 (s) (s)，G(s) G(s) 。解：解：ateth 1)(asatkLs )()(atataeethtk 1 )()()(1)()(sGsGs )( )(1)(sGsGs saasaasasssG 1)(1)()()()()()(ssGssG )(1)()(s

9、ssG 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能o傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類o二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為o特征根為特征根為22( )20nnf 21,21nn 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能o隨著阻尼比隨著阻尼比的不同，二階系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極的不同，二階系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）也不同，如下圖。點(diǎn)）也不同，如下圖。o特別，當(dāng)特別，當(dāng)0 num=1,7,24,24; den=1,2,3,4,5,6,7,8,9; roots(den)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析32876543272424( )23456

10、789sssG sssssssss線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析o求得系統(tǒng)的特征根為求得系統(tǒng)的特征根為 -1.2888 + 0.4477i -1.2888 + 0.4477i ；-1.2888 - 0.4477i-1.2888 - 0.4477i -0.7244 + 1.1370i -0.7244 + 1.1370i ； -0.7244 - 1.1370i-0.7244 - 1.1370i0.1364 + 1.3050i 0.1364 + 1.3050i ； 0.1364 - 1.3050i0.1364 - 1.3050i 0.8767 + 0.8814i 0.8767 + 0.88

11、14i ； 0.8767 - 0.8814i0.8767 - 0.8814i其中其中4 4個(gè)極點(diǎn)帶正實(shí)部，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。個(gè)極點(diǎn)帶正實(shí)部，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 MATLABMATLAB求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)oMATLABMATLAB中用中用step()step()函數(shù)來(lái)求取線性系統(tǒng)的階躍響函數(shù)來(lái)求取線性系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，其調(diào)用方式為應(yīng)，其調(diào)用方式為y=step(G,t),Gy=step(G,t),G為系統(tǒng)的傳遞函為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，數(shù)，t t為要計(jì)算的點(diǎn)所在時(shí)刻的值組成的時(shí)間向量，為要計(jì)算的點(diǎn)所在時(shí)刻的值組成的時(shí)間向量，一般用一般用t=0:dt:t_endt=0:dt:t_end等步長(zhǎng)地

12、產(chǎn)生等步長(zhǎng)地產(chǎn)生,dt,dt為步長(zhǎng)，為步長(zhǎng)，t_endt_end為終值時(shí)間，為終值時(shí)間，y y為系統(tǒng)的輸出量。為系統(tǒng)的輸出量。o例如，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例如，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為o那么，在那么，在MATLABMATLAB中用下面的語(yǔ)句可以得到系統(tǒng)的中用下面的語(yǔ)句可以得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。階躍響應(yīng)曲線。3243272424( )10355024sssG sssssMATLABMATLAB求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)求系統(tǒng)的階躍響應(yīng) num=1,7,24,24; den=1,10,35,50,24; G=tf(num,den); t=0:0.1:10; y=step(G,t); plot(t,y); Y=dcgain

13、(G)odcgain()函數(shù)用來(lái)求線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值。函數(shù)用來(lái)求線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值。024681000.20.40.60.81相關(guān)結(jié)論：相關(guān)結(jié)論：(1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類型，形式無(wú)關(guān)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類型，形式無(wú)關(guān)。(2) 閉環(huán)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點(diǎn)，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)閉環(huán)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點(diǎn)，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)。nnnmsCsCsCssszszszsKs 22112121)()()()(*)(tntetneCCeCtk 2121)(閉環(huán)零點(diǎn)影響系數(shù)閉環(huán)零點(diǎn)影響系數(shù)Ci ，只會(huì)改變動(dòng)態(tài)性能。，只會(huì)改變動(dòng)態(tài)性能。閉環(huán)極點(diǎn)決定穩(wěn)定性，也決定模態(tài)，同時(shí)影響穩(wěn)定性和

