第二節(jié)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

1、 第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù) §2.1函數(shù)及其表示 1函數(shù)與映射函 數(shù)映 射兩集合A、B設(shè)A，B是兩個(gè)非空 設(shè)A，B是兩個(gè)非空 對(duì)應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的 一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的 一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名 稱稱 為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射記 法yf(x)(xA)對(duì)應(yīng)f：AB是一個(gè)映射2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，其中所有x組成的集合A稱為函數(shù)yf(x)的 ；將所有

2、y組成的集合叫做函數(shù)yf(x)的 (2)函數(shù)的三要素： 、 和 (3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有 、 和 3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因 不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的 ，其值域等于各段函數(shù)的值域的 ，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)4常見(jiàn)函數(shù)定義域的求法類 型x滿足的條件，nN*f(x)0與f(x)0logaf(x)(a0，a1)logf(x)g(x)tanf(x)1(2016·宜昌一模)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Af(x)()2，g(x)Bf(x)lgx2，g(x)2lgxC

3、f(x)·，g(x)Df(x)x，g(x)解析：A、B、C中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示的不是同一函數(shù)；D中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，表示的是同一函數(shù)，故選D.答案：D2已知函數(shù)f(x)滿足f(2x)2f(x)，且當(dāng)1x<2時(shí)，f(x)x2，則f(3)()A. B. C. D9解析：f(2x)2f(x)，且當(dāng)1x<2時(shí)，f(x)x2，f(3)2f()2×()2.答案：C3若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镸x|2x2，值域?yàn)镹y|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()答案：B4(2016·福建上杭一中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)函數(shù)y的定義域是()A1,2 B1,2) C(

4、，1 D，1解析：由解得<x1. 故選C.5(2016·黑龍江哈爾濱師大附中等校一模)若函數(shù)f(x)則f(f(1)的值為()A10 B10 C2 D2解析： f (1)2142， f(f(1)f(2)2.答案：C練思維無(wú)所不通題型一函數(shù)的概念例1：有以下判斷：f(x)與g(x)表示同一函數(shù)；函數(shù)yf(x)的圖象與直線x1的交點(diǎn)最多有1個(gè)；f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；若f(x)|x1|x|，則f(f()0.其中正確判斷的序號(hào)是_解析對(duì)于，由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xR且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于，若x1不是yf(x)定義

5、域內(nèi)的值，則直線x1與yf(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，如果x1是yf(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x1與yf(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即yf(x)的圖象與直線x1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于，由于f()|1|0，所以f(f()f(0)1.綜上可知，正確的判斷是.答案【變式訓(xùn)練1】(1)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ayx1與y By與yCy4lgx與y2lgx2 Dylgx2與ylg(2)下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4解析(1)A中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；B、C中的函數(shù)定義域不同，答案

6、選D.(2)中當(dāng)x0時(shí)，每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值，因此不是函數(shù)圖象，中當(dāng)xx0時(shí)，y的值有兩個(gè)，因此不是函數(shù)圖象，中每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象，故選B.答案(1)D (2)B題型二函數(shù)的定義域命題點(diǎn)1求給定函數(shù)解析式的定義域例2：(1)(2015·杭州模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(3,0 B(3,0)C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)函數(shù)f(x)的定義域是()A(1，) B1，)C(1,1)(1，) D1,1)(1，)解析(1)由題意知解得3x0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?3,0，故選A.(2)要使函數(shù)f(x)有意義，需滿足x10且x10，得x

7、1，且x1，故選C.答案(1)A (2)C命題點(diǎn)2求抽象函數(shù)的定義域例3：(1)若函數(shù)yf(x)的定義域是1,2016，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0,2015 B0,1)(1,2015C(1,2016 D1,1)(1,2015(2)若函數(shù)f(x21)的定義域?yàn)?,1，則f(lgx)的定義域?yàn)?)A1,1 B1,2)C10,100 D0，lg2解析(1)令tx1，則由已知函數(shù)的定義域?yàn)?,2016，可知1t2016.要使函數(shù)f(x1)有意義，則有1x12016，解得0x2015，故函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)?,2015所以使函數(shù)g(x)有意義的條件是解得，0x1或1x2015.故函數(shù)g(x)的

