理論力學(xué)-動(dòng)量定理

1、動(dòng)量定理3-1 動(dòng)量與沖量動(dòng)量與沖量3-2 動(dòng)量定理和沖量定理動(dòng)量定理和沖量定理3-3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理第第三三章章 動(dòng)動(dòng)量量定定理理目錄幾個(gè)實(shí)際問題 宇航員在太空拔河，開始靜止。若宇航員在太空拔河，開始靜止。若A的力氣大于的力氣大于B的力氣，誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)的力氣，誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)幾個(gè)實(shí)際問題幾個(gè)實(shí)際問題 蹲在磅秤上的人站起來時(shí)磅秤指蹲在磅秤上的人站起來時(shí)磅秤指示數(shù)會(huì)不會(huì)發(fā)生的變化示數(shù)會(huì)不會(huì)發(fā)生的變化幾個(gè)實(shí)際問題幾個(gè)實(shí)際問題偏心轉(zhuǎn)子電動(dòng)機(jī)工偏心轉(zhuǎn)子電動(dòng)機(jī)工作時(shí)為什么會(huì)左右作時(shí)為什么會(huì)左右運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)； 這種運(yùn)動(dòng)有什么規(guī)這種運(yùn)動(dòng)有什么規(guī)律；律；會(huì)不會(huì)上下跳動(dòng)；會(huì)不會(huì)上下跳動(dòng)；利弊得失。利弊得失。幾個(gè)實(shí)際

2、問題幾個(gè)實(shí)際問題3-1 動(dòng)量與沖量3-1 動(dòng)量與沖量動(dòng) 量沖 量 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 m 與速度與速度 v 的乘積的乘積 mv 稱為該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。稱為該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。 p= mivipx = mivix ， py = miviy ， pz = miviz 以以 px，py 和和 pz 分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定直角坐標(biāo)軸分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定直角坐標(biāo)軸 x，y 和和 z 上的投影。則有上的投影。則有1. 動(dòng)量的定義動(dòng)量的定義（1） 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量主矢動(dòng)量主矢，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量點(diǎn)系的動(dòng)

3、量。并用。并用 p 表示，即有表示，即有（2） 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量（3） 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的投影式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的投影式一、動(dòng)一、動(dòng) 量量質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 C 的矢徑表達(dá)式可寫為的矢徑表達(dá)式可寫為miri = m rC 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的質(zhì)心一般也是運(yùn)動(dòng)的，將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的質(zhì)心一般也是運(yùn)動(dòng)的，將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，即得即得p = mivi= mvC2. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的簡(jiǎn)捷求法質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的簡(jiǎn)捷求法px = mivix = mvCx py = miviy = mvCypz = miviz =mvCz投影到各坐標(biāo)軸上有投影到各坐標(biāo)軸上有可見可見，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量,等于質(zhì)

4、點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。 例題例題 3-1 畫橢圓的機(jī)構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄畫橢圓的機(jī)構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄 OA ，規(guī)尺，規(guī)尺 BD 以及以及滑塊滑塊B 和和 D 組成組成( 圖圖 a)，曲柄與規(guī)尺的中點(diǎn)，曲柄與規(guī)尺的中點(diǎn) A 鉸接。已知規(guī)尺鉸接。已知規(guī)尺長(zhǎng)長(zhǎng)2l ，質(zhì)量是，質(zhì)量是 2m1 ；兩滑塊的質(zhì)量都是；兩滑塊的質(zhì)量都是 m2 ；曲柄長(zhǎng)；曲柄長(zhǎng) l ，質(zhì)量，質(zhì)量是是 m1 ，并以角速度，并以角速度繞定軸繞定軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)。試求當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)。試求當(dāng)曲柄 OA 與水平成與水平成角角時(shí)整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。時(shí)整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。xyOADB(a)例題 3-1 整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄OA、規(guī)尺、