14、動(dòng)態(tài)性能。閉環(huán)極點(diǎn)決定穩(wěn)定性，也決定模態(tài)，同時(shí)影響穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。(3) 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否無(wú)直接關(guān)系。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否無(wú)直接關(guān)系。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差o穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，是對(duì)系統(tǒng)控制穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，是對(duì)系統(tǒng)控制精度的度量。精度的度量。o對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計(jì)算對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。o通常把在階躍輸入作用下沒(méi)有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的通常把在階躍輸入作用下沒(méi)有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為

15、無(wú)差系統(tǒng)無(wú)差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)有差系統(tǒng)。o本講只討論系統(tǒng)的原理性誤差，不考慮由于非線本講只討論系統(tǒng)的原理性誤差，不考慮由于非線性因素引起的誤差。性因素引起的誤差。線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差誤差與穩(wěn)態(tài)誤差誤差與穩(wěn)態(tài)誤差按輸入端定義的誤差按輸入端定義的誤差 )()()()(sCsHsRsE 按輸出端定義的誤差按輸出端定義的誤差 )()()()(sCsHsRsE 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 動(dòng)態(tài)誤差動(dòng)態(tài)誤差：誤差中的穩(wěn)態(tài)分量誤差中的穩(wěn)態(tài)分量 靜態(tài)誤差靜態(tài)誤差： )()(lim eteetss)(tes線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算穩(wěn)

16、態(tài)誤差的一般方法計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法 （1 1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 （2 2）求誤差傳遞函數(shù)）求誤差傳遞函數(shù) （3 3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差 )()()(,)()()(sNsEssRsEsene )()()()(lim0sNssRsseenesss 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知 r(t)=n(t)=tr(t)=n(t)=t，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解解KTssTssTssKsRsEse )1()1()1(11)()()(0)(2 KsTssDKsKTssTssssRssesess

17、sr11)1()1(lim)()(lim200 KTsssTTssKTssKsTKsNsEsnnnnen )1()1()1()1(11)()()( KKsKTsssTTssKssNssennnsensssn 2001)1()1()1(lim)()(limKKeeenssnssrss 1線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求 r(t)分別為分別為A1(t), At, At2/2時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解解KTssTsssRsEse )1()1()()()()( 1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAt

18、r )(KAsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssTsssesss 系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)影響影響 e essss 的因素的因素 外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等） 外作用的類型（控制量，擾動(dòng)量及作用點(diǎn)）外作用的類型（控制量，擾動(dòng)量及作用點(diǎn)）靜態(tài)誤差系數(shù)法靜態(tài)誤差系數(shù)法靜態(tài)誤差系數(shù)法靜態(tài)誤差系數(shù)法 r(t) r(t)作用時(shí)作用時(shí)essess的計(jì)算規(guī)律的計(jì)算規(guī)律)1()1()1()1()(110 sTsTsssGvnm 1)(lim00 sGs)()1()1()1()1()(

19、)()(0111sGsKsTsTsssKsHsGsGvvnvm )(11)()(11)()()(01sGsKsHsGsRsEsve )(11)(lim)()(lim000sGsKsRssRssevsesssp 靜態(tài)誤差系數(shù)法靜態(tài)誤差系數(shù)法)( 1)(tAtr )()(lim1)()(11lim)()(lim10100sHsGAsHsGsAssRssessesssp )(11)(lim)()(11)(lim)()(lim00100sGsKsRssHsGsRssRssevssesss vsspsKsHsGK010lim)()(lim pKA 1tAtr )()()(lim)()(11lim)()(

20、lim101200sHsGsAsHsGsAssRssessesssv 1010lim)()(lim vssvsKsHsGsKvKA 22)(tAtr )()(lim)()(11lim)()(lim1201300sHsGsAsHsGsAssRssessesssa 20120lim)()(lim vssasKsHsGsKaKA 靜態(tài)誤差系數(shù)法靜態(tài)誤差系數(shù)法例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入 , 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。242)(tttr 解解)()1()(21assTsKsG 21vaKK)1()()(121 TsKassKs0)(1123 KTsKasss