8、定義域?yàn)?,1)(1,2015故選B.(2)因?yàn)閒(x21)的定義域?yàn)?,1，則1x1，故0x21，所以1x212.因?yàn)閒(x21)與f(lgx)是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以1lgx2，即10x100，所以函數(shù)f(lgx)的定義域?yàn)?0,100故選C.答案(1)B(2)C命題點(diǎn)3已知定義域求參數(shù)范圍例4：(2015·合肥模擬)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x2axa10對(duì)xR恒成立，即2x2axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案1,0【變式訓(xùn)練2】(1)已知函數(shù)f(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x

9、)f(x)f(x)的定義域是_(2)函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是0,2，所以函數(shù)g(x)f(x)f(x)中的自變量x需要滿足解得：x，所以函數(shù)g(x)的定義域是，(2)由得1x1.答案：(1)， (2)(1,1)題型三:求函數(shù)解析式例5：(1)已知f(1)lgx，則f(x)_.(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x1)2f(x1)2x17，則f(x)_.(3)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)2f()·1，則f(x)_.解析(1)(換元法)令t1(t1)，則x， f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)axb(a

10、0)，則3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不論x為何值都成立，解得 f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，將f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).答案(1)lg(x1)(2)2x7(3)【變式訓(xùn)練3】(1)已知f(1)x2，則f(x)_.(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)2f(x)若當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x(1x)，則當(dāng)1x0時(shí)，f(x)_.(3)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，則f(x)_.解析：(1)設(shè)1t(t1)，則t1.代入f(1)

11、x2，得f(t)t21(t1)， f(x)x21(x1)(2)當(dāng)1x0時(shí)，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1)(3)當(dāng)x(1,1)時(shí)，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)答案：(1)x21(x1) (2)x(x1) (3)lg(x1)lg(1x)(1x1)練方法無(wú)所不曉分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用例1(2015·山東)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是()A，1B0,1C，) D1，)解析由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.當(dāng)a1時(shí)，有3a11，

12、a，a1.當(dāng)a1時(shí)，有2a1， a0， a1.綜上，a，故選C.例2(2016·江西南昌二中第三次考試)已知函數(shù)f(x)(2xa1)ln (xa1)的定義域?yàn)?a1，)，若f(x)0恒成立，則a的值是_解析當(dāng)0<xa11，即a1<xa時(shí)，有l(wèi)n (xa1)0.f(x)0， 2xa10，x，欲使x，f(x)0恒成立，則a，a.當(dāng)xa1>1，即x>a時(shí)，有l(wèi)n (xa1)>0，f(x)0，2xa1>0，x>，欲使x，f(x)0恒成立，則a， a. 故a.答案易錯(cuò)題萬(wàn)無(wú)一失典例已知2x2y26x，則x2y2的取值范圍是()A(，9B9，)C0,9

13、D(0,9解析因?yàn)?x2y26x，所以y26x2x20,0x3. 所以x2y2x26x(x3)29. 所以當(dāng)x3時(shí)，x2y2取最大值9.當(dāng)x0時(shí)，x2y2取最小值0. 所以x2y2的取值范圍是0,9， 故選C. 練小題無(wú)所不會(huì) 練大題無(wú)所不能一、選擇題(每小題5分，共60分)1(2016·惠州一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2，則g(x)的定義域?yàn)?)A0,1)(1,2 B0,1)(1,4C0,1) D(1,4解析：由題意可知，解得0x<1，故g(x)的定義域?yàn)?,1)，選C.答案：C2(2016·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(2)()A B.C D.