5、規(guī)尺BD、滑塊滑塊B 和和D的動(dòng)量的矢量和，即的動(dòng)量的矢量和，即解法一解法一: :p = pOA + pBD + pB + pDyBvDvAvBvEE系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸 x，y 上的投影分別為：上的投影分別為：DAExvmvmvmp211sin)2(sin已知：已知： 曲柄曲柄OA長(zhǎng)長(zhǎng) l ，質(zhì)量是，質(zhì)量是 m1，并以角速度，并以角速度繞定軸繞定軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。 規(guī)尺規(guī)尺BD長(zhǎng)長(zhǎng)2l ，質(zhì)量是，質(zhì)量是 2m1 ，兩滑塊的質(zhì)量都是，兩滑塊的質(zhì)量都是 m2 。sin2sin)2(sin2211lmlmlmCsin)225(21lmm系統(tǒng)的動(dòng)量在系統(tǒng)的動(dòng)量在 y 軸上的投影為：

6、軸上的投影為：BAEyvmvmvmp211cos)2(coscos2cos)2(cos2211lmlmlmcos)225(21lmm 所以，系統(tǒng)的動(dòng)量大小為所以，系統(tǒng)的動(dòng)量大小為22yxppp方向余弦為為方向余弦為為 ),cos( , ),cos(ppyppxyxppxyBvDvAvBvEEClmm)45(2121解法二解法二: 整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄OA、規(guī)尺、規(guī)尺BD、滑塊滑塊B 和和D的動(dòng)量的矢量和，即的動(dòng)量的矢量和，即p = pOA + pBD + pB + pD其中曲柄其中曲柄OA的動(dòng)量的動(dòng)量pOA=m1vE ,大小是大小是pOA = m1vE = m1l/2其

7、方向與其方向與vE一致，即垂直于一致，即垂直于OA并順著并順著的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)向向(圖圖 b)xyOADBvDvAvBvEExyOADB(b)pBD+pB+pDpOA 因?yàn)橐?guī)尺和兩個(gè)滑塊的公共質(zhì)心在因?yàn)橐?guī)尺和兩個(gè)滑塊的公共質(zhì)心在點(diǎn)點(diǎn) A，它們的動(dòng)量表示成，它們的動(dòng)量表示成p= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA由于動(dòng)量由于動(dòng)量 KOA 的方向也是與的方向也是與 vA 的方向的方向一致，所以整個(gè)橢圓機(jī)構(gòu)的動(dòng)量方向一致，所以整個(gè)橢圓機(jī)構(gòu)的動(dòng)量方向與與 vA 相同，而大小等于相同，而大小等于lmmlmmlmpppOA)45(21)(22121211xyOADBvDvAvBvEExyOA

8、DB(b)pBD+pB+pDpOAE 常常力與作用時(shí)間力與作用時(shí)間t 的乘積的乘積 Ft 稱為稱為常常力的力的沖量沖量。并用并用 I 表示，即有表示，即有I = Ft1. 常力的沖量常力的沖量2. 變力的沖量變力的沖量沖量是矢量，方向與力相同。沖量是矢量，方向與力相同。 若若力力F F是變力，可將力的作用時(shí)間是變力，可將力的作用時(shí)間t 分成無(wú)數(shù)分成無(wú)數(shù)的微小時(shí)間段的微小時(shí)間段d dt ，在，在每個(gè)每個(gè)d dt內(nèi)，力內(nèi)，力F可視為不變。可視為不變。元沖量元沖量力力F在微小時(shí)間段在微小時(shí)間段d dt 內(nèi)的內(nèi)的沖量稱為沖量稱為力力 F 的的元沖量元沖量。變力變力F 在在t時(shí)間間隔內(nèi)的沖量為：時(shí)間間隔

9、內(nèi)的沖量為：tt0dFI二、沖二、沖 量量上式為一矢量積分，具體計(jì)算時(shí)，可投影于固定坐標(biāo)系上上式為一矢量積分，具體計(jì)算時(shí)，可投影于固定坐標(biāo)系上所以，變力所以，變力F F 的沖量又可表示為：的沖量又可表示為：2. 變力的沖量變力的沖量tt0dFI d , d , d000tzztyytxxtFItFItFIkjiIzyxIII3-2 動(dòng)量定理和沖量定理動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理沖量定理因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為tmtiid)(dddvp一、動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理p = mivi , 對(duì)該式兩端求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，有對(duì)該式兩端求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，有iiimFa分析右端，把作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分析右