21、Dttr2)(1 01 sse2222184)(tttr 128KaKAess 1218Kaeeessssss 判別系統(tǒng)穩(wěn)定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性8.2 8.2 根軌跡法根軌跡法o根軌跡法所要解決的問(wèn)題，仍然是系統(tǒng)控制過(guò)程的根軌跡法所要解決的問(wèn)題，仍然是系統(tǒng)控制過(guò)程的分析和計(jì)算。由于分析和計(jì)算。由于以前以前求解高階系統(tǒng)特征困難較困求解高階系統(tǒng)特征困難較困難，從而限制了時(shí)域分析法在高階系統(tǒng)的應(yīng)用。難，從而限制了時(shí)域分析法在高階系統(tǒng)的應(yīng)用。o根軌跡法是通過(guò)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)尋求其閉環(huán)特征根軌跡法是通過(guò)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)尋求其閉環(huán)特征根的方法，它是一種圖解的方法，根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)根根的方法，它是一種圖解的方法，根

22、據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡圖，不僅可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還可以軌跡圖，不僅可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且還可以分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，從而為改善及設(shè)計(jì)系統(tǒng)提供分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，從而為改善及設(shè)計(jì)系統(tǒng)提供依據(jù)。依據(jù)。o所謂根軌跡，是指當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某個(gè)參數(shù)所謂根軌跡，是指當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某個(gè)參數(shù)（如開環(huán)增益（如開環(huán)增益K K）由零到無(wú)窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征根）由零到無(wú)窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征根在在s s平面上移動(dòng)所畫出的軌跡。平面上移動(dòng)所畫出的軌跡。相關(guān)概念相關(guān)概念o零點(diǎn)和極點(diǎn)（開環(huán)、閉環(huán)）零點(diǎn)和極點(diǎn)（開環(huán)、閉環(huán)）111011101212.( )( )( ).()().() ()().()mmmmnnnn

23、mmnnb sbsb sbC sG sR sa sasa sabszszszaspspspo式中式中Zj(j=1,2m) 是分子多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函是分子多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。數(shù)的零點(diǎn)。pi(i=1,2n)是分母多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳是分母多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。也可以是復(fù)數(shù)。相關(guān)概念相關(guān)概念*mnbKa*12121212()().()( )()().()(1)(1).(1) (1)(1).(1)mnmiszszszG sKspspspsssKT sT sT so系數(shù)系數(shù)K*稱為

24、傳遞系數(shù)或稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益，根軌跡增益，K稱為傳遞函數(shù)的稱為傳遞函數(shù)的開環(huán)增益開環(huán)增益。兩者存在定量比例關(guān)系。兩者存在定量比例關(guān)系。o開環(huán)增益、根軌跡增益開環(huán)增益、根軌跡增益閉環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系閉環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 閉環(huán)零點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn)=前向通道零點(diǎn)前向通道零點(diǎn)+ +反饋通道極點(diǎn)反饋通道極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)及閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)及 K K* * 均有關(guān)均有關(guān)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，確定閉環(huán)零點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，確定閉環(huán)零點(diǎn)例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，分析特征根系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，分析特征根 隨開環(huán)增益隨開環(huán)增益K 變化的趨勢(shì)。變化的趨勢(shì)。 解解. .

25、 )2(2)15.0()(* ssKKssKsGK : K : 開環(huán)增益開環(huán)增益K K* *: : 根軌跡增益根軌跡增益*2*2)()()(KssKsRsCs 02)(*2 KsssD*2, 111K 根根 軌軌 跡跡根軌跡根軌跡 系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能 *2, 111K 02)(*2 KsssD1 10 根軌跡方程根軌跡方程（1 1） 根軌跡方程及其含義根軌跡方程及其含義psKsG *)()(1)()(sGsGs 0)(1 sG )12()()(1)(* kpssGpsKsG1)( sG系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為根軌跡方程根軌跡方程（2 2） 一般情況下一般情況下 njjmiinmpsz

26、sKpspspszszsKsHsG11*211*)()()()()()()()( njjmiipzKK11*)()(1)()(sHsGsGs 1)()()()()()(211* nmpspspszszsKsHsG1)()()()(11*211* njjmiinmpszsKpspspszszsKsHsG )12()()()()(11 kpszssHsGnjjmii 模值條件模值條件 相角條件相角條件根軌跡方程根軌跡方程（3 3） 例例 判定判定i i是否為根軌跡上的點(diǎn)。是否為根軌跡上的點(diǎn)。模值條件模值條件解解相角條件相角條件根軌跡方程根軌跡方程（4 4） 對(duì)對(duì)s s平面上任意的點(diǎn)，總存在一個(gè)平面

