數(shù)學(xué)電子教案空白模板

1、第 PAGE128 頁 共 NUMPAGES128 頁數(shù)學(xué)電子教案空白模板聾校數(shù)學(xué)電子教案【篇1：聾校數(shù)學(xué)七年級第十三冊教案】聾校數(shù)學(xué)七年級第十三冊教案句容市特殊教育學(xué)校王露 20_年9月20_年1月七年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)教學(xué)計劃教材分析p ： 這一冊教材包括下面一些內(nèi)容：分?jǐn)?shù)加法和減法，分?jǐn)?shù)乘法，分?jǐn)?shù)除法。在計算方面，教學(xué)分?jǐn)?shù)加.減.乘.除法，分?jǐn)?shù)加減.乘加.乘減.乘除混合運算，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，分?jǐn)?shù)與小數(shù)加減混合運算。 在應(yīng)用題方面，著重教學(xué)簡單的分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題。教學(xué)要求：1.學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加、減法的意義，掌握分?jǐn)?shù)加、減法的計算法則，比較熟練的計算分?jǐn)?shù)加、減法（簡單的能夠口算）。2.使學(xué)生理解分

2、數(shù)乘除法的意義，掌握分?jǐn)?shù)乘除法的計算法則，比較熟練的計算分?jǐn)?shù)乘除法（簡單的能夠口算）。3.使學(xué)生會進(jìn)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，會進(jìn)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算以及分?jǐn)?shù)四則兩步混合運算。 4.使學(xué)生理解比的意義和性質(zhì)，會求比值和化簡比。5.使學(xué)生能夠按要求用算術(shù)方法或方程解法解答分?jǐn)?shù)一.二步分?jǐn)?shù)加、減法應(yīng)用題，會解答分?jǐn)?shù)乘除法一步應(yīng)用題以及按比例分配的應(yīng)用題。教學(xué)重點：掌握分?jǐn)?shù)加、減、乘、除法的計算法則，比較熟練的計算分?jǐn)?shù)加、減、乘、除法以及四則兩步混合運算。教學(xué)難點：用算術(shù)方法或方程解法解答分?jǐn)?shù)一二分?jǐn)?shù)加減應(yīng)用題，會解答分?jǐn)?shù)乘法.除法一步應(yīng)用題以及按比例分配的應(yīng)用題。課時安排：一、分?jǐn)?shù)加減法（31課時）

3、 1同分母分?jǐn)?shù)加減法 10課時 2異分母分?jǐn)?shù)加減法8課時 3分?jǐn)?shù)加減混合運算4課時4分?jǐn)?shù).小數(shù)加減混合運算7課時 5整理復(fù)習(xí) 2課時二、分?jǐn)?shù)乘法（23課時）1 乘法的意義和計算法則 15課時 2 分?jǐn)?shù)乘法一步應(yīng)用題4課時 3 倒數(shù)的認(rèn)識 2課時 4 整理復(fù)習(xí) 2課時三、分?jǐn)?shù)除法（26課時）1 分?jǐn)?shù)除法的意義和計算法則 12課時 2 分?jǐn)?shù)除法一步應(yīng)用題 4課時 3比 7課時4 整理和復(fù)習(xí) 3課時一、分?jǐn)?shù)的加法和減法教學(xué)要求：1 使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加、減的意義，理解并掌握分?jǐn)?shù)加減法的法則，并能夠比較熟練的計算分?jǐn)?shù)加減法，會口算簡單的分?jǐn)?shù)加、減法。 2 使學(xué)生理解整數(shù)加法運算定律對于分?jǐn)?shù)加法同樣適用，并

4、會用這些定律進(jìn)行一些分?jǐn)?shù)加法的簡便計算。3 使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化方法，正確的進(jìn)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算。教學(xué)課時：31課時教學(xué)過程：第一課時目的：了解分?jǐn)?shù)加減法的意義教具：小黑板過程：一、復(fù)習(xí)（小黑板）7/8的分?jǐn)?shù)單位是。 5/9是（ ）個1/9 。 4/7是4個。3個1/5 是。二、新授例1 一張長方形紙，做紙花用去2/5 ，做小旗用去1/5 。一共用去這張紙的幾分之幾？（小黑板）做紙花用去2/5 做小旗用去1/5 一共用去？想：2個1/5 加1個1/5 是3個1/5 ，就是3/5 。 2/5+1/5 = 3/5答：一共用去這張紙的3/5 。意義：與整數(shù)加法的意義相同，是把兩個數(shù)合并成

