導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法實(shí)用教案

1、導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本(jbn)方法：理論分析法；數(shù)值計(jì)算法；實(shí)驗(yàn)法。 理論分析法：在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程(wi fn fn chn)在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解； 實(shí)驗(yàn)法：在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用實(shí)驗(yàn)的方法(fngf)對(duì)所研究對(duì)象的傳熱過(guò)程進(jìn)行研究，從而求得所求量的方法(fngf)。 數(shù)值法：數(shù)值計(jì)算法，把原來(lái)在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替。通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；有限差分法、有限元法、邊界元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬。第1頁(yè)/共66頁(yè)第一頁(yè)，共

2、67頁(yè)。 分析法：能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；局限性很大，對(duì)復(fù)雜(fz)的問(wèn)題無(wú)法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見(jiàn)。 實(shí)驗(yàn)法：是傳熱學(xué)的基本研究方法(fngf)。適應(yīng)性不好； 費(fèi)用昂貴。 數(shù)值(shz)法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。三種方法的特點(diǎn)：第2頁(yè)/共66頁(yè)第二頁(yè)，共67頁(yè)。分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)： 相同點(diǎn)：根本(gnbn)目的相同，即確定： t=f( x, y, z,) ； 熱流量。 不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法

3、求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。 第3頁(yè)/共66頁(yè)第三頁(yè)，共67頁(yè)。 數(shù)值求解(qi ji)的步驟 建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解(qi ji)的基本思想第4頁(yè)/共66頁(yè)第四頁(yè)，共67頁(yè)。0tyf3thf2thf1thx二維矩形(jxng)域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制(kngzh)方程及定解條件 22220ttxy控制(kngzh)方程：0210030,fx Hx Hfyyfy Wy Wxttthttxth ttythtty定解條件： 4-1導(dǎo)

4、熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想第5頁(yè)/共66頁(yè)第五頁(yè)，共67頁(yè)?；靖拍睿壕W(wǎng)格線、步長(zhǎng)、節(jié)點(diǎn)(ji din)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xyxynm(m,n)MN二、區(qū)域離散(lsn)化（確立節(jié)點(diǎn)）4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值(shz)求解的基本思想第6頁(yè)/共66頁(yè)第六頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)(ji din)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。 首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型； 其次，建立(jinl)節(jié)點(diǎn)離散方程； 最后，代數(shù)方程組的形成。 對(duì)節(jié)點(diǎn)(ji din) (m,n) 的代數(shù)方程，當(dāng) x=y 時(shí)，有： ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求

5、解的基本思想第7頁(yè)/共66頁(yè)第七頁(yè)，共67頁(yè)。四、設(shè)立(shl)迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代(di di)解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代(di di)法。采用迭代(di di)法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)。 4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值(shz)求解的基本思想第8頁(yè)/共66頁(yè)第八頁(yè)，共67頁(yè)。五、求解(qi ji)代數(shù)方程組 本例中除 m=1 的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余 (M-1)N 個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立(jinl)離散方程，共有 (M-1)N 個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。xyxynm(m,n)MN 求解(qi ji

6、)時(shí)遇到的問(wèn)題： 線性； 非線性； 收斂性等。 4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想第9頁(yè)/共66頁(yè)第九頁(yè)，共67頁(yè)。2 ）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不斷更新。 3 ）是否收斂(shulin)判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂(shulin)，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。 1 ）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不再(b zi)變化；4-1導(dǎo)熱(dor)問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組 第10頁(yè)/共66頁(yè)第十頁(yè)，共67頁(yè)。六、解的分析(fnx) 通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分

7、布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性(dng xng)或定量上的結(jié)論。 4-1導(dǎo)熱(dor)問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想第11頁(yè)/共66頁(yè)第十一頁(yè)，共67頁(yè)。0tyf3thf2thf1thx一、建立控制(kngzh)方程及定解條件 22220ttxy控制(kngzh)方程：0210030,fx Hx Hfyyfy Wy Wxttthttxth ttythtty定解條件(tiojin)： 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題第12頁(yè)/共66頁(yè)第十二頁(yè)，共67頁(yè)。0tyf3

8、thf2thf1thx二、區(qū)域離散(lsn)化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形(jxng)域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題(m,n)xy4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法第13頁(yè)/共66頁(yè)第十三頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(dish fngchng)（離散方程） (1) (1) 泰勒泰勒(ti l)(ti l)級(jí)數(shù)展開(kāi)法級(jí)數(shù)展開(kāi)法根據(jù)泰勒(ti l)級(jí)數(shù)展開(kāi)式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3!23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm

