數(shù)值分析學課件：Lec1 緒論

1、數(shù)值分析(Numerical Analysis)數(shù)值分析導讀出現(xiàn)的背景簡短的歷史2對數(shù)值計算的需要每個人知道當科學家和工程師需要數(shù)學問題的數(shù)值答案的時候,他們就轉(zhuǎn)向計算機。 然而，存在著很大的關于這一個過程的誤解。數(shù)值力量是特別巨大的。 人們時常認為，當伽利略等定下了一項原則，對每件事物一定要進行測量，從那時起科技革命就開始起動了。數(shù)值測量導致了用數(shù)學方法表達物理定律。精細的測量導致精確的定律, 進而導致較好的技術和更精確的測量。 那種離開數(shù)值數(shù)學而獲得某種物理科學的進步，或獲得某種意義重大的工程產(chǎn)品發(fā)展的時代，早已過去了。3在這一個故事中，計算機確實扮演一個角色,不過，它們的角色是什么卻存在

2、一個誤會。 許多人想像，由科學家和數(shù)學家產(chǎn)生公式,然后,藉著將數(shù)值插入進這些公式之內(nèi),計算機就制造出必需的結果。實際情況完全不是這樣。 真的進行的是執(zhí)行運算法則的一個更為有趣程序。 在大部分的情形下，照著公式做這件工作甚至無法完成，大多數(shù)的數(shù)學問題不能夠靠一個有限步操作的序列來解決。相反的是快速算法則很快地收斂于精密到三或十位，甚至一百位的數(shù)值近似答案。對于科學或工程應用來說, 這樣一個答案可能和精確答案一樣有用。4可以舉例說明正確和近似解的復雜性。假如我們有一個四次多項式,p(z)= c0+ c1z+ c2z2+ c3z3+c4z4;而另外有一個五次多項式,q(z)= d0+ d1z+ d2

3、z2+ d3z3+d4z4+d5z5:廣為人知的是：p的根可由顯式(由Ferrari在大約 1540 年發(fā)現(xiàn))求得, 但是q的根卻沒有這樣的公式(Ruffini和Abel在250年之后; 證明了它的無解性)。5因此,哲學上會意義到，p 和 q 的求根問題是完全不同的。然而在實際應用中它們卻難于區(qū)別。 如果一位科學家或一個數(shù)學家想要知道一個多項式的根, 他將會轉(zhuǎn)向一部計算機而且在小于幾毫秒的時間內(nèi)得到16位數(shù)值精度的答案。 計算機使用了一個解析公式嗎? 在q的情況，答案肯定為不，但p怎么樣?也許是,也許不。大部份的時間，使用者既不知道也不關心,一百個數(shù)學家中也許找不到一個能憑記憶寫下求p的根的公

4、式。6這里再舉出另外三個例子，就像對于p的求根那樣，它們是能用初等運算求解的。(1) 線性方程組: 解含n個未知數(shù)的n個一次方程組。(2) 線性規(guī)劃: 在m 個線性約束下，將含n個變量的一次函數(shù)減到最小。(3) 旅行售貨員問題: 找到在 n 城市之間的最短旅游路線。而下面的五個例題, 則像對于q求根那樣,通常是不能夠用初等運算求解的。(4) 求 n x n 矩陣的特征值。(5) 求多變量函數(shù)的最小值。(6) 計算積分。(7) 解常微分方程(ODE問題) 。(8) 解偏微分方程(PDE) 。7我們能否得出結論 (1)-(3) 在實際中將會比(4)-(8)容易 ? 完全不是！如果 n 是數(shù)百或數(shù)千

5、，問題 (3) 通常是非常難解的。 問題 (6)和(7) 通常相當容易,至少如果積分是一維的。 問題 (1)和(4) 幾乎完全有相同的難度:當n很小的時候（例如 100）比較容易,而當 n大的時候,（例如1000000）就很難。事實上, 在問題 (1)-(3)中, 當n和m很大的時候，人們一般不去求精確的解，而使用近似的(但卻是快速的!)解法。數(shù)值分析是研究連續(xù)問題運算法則的數(shù)學, 這意味著命題包含實變量或復變量。8簡短的歷史在整個世紀中,領先的數(shù)學家已經(jīng)參與了科學應用, 而且在許多情況下，這已經(jīng)導致今天的仍然在使用的算法的發(fā)現(xiàn)。高斯就是一個杰出的例子。在許多其他的貢獻中, 他在最小二乘數(shù)據(jù)擬

6、合(1795)、線性方程組求解(1809)、和數(shù)值積分(1814)方面,都推動了決定性的進步。他在發(fā)明快速傅立葉變換 (1805)方面也一樣, 雖然后者直到1965年Cooley和Tukey 把它再發(fā)現(xiàn)后，才變成廣為人知。9大約在1900年左右,在數(shù)學家的研究活動中，數(shù)值分析開始變得不大活躍。因為技術上的理由，當時數(shù)學的進步主要集中在嚴格性的問題上。舉例來說, 二十世紀初期數(shù)學家的許多結果要用新的關于無窮大的嚴格方法來論證，這些命題和數(shù)值計算相去甚遠。一代人過去了,在1940年代發(fā)明了計算機。從這時刻開始，數(shù)值數(shù)學爆炸了。 但是主要地在專家手中。涌現(xiàn)了很多新的雜志，如Mathematics o