10、端，把作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力F 分為內(nèi)力分為內(nèi)力F（ i ) 和外力和外力F( e )，則得則得(e)(i)iiiFFF因?yàn)閮?nèi)力之和因?yàn)閮?nèi)力之和0(i)iF則有則有一、動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理)e(dditFp即，即，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于它上所有外力的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式。常稱為常稱為動(dòng)量定理。在具體計(jì)算時(shí)，往往寫成投影形式，即在具體計(jì)算時(shí)，往往寫成投影形式，即,dd)e(ixxFtp)e(ddiyyFtp)e(ddizzFtp即即，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在固定軸上的投影對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一軸上的投影的代數(shù)和。設(shè)在設(shè)在 t1 到到 t2 過程中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

11、由過程中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量由p1 變?yōu)樽優(yōu)?p2 ，則對(duì)上式積分，可得，則對(duì)上式積分，可得二、沖量定理二、沖量定理二、沖量定理 可見可見，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在一段時(shí)間內(nèi)的變化量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一段時(shí)間內(nèi)的沖量的矢量和。這就是。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式，也稱為也稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。一、動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理)e(dditFp即，即，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量在某固定軸上投影的變化量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔內(nèi)的沖量在同一軸上的投影的代數(shù)和。具體計(jì)算時(shí)，將上式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上具體計(jì)算時(shí)，將上式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上izttizzziyttiyyyixttixxxItFppItFppI

12、tFpp212121ddd)e(12)e(12)e(1221d)e(12ttiitIFpp二、沖量定理二、沖量定理,dd)(exxFtp,dd)(eyyFtp)(ddezzFtp1. 如果在上式中如果在上式中Fi（e) 0，則有，則有p = p0 = 常矢量常矢量其中：其中： p0 為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量 。有結(jié)論有結(jié)論在運(yùn)動(dòng)過程中,如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系的這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定理。三、動(dòng)量守恒定理三、動(dòng)量守恒定理2. 如果在上式中如果在上式中F ix（e) 0，則有，則有p x = p0 x = 常常 量量其中

13、：其中： p0 x 為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時(shí)的動(dòng)量 在在x軸上的投影。軸上的投影。有結(jié)論有結(jié)論在運(yùn)動(dòng)過程中,如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某一軸上的投影的代數(shù)和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該軸上的投影保持不變。二、動(dòng)量守恒定理二、動(dòng)量守恒定理一、動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理)e(dditFp,dd)e(ixxFtp,dd)e(iyyFtp)e(ddizzFtp 實(shí)例分析：實(shí)例分析： 內(nèi)力不改變整個(gè)內(nèi)力不改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)量可能會(huì)改變。量可能會(huì)改變。實(shí)例分析：實(shí)例分析： 內(nèi)力不改變整個(gè)內(nèi)力不改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但

14、是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)量可能會(huì)改變。量可能會(huì)改變。實(shí)例分析：實(shí)例分析： 內(nèi)力不改變整個(gè)內(nèi)力不改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動(dòng)量可能會(huì)改變。量可能會(huì)改變。實(shí)例分析：實(shí)例分析： 實(shí)例分析：實(shí)例分析：例題例題 3-2 火炮（包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是火炮（包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是 m1，炮彈的質(zhì)量是，炮彈的質(zhì)量是 m2，炮彈相對(duì)炮車的發(fā)射速度是炮彈相對(duì)炮車的發(fā)射速度是 vr，炮筒對(duì)水平面的仰角是，炮筒對(duì)水平面的仰角是 （圖（圖a）。設(shè)火）。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車