9、用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度tm-1,n4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)第14頁(yè)/共66頁(yè)第十四頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散(lsn)方程） 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)問(wèn)題的數(shù)值解法(1) 泰勒(ti l)級(jí)數(shù)展開(kāi)法差分：忽略上面式子中的級(jí)數(shù)余項(xiàng)。得到差分式，并代替微分式。 ! 22,22, 1xxtxxtttjijijijixttxtjijiji, 1,)(向前差分 ! 22,22, 1xxtxxtttjijijijixttxtjijiji , 1,)(向后差分內(nèi)節(jié)點(diǎn)第15頁(yè)/共66頁(yè)第十五頁(yè)，共67頁(yè)。中心(zhngxn)差分xttx

10、tjijiji2)(, 1, 1,幾種差分(ch fn)的比較xttxtjijiji, 1,)(xttxtjijiji , 1,)(或三、建立節(jié)點(diǎn)(ji din)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1) 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法xttxtjijiji, 2/ 1, 2/ 1,)(內(nèi)節(jié)點(diǎn)第16頁(yè)/共66頁(yè)第十六頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)(ji din)物理量的代數(shù)方程（離散方程） ! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法(1) 泰

11、勒(ti l)級(jí)數(shù)展開(kāi)法若取上面式右邊的前三項(xiàng)，將上兩式相加21,1,22,2mnm nmnm nttttxx2,1,122,2m nm nm nm nttttyy同樣：內(nèi)節(jié)點(diǎn)第17頁(yè)/共66頁(yè)第十七頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)(ji din)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法(1) 泰勒(ti l)級(jí)數(shù)展開(kāi)法21,1,22,2mnm nmnm nttttxx2,1,122,2m nm nm nm nttttyy22220ttxy,1,1,12,11(4)m nmnmnm nm ntttttxxy =0時(shí)：,1,1,1,11()4mnmnmnmnmnttttt

12、內(nèi)節(jié)點(diǎn)第18頁(yè)/共66頁(yè)第十八頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(dish fngchng)（離散方程） 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值(shz)解法(2) 熱平衡法0tyf3thf2thf1thx(m,n)(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制(kngzh)容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制(kngzh)方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。內(nèi)節(jié)點(diǎn)第19頁(yè)/共66頁(yè)第十九頁(yè)，共67頁(yè)。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(dish fngchng)（離散方程） 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)

13、題(wnt)的數(shù)值解法(2) 熱平衡法從所有(suyu)方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、有熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱量+內(nèi)熱源生成熱00nsewx y 內(nèi)節(jié)點(diǎn)對(duì)控制體每個(gè)界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。第20頁(yè)/共66頁(yè)第二十頁(yè)，共67頁(yè)。xttynmnmw, 1xttynmnme, 1yttxnmnmn,1,0wensx y yx,1,1,2,1,10.25()m nmnmnm nm ntttttx三、建立節(jié)點(diǎn)(ji din)物理量的代數(shù)方程（離散方程） (2) 熱平衡法(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y

14、y (m,n+1)4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)問(wèn)題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)(ji din)yttxnmnms,1,第21頁(yè)/共66頁(yè)第二十一頁(yè)，共67頁(yè)。（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分(ch fn)方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(dish fngchng)（離散方程） 4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值(shz)解法邊界節(jié)點(diǎn)為什么要建邊界節(jié)點(diǎn)離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉0tyf3thf2thf1thx將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用 表示內(nèi)熱源。第22頁(yè)/共66頁(yè)第二十二頁(yè)，共67頁(yè)。2,1,

15、1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm1,1,1,2022mnm nm nm nwm nm nttttxyyqxyttxxyy xy 從所有方向流入控制體的總熱量(rling) 控制體內(nèi)熱源生成熱 0平直邊界(binji)節(jié)點(diǎn)三、建立(jinl)節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程第23頁(yè)/共66頁(yè)第二十三頁(yè)，共67頁(yè)。從所有方向(fngxing)流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0邊界(binji)外角點(diǎn)1,1,2220222mnm nwwm nm nm nttyyxqqxttxxyyxy 2,1,1222m nmnm nwxxt