5、一個數(shù)的運算。練習(xí)： 2/5+ 2/5= 3/7+1/7 =例2 一塊布長9/10 米，用去6/10 米。還剩多少米？（小黑板）想：9個1/10 米減去6個1/10 米剩3個1/10 米，就是 3/10米。 9/10 -6/10 = 3/10（米）答：還剩3/10 米。意義：與整數(shù)減法的意義相同，是已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。三、練習(xí)：4/53/7=/7=想： 和 可以直接想減嗎？為什么？ 做課后練習(xí)比較上面兩個例題，說一說同分母分?jǐn)?shù)加法和減法的計算有什么共同點。同分母分?jǐn)?shù)加法和減法的法則：（小黑板）同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。小結(jié)：分?jǐn)?shù)加減法的法則。

6、 作業(yè)： 1.課堂作業(yè)：p77 8 2.課外作業(yè)：p79第三課時教學(xué)目的：運用加減法法則計算。教學(xué)內(nèi)容：例5教具準(zhǔn)備：小黑板教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)（小黑板）二、新授 設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。 指導(dǎo)學(xué)習(xí)：例5計算：出示例5題 同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。 能化成整數(shù)的要化成整數(shù) 把整數(shù)化成分?jǐn)?shù)三、做課后練習(xí)，教師巡查。四、小結(jié)：熟練的運用分?jǐn)?shù)加減法法則進(jìn)行計算。五、作業(yè)：1.課堂作業(yè)：p7 10 11 2.課外作業(yè)：p7 12教學(xué)后記：教學(xué)例5時，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和怎樣把1化成與其他分?jǐn)?shù)的分母相同的分?jǐn)?shù)。再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則計算?！酒?：聾校二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)教案】特殊教育學(xué)校教

7、師電子備課簿2022 20_學(xué)年度第二學(xué)期 學(xué)科 數(shù) 學(xué)年級教師 周詠梅學(xué)校 新沂市特教中心第四 冊 聾部數(shù)學(xué)學(xué)期教學(xué)進(jìn)度計劃數(shù)學(xué)第一 單元教學(xué)進(jìn)度計劃 1、乘法的初步認(rèn)識第（1）課時，總第（1）課時教學(xué)內(nèi)容： 乘法的初步認(rèn)識，例1, 練習(xí)一1 4題。 教學(xué)目標(biāo)： 1、使學(xué)生理解乘法含義，知道“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法計算比較簡便。 2、會口述乘法算式所表示的意思 3、培養(yǎng)學(xué)生觀察比較的能力。教學(xué)重難點：“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法計算比較簡便，乘法算式所表示的意義。 教學(xué)準(zhǔn)備：小紅花、正方形、小圓片等實物圖 ，課件 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)鋪墊：726 ， 33 ； 452， 555 ， 64

8、3 ， 4+444（1）、引導(dǎo)學(xué)生觀察，討論：這些算式有什么相同的地方？有什么不同的地方？ （2）、指名說出自己的想法？集體總結(jié)答案。 二、激發(fā)導(dǎo)入：像上面這樣求幾個相同加數(shù)的和，除了用加法計算外，還可以用一種簡便方單的方法，這種簡便方法是是什么呢？這正是我們今天要研究的問題 三、探究新知：（一）、出示例1擺一擺，算一算1、師生共同先擺2朵，再擺2朵，最后又?jǐn)[2朵，想：擺了幾個2，想：擺了幾個2？要求一共擺了多少朵？用加法算式怎樣表示？想：你寫出的加法算式有什么特點？相同加數(shù)是幾，幾個2連加數(shù)一數(shù),算一算? 板書：2 + 2 + 2 = 62、教師小結(jié)：像這樣求幾個相同加數(shù)的和，除了用加法計算