15、相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。的發(fā)射速度。(a)ABFAFBm1gm2guxyvr例題 3-2 取火炮和炮彈（包括炸藥）這個(gè)系取火炮和炮彈（包括炸藥）這個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象。統(tǒng)作為研究對(duì)象。解: 設(shè)火炮的反座速度是設(shè)火炮的反座速度是 u，炮彈的發(fā)，炮彈的發(fā)射速度是射速度是 v，對(duì)水平面的仰角是，對(duì)水平面的仰角是 （圖圖b）。 炸藥（其質(zhì)量略去不計(jì)）的爆炸力是炸藥（其質(zhì)量略去不計(jì)）的爆炸力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸 x 的的投影都是零，即有投影都是零，即有 Fix = 0。 可見，系統(tǒng)的動(dòng)量在軸可見，系統(tǒng)的動(dòng)量在軸 x 上的投影守上的投影守恒，

16、考慮到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于靜止，即有恒，考慮到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于靜止，即有 p0 x = 0，于是有于是有px = m2vcos m1u = 0(a)ABFAFBm1gm2guxyvr(b) vvevr另一方面，對(duì)于炮彈應(yīng)用速度合成定理，可得另一方面，對(duì)于炮彈應(yīng)用速度合成定理，可得v = ve + vr考慮到考慮到 ve = u，并將上式投影到軸并將上式投影到軸 x 和和 y 上，上，就得到就得到vcos = vrcos u vsin = vrsin 聯(lián)立求解上列三個(gè)方程，即得聯(lián)立求解上列三個(gè)方程，即得tan)1 (tan cos)()2(1cos12r2221221r212mmvmmmmmvvmm

17、mupx = m2vcos m 1u = 0(b) vvevrABFAFBm1gm2guxyvrtan)1 (tan12mm由上式可見，由上式可見，v與與vr方向不同，方向不同，。當(dāng)當(dāng)m1 m2 時(shí)，時(shí)，。但在軍艦或車上但在軍艦或車上時(shí)，應(yīng)該考慮修正量時(shí)，應(yīng)該考慮修正量 m2/m1。 討論(b) vvevrABFAFBm1gm2guxyvr 例題例題 3-3 鍛錘鍛錘 A 的質(zhì)量的質(zhì)量 m = 3 000 kg，從高度，從高度 h = 1.45 m處自處自由下落到鍛件由下落到鍛件 B 上。假設(shè)鍛錘由接觸鍛件到最大變形的時(shí)間上。假設(shè)鍛錘由接觸鍛件到最大變形的時(shí)間t = 0.01s，求鍛錘作用在鍛

18、件上的平均碰撞力。，求鍛錘作用在鍛件上的平均碰撞力。v0=0v例題 3-3 取鍛錘作為研究對(duì)象。它從高度取鍛錘作為研究對(duì)象。它從高度 h 自由下落到自由下落到鍛件產(chǎn)生最大變形的過程，可分成兩個(gè)階段。鍛件產(chǎn)生最大變形的過程，可分成兩個(gè)階段。解：解： （1）碰撞前的自由下落階段。）碰撞前的自由下落階段。從而求得碰撞前鍛錘速度的大小從而求得碰撞前鍛錘速度的大小mghmv0212ghv2鍛錘只受重力作用，由動(dòng)能定理鍛錘只受重力作用，由動(dòng)能定理Bv0=0vvAOyhA 寫出沖量定理在鉛直軸寫出沖量定理在鉛直軸 y 上的投影式，并注意上的投影式，并注意鍛件變形最大時(shí)鍛錘速度為零，有鍛件變形最大時(shí)鍛錘速度為

19、零，有 （2）鍛錘由開始接觸鍛件到最大變形階段。）鍛錘由開始接觸鍛件到最大變形階段。0 mv = mgt FBt從而求得從而求得代入求出的速度代入求出的速度 v 和已知數(shù)據(jù)，即得和已知數(shù)據(jù)，即得FB = 16.3 102 kNmgtmvFB 該階段鍛錘受重力該階段鍛錘受重力mg和鍛件對(duì)鍛錘的碰撞力和鍛件對(duì)鍛錘的碰撞力（設(shè)其平均值為（設(shè)其平均值為 FB）的作用。）的作用。vAOy3-3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理18-3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的表達(dá)式引入質(zhì)心的加速度引入質(zhì)心的加速度 aC = dvc / dt，則上式可改寫成，則上式可改寫成maC = F