16、ttq三、建立(jinl)節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程第24頁(yè)/共66頁(yè)第二十四頁(yè)，共67頁(yè)。從所有(suyu)方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0邊界(binji)內(nèi)角點(diǎn)0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm22,1,1,11,132(22)62m nmnm nm nmnwxxtttttqxy 三、建立(jinl)節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程第25頁(yè)/共66頁(yè)第二十五頁(yè)，共67頁(yè)。邊界節(jié)點(diǎn)離散(lsn)方

17、程中的兩個(gè)問(wèn)題：邊界熱流密度(md)的具體處理方法絕熱邊界(binji)第二類邊界第三類邊界constqw0wq)(,nmfwtthq不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程第26頁(yè)/共66頁(yè)第二十六頁(yè)，共67頁(yè)。建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級(jí)數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)捷；泰勒級(jí)數(shù)法對(duì)于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便(fngbin)處理。4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值(s

18、hz)求解的基本思想三、建立(jinl)節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程第27頁(yè)/共66頁(yè)第二十七頁(yè)，共67頁(yè)。例1： 對(duì)如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題，試分別(fnbi)列出內(nèi)節(jié)點(diǎn)m和端部節(jié)點(diǎn)M的離散方程式。已知圓截面直徑為d。第28頁(yè)/共66頁(yè)第二十八頁(yè)，共67頁(yè)。四、設(shè)立(shl)迭代初場(chǎng)4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法五、求解(qi ji)代數(shù)方程組 寫(xiě)出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程式：11 112 21121 122 2221 12 2.n nn nnnnn nna ta ta tba ta ta tba ta ta tb直接解法迭代解法直接解法直接解法：

19、矩陣求逆、高斯消元法等缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）第29頁(yè)/共66頁(yè)第二十九頁(yè)，共67頁(yè)。4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法五、求解(qi ji)代數(shù)方程組 迭代解法：簡(jiǎn)單迭代（迭代解法：簡(jiǎn)單迭代（JacobiJacobi迭代）、高斯迭代）、高斯- -賽德?tīng)枺ㄙ惖聽(tīng)枺℅auss-Gauss-SeidelSeidel）迭代、塊迭代、交替方向迭代等）迭代、塊迭代、交替方向迭代等 先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計(jì)算過(guò)先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)

20、（給定初始值）、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差(xin (xin ch)ch)小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值第30頁(yè)/共66頁(yè)第三十頁(yè)，共67頁(yè)。4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值(shz)解法五、求解(qi ji)代數(shù)方程組 在計(jì)算(j sun)后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用最新值：根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值：(k)n(k)2(k)1. ttt、)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(

21、11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatatGauss-Seidel迭代法第31頁(yè)/共66頁(yè)第三十一頁(yè)，共67頁(yè)。判斷迭代是否收斂(shulin)的準(zhǔn)則：)(max)()1()()()1()()1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttoror 為允許的偏差(pinch)，一般取10-310-6(k)maxt為k次迭代(di di)得到的計(jì)算域溫度最大值計(jì)算域溫度存在近

22、于0的值時(shí)采用4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組 第32頁(yè)/共66頁(yè)第三十二頁(yè)，共67頁(yè)。4-2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解(qi ji)代數(shù)方程組 如何避免迭代(di di)發(fā)散？必須滿足對(duì)角占優(yōu)原則：每個(gè)迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和 (參考教材例題4-1)1213212331321122331,1,1aaaaaaaaa該條件可表示為：第33頁(yè)/共66頁(yè)第三十三頁(yè)，共67頁(yè)。例4-1：利用高斯-賽德?tīng)柕ㄇ蠼庀铝?xili)方程：123123123822952322428ttttttttt先將上式改寫(xiě)成迭代(di di)形式：123

23、213321129281322512824ttttttttt第34頁(yè)/共66頁(yè)第三十四頁(yè)，共67頁(yè)。123213321129281322512824ttttttttt假設(shè)(jish)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：(1)1(1)2(1)3129003.62581323.62505.67551285.67523.6253.7694ttt(2)1(2)2(2)312925.6253.7691.73581321.73523.7694.54551284.5452 1.7354.9964ttt第35頁(yè)/共66頁(yè)第三十五頁(yè)，共67頁(yè)。如此經(jīng)過(guò)七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確(jngqu)