9、外，還有一種比較簡便的方法叫做乘法板書課題：乘法的初步認(rèn)識【篇3：聾校數(shù)學(xué)第十四冊教案】聾校數(shù)學(xué)第十四冊教案第一課時教學(xué)目的：分?jǐn)?shù)四則混合運算。 教學(xué)內(nèi)容：例1、2教具準(zhǔn)備：小黑板教學(xué)過程 ：新授1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。 2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：= 應(yīng)該先算什么，再算什么？ = =分?jǐn)?shù)四則混合運算的運算順序與整數(shù)四則混合運算的運算順序相同。 練習(xí)：做一做作業(yè)：練習(xí)一1、2、3題。教學(xué)后記：在學(xué)生練習(xí)時教師應(yīng)注意巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題，隨時給予個別的輔 導(dǎo)和糾正。還應(yīng)提醒學(xué)生做分?jǐn)?shù)四則混合運算時，不僅要注意運算順序，還要注意分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)乘除法的計算方法差異較大，必須要分清什么時候需要通分什么時候需要把帶分

10、數(shù)化成假分?jǐn)?shù)。第二課時教學(xué)目的：鞏固練習(xí)。教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一58題教具準(zhǔn)備：小黑板教學(xué)過程：練習(xí)：5.（1）學(xué)生練習(xí)：先讓學(xué)生說說計算順序，然后再計算。（2）老師講評。 6.（1）學(xué)生練習(xí)：先讓學(xué)生說說計算順序，然后再計算。（2）老師講評。 7.（1）學(xué)生練習(xí)：本題都是三四步的分?jǐn)?shù)混合運算，計算比較復(fù)雜。學(xué)生做題時，可先學(xué)生說說計算的順序。（2）老師講評。8.說出下面的圖形的名稱，并計算出它們的面積。（1） 學(xué)生練習(xí)： （2） 老師講評。 作業(yè) ：練習(xí)一6、7、8第三課時教學(xué)目的：分?jǐn)?shù)四則混合運算。教學(xué)內(nèi)容：例3教學(xué)過程：復(fù)習(xí)：新授：1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。 2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：=2（1/7）+（5/

11、8+3/8） （應(yīng)用了什么定律？） = =在分?jǐn)?shù)四則混合運算中有時可以應(yīng)用運算定律使計算簡便。練習(xí)：做一做作業(yè)：練習(xí)一10-12題。教學(xué)后記：教學(xué)例3時，可以先出示例題，讓學(xué)生想一想這道題應(yīng)該先算什么，然后指名讓學(xué)生說出計算的方法，教師在黑板上演算。第四課時教學(xué)目的：混合練習(xí)。教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一1318題教具準(zhǔn)備：小黑板。教學(xué)過程：復(fù)習(xí)：練習(xí)：13.（1）學(xué)生練習(xí)：（2）老師講評。14.（1）學(xué)生 練習(xí)：要充分運用各種運算定律使計算簡便。（2） 老師講評。15.（1）學(xué)生 練習(xí)：要充分運用各種運算定律使計算簡便。（2） 老師講評。16.（1）學(xué)生練習(xí)：復(fù)習(xí)長方體和正方體的表面積公式。（2）老師講

12、評。 17.（1）學(xué)生練習(xí)。讀題，列式、計算、答題。（2） 老師講評。18.（1）學(xué)生練習(xí)。讀題，列式、計算、答題。（2） 老師講評。作業(yè)：練習(xí)一1418題。第五課時教學(xué)目的：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運算教學(xué)內(nèi)容：例4教具準(zhǔn)備：小黑板教學(xué)過程：復(fù)習(xí)新授：1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。 2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)： =1（2/3）因為計算分?jǐn)?shù)乘除法時，有時可以先約分，再計算比較簡便。所以，分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運算一般先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再計算。練習(xí)：做一做作業(yè)：練習(xí)二1、3題教學(xué)后記：教學(xué)例4以前，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化的方法和分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算。出示例4，讓學(xué)生想一想，這道題怎樣計算比較方便。由于本題中的8/39

13、不能化成有限小數(shù)，所以都化成分?jǐn)?shù)計算比較簡單。 第六課時教學(xué)目的：鞏固練習(xí)高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)第十二章無窮級數(shù)教學(xué)目的： 1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。2、了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。3、掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。4、掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。5、掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨定理，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。6、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。7、理解函數(shù)項級數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。8、掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪

14、級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。 9、會利用冪級數(shù)的性質(zhì)求和10、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。11、會利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。12、理解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。13、掌握將定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的方法。14、會將定義在區(qū)間0，上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。15、會將定義在區(qū)間(l，l)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。 教學(xué)重點 ：1、級數(shù)收斂的定義及條件2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散 3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法； 4、泰勒級數(shù)5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。 教學(xué)難點：1、級數(shù)收斂的定義及條件2、判定正項級

15、數(shù)的收斂與發(fā)散 3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)4、泰勒級數(shù)；5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)12 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項無窮級數(shù) 一般地，給定一個數(shù)列u1 u2 u3 un 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 u2 u3 un 叫做（常數(shù)項)無窮級數(shù) 簡稱（常數(shù)項)級數(shù) 記為un 即n1unu1u2u3 un n1其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項 級數(shù)的部分和 作級數(shù)un的前n項和n1nsnuiu1u2u3 un i1稱

16、為級數(shù)un的部分和 n1級數(shù)斂散性定義 如果級數(shù)un的部分和數(shù)列sn有極限s n1即limsns n則稱無窮級數(shù)un收斂 這時極限s叫做這級數(shù)的和 n1并寫成sunu1u2u3 un n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)如果sn沒有極限 則稱無窮級數(shù)un發(fā)散 n1n1n1余項 當(dāng)級數(shù)un收斂時 其部分和s n是級數(shù)un的和s的近似值 它們之間的差值rnssnun1un2 叫做級數(shù)un的余項 n1例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))aqnaaqaq2 aqn n0的斂散性 其中a0 q叫做級數(shù)的公比解： 如果q1 則部分和snaaqaq aq2n1aaqnaqn

17、a1q1q1qaa當(dāng)|q|1時 因為limsn 所以此時級數(shù)aqn收斂 其和為 1q1qnn0當(dāng)|q|1時 因為limsn 所以此時級數(shù)aqn發(fā)散 nn0如果|q|1 則當(dāng)q1時 sn na 因此級數(shù)aqn發(fā)散 n0當(dāng)q1時 級數(shù)aqn成為n0aaaa 時|q|1時 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)所以sn的極限不存在 從而這時級數(shù)aqn也發(fā)散 n0a綜上所述 如果|q|1 則級數(shù)aq收斂 其和為 如果|q|1 則級數(shù)aqn發(fā)散 1qn0n0n僅當(dāng)|q|1時 幾何級數(shù)aqna0)收斂 其和為n0a 1q例2 證明

18、級數(shù)135 （2n-1） 是發(fā)散的證 此級數(shù)的前n項部分和為n(21n)nsn135 ( 顯然 limsn 因此所給級數(shù)是發(fā)散的 n例3 判別無窮級數(shù)1111 122334n(n1)的收斂性解 由于un因此sn1111 122334n(n1)111 n(n1)nn1(1)() (從而limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1n1所以這級數(shù)收斂 它的和是1 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)提示 un 111 n(n1)nn1二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)n1n1性質(zhì)1 如果級數(shù)un收斂于和s 則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)kun也收斂且其

19、和為ks 證明： 設(shè)un與kun的部分和分別為sn與n 則n1n1limnlim(ku1ku2 kun)klim(u1u2 un)klimsnks nnnn這表明級數(shù)kun收斂 且和為ks n1表明：級數(shù)的每一項同乘以一個不為零常數(shù)后，它的收斂性不會改變。性質(zhì)2 如果級數(shù)un、vn分別收斂于和s、 則級數(shù)(unvn)也收斂 且其和為s n1n1n1證明： 如果un、vn、(unvn)的部分和分別為sn、n、n 則n1n1n1limnlim(u1v1)(u2v2) (unvn)nnlim(u1u2 un)(v1v2 vn)nlim(snn)s n表明：兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減。性質(zhì)3在

20、級數(shù)中去掉、加上或改變有限項 不會改變級數(shù)的收斂性比如 級數(shù)1111 是收斂的122334n(n1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)加一項后級數(shù)9895112123134 1n(n1) 也是收斂的 減一項后級數(shù)111 也是收斂的3445n(n1)性質(zhì)4 如果級數(shù)un收斂 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂 且其和不變n1注意 如果加括號后所成的級數(shù)收斂 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂例如 級數(shù)（11)+（11) + 收斂于零 但級數(shù)1111 卻是發(fā)散的推論 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散 則原來級數(shù)也發(fā)散級數(shù)收斂的必要條件 性質(zhì)5 如果un收斂