20、i（e）即即，質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積,等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（主矢）,這就是這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。)e()(ddddiCmttFvp一、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 把質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的表達(dá)式把質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的表達(dá)式 p = mivi = mvC代入上式，可得代入上式，可得)e(dditFp 1. 定理表達(dá)式定理表達(dá)式 具體計(jì)算時(shí)具體計(jì)算時(shí), 常把常把質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表達(dá)達(dá)式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上得式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上得)e(22)e(22)e(22ddddddizCiyCixCFtzmFtymFtxm假設(shè)假設(shè) n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成

21、的質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)部分構(gòu)成，則由個(gè)部分構(gòu)成，則由式式p = mivi = mvC ，可把可把質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表達(dá)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表達(dá)式的左端表示成式的左端表示成CjNjjCNNCCiniiCmmmmmmaaaaaa122111 3. 投影表達(dá)式投影表達(dá)式mac = F i（e）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 2. 定理的轉(zhuǎn)化式定理的轉(zhuǎn)化式)e(1iCjNjjmFa即即，如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和（主矢）始終等于零，則質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，即質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)；如果在初瞬時(shí)質(zhì)心處于靜止，則它將停留在原處。1. 如果如果Fi（e） 0，則由上式可知，則由上式可知 aC= 0，從而有，從而有vc = 常矢量常矢量maC =

22、 Fi（e）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理 2. 如果如果Fix 0，則由上式可知，則由上式可知 d2xC / dt 2 = aCx = 0，從而，從而dxC / dt = vCx = 常量常量即即，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和始終等于零,則質(zhì)心在該軸方向的運(yùn)動(dòng)守恒。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理投影表達(dá)式投影表達(dá)式另外另外，如果初瞬時(shí)質(zhì)心的速度在該軸上的投影也等于零（即vCx = 0),則質(zhì)心沿該軸的位置坐標(biāo)不變。即即xC = xC0 = 常量常量)e(22)e(22)e(22ddddddizCiyCixCFtzmFtymFtxm實(shí)例分析：實(shí)

23、例分析：mAvA+ mBvB = (mA+ mB)vC =0 宇航員在太宇航員在太空拔河，開始靜空拔河，開始靜止。若止。若A的力氣的力氣大于大于B的力氣，的力氣，誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)? ?動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒 兩人在光滑冰上拔河，開始向左運(yùn)動(dòng)。若兩人在光滑冰上拔河，開始向左運(yùn)動(dòng)。若A的力氣大于的力氣大于B的力氣，兩人如何運(yùn)動(dòng)的力氣，兩人如何運(yùn)動(dòng)實(shí)例分析：實(shí)例分析：實(shí)例分析：實(shí)例分析： 為什么賽車比賽前，車手會(huì)使輪胎在地面空轉(zhuǎn)為什么賽車比賽前，車手會(huì)使輪胎在地面空轉(zhuǎn)蒸汽機(jī)與機(jī)車蒸汽機(jī)與機(jī)車1892年研制的蒸汽機(jī)車年研制的蒸汽機(jī)車蒸汽機(jī)車蒸汽機(jī)車問題：?jiǎn)栴}： 如何提高牽引力？如何提高牽引力？柴油機(jī)車柴油機(jī)