14、解析：f(2)4，f(f(2)f(4)cos.故選C.答案：C3(2016·四川成都診斷)已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為()A2 B2C2或2 D.解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x2，f(x0)4，即x4，無(wú)解所以x02.答案：B4(2016·貴州遵義航天高中七模)設(shè)函數(shù)f(x)若f(t)4，則t的值為()A10 B6或10C6 D不存在解析：當(dāng)t<9時(shí)，f(t)2t2t842t2t40，無(wú)解；當(dāng)t9時(shí)，f(t)4log2(t8)2log2(t8)2(t8)24，解得t6(舍去)或t1

15、0.故選A.答案：A5(2016·河北武邑中學(xué)月考)已知函數(shù)yf(x1)的定義域是2,3，則yf(2x1)的定義域?yàn)?)A3,7 B1,4C5,5 D0，解析：由x2,3得x11,4，由2x11,4，解得x0，故選D.答案：D6(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)則f(2)f(log212)()A3 B6 C9 D12解析：2<1，f(2)1log2(22)1log24123. log212>1， f(log212)2log21216. f(2)f(log212)369. 故選C.答案：C7(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則

16、f(6a)()A B C D解析：由于f(a)3，若a1，則2a123，整理得2a11. 由于2x>0，所以2a11無(wú)解；若a>1，則log2(a1)3，解得a18，a7，所以f(6a)f(1)222.綜上所述，f(6a).故選A.答案：A8(2016·吉安聯(lián)考)已知符號(hào)函數(shù)sgn xf(x)是R上的增函數(shù)，g(x)f(x)f(ax)(a>1)，則()Asgng(x)sgn x Bsgng(x)sgn xCsgng(x)sgnf(x) Dsgng(x)sgnf(x)解析：因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以令f(x)x，則g(x)(1a)x，因?yàn)閍>1，所以g(x

17、)是R上的減函數(shù)，由符號(hào)函數(shù)sgn x知sgng(x)sgn x，排除A.令f(x)x1，則g(x)(1a)x.因?yàn)閟gn f(x)sgn(x1)sgng(x)所以sgng(x)sgnf(x)，sgng(x)sgnf(x)，排除C，D，選B.答案：B9(2015·武漢調(diào)研)若函數(shù)f(x)在2，)上有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()Aa1 Ba>1Ca1 Da0解析：函數(shù)f(x)在2，)上有意義，ax20在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立0<1，a1.答案：C10(改編題)已知f(x)為二次函數(shù)，不等式f(x)2<0的解集為(1，)，且對(duì)任意，R恒有f(sin)0，

18、f(2cos)0.則函數(shù)f(x)的解析式為()Af(x)x2x Bf(x)x2xCf(x)x2x Df(x)x2x解析：依題意，設(shè)f(x)2a(x1)·(x)(a>0)，即f(x)ax2x2.令，則sin1，cos1，則f(1)0，f(21)0，因此f(1)0，即a20，得a，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x2x.答案：A11已知f(x)則f()f()的值等于()A1 B2C3 D2解析：f()coscos；f()f()1f()2cos22.故f()f()3.答案：C12定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x2)2f(x)2，當(dāng)x(0,2時(shí)，f(x)若x(0,4時(shí)，t2f(x)

19、恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A1,2 B2，C1， D2，)解析：當(dāng)x(2,3)時(shí)，x2(0,1)，則f(x)2f(x2)22(x2)22(x2)2，即為f(x)2x210x10，當(dāng)x3,4時(shí)，x21,2，則f(x)2f(x2)22.當(dāng)x(0,1)時(shí)，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值，且為；當(dāng)x1,2時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，且為；當(dāng)x(2,3)時(shí)，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值，且為；當(dāng)x3,4時(shí)，當(dāng)x4時(shí)，f(x)取得最小值，且為1.綜上可得，f(x)在(0,4的最小值為.若x(0,4時(shí)，t2f(x)恒成立， 則有t2，解得1t.答案：C二、填空題(每小題5分，共20分)13(2016&

20、#183;合肥模擬)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x22axa10對(duì)xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：1,0)14已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的xR都有f(x)f(x)2成立，則f()f()f()_.解析：由f(x)f(x)2，得f()f()2， f()f()2，f(f()2，又f()f()f()×21， f(f()f()2×317.答案：715(2016·北京二模)已知f是有序數(shù)對(duì)集合M(x，y)|xN*，yN*上的一個(gè)映射，正整數(shù)數(shù)對(duì)(x，y