27、上任意的點(diǎn)，總存在一個(gè) K K* *，使其滿足模值，使其滿足模值 條件，但該點(diǎn)不一定是根軌跡上的點(diǎn)。條件，但該點(diǎn)不一定是根軌跡上的點(diǎn)。 s s平面上滿足相角條件的點(diǎn)（必定滿足幅值條件）平面上滿足相角條件的點(diǎn)（必定滿足幅值條件） 一定在根軌跡上。一定在根軌跡上。 滿足滿足相角條件相角條件是是s s點(diǎn)位于根軌跡上的點(diǎn)位于根軌跡上的充分必要條件充分必要條件。 根軌跡上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 K K* * 值，應(yīng)由模值條件來(lái)確定。值，應(yīng)由模值條件來(lái)確定。繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（1 1）法則法則1 1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)： 根軌跡根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)起始于開環(huán)

28、極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，則有少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，則有 n-m n-m 條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 011111111* szszspspszszspspsKmnmnmn szszspspszszspspsKmnmnmn11111111*ips ni, 2, 1 jzs mj, 2, 1 s以根軌跡方程為基礎(chǔ)建立起來(lái)的畫根軌跡圖的基本法則是繪制以根軌跡方程為基礎(chǔ)建立起來(lái)的畫根軌跡圖的基本法則是繪制根軌跡圖的最主要手段。根軌跡圖的最主要手段。繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（2 2）法則法則2 2 根軌跡的

29、分支數(shù)，對(duì)稱性和連續(xù)性：根軌跡的分支數(shù)，對(duì)稱性和連續(xù)性： 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)= =開環(huán)極點(diǎn)數(shù)；根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。開環(huán)極點(diǎn)數(shù)；根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。 法則法則3 3 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡： 實(shí)軸根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目之實(shí)軸根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目之和必為奇數(shù)。和必為奇數(shù)。 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（4 4）法則法則4 4 根之和：根之和：證明：證明： niiC1 n-m 2時(shí)，閉環(huán)根之和保持一個(gè)常值。時(shí)，閉環(huán)根之和保持一個(gè)常值。)2( mn011011*11*)()()()()()(asasbsbsKpspsz

30、szsKsGHnnnmmmnm 由代數(shù)定理：由代數(shù)定理： niinpa110332211)(asasasassDnnnnnnn Cannii 11 0*33*2*bKsbKsKnnn )()()(0*033*32*211bKasbKasKasasnnnnnnnn 0)()()(21 nssssD n-m 2時(shí)，一部分根左移，另一部分根必右移，且移動(dòng)總量為零。時(shí)，一部分根左移，另一部分根必右移，且移動(dòng)總量為零。繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（5 5）法則法則5 5 漸近線：漸近線：mnzpnimjiia 11 若若n m時(shí)，則有時(shí)，則有n-m條根軌跡分支趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。條根軌跡分支趨于無(wú)

31、窮遠(yuǎn)處。mnka )12(例例1 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2()(* ssKsG ，試?yán)L制根軌跡，試?yán)L制根軌跡 。解解. 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：-2-2，00 漸近線：漸近線：1020211 mnzpnimjiia 90)12(mnka 漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)漸近線與實(shí)軸正方向的夾角漸近線與實(shí)軸正方向的夾角繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（6 6）例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。)4)(1()2()(* ssssKsG解解. (1) 漸近線：漸近線：23132410 a 9013)12( ka 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡

32、：-4,-2, -1,0-4,-2, -1,0 12*vKK（1）繪制當(dāng)）繪制當(dāng)K*= 0時(shí)系統(tǒng)的根軌跡；時(shí)系統(tǒng)的根軌跡；（2）當(dāng)）當(dāng)Re 1 1 = -1 時(shí)，時(shí)， 3 3?用根之和法則分析繪制根軌跡：用根之和法則分析繪制根軌跡：3253 (2) 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（7 7）法則法則6 6 分離點(diǎn)分離點(diǎn) d d： mjjniizdpd1111例例 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2)(1()(* sssKsG解解 漸近線：漸近線：13210 a 180,603)12( ka 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：-,-2, -1,0-,-2, -1,

33、0 12*vKK)2)(1()(* sssKsG，繪制根軌跡。，繪制根軌跡。 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)：021111 ddd整理得：整理得：02632 dd解根：解根： 577. 1423. 021dd 與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：? ?385. 021423. 0* dddddK繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則（8 8）法則法則7 7 與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：解法解法I ：1 1）系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)）系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)2 2）s = j 是根的點(diǎn)是根的點(diǎn)023)2)(1()(*23* KsssKssssD)2)(1()(* sssKsG接上例接上例 Routh ：解法解法II ：023)(*23 Kjjj

34、D 03)(Re*2 KjD 02)(Im3 jD2 6* K22 穩(wěn)定范圍穩(wěn)定范圍 ：0K num=1 1; num=1 1; den=1 5 6 0; den=1 5 6 0; G=tf(num,den); G=tf(num,den); hold on; hold on; rlocus(G) rlocus(G)(1)1( )( )1(2)(3)sG s H sKs ss( )10( )P sKQ s用用MATLABMATLAB繪制根軌跡繪制根軌跡 K,P=rlocfind(G)Select a point in the graphics windowselected_point =-2.2

35、073 + 1.9627iK = 5.3551P = -2.1901 + 1.9605i -2.1901 - 1.9605i -0.6198 Root LocusReal AxisImaginary Axis-3-2.5-2-1.5-1-0.50-8-6-4-202468System: GGain: 42.1Pole: -2.02 + 6.34iDamping: 0.304Overshoot (%): 36.6Frequency (rad/sec): 6.65System: GGain: 13.5Pole: -2.08 + 3.42iDamping: 0.519Overshoot (%): 1

36、4.8Frequency (rad/sec): 4.018.3 頻率分析法頻率分析法o頻率法是經(jīng)典控制理論中一種重要的分析系統(tǒng)品頻率法是經(jīng)典控制理論中一種重要的分析系統(tǒng)品質(zhì)的方法，分析問(wèn)題的依據(jù)是系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)質(zhì)的方法，分析問(wèn)題的依據(jù)是系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型模型頻率特性模型。頻率特性模型。o頻域分析法特點(diǎn)頻域分析法特點(diǎn) 研究穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的幅值和相角隨頻率的變化規(guī)研究穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)的幅值和相角隨頻率的變化規(guī)律律 由開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性及性能由開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性及性能 圖解分析法圖解分析法 有一定的近似性有一定的近似性o系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定

37、義為系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。在這種情況下，系統(tǒng)的輸入信號(hào)是正弦信號(hào)，系統(tǒng)的內(nèi)在這種情況下，系統(tǒng)的輸入信號(hào)是正弦信號(hào)，系統(tǒng)的內(nèi)部信號(hào)以及系統(tǒng)的輸出信號(hào)也都是穩(wěn)態(tài)的正弦信號(hào)，這部信號(hào)以及系統(tǒng)的輸出信號(hào)也都是穩(wěn)態(tài)的正弦信號(hào)，這些信號(hào)的頻率相同，幅值和相角則各不相同。些信號(hào)的頻率相同，幅值和相角則各不相同。o一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設(shè)有一正弦信號(hào)輸入一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設(shè)有一正弦信號(hào)輸入 在穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)的輸出信號(hào)以及系統(tǒng)所有其它點(diǎn)在穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)的輸出信號(hào)以及系統(tǒng)所有其它點(diǎn)的信號(hào)均為正弦信號(hào)，則穩(wěn)態(tài)輸出可寫為的信號(hào)均為正弦信號(hào)，則穩(wěn)態(tài)輸出可寫為( )sinrr tAt( )sin()cc tAt頻