21、則它的一般項un 趨于零 即limun0 n1n0證 ： 設(shè)級數(shù)un的部分和為sn 且limsns 則n1nlimunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0 n0nnn注意 級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件例如調(diào)和級數(shù)11111 23nn1n1n盡管它的一般項limn0，但它是發(fā)散的因為假若級數(shù)1收斂且其和為s sn是它的部分和nn1顯然有l(wèi)imsns及l(fā)ims2ns 于是lim(s2nsn)0 nnn但另一方面青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)s2nsn1n1111111 n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0 矛盾 這矛盾說

22、明級數(shù)1必定發(fā)散 nn1n12 2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法定義：各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)，稱為正項級數(shù)。 正項級數(shù)是一類非常重要的級數(shù)，關(guān)于正項級數(shù)有列重要結(jié)論： 定理1 正項級數(shù)un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列sn有界n1證設(shè)級數(shù)u1 u2 un 是一個正項級數(shù)。其部分和為sn顯然sn是一個單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界 則根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有 極限的準(zhǔn)則，可知級數(shù)un收斂；反之 若級數(shù)un收斂，則部分和數(shù)列sn有極限， 根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知sn有界 n1n1n1定理2 (比較審斂法) 設(shè)un和vn都是正項級數(shù) 且unvn (n1 2 )

23、若級數(shù)vn收n1n1n1斂 則級數(shù)un收斂 反之 若級數(shù)un發(fā)散 則級數(shù)vn發(fā)散 證設(shè)級數(shù)vn收斂于和 則級數(shù)un的部分和n1n1snu1u2 unv1 v2 vn (n1, 2, ) 即部分和數(shù)列sn有界 由定理1知級數(shù)un收斂 n1n1n1 反之 設(shè)級數(shù)un發(fā)散 則級數(shù)vn必發(fā)散 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)n1n1因為若級數(shù)vn收斂 由上已證明的結(jié)論 將有級數(shù)un也收斂 與假設(shè)矛盾n1n1n1推論設(shè)un和vn都是正項級數(shù) 如果級數(shù)vn收斂 且存在自然數(shù)N 使當(dāng)nN時有n1n1unkvn(k0)成立 則級數(shù)un收斂 如果級數(shù)vn發(fā)散 且當(dāng)nN時有

24、unkvn(k0)成立則級數(shù)un發(fā)散n1例1 討論p級數(shù)n1111111 np2p3p4pnp的收斂性 其中常數(shù)p0111解 設(shè)p1 這時p 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散 由比較審斂法知 nnn1n當(dāng)p1時級數(shù)n11發(fā)散pn設(shè)p1 此時有nn111111d_d_p1(n2, 3, )pppp1n1nn1_p1(n1)nn對于級數(shù)n211p1 其部分和 p1(n1)n1p112p1 p111np1111p1p1(n1)(n1)sn123因為limsnlim1nn11 (n1)p1111所以級數(shù)收斂 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知 級數(shù)當(dāng)pp1p1nn2(n1)n1n青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等

25、數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)p1時收斂 綜上所述 p級數(shù)1p當(dāng)p1時收斂 當(dāng)p1時發(fā)散 n1n提示 級數(shù)n211的部分和為(n1)p1np112p1sn112p113p1 1np1111p1(n1)(n1)p1因為limsnlim1nn11 (n1)p1所以級數(shù)n211收斂 (n1)p1np1p級數(shù)的收斂性p級數(shù)n11當(dāng)p1時收斂 當(dāng)p1時發(fā)散pn例2 證明級數(shù)n11n(n1)是發(fā)散的證 因為1n(n1)1(n1)21n1而級數(shù)n11111 是發(fā)散的n123n1根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的定理3 (比較審斂法的極限形式) n1n1設(shè)un和vn都是正項級數(shù) (1)如果limnunvnn1