21、)在映射f下的象為實(shí)數(shù)z，記作f(x，y)z.對(duì)于任意的正整數(shù)m，n(mn)，映射f由下表給出：(x，y)(n，n)(m，n)(n，m)f(x，y)nmnmn則f(3,5)_，使不等式f(2x，x)4成立的x的集合是_解析：由表可知f(3,5)538.xN*，都有2xx，f(2x，x)2xx，則f(2x，x)42xx4(xN*)2xx4(xN*)，當(dāng)x1時(shí)，2x2，x45,2xx4成立；當(dāng)x2時(shí)，2x4，x46,2xx4成立；當(dāng)x3(xN*)時(shí)，2xx4.故滿足條件的x的集合是1,2答案：81,216(2016·江西南昌二中第三次考試)已知函數(shù)f(x)(2xa1)ln(xa1)的定義

22、域?yàn)?a1，)，若f(x)0恒成立，則a的值是_解析：當(dāng)0<xa11，即a1<xa時(shí)，有l(wèi)n(xa1)0.f(x)0，2xa10，x，欲使x，f(x)0恒成立，則a，a.當(dāng)xa11，即x>a時(shí)，有l(wèi)n(xa1)>0，f(x)0，2xa1>0，x>，欲使x，f(x)0恒成立，則a，a.故a.答案：易錯(cuò)警示：本題易忽略對(duì)對(duì)函數(shù)分類討論：當(dāng)0<xa11時(shí)，有l(wèi)n(xa1)0，欲使(x)，f(x)0恒成立，則a；當(dāng)xa1>1，即x>a時(shí)，欲使x，f(x)0恒成立，則a，a，得a.三、解答題(每小題10分，共20分)17甲同學(xué)到乙同學(xué)家的途中有一公園

23、，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2 km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，試寫(xiě)出yf(x)的函數(shù)解析式解：當(dāng)x0,30時(shí)，設(shè)yk1xb1，由已知得解得即yx.當(dāng)x(30,40)時(shí)，y2；當(dāng)x40,60時(shí)，設(shè)yk2xb2，由已知得解得即yx2.綜上，f(x)18行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停上，這段距離叫做剎車距離在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米/時(shí))滿足下列關(guān)系：ymxn(m，n是常數(shù))如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米

24、/時(shí))的關(guān)系圖(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果要求剎車距離不超過(guò)25.2米，求行駛的最大速度解：(1)由題意及函數(shù)圖象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行駛的最大速度是70千米/時(shí) §2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值 1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義 (2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是 或 ，那么就說(shuō)函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性， 叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前 提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條 件(1)對(duì)于任意的xI，都有 ；(2)存在x0I，使得(3)對(duì)于任意的xI，都

25、有 ；(4)存在x0I，使得 .結(jié) 論M為最大值M為最小值1(2016·珠海摸底)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()AyexByx3Cyln x Dy|x|答案：B2函數(shù)y(2k1)xb在(，)上是減函數(shù)，則()Ak> Bk<Ck> Dk<答案：D3函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2答案：A4(2016·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)|xa|在(，1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是()A(，1 B(，1C1， D1，)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x

26、)在(，a)上是單調(diào)函數(shù)，所以a1，解得a1.答案：A5函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值是1，最小值是，則ab_.解析：易知f(x)在a，b上為減函數(shù)，即， ab6.答案：6練思維無(wú)所不通題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點(diǎn)1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性例1：(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()Ayln(x2)ByCy()x Dyx(2)函數(shù)f(x)log(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)(3)yx22|x|3的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)解析(1)yln(x2)的增區(qū)間為(2，)，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)(2)因?yàn)閥logt在定義域上是減函數(shù)，所以求

27、原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2)(3)由題意知，當(dāng)x0時(shí)，yx22x3(x1)24；當(dāng)x0時(shí)，yx22x3(x1)24，二次函數(shù)的圖象如圖由圖象可知，函數(shù)yx22|x|3在(，1，0,1上是增函數(shù)答案(1)A(2)D(3)(，1，0,1命題點(diǎn)2解析式含參函數(shù)的單調(diào)性例2：試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性解設(shè)1x1x21，f(x)a()a(1)，f(x1)f(x2)a(1)a(1)，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)