24、解一致的結(jié)果。迭代次數(shù)迭代次數(shù) t1 t2 t3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 3.625 5.675 3.769 1.735 4.545 4.996 1.864 4.038 5.058 1.983 3.980 5.013 2.003 3.994 5.000 2.001 4.000 5.000 2.000 4.000 5.000第36頁(yè)/共66頁(yè)第三十六頁(yè)，共67頁(yè)。123123123822952322428ttttttttt312123213298232522824ttttttttt假設(shè)(jish)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：迭代次數(shù)迭代次數(shù) t1

25、t2 t3 0 1 2 3 0 0 0 32 -36 -155 522 -396 -3355 8722 -3996 -61755第37頁(yè)/共66頁(yè)第三十七頁(yè)，共67頁(yè)。1213212331321122331,1,1aaaaaaaaa123213321129281322512824ttttttttt312123213298232522824ttttttttt123213312325228242982ttttttttt第38頁(yè)/共66頁(yè)第三十八頁(yè)，共67頁(yè)。例2 ：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)(xsh)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，試用高斯-塞德?tīng)柕ㄇ笃鋬?nèi)部節(jié)點(diǎn)1、2、3、4點(diǎn)的溫度。2006004

26、00800 2 3 4第39頁(yè)/共66頁(yè)第三十九頁(yè)，共67頁(yè)。解：1）列節(jié)點(diǎn)(ji din)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)(ji din)）1：2：3：4：04600400241ttt23120040040tttt23480060040ttt200600400800 2 3 4設(shè):t10=500,t20=650,t30=650,t40=7501232143144230.256000.2510000.2510000.251400tttttttttttt第40頁(yè)/共66頁(yè)第四十頁(yè)，共67頁(yè)。01110122013301445000.25 6506506004756500.25 475750

27、1000556.256500.25 4757501000556.257500.25 556.25556.25 1400628.53oooooooo=tCtCtCtCtCtCtCtC迭代次數(shù)迭代次數(shù) t1 t2 t3 t4 0 1 2 3 4 5 500 650 650 750 475 556.25 556.25 628.15 428.125 514.06 514.06 607.03 407.057 503.52 503.52 601.76 401.76 500.88 500.88 600.44 400.44 500.22 500.22 600.11第41頁(yè)/共66頁(yè)第四十一頁(yè)，共67頁(yè)。4-2

28、 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值(shz)解法六、解的分析(fnx) 如何(rh)判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差 總存在，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可減小誤差。計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性。第42頁(yè)/共66頁(yè)第四十二頁(yè)，共67頁(yè)。例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚=10mm，肋根溫度t0=100，流體溫度tf=20，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=25W/(m2K),肋片導(dǎo)熱系數(shù)=50W/(mK),設(shè)肋端絕熱。將該肋片等分成(fn chn)4個(gè)節(jié)點(diǎn)。試列出節(jié)點(diǎn)2,3,4的離散方程式，并計(jì)算其溫度。第43頁(yè)/共66頁(yè)第四十三頁(yè)，共67頁(yè)。解：這是一個(gè)一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源、常物性

29、的導(dǎo)熱問(wèn)題。利用(lyng)熱平衡法列節(jié)點(diǎn)的離散方程。節(jié)點(diǎn)(ji din)2：123222()0ftttthx ttxx節(jié)點(diǎn)(ji din)3：234332()0ftttthx ttxx節(jié)點(diǎn)4：344()0ftth x ttx 式中x=H/3，將已知條件（t1=100）代入可得：第44頁(yè)/共66頁(yè)第四十四頁(yè)，共67頁(yè)。32234342.045100.902.0450.901.02250.450ttttttt利用(lyng)迭代法解得：23492.287.786.2oootCtCtC，與精確解 相比較(bjio)，此時(shí)：0ch ()ch()m HxmH00f=tt =10020=80oC222

30、251050 0.01chPh lhmAl=0.045mH第45頁(yè)/共66頁(yè)第四十五頁(yè)，共67頁(yè)。=10m=0.045H223242ch10(0.045 0.015)0.015,20 8095.823ch(10 0.045)2ch10(0.045 0.03)0.03,20 8093.353ch(10 0.045)10.045,20 8092.53ch(10 0.045)oooHxtCHxtCxHtC23492.287.786.2oootCtCtC，第46頁(yè)/共66頁(yè)第四十六頁(yè)，共67頁(yè)。第47頁(yè)/共66頁(yè)第四十七頁(yè)，共67頁(yè)。 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值(shz)解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散(k