38、率特性的基本概念頻率特性的基本概念 （1 1） o保持輸入信號(hào)振幅保持輸入信號(hào)振幅 不變，逐次改變輸入信號(hào)的不變，逐次改變輸入信號(hào)的頻率頻率 ，則可得到一系列穩(wěn)態(tài)輸出的振幅，則可得到一系列穩(wěn)態(tài)輸出的振幅 及及相位相位 ，把振幅的比值，把振幅的比值M M隨頻率變化的特性稱為隨頻率變化的特性稱為幅幅頻特性，頻特性，把相位差把相位差 隨頻率變化的特性稱為相隨頻率變化的特性稱為相頻特性，二者統(tǒng)稱為頻率特性。頻特性，二者統(tǒng)稱為頻率特性。rAcAcrAMA頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 （2 2） 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 （3 3） 例例 RC 電路如圖所示，電路如圖所示，ur(t)=

39、Asin t, 求求uc(t)=?T1T11T11CR1)()()(CRT ssssUsUsGrc2221022CCT1CT1T1)( ssssAssUc2222T10T1TATAlimC ss221T1TA-C 222T1AC 222222222222T1TT11T1T11T1TA)( sssAssUc sinTcoscosTsinT1T1TA)(22T22 Aetutc T22T1TAte T)arctan-Tsin(T122 A幅頻特性幅頻特性頻率特性頻率特性 G(j ) 的定義的定義22T11)()()( trtcjGs相頻特性相頻特性Tarctan)()()( trtcjGs)( j

40、G定義一：定義一：)( jG定義二：定義二：)( jG定義三：定義三：)()()( jGjGjG jssGjG )()()()()(sRsCsG )()()(sRsGsC sesRsGjtcjjstd)()(21)( )()()(21 jdejRjGjjjtjjs d)()(21 tjejRjG)()()( jRjGjC )()()( jRjCjG T)arctan-Tsin(T1)(22 Atcs頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 （4 4） 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 （5 5） 頻率特性頻率特性 G(j ) 的表示方法的表示方法 jssjG 1T1)(以以為例。為例。幅頻幅頻

41、相頻相頻)( jG. 頻率特性頻率特性. 幅相幅相特性特性( (Nyquist) ). 對(duì)數(shù)頻率對(duì)數(shù)頻率特性特性( (Bode) ). 對(duì)數(shù)幅相對(duì)數(shù)幅相特性特性( (Nichols) )對(duì)數(shù)幅頻對(duì)數(shù)幅頻對(duì)數(shù)相頻對(duì)數(shù)相頻)( jG )(lg20)( jGL )()( jG 對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性 ( Bode )（1)Bode圖介紹圖介紹對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性 ( Bode)（2）Bode圖介紹圖介紹 幅值相乘幅值相乘 = = 對(duì)數(shù)相加，便于疊加作圖；對(duì)數(shù)相加，便于疊加作圖；縱軸縱軸橫軸橫軸坐標(biāo)特點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)特點(diǎn)特點(diǎn)按按 lg 刻度，刻度，dec “十倍頻程十倍頻程”按按 標(biāo)定，等距等比標(biāo)定，

42、等距等比“分貝分貝”dB)(lg20)( jGL 可在大范圍內(nèi)表示頻率特性；可在大范圍內(nèi)表示頻率特性； 利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)容易確定利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)容易確定 L( ), ,進(jìn)而確定進(jìn)而確定G(s)。對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性 ( Bode) （3 3） KjG )( 典型環(huán)節(jié)的典型環(huán)節(jié)的BodeBode圖圖 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)KLlg20)( 0)( jjG )( lg20)( L 90)( jjG1)( lg20)( L 90)( T11)( jjG 22T1lg20)( L )( Tarctan Tarctan180 對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性 ( Bode) （4 4） 一階復(fù)合微分一階復(fù)合微分1T)( ssGT1)( jjG 22T1lg20)( LTarctan180 Tarctan )( 對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)頻率特性 ( Bode) （5 5） 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)222221lg20)(nnL )( 2222)(nnnsssG nnjjG 211)(22 22-12arctan360nn 22-12arctannn 1 n 0)( L 0)( 360