2019清華大學年自主招生數學試題（2019.06）

1、 清華大學自主招生數學試題2019.061. 一個四面體棱長分別為6，6，6，6，6，9，求外接球的半徑.2. 求值：.3. 已知為單位圓上一動點，求的最大值.4. 為圓的直徑，為中點，則下列選項正確的是（ ）A. B. C. D. 忘記5. ，是到的映射，若滿足，則稱有序對為“好對”，求“好對”的個數最小值.6. 若對，使得成立，則稱函數滿足性質，下列函數不滿足性質的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知，若，求的最大值.8. 橢圓，過的直線交橢圓于、兩點，點在直線上，若為正三角形，求的面積.9. 圓上一點處的切線交拋物線于、兩點，且滿足，其中為坐標原點，求.10. 設為各位數字和，是的

2、各位數字之和，為的各位數字之和，求的值.11. 實數、滿足，求的最大值和最小值.12. 在三棱柱中，已知，動點在線段上，求最小值.13. 若集合、是正整數的一個二劃分，則（ ）A. 集合中不存在三項等差，集合中不存在無窮項等差B. 集合中不存在三項等比，集合中不存在無窮項等比C. 忘了D. 忘了14. 數列滿足：，則（ ）A. 單調遞增 B. 無上界 C. 忘了 D. 15. 若正實數、滿足，則的最小值為 16. 設，求最小值.17. 設，則方程的解的個數為 18. 令（），若，則（ ）A. B. C. D. 19. 若實數、滿足，求的范圍.參考答案1. 設，易知的外接圓半徑為，同理可得的外接

3、圓的半徑為，設外接圓的圓心為，易知，則外接球半徑，外接球半徑為.2. ，由分部積分法可知： .3. 設，在整理得：，由三元均值不等式可知：,當且僅當時，等號成立，則的最大值為. 4. 設圓的半徑為2，易知，在與中，由余弦定理可知：，解得：，選項A錯誤，在中，由中線定理可知：，解得：，則，選項B正確，而，選項C正確，綜上：選B，C.5. 情形一：當只對應中1個元素時，此時“好對”有對，情形二：當只對應中2個元素時，設有組，組，則此時“好對”有對，且，則由柯西不等式可知：，情形三：當只對應中3個元素時，設有組，組，組，則此時“好對”有對，且，則由柯西不等式可知：，依次可得：易知當對應中5個元素時，

4、此時“好對”的最小值為45，當且僅當中每3個元素對應中一個元素時，等號成立，則“好對”的個數的最小值為45.6. ，使得，則的值域是值域的子集，A選項：，滿足題意，B選項：，令，則，當，時，則由四元均值不等式可知：，當且僅當時，等號成立，滿足題意，為奇函數，C選項：，不滿足題意，D選項：，不滿足題意，綜上：選A，B.7. 建立平面直角坐標系，且，易知點的終點的軌跡方程為，又，此時.8. 設直線，中點為，聯立，整理可得：，則，而，而，解得：，則的面積為.9. ，直線恒過定點，而切線方程為，則，解得：.10. ，則，則，情形一：當的位數為6，則，情形二：當的位數小于6，則，由情形一和情形二可知：，情形三：當的位數為2位時，則，情形四：當的位數1位數時，則，由情形三和情形四可知：，又，則，而，.1