31、usn)項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐標(biāo)離散外，還需要對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理(chl)。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式222222()ttttxyzc第48頁(yè)/共66頁(yè)第四十八頁(yè)，共67頁(yè)。tfhtfhxt 0平板加熱(ji r)問(wèn)題第三類邊界條件xtat2200tt，00txx，()ftxh ttx，定解條件(tiojin)：控制(kngzh)方程：一、建立控制方程及定解條件 一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第49頁(yè)/共66頁(yè)第四十九頁(yè)，共67頁(yè)。0tyf3thf2thf1thx二

32、、區(qū)域(qy)離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)x一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性(w xn)導(dǎo)熱問(wèn)題 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值(shz)解法第50頁(yè)/共66頁(yè)第五十頁(yè)，共67頁(yè)。向前差分(ch fn)格式向后差分(ch fn)格式中心(zhngxn)差分格式x 為空間步長(zhǎng) 為時(shí)間步長(zhǎng)(1)( )nnnittiit，( )( 1)nnnittiit，( 1)( 1)nnn itt2iit，三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)(1) 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第51頁(yè)/共66頁(yè)第五十一頁(yè)，共67頁(yè)。22xtat控制方程(fngchng)離散化：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前(xin

33、qin)差分?jǐn)U散項(xiàng)中心(zhngxn)差分點(diǎn)（n,i）(1)( )( )( )( )nnn+1nn-12ttt2ttiiiiix 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法擴(kuò)散項(xiàng)(1) 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 2( )( )( )11222=iiinnnttttxx第52頁(yè)/共66頁(yè)第五十二頁(yè)，共67頁(yè)。(1)( )( )( )112221()()iiiinnnnttttxx ( )( )( )11(12)()iiinnnFo tFo tt2()Fox 其中(qzhng)： 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分方程(1) 泰勒級(jí)數(shù)(j sh)展開(kāi)法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量

34、的代數(shù)方程（離散方程） 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第53頁(yè)/共66頁(yè)第五十三頁(yè)，共67頁(yè)。Edxxx)()1()(1)()()(1ininEinindxxininxttxcAxttAxttA從所有方向流入控制(kngzh)體的總熱量 控制(kngzh)體內(nèi)能的增量?jī)?nèi)節(jié)點(diǎn)(ji din) n(2) 熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)(ji din)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第54頁(yè)/共66頁(yè)第五十四頁(yè)，共67頁(yè)。內(nèi)節(jié)點(diǎn)(ji din) n(2) 熱平衡法三、建立(jinl)節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程） ( 1)( )( )( )( )nnn+1nn-12ttt2t

35、tiiiiix 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法( 1)( )( )( )11(1 2)()iiiinnnntFo tFo tt2()Fox 其中： 第55頁(yè)/共66頁(yè)第五十五頁(yè)，共67頁(yè)。(2) 熱平衡法三、建立(jinl)節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程） 0,0txxii12tt左邊對(duì)稱(duchn)絕熱邊界 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題(wnt)的數(shù)值解法第56頁(yè)/共66頁(yè)第五十六頁(yè)，共67頁(yè)。)() 1()()()(12)(iNiNiNfiNiNttxctthxtt(1)( )( )1222222(1)iiiNNNfhhttttc xxxc x 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)問(wèn)題的數(shù)

36、值解法(2) 熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(dish fngchng)（離散方程） 右邊(yu bian)第三類邊界第57頁(yè)/共66頁(yè)第五十七頁(yè)，共67頁(yè)。顯示格式存在穩(wěn)定性問(wèn)題：如果節(jié)點(diǎn) tn(i) 前面(qin mian)的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示(xinsh)格式顯示(xinsh)格式：格式右邊全部為第 i 時(shí)間層的溫度值，只要 i 時(shí)間層溫度已知，即可計(jì)算得到 i+1 時(shí)間層的溫度。即：空間步長(zhǎng)x和時(shí)間步長(zhǎng)的選取有限制5 . 002122xaFoxa顯示格式的穩(wěn)定性條件：(1)( )( )( )( )nnn+1nn-12ttt2ttiiiiix(1)( )( )( )112221iiiinnnnttttxx 4-3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法四、一維導(dǎo)熱問(wèn)題顯式差分格式的不穩(wěn)定性討論第58頁(yè)/共66