28、上遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 函數(shù)f(x)在(1,1)上遞增綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增【變式訓(xùn)練1】已知a0，函數(shù)f(x)x(x0)，證明：函數(shù)f(x)在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù)證明方法一：任意取x1x20，則f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(x1x2)(1)當(dāng)x1x20時(shí)，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此時(shí)，函數(shù)f(x)x(a0)在(0，上為減函數(shù)；當(dāng)x1x2時(shí)，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x

29、1)f(x2)，此時(shí)，函數(shù)f(x)x(a0)在，)上為增函數(shù)；綜上可知，函數(shù)f(x)x(a0)在(0，上為減函數(shù)，在，)上為增函數(shù)方法二：f(x)1，令f(x)0，則10，解得x或x(舍)令f(x)0，則10，解得x.x0，0x.故f(x)在(0，上為減函數(shù)，在，)上為增函數(shù)題型二函數(shù)的最值例3：已知函數(shù)f(x)，x1，)，a(，1(1)當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意x1，)，f(x)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)x2在1，)上為增函數(shù)，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，)當(dāng)a0時(shí)，f(x)在1，)內(nèi)為增函數(shù)最小值為f(1)a3.要使f(

30、x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在1，)上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a3.所以a30，a3，所以0a1.綜上所述，f(x)在1，)上恒大于零時(shí)，a的取值范圍是(3,1【變式訓(xùn)練2】(1)函數(shù)f(x)的最大值為_(kāi)(2)已知函數(shù)f(x)(a0，x0)，若f(x)在，2上的值域?yàn)椋?，則a_.解析：(1)當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x1時(shí)，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.(2)由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)(a0，x0)在，2上單調(diào)遞增，所以即

31、 解得a.答案：(1)2 (2)題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較大小例4：已知函數(shù)f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，則()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0Df(x1)0，f(x2)0解析函數(shù)f(x)log2x在(1，)上為增函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x1(1,2)時(shí)，f(x1)f(2)0，當(dāng)x2(2，)時(shí)，f(x2)f(2)0，即f(x1)0，f(x2)0.答案B例5：已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f(|)f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1)D(，1)(1，)解析由f(x)為R

32、上的減函數(shù)且f(|)f(1)，得，即1x0或0x1.答案C命題點(diǎn)3求參數(shù)范圍例6：(1)如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa BaCa0 Da0(2)已知f(x)滿足對(duì)任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范圍是_解析(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x，因?yàn)閒(x)在(，4)上單調(diào)遞增， 所以a0，且4，解得a0.綜合上述得a0.(2)由已知條件得f(x)為增函數(shù)， 解得a2，a的取值范圍是，2)答案(1)D(2)，2)【變式訓(xùn)練3】若f(x)x22ax與g(

33、x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1解析：由f(x)x22ax在1,2上是減函數(shù)可得1,2a，)， a1. y在(1，)上為減函數(shù)， 由g(x)在1,2上是減函數(shù)可得a0，故0a1.答案：D練方法無(wú)所不曉確定抽象函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式例(12分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0時(shí)，恒有f(x)1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.規(guī)范解答(1)證明：設(shè)x1，x2R，且x1x2，x2x10，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，f(x2x1)1

34、.(2分) f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，(4分)f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，(6分)f(x)在R上為增函數(shù)(2)解：m，nR，不妨設(shè)mn1，(8分) f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，(10分)f(x)在R上為增函數(shù)，a2a513a2，即a(3,2)(12分)易錯(cuò)題萬(wàn)無(wú)一失典例已知f(x)是(，)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()A(0,1)B(0，)C，) D，1)解析當(dāng)x1時(shí)，loga10，若f(x)為R上的減函數(shù)，則(

35、3a1)x4a>0在x<1時(shí)恒成立，令g(x)(3a1)x4a，則必有即a<.此時(shí)，logax是減函數(shù)，符合題意答案C 練小題無(wú)所不會(huì) 練大題無(wú)所不能一、選擇題(每小題5分，共60分)1(2016·安徽師大附中模擬)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)內(nèi)為增函數(shù)的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)解析：對(duì)于A，函數(shù)y在1，)上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，y(x1)2在(0,1)上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，y2x為(，)上的減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，ylog0.5(x1)在(1，)上為減函數(shù)，不符合題意答案：A2(2017·江山實(shí)驗(yàn)中學(xué)