24、車 電力機(jī)車電力機(jī)車問題：?jiǎn)栴}：（1）在輸出扭矩相同的條件下，）在輸出扭矩相同的條件下，機(jī)車主動(dòng)輪半徑與牽引力的關(guān)系機(jī)車主動(dòng)輪半徑與牽引力的關(guān)系如何？如何？（2）列車提速后又帶來了哪些）列車提速后又帶來了哪些新問題？新問題？電力車組電力車組實(shí)驗(yàn)中的磁懸浮列車實(shí)驗(yàn)中的磁懸浮列車上海磁懸浮列車上海磁懸浮列車問題：?jiǎn)栴}： 若機(jī)車電機(jī)有足若機(jī)車電機(jī)有足夠的動(dòng)力，是否機(jī)車夠的動(dòng)力，是否機(jī)車可以跑得充分快？可以跑得充分快？實(shí)例分析：實(shí)例分析：實(shí)例分析：實(shí)例分析： 實(shí)例分析之四：實(shí)例分析之四：maC= FNmg ,FN = m(aC +g) 例題例題 3-4 如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到如圖所示

25、，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設(shè)人質(zhì)量為船尾，設(shè)人質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為，船的質(zhì)量為m1 ，船長(zhǎng)，船長(zhǎng)l，水的阻力不，水的阻力不計(jì)。求船的位移。計(jì)。求船的位移。 Olsabxxy例題 3-4 解：解：取人與船組成質(zhì)點(diǎn)系。取人與船組成質(zhì)點(diǎn)系。12120mmbmamxC人走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為人走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為s，則質(zhì)，則質(zhì)心的坐標(biāo)為心的坐標(biāo)為 1212)()(mmsbmslamxC取坐標(biāo)軸如圖所示。在人走動(dòng)前，系統(tǒng)的取坐標(biāo)軸如圖所示。在人走動(dòng)前，系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心坐標(biāo)為 因不計(jì)水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即因不計(jì)水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，

26、即Fix 0。則有則有又因系統(tǒng)初瞬時(shí)靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有又因系統(tǒng)初瞬時(shí)靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有0CCxx0CCxxOlsabxxy可以求得小船移動(dòng)的位移可以求得小船移動(dòng)的位移122mmlms,12120mmbmamxC1212)()(mmsbmslamxC上式代入上式代入0CCxx1. 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力（鞋底與船間摩擦力）雖質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力（鞋底與船間摩擦力）雖不能改變系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但能改變系統(tǒng)不能改變系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但能改變系統(tǒng)中各部分的（人與船）的運(yùn)動(dòng)；中各部分的（人與船）的運(yùn)動(dòng)；2. 靠碼頭的小船會(huì)因人上岸而離岸后退，為防止，應(yīng)在岸上將船栓住?？看a頭的小船會(huì)因人

27、上岸而離岸后退，為防止，應(yīng)在岸上將船栓住。 討 論Olsabxxy 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄AB長(zhǎng)長(zhǎng)r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，假設(shè)受力偶作用以不變得角速度，假設(shè)受力偶作用以不變得角速度轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞動(dòng)，并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；?、連桿、活塞，如圖所示?；?、連桿、活塞總質(zhì)量為總質(zhì)量為m2 ，質(zhì)心在點(diǎn)，質(zhì)心在點(diǎn)C。在活塞上作用一恒力。在活塞上作用一恒力F?；瑝K?；瑝KB質(zhì)量為質(zhì)量為m，不計(jì)摩，不計(jì)摩擦，求作用在曲柄軸擦，求作用在曲柄軸A處的水平反力處的水平反力Fx。 BCbDxyA例題例題 3-5BCbDxyA 選取整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究的質(zhì)點(diǎn)系。選取整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究

28、的質(zhì)點(diǎn)系。解：解：EFFammaamxCBE21 cos cosaEaBaC即即由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理FFrmmrrmx cos cos cos222221求得作用在曲柄軸求得作用在曲柄軸A處的水平反力處的水平反力 )e(1iCjNjjmFa得得cos)21(221rmmmFFxBCbDxyA 選取桿選取桿AB和滑塊和滑塊B為研究的質(zhì)點(diǎn)系。為研究的質(zhì)點(diǎn)系。解：解：EgmmFmaamyBE)(sin sin 211即即由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求得作用在曲柄軸求得作用在曲柄軸A處的豎直反力處的豎直反力 sin)21()(211rmmgmmFy)e(1FaCjNjjm得得如何求作用在曲柄軸

