經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《線性代數(shù)》第三章----線性方程組

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)第三章 線性方程組線性方程組的解的判定和求法本章難點(diǎn)：解的判定定理本章重點(diǎn)：一、線性方程組的有關(guān)概念1、n元線性方程組為：4元線性方程組2、方程組的系數(shù)矩陣A為：“增廣矩陣”對(duì) 做初等行變換，同時(shí)也是對(duì)A做變換。3、方程組的矩陣形式：系數(shù)矩陣A未知量矩陣X常數(shù)矩陣B【例1】寫出下列線性方程組的系數(shù)矩陣、增廣矩陣和矩陣形式解：系數(shù)矩陣是增廣矩陣方程組的矩陣形式是AXB，即由線性方程組可惟一確定增廣矩陣；反之由增廣矩陣，也可以惟一確定線性方程組?！纠?】已知方程組的增廣矩陣如下，試寫出它的線性方程組【解】：“常數(shù)項(xiàng)”一一對(duì)應(yīng)“增廣矩陣”“線性方程組”【例3】已知方程組的增廣矩陣

2、如下，試寫出它的線性方程組解：“常數(shù)項(xiàng)”4、齊次線性方程組：AX=0如果常數(shù)項(xiàng)不全為0，則稱為：非齊次線性方程組。5、方程組的解：方程組的解是滿足方程組的未知量的一組取值：例如：顯然，就是它的一組解。顯然： 是齊次線性方程組 注意：方程組的解可能有惟一解，也可能 有無(wú)窮多組，也可能是無(wú)解。的一組解。稱為0解，或平凡解。否則稱為非零解。定理3.1,3.2實(shí)際上告訴我們要通過求“增廣矩陣”的秩來(lái)判斷解的情況。總結(jié)：（1）若 則方程組無(wú)解。（2.1）若r = n 就有唯一解；（2.2）若r n 就有無(wú)窮多解。（2）若 則方程組有解。設(shè)r=秩(A)，n為未知量的個(gè)數(shù).二、線性方程組解的判定定理【例3】

3、當(dāng)a,b為何值時(shí),下列方程組有惟一解 、無(wú)窮多解或無(wú)解。【解】只需要對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,將其化為階梯形矩陣+(-1)+(-1)+(-2)根據(jù)方程組解的判定定理可知：（1）當(dāng)a=3,且b3時(shí)所以方程組無(wú)解。（2）當(dāng)a=-3,且b=3時(shí)所以方程組有無(wú)窮多解.（3）當(dāng)a-3時(shí)所以方程組有惟一解.注意3個(gè)量：1、線性方程組AX = b的解的情況歸納如下： (1.1)AX = b有唯一解 (1.2)AX = b有無(wú)窮多解 (1.3)AX = b無(wú)解 2、齊次線性方程組AX = 0的解的情況為： (2.1)AX = 0只有零解(唯一解) (2.1)AX = 0有非零解(無(wú)窮多解) 注：對(duì)于齊次線性方

4、程組沒有“無(wú)解”的情況?！纠?線性方程組AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( ) A可能有解 B有無(wú)窮多解 C無(wú)解 D有唯一解 【解】線性方程組AX = B有唯一解，說明故AX = 0只有唯一解（零解） 三、線性方程組的求解定義：“行簡(jiǎn)化階梯形矩陣”若階梯形矩陣還滿足下兩個(gè)條件：(1)各個(gè)非0行的第一個(gè)不為0的元素(首非0元) 都是1；(2)所有首非0元所在列的其余元素都是0.如：求解的方法：用初等行變換。第一步，寫出增廣矩陣 ，并用初等 行變換變?yōu)殡A梯矩陣；第二步，再用初等行變換將所得矩陣變?yōu)?行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；第三步，寫出所得矩陣對(duì)應(yīng)的方程組，再 整理出方程組的一般解。實(shí)際上，第二

5、步和求逆矩陣的第三步類似。【例4】解線性方程組：【解】對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即+(-2)+(-4)+(-2)+(-1)(,)+3(-1)+所以方程組化簡(jiǎn)為：即方程組的解為：【例5】解線性方程組：【解】對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即(,)+(-2)+(-4)+(-1)+(-1)+(-3)所以方程組化簡(jiǎn)為：含有自由未知量的解稱為方程組的一般解。（P132）【例6】設(shè)線性方程組AX=b的增廣矩陣通過初等行變換化為：【分析】先確定基本未知量為：則此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為_。則其余的為自由未知量：【練習(xí)】求方程組的解。已知線性方程組A

6、X=B的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣：解：對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其進(jìn)一步化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即+(-1)+(-1) 其中，是自由未知量寫成方程組的形式為：所以，方程組的解為：其中，是自由未知量解齊次線性方程組一般方法是： (1) 寫出齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A；(2) 對(duì)A施行初等行變換，使A化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣； (3) 根據(jù)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣寫出方程組的解。 【例7】求線性方程組：解：的一般解。對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即+(-2)+(-2)+(-1) (-1)+(-1)+2+(-1)所以方程組化簡(jiǎn)為：【例8】設(shè)齊次線性方程組為：【解】對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，即+(-2)+(-3)問：取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解。+(-