36、月考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤R|x1，對(duì)定義域中任意的x，都有f(2x)f(x)，且當(dāng)x<1時(shí)，f(x)2x2x，那么當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是()A，) B(1，C，) D(1，)解析：對(duì)定義域中任意的x，都有f(2x)f(x)，f(x)關(guān)于x1對(duì)稱，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間為(，)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為區(qū)間(，關(guān)于x1的對(duì)稱區(qū)間，即，)答案：C3(2017·蚌埠市模擬)若函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A1，) B1，)C1,2) D，2)解析：函數(shù)f(x)2x

37、2ln x的定義域?yàn)?0，)，則f(x)4x，由x>0，解不等式f(x)>0，得x>；解不等式f(x)<0，得0<x<，因此x是函數(shù)f(x)2x2ln x的極小值點(diǎn)由于函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域的一個(gè)子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，因此解得1k<.答案：B4(2017·河南聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(1x)且在1，)上是增函數(shù)，不等式f(ax2)f(x1)對(duì)任意x，1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1 B2,0C5，1 D2,1解析：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(1x)且在1，)上是

38、增函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于x1對(duì)稱，且函數(shù)f(x)在(，1)上遞減，由此得出自變量離1越近，函數(shù)值越小綜合考慮四個(gè)選項(xiàng)，四個(gè)選項(xiàng)中的集合中，0,1不存在于A，C兩個(gè)選項(xiàng)的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通過(guò)驗(yàn)證a的值(取0與1兩種情況)得出正確選項(xiàng)當(dāng)a0時(shí)，不等式f(ax2)f(x1)變?yōu)閒(2)f(x1)，由函數(shù)f(x)的圖象特征可得出|21|x11|，解得x3或x1，滿足不等式f(ax2)f(x1)對(duì)任意x，1恒成立，由此排除A，C兩個(gè)選項(xiàng)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(ax2)f(x1)變?yōu)閒(x2)f(x1)，由函數(shù)f(x)的圖象特征可得出|x21|x11|，解得x，不滿足不等式f(ax2)f

39、(x1)對(duì)任意x，1恒成立，由此排除D選項(xiàng)答案：B5(2016·德州市模擬)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)0，則不等式>0的解集為()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，)上是增函數(shù)，f(1)0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上是減函數(shù)，且f(1)0.由>0，可得>0，即>0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，即f(x)<f(1)，解得1<x<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1.答

40、案：A6函數(shù)y()2x23x1的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(1，) B(，C(，) D，)解析：令u2x23x12(x)2.因?yàn)閡2(x)2在(，上單調(diào)遞減，函數(shù)y()u在R上單調(diào)遞減所以y()2x23x1在(，)上單調(diào)遞增答案：B7(2016·哈爾濱聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)<0恒成立，設(shè)af()，bf(2)，cf(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ac>a>b Bc>b>aCa>c>b Db>a>c解析：因f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱由此可得f()

41、f()由x2>x1>1時(shí)，f(x2)f(x1)(x2x1)<0恒成立，知f(x)在(1，)上單調(diào)遞減1<2<<e，f(2)>f()>f(e)，b>a>c.答案：D8f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，當(dāng)f(x)f(x8)2時(shí)，x的取值范圍是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得8<x9.答案：B9如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4

42、)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，) B，)C，0) D，0解析：當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x，因?yàn)閒(x)在(，4)上單調(diào)遞增，所以a<0，且4，解得a<0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，0答案：D10定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)ab時(shí)，abb2.則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：由已知得，當(dāng)2x1時(shí)，f(x)x2；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，f(x)的最大值為f(2)2326.答案：C11(2016·河北衡水中學(xué)一調(diào))設(shè)f(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，則f(x)在區(qū)間a，b上()A有最小值f(a) B有最大值f(a)C有最大值f() D有最小值f()解析：f(x)是