29、如何求作用在曲柄軸A處的豎直反力？處的豎直反力？ AEaEaBB 討 論例題例題 3-6 電動(dòng)機(jī)的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量是電動(dòng)機(jī)的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量是 m1，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是子的質(zhì)量是 m2，轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心，轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心 O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心子的質(zhì)心 O2對(duì)它的軸線有一個(gè)很小的偏心距對(duì)它的軸線有一個(gè)很小的偏心距 e（圖中有意夸張）。求轉(zhuǎn)子以（圖中有意夸張）。求轉(zhuǎn)子以勻角速度勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電動(dòng)機(jī)所受的總水平反力和鉛直反力。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電動(dòng)機(jī)所受的總水平反力和鉛直反力。例題 3-6 取整個(gè)電動(dòng)機(jī)（包括

30、定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對(duì)象。取整個(gè)電動(dòng)機(jī)（包括定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對(duì)象。解：) 1 ( cos22xFtamO1O2xytm1gm2gFxFya2由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有)2( sin2122gmgmFtamy由此求得電動(dòng)機(jī)所受的總水平反力和鉛直反力由此求得電動(dòng)機(jī)所受的總水平反力和鉛直反力Fx = m2e2costFy = (m1 + m2)g m2e2sint)e(1iCjNjjmFa 例題例題 3-7 若上例中電動(dòng)機(jī)沒有用螺栓固定，各處摩擦不若上例中電動(dòng)機(jī)沒有用螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電動(dòng)機(jī)靜止。試求：（計(jì)，初始時(shí)電動(dòng)機(jī)靜止。試求：（1 1） 轉(zhuǎn)子以轉(zhuǎn)子以勻角速勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)

31、時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程；（時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程；（2）電動(dòng)機(jī)跳起的最）電動(dòng)機(jī)跳起的最小角速度。小角速度。tm1gm2gO1O2xyOas例題 3-71. 電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程xyOas設(shè)電動(dòng)機(jī)的水平位移為設(shè)電動(dòng)機(jī)的水平位移為 s 。tO2O1O2O1O2O11. 電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)電動(dòng)機(jī)的水平位移為設(shè)電動(dòng)機(jī)的水平位移為 s 。由于電動(dòng)機(jī)不固定，且不計(jì)摩擦，故外力在水平軸上的投影之和等由于電動(dòng)機(jī)不固定，且不計(jì)摩擦，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即于零，即Fix 0。則有則有又因系統(tǒng)初瞬時(shí)

32、靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保又因系統(tǒng)初瞬時(shí)靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有持不變。即有0CCxx0CCxxxC 0 = a，已知已知2121)sin()(mmtesamsamxCtm1gm2gO1O2xyOasFy由由xC = xC0 解得電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程：解得電動(dòng)機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動(dòng)方程：由此可見，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心的電動(dòng)機(jī)未用螺栓固定時(shí)，將在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。由此可見，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心的電動(dòng)機(jī)未用螺栓固定時(shí)，將在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 0CCxx已知已知 xC 0 = a，2121)sin()(mmtesamsamxCtemmmssin212tm1gm2gO1O2xyOasFy2.

33、求電動(dòng)機(jī)起跳條件求電動(dòng)機(jī)起跳條件 電動(dòng)機(jī)起跳的條件為：電動(dòng)機(jī)起跳的條件為： Fy = 0 因此求得機(jī)座的鉛直反力因此求得機(jī)座的鉛直反力 ：2122cosyFm gm gm et2min122yFm gm gm e由此求得電動(dòng)機(jī)起跳的最小角速度由此求得電動(dòng)機(jī)起跳的最小角速度12m in2mmgm etm1gm2gO1O2xyFyO由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有g(shù) g- -g g21n2cosmmFtamy即即g g- -g g2122cosmmFtemy而機(jī)座鉛直反力的最小值：而機(jī)座鉛直反力的最小值：電動(dòng)機(jī)是否會(huì)起跳電動(dòng)機(jī)是否會(huì)起跳 ？起跳的條件是什么？起跳的條件是什么？ 思考題 例題例題 3