26、n1l(0l) 且級數(shù)vn收斂 則級數(shù)un收斂 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)(2)如果limnunvnl0或limnunvnn1n1 且級數(shù)vn發(fā)散 則級數(shù)un發(fā)散證明 由極限的定義可知 對1l 存在自然數(shù)N 當(dāng)nN時 有不等式2 lu1113lnll即lvnunlvn222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1 即得所要證的結(jié)論 例3 判別級數(shù)tann11n的收斂性tan1解 因為 limnn1 而級數(shù)1發(fā)散 1n1nn根據(jù)比較審斂法的極限形式 級數(shù)tann11n發(fā)散 例4 判別級數(shù)n11(2n1)(2n1)的收斂性11(2n1)(2n1)1 而級數(shù)2收斂

27、解 因為 limn14n1n2n根據(jù)比較審斂法的極限形式 級數(shù)n11(2n1)(2n1)收斂 定理4 (比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)un的后項與前項之比值的極限等于 n1limnun1un 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)則當(dāng)1時級數(shù)收斂 當(dāng)1(或limnun1un)時級數(shù)發(fā)散 當(dāng) 1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例5 證明級數(shù)1是收斂的 解 因為 limn1111 112123123 (n1)un1un limn123 (n1)123 n limn101n根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂 例6 判別級數(shù)112123n !2 的收斂性3n00解 因為

28、 limnun1un(n1)!10nn1 lim limn1n !n10n10根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散 例7 判別級數(shù)n112n(2n1)的收斂性解 limnun1un limn2n(2n1)(2n1)(2n2)1 這時1 比值審斂法失效 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性因為定理5 (根值審斂法 柯西判別法) 1(2n1)2n1n2 而級數(shù)n11收斂 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂n2設(shè)un是正項級數(shù) 如果它的一般項un的n次根的極限等于 n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)limnnun n則當(dāng)1時級數(shù)收斂 當(dāng)1(或limnun)時級數(shù)發(fā)散 當(dāng)

29、1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例8 證明級數(shù)11213 1n 是收斂的23n并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差解 因為 limnnun limnn11 lim0nnnn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為|rn|111 (n1)n1(n2)n2(n3)n3111 n1n2n3(n1)(n1)(n1)1nn(n1)例9 判定級數(shù)n12(1)n2n的收斂性 解 因為 limnnunlim1n12(1)n 2n2所以 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂 定理6 (極限審斂法)設(shè)un為正項級數(shù) n1(1)如果limnunl0(或limnun) 則級數(shù)

30、un發(fā)散 nnn1(2)如果p1 而limnpunl (0l) 則級數(shù)un收斂 nn1例7 判定級數(shù)ln(1n11)的收斂性n2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)解 因為ln(112)12(n) 故nnlimn2unlimn2ln(112)limn2121 nnnnn根據(jù)極限審斂法 知所給級數(shù)收斂例8 判定級數(shù)n1(1cos)的收斂性n1n解 因為 limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212n2n2根據(jù)極限審斂法 知所給級數(shù)收斂二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù) 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù) 它的各項是正負(fù)交錯的交錯級數(shù)的一般形式為 (

31、1)n1n1nun 或(1)un 其中un0 n1例如 (1)n1n111cosn 不是交錯級數(shù)是交錯級數(shù) 但(1)n1nnn1定理7（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)(1)n1un滿足條件 n1(1)unun1 (n1 2 3 )(2)limun0 n則級數(shù)收斂 且其和su1 其余項rn的絕對值|rn|un1證明 設(shè)前2n項部分和為s2n由s2n(u1u2)(u3u4) (u2n 1u2n)及s2nu1(u2u3)(u4u5) (u2n2u2n1)u2n 看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界(s2nu1) 所以收斂 設(shè)s2ns(n) 則也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 從而級數(shù)是收斂

32、的 且snu1 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)因為 |rn|un1un2 也是收斂的交錯級數(shù) 所以|rn|un1例9 證明級數(shù)(1)n11 收斂 并估計和及余項 n1n證這是一個交錯級數(shù) 因為此級數(shù)滿足(1)un11un1(n1, 2, )(2)limunlim10 nn1nnn由萊布尼茨定理 級數(shù)是收斂的 且其和su11 余項|rn|un11三、絕對收斂與條件收斂n1n1n1 絕對收斂與條件收斂 若級數(shù)|un|收斂 則稱級數(shù)un絕對收斂 n1n1n1若級數(shù)un收斂 而級數(shù)|un|發(fā)散 則稱級un條件收斂 例如 級數(shù)(1)n1n11n11是絕對收斂的

