1不等關(guān)系及一元二次不等式

1、PAGE PAGE 9第七章不等式、推理與證明學(xué)案6不等關(guān)系及一元二次不等式導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式并能應(yīng)用一元二次不等式解決某些實際問題自主梳理1一元二次不等式的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_的不等式叫做一元二次不等式2二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關(guān)系判別式b24ac000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實根x1,2eq f(br(b24ac),2a)(x10的解集a0(，x1)(x2，)(，eq

2、f(b,2a)(eq f(b,2a)，)a0的解集是R，q：1a0，則p是q成立的_條件2設(shè)函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x24x6，x0，,x6， xf(1)的解集是_3若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是_(填序號)a2b22ab；ab2eq r(ab)；eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(2,r(ab)；eq f(b,a)eq f(a,b)2.4已知f(x)ax2xc0的解集為(3,2)，則a_，c_.5當(dāng)x(1,2)時，不等式x2mx40；(2)9x26x10.變式遷移1解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)8x11

3、6x2.探究點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2已知常數(shù)aR，解關(guān)于x的不等式ax22xa0.變式遷移2解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.探究點三一元二次不等式恒成立問題例3已知f(x)x22ax2 (aR)，當(dāng)x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍變式遷移3(1)關(guān)于x的不等式eq f(4xm,x22x3)4xp3對一切0p4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍轉(zhuǎn)化與化歸思想與三個“二次”的關(guān)系例4已知不等式ax2bxc0的解集為(，)，且0，求不等式cx2bxa0的解集是一個開區(qū)間，結(jié)合不等式對應(yīng)的函數(shù)圖象知a0，要求cx2bxa0，因a0，c0，從而知道cx2bxa0的解集是x大于大根

4、及小于小根對應(yīng)的兩個集合要想求出解集，需用已知量，代替參數(shù)c、b、a，需對不等式cx2bxa0 (a0)恒成立的條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac0；)ax2bxc0 (a0)恒成立的條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac(eq f(1,3)6kx的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是_3已知集合Mx|x22 008x2 0090，Nx|x2axb0，若MNR，MN(2 009,2 010，則a_，b_.4若(m1)x2(m1)x3(m1)a2a30，則使得(1aix)21 (i1,2,3)都成立的x的取值范圍是_6在R上定義運算：xyx(1

5、y)，若不等式(xa)(xa)0，,x2， x0，)則滿足f(x)1的x的取值范圍為_8. 已知函數(shù)f(x)的定義域為(，)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)yf(x)的圖象如右圖所示，且f(2)1，f(3)1，則不等式f(x26)1的解集為_二、解答題(共42分)9(14分)解關(guān)于x的不等式eq f(xa,xa2)0 (aR)10(14分)若不等式ax2bxc0的解集是eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,3)x2)，求不等式cx2bxa0的解集是R等價于4a24a0，即1a3，解得x3或0 x1；當(dāng)x3，解得3xf(1)的解集為(3，1)(3，)3 解析a2b22ab(ab)2

6、0，錯誤對于，當(dāng)a0，b0，eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)2.416 解析因為f(x)ax2xc0的解集為(3,2)，所以32eq f(1,a)，a1，32eq f(c,a)，c6.5(，5 解析記f(x)x2mx4，根據(jù)題意得eq blcrc (avs4alco1(m2160，,f10，,f20，)解得m5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引解一元二次不等式的一般步驟：(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0)；(2)計算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不

7、等式的解集解(1)兩邊都乘以3，得3x26x20，且方程3x26x20的解是x11eq f(r(3),3)，x21eq f(r(3),3)，所以原不等式的解集是x|1eq f(r(3),3)x1eq f(r(3),3)(2)不等式9x26x10，其相應(yīng)方程9x26x10，(6)2490，上述方程有兩相等實根xeq f(1,3)，結(jié)合二次函數(shù)y9x26x1的圖象知，原不等式的解集為R.變式遷移1解(1)不等式2x24x30可轉(zhuǎn)化為2(x1)210，2x24x30，且方程3x22x80的解是x12，x2eq f(4,3)，所以原不等式的解集是(，2eq f(4,3)，)(3)原不等式可轉(zhuǎn)化為16x

8、28x10，即(4x1)20，原不等式的解集為eq f(1,4)例2解題導(dǎo)引(1)含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式(3)其次對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集解(1)a0時，解為x0.(2)a0時，44a2.當(dāng)0，即0a1時，方程ax22xa0的兩根為eq f(1r(1a2),a)，不等式的解集為x|eq f(1r(1a2),a)xeq f(1r(1a2),a)當(dāng)0，即a1時，x