7、f Computation (1943)和Numerische Mathematik (1959)。這一革命與硬件交互映輝,但是它包括的卻是與硬件沒有多大關系的數(shù)學和算法。從1950年代起的半世紀中,計算機的速度加快了大約 109,但是某些問題聞名的最好運算法也加快了那么多。兩者組合后速度的增加幾乎難以置信。10半世紀來,數(shù)值分析已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學中最大的分支之一,數(shù)以千計跨越多種科學和工程學科的研究人員在數(shù)十個數(shù)學雜志和應用雜志中發(fā)表了文章。 由于過去幾十年的中這些人的努力,由于強有力的計算機, 我們已經(jīng)達到這個水平，即大部份物理學遇到的古典數(shù)學問題能被數(shù)值方法以高的準確性解決。使這成為可能的大

8、部份的算法是1950 以后發(fā)明的。數(shù)值分析是建立在一個堅強的基礎上的: 那就是數(shù)學中近似值理論。這個領域包含插值的古典問題,級數(shù)展開和與牛頓，傅立葉、高斯有關的調(diào)和分析和其它;半經(jīng)典多項式問題和與 Chebyshev 和伯恩斯坦等的名字相關的有理數(shù)的極大極小近似值問題，以及樣條函數(shù)、徑向基函數(shù)和小波。 我們沒有篇幅來討論這些主題，但是在幾乎數(shù)值分析的每個領域中，遲早總要涉及到近似值理論。11數(shù)值分析Numerical Analysis計算的目的不在于數(shù)據(jù)，而在于洞察事物。 理查德哈明The purpose of computing is insight，not numbers. Richard

9、W.HammingHamming（1915-1998），美國工程院院士，數(shù)學家，專長是數(shù)值方法、編碼與信息論、統(tǒng)計學和數(shù)字濾波器等。 曾長期在貝爾實驗室計算機科學部工作。因發(fā)明糾錯碼而獲得1968年度(第三屆)的圖靈獎。12一、數(shù)值分析的概念、地位和特點 數(shù)值分析是研究各種數(shù)學問題的數(shù)值方法的設計、分析有關的數(shù)學理論和具體實現(xiàn)的一門學科。實際上就是介紹用計算機解決數(shù)學問題的計算方法及其理論。 屬于數(shù)學的一個分支，這門課程又稱為(數(shù)值)計算方法、科學與工程計算等。1. 數(shù)值分析的概念13數(shù)值分析輸入復雜問題或運算 計算機近似解利用計算機高速的簡單運算去實現(xiàn)各種復雜的功能14 科學計算 的核心內(nèi)容

10、是以現(xiàn)代化的計算機及數(shù)學軟件（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）為工具，以數(shù)學模型為基礎進行數(shù)值模擬研究。現(xiàn)代科學的三個組成部分: 科學理論, 科學實驗, 科學計算2. 數(shù)值分析的地位促使一些邊緣學科的相繼出現(xiàn)：計算數(shù)學,計算物理學,計算力學,計算化學,計算生物學,計算地質(zhì)學,計算經(jīng)濟學,等等15實際問題建立數(shù)學模型數(shù)值分析提出算法程序設計編程上機計算分析結果并對實際問題進行解釋說明 在建立了數(shù)學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數(shù)學模型的數(shù)值方法，即將數(shù)學模型中的連續(xù)變量離散化，轉(zhuǎn)化成一系列相應的算法步驟，編制出

11、正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數(shù)值結果。 16總的來看，數(shù)值分析這門課具有以下幾個特點： (1) 數(shù)值分析面向計算機，是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的學科； (2) 數(shù)值分析這門課程即要討論連續(xù)變量問題又要討論離散變量問題，關心的是數(shù)值結果；(3) 數(shù)值分析有可靠的理論分析和數(shù)值實驗，專門研究數(shù)學問題的數(shù)值解法，要對算法進行誤差分析。3. 數(shù)值分析的特點17二、數(shù)值分析的研究內(nèi)容和研究方法插值法線性方程組的數(shù)值解法 非線性方程組的數(shù)值解法數(shù)值積分與數(shù)值微分常微分方程的數(shù)值解法 函數(shù)逼近矩陣特征值計算 方程求根研究內(nèi)容18研究方法:1. 數(shù)值方法的特點（基本思想）2. 如何評價數(shù)值

12、方法的好壞（評價標準） 近似, 遞推性(迭代), 離散化, 外推法 本課程的基本目的，是使大家通過學習，初步建立并理解數(shù)值計算，特別是科學與工程計算的基本概念和主要方法，為進一步深入學習打下基礎。誤差、穩(wěn)定性、收斂性、計算量、存貯量和自適應性19考試評分：平時成績占總成績的30% 期末考試占總成績的70%，閉卷考試。三、基本要求作業(yè)要求： 會不定期地布置課后作業(yè)20數(shù)值計算中的誤差分析初步 誤差來源 誤差分析的重要性 誤差的基本概念誤差來源實際問題數(shù)學模型計算模型計算模型誤差觀測誤差（數(shù)據(jù)誤差）方法誤差（截斷誤差）舍入誤差不予討論所要研究的數(shù)值分析只研究用數(shù)值方法求解數(shù)學模型時產(chǎn)生的誤差22截斷誤差當數(shù)學模型不能得到精確解時，通常要用數(shù)值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為截斷誤差（或方法誤差）。23截斷誤差當數(shù)學模型不能得到精確解時，通常要用數(shù)值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為截斷誤差（或方法誤差）。yxbaO24舍入誤差有了求解數(shù)學問題的計算公式以后，用計算機做數(shù)值計算時，由于計算機字長有限，原始數(shù)據(jù)在計算機上表示會產(chǎn)生誤差，計算過程又可能產(chǎn)生新的誤差，這種誤差稱為舍入誤差。25誤差分析的重要性26誤差分析的重要性27誤差分析的重要性兩種算法的計算結果如下