33、而級數(shù)是條件收斂的(1)nn2n1n1n1定理8 如果級數(shù)un絕對收斂 則級數(shù)un必定收斂證明略n1n1注意 如果級數(shù)|un|發(fā)散 我們不能斷定級數(shù)un也發(fā)散但是 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)|un|發(fā)散 n1則我們可以斷定級數(shù)un必定發(fā)散n1這是因為 此時|un|不趨向于零 從而un也不趨向于零 因此級數(shù)un也是發(fā)散的n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)例11 判別級數(shù)n1sinnan1n44的收斂性解 因為|sinnan4| 而級數(shù)n11n4是收斂的 所以級數(shù)|n1sinnan4|也收斂 從而級數(shù)n1sinnan4絕對收斂 2例12 判別級數(shù)(1

34、)n1n(11)n的收斂性n12n解 由|un|11n2n|u|1lim(11)n1e1 有(1)limnn2nn2n2n可知limun0 因此級數(shù)(1)nnn111n2(1)發(fā)散 n2n 12 3 冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù) 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列：u1(_) ， u2(_) ，u3(_)， un(_) 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1(_)u2(_)u3(_) un(_) 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù)記為un(_)n1對于區(qū)間I內(nèi)的一定點_0 若常數(shù)項級數(shù)un(_0)收斂 則稱n1點_0是級數(shù)un(_)的收斂點若常數(shù)項級數(shù)un(_0)發(fā)散 則稱n1n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)

35、院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)點_0是級數(shù)un(_)的發(fā)散點。n1函數(shù)項級數(shù)un(_)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域n1所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域在收斂域上 函數(shù)項級數(shù)un(_)的和是_的函數(shù)s(_) n1s(_)稱為函數(shù)項級數(shù)un(_)的和函數(shù) 并寫成s(_)un(_)n1n1un(_)是un(_)的簡便記法 以下不再重述 n1在收斂域上 函數(shù)項級數(shù)un(_)的和是_的函數(shù)s(_) s(_)稱為函數(shù)項級數(shù)un(_)的和函數(shù) 并寫成s(_)un(_)這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域。函數(shù)項級數(shù)un(_)的前n項的部分和記作sn(_) 即sn(_) u1(_)u2(_)

36、u3(_) un(_) 在收斂域上有l(wèi)imsn(_)s(_)或sn(_)s(_)(n) n函數(shù)項級數(shù)un(_)的和函數(shù)s(_)與部分和sn(_)的差rn (_)s(_)sn(_) n1叫做函數(shù)項級數(shù)un(_)的余項n1函數(shù)項級數(shù)un(_)的余項記為rn (_) 它是和函數(shù)s(_)與部分和sn(_)的差 rn (_)s(_)sn(_)在收斂域上有l(wèi)imrn(_)0 n二、冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù) 函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù) 它的形式是a0a1_a2_ an_ 其中常數(shù)a0 a1 a2 an 叫做冪級數(shù)的系數(shù)例如一下級數(shù) 1_2_3 _n 青

37、島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組2n高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)1_121_ _n 2!n!2n注 冪級數(shù)的一般形式是a0a1(_0)a2(_0) an(_0) 經(jīng)變換t_0就得a0a1ta2t2 antn 冪級數(shù)1_2_3 _n 可以看成是公比為_的幾何級數(shù) 當(dāng)|_|1時它是收斂的 當(dāng)|_|1時 它是發(fā)散的因此它的收斂域為(1 1) 在收斂域內(nèi)有11_2_3 _n 1_由此例可得：定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)an_n當(dāng)_0 (_00)時收斂 則適合不等式n0|_|_0|的一切_使這冪級數(shù)絕對收斂 反之 如果級數(shù)an_n當(dāng)_0時發(fā)散 n0則適合不等式|_|_0|的一切_使這冪級數(shù)發(fā)