34、-8 復(fù)擺是一個(gè)在重力作用下可繞水平軸復(fù)擺是一個(gè)在重力作用下可繞水平軸 O 擺動(dòng)的剛擺動(dòng)的剛體。它的質(zhì)量是體。它的質(zhì)量是 m，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 JO，質(zhì)心，質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸O的距離的距離 OC = b。設(shè)擺動(dòng)開始時(shí)。設(shè)擺動(dòng)開始時(shí) OC 對(duì)鉛直線的偏角是對(duì)鉛直線的偏角是 0，角，角速度是速度是 。試求擺動(dòng)中軸承。試求擺動(dòng)中軸承 O 對(duì)復(fù)擺的反力。對(duì)復(fù)擺的反力。OC0b0(a)0例題 3-8 復(fù)擺在任意位置時(shí)，所受的外力有重力復(fù)擺在任意位置時(shí)，所受的外力有重力 mg 和和軸承軸承 O 的反力，為便于計(jì)算，把軸承反力沿質(zhì)心軌的反力，為便于計(jì)算，把軸承反力沿質(zhì)心軌跡的切線和法

35、線方向分解成兩個(gè)分力跡的切線和法線方向分解成兩個(gè)分力 F1和和 F2。 寫出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在質(zhì)心軌跡的自然軸系上寫出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在質(zhì)心軌跡的自然軸系上的投影式，可得的投影式，可得2nt, babaCC解解: :質(zhì)心質(zhì)心C 的加速度在這兩個(gè)方向的投影為的加速度在這兩個(gè)方向的投影為) 1 (sin1mgFmb )2(cos22mgFmg(b)OC0b0 F1F2mgatcanc應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理: T2 T1 =W，有，有從而求得從而求得將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得)cos(cos21210202mgbJJOO)cos(cos20202OJmgb sin22OJmgb即即s

36、inOJmgb (b)OC0b0 F1F2mgacacn分別代入分別代入)cos(cos2cossinsin0202221OOJmgbmbmgFJgbmmgF)cos(cos20202OJmgbsinOJmgb 經(jīng)整理后即可求出經(jīng)整理后即可求出) 1 (sin1mgFmb )2(cos22mgFmg(b)OC0b0 F1F2mgacacn 例題例題 3-9 圖示單擺圖示單擺B的支點(diǎn)固定在一可沿光滑的水平的支點(diǎn)固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊直線軌道平移的滑塊A上，設(shè)上，設(shè)A，B的質(zhì)量分別的質(zhì)量分別為mA，mB運(yùn)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)動(dòng)開始時(shí)，x=x0， , ， 。試求單擺試求單擺B的軌跡的軌跡方程

37、。方程。00 x 0ABxyxO例題 3-9解：解：以系統(tǒng)為對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)可用滑塊以系統(tǒng)為對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)可用滑塊A的坐標(biāo)的坐標(biāo)x和單擺擺動(dòng)和單擺擺動(dòng)的角度的角度兩個(gè)廣義坐標(biāo)確定。兩個(gè)廣義坐標(biāo)確定。0000)sin()sin(CBABABABACxmmlxmxmmmlxmxmxsin0lmmmxxBABcsinsin0lmmmxlxxBAACBcoslyB解出解出單擺單擺B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為則則 由于沿由于沿x方向無(wú)外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿方向無(wú)外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的軸的動(dòng)量守恒，質(zhì)心坐標(biāo)動(dòng)量守恒，質(zhì)心坐標(biāo)xC應(yīng)保持常值應(yīng)保持常值xC0。ABxyxO消去消去，即的到單擺，即的到單擺B設(shè)軌跡方程：設(shè)軌跡方程：22202)()1 (lyxxmmBCBAB0Cxx 是以是以 x = xC0 , y = 0 為中心的橢圓方程，因此懸掛在