9、；當(dāng)1時，x.(3)當(dāng)a0，即1a0時，不等式的解集為x|xeq f(1r(1a2),a)0，即a1時，不等式化為(x1)20，解為xR且x1.0，即a1時，xR.綜上所述，當(dāng)a1時，原不等式的解集為；當(dāng)0a1時，解集為x|eq f(1r(1a2),a)x0；當(dāng)1a0時，解集為x|xeq f(1r(1a2),a)；當(dāng)a1時，解集為x|xR且x1；當(dāng)a1.當(dāng)a0時，原不等式變形為(xeq f(1,a)(x1)1時，解得eq f(1,a)x1；a1時，解得x；0a1時，解得1xeq f(1,a).當(dāng)a0，eq f(1,a)1，解不等式可得x1.綜上所述，當(dāng)a0時，不等式解集為(，eq f(1,a)

10、(1，)；當(dāng)a0時，不等式解集為(1，)；當(dāng)0a1時，不等式解集為(eq f(1,a)，1)例3解題導(dǎo)引注意等價轉(zhuǎn)化思想的運用，二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題解方法一f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa.當(dāng)a(，1)時，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a0，,a0，不等式eq f(4xm,x22x3)2同解于4xm0.要使原不等式對任意實數(shù)x恒成立，只要2x28x6m0對任意實數(shù)x恒成立0，即648(6m)0，整理并解得m4xp3，(x1)px24x30.令g(

11、p)(x1)px24x3，則要使它對0p4均有g(shù)(p)0，只要有eq blcrc (avs4alco1(g00,g40).x3或x1.實數(shù)x的取值范圍為(，1)(3，)例4解由已知不等式的解集為(，)可得a0，為方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)0. )4分a0，由得c0， 則cx2bxa0.8分，得eq f(b,c)eq f(,)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)f(1,)0，eq f(1,)、eq f(1,)為方程x2eq f(b,c)xeq f(a,c)0的兩根12分0，不等式cx2bxa0的解集為x|xe

12、q f(1,)14分課后練習(xí)區(qū)1eq r(2)，1)(1，eq r(2)2.0,132 0092 010 解析化簡得Mx|x2 009，由MNR，MN(2 009,2 010可知Nx|1x2 010，即1,2 010是方程x2axb0的兩個根所以b12 0102 010，a12 010，即a2 009.4meq f(13,11) 解析當(dāng)m1時，不等式變?yōu)?x60，即x3，不符合題意當(dāng)m1時，由題意知eq blcrc (avs4alco1(m10，,m124m13m10，)化簡，得eq blcrc (avs4alco1(m10，)解得meq f(13,11).5.eq blc(rc)(avs4a

13、lco1(0，f(2,a1) 解析(1aix)21，即aeq oal(2,i)x22aix0，即aix(aix2)0，這個不等式可以化為xeq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,ai)0，即0 xeq f(2,ai)，若對每個都成立，則eq f(2,ai)應(yīng)最小，即ai應(yīng)最大，也即是0 xeq f(2,a1).6(eq f(1,2)，eq f(3,2) 解析由題意知，(xa)(xa)1(xa)(1xa)0.因上式對xR都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30.所以eq f(1,2)a0時，由log2x1，得x2；當(dāng)x0時，由x21，得x1.綜上可知，x的取值范圍為(，1)(

14、2，)8(2,3)(3，2) 解析由導(dǎo)函數(shù)圖象知當(dāng)x0，即f(x)在(，0)上為增函數(shù)；當(dāng)x0時，f(x)1等價于f(x26)f(2)或f(x26)f(3)，即2x260或0 x263，解得x(2,3)(3，2)9解eq f(xa,xa2)0(xa)(xa2)0，(2分)當(dāng)a0或a1時，原不等式的解集為；當(dāng)a1時，aa2，此時axa2；當(dāng)0aa2，此時a2xa. 綜上，當(dāng)a1時，原不等式的解集為x|axa2；當(dāng)0a1時，原不等式的解集為x|a2xa；當(dāng)a0或a1時，原不等式解集為.(14分)10解由ax2bxc0的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,3)x2)，知a0，(4

15、分)又eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2eq f(c,a)0.又eq f(1,3)，2為方程ax2bxc0的兩個根，(7分)eq f(b,a)eq f(5,3)，即eq f(b,a)eq f(5,3).又eq f(c,a)eq f(2,3)，beq f(5,3)a，ceq f(2,3)a.(10分)不等式cx2bxa0變?yōu)閑q blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)a)x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)a)xa0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|3xf(1,2).(14分)11解(1)xR時，有x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，6a2.(4分)(2)當(dāng)x2,2時，設(shè)g(x)x2ax3a0，分如下三種情況討論(如圖所示)：如圖a，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方，滿足條件時，有a24(3a)0，即6a2.(7分)如圖b，g(x)的圖象與x軸有交點，但在x2，)時，g(x)0，即eq blcrc (avs4alco1(0，,