38、散證先設(shè)_0是冪級數(shù)an_的收斂點 即級數(shù)an_n收斂 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件 n0n0n有l(wèi)iman_00 于是存在一個常數(shù)M 使 nn| an_0n |M(n0, 1, 2, )這樣級數(shù)n0an_n的的一般項的絕對值_n_nn|an_0|nM|n _0_0_0|an_nn|an_0_n因為當(dāng)|_|_0|時 等比級數(shù)M|收斂 所以級數(shù)|an_n|收斂 _0n0n0也就是級數(shù)n0an_n絕對收斂定理的第二部分可用反證法證明 倘若冪級數(shù)當(dāng)_0時發(fā)散而有一點_1適合|_1|_0|使級青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)數(shù)收斂 則根據(jù)本定理的第一部分 級數(shù)當(dāng)_0時

39、應(yīng)收斂 這與所設(shè)矛盾 定理得證推論如果級數(shù)an_n不是僅在點_0一點收斂 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 則必有一個n0完全確定的正數(shù)R存在 使得當(dāng)|_|R時 冪級數(shù)絕對收斂當(dāng)|_|R時 冪級數(shù)發(fā)散 當(dāng)_R與_R時 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散收斂半徑與收斂區(qū)間 正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)數(shù)n0an_n的收斂半徑 開區(qū)間(R R)叫做冪級n0an_n的收斂區(qū)間 再由冪級數(shù)在_R處的收斂性就可以決定它的收斂域 冪級數(shù)n0an_n的收斂域是(R, R)(或R, R)、(R, R、R, R之一n規(guī)定 若冪級數(shù)an_只在_0收斂 則規(guī)定收斂半徑R0 若冪級數(shù)an_n對一切_都n0n0收斂 則規(guī)定收斂半徑R 這時收斂域

40、為(, )關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：定理2 如果lim|nan1an| 其中an、an1是冪級數(shù)an_n的相鄰兩項的系數(shù) n0則這冪級數(shù)的收斂半徑 01 0R0 簡要證明 lim|nan1_n1an_n|lim|nan1an|_| |_| (1)如果0 則只當(dāng)|_|1時冪級數(shù)收斂 故R(2)如果0 則冪級數(shù)總是收斂的 故R 1 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)(3)如果 則只當(dāng)_0時冪級數(shù)收斂 故R0例1 求冪級數(shù)(1)n1n1_n的收斂半徑與收斂域n1a解因為 lim|n1| limn11 nan1nn所以收斂半徑為R11 當(dāng)_1時 冪級數(shù)

41、成為(1)n1n11 是收斂的n1當(dāng)_1時 冪級數(shù)成為() 是發(fā)散的 因此 收斂域為(1, 1 nn1例2 求冪級數(shù)1_1n_ n!n012131的收斂域_ _n 2!3!n!1a(n1)!n! lim0解因為 lim|n1| limnann(n1)!1nn!所以收斂半徑為R 從而收斂域為(, ) 例3 求冪級數(shù)n!_n的收斂半徑n0解 因為 lim|nan1an| lim(n1)!n!n 所以收斂半徑為R0 即級數(shù)僅在_0處收斂 例4 求冪級數(shù)(2n)!2n0(n!)_2n的收斂半徑解 級數(shù)缺少奇次冪的項 定理2不能應(yīng)用 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

42、高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)冪級數(shù)的一般項記為un(_)(2n)!(n!)2_2n 因為 lim|nun1(_)un(_)| 4|_|2 當(dāng)4|_|1即|_|21112時級數(shù)收斂 當(dāng)4|_|1即|_|時級數(shù)發(fā)散 所以收斂半徑為R 2222(n1)!(n1)!(2n)!(n!)22提示un1(_)un(_)_2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2_2 _2n例5 求冪級數(shù)(_1)n2nn的收斂域n1tn解 令t_1 上述級數(shù)變?yōu)閚 n12n因為 lim|nan1an2nn1| n12(n1)2所以收斂半徑R2 (1)1當(dāng)t2時 級數(shù)成為 此級數(shù)發(fā)散 當(dāng)t2時 級數(shù)成為 此級數(shù)收斂 nnn1

43、n1因此級數(shù)tn的收斂域為2t2 因為2_12 即1_3nn12n所以原級數(shù)的收斂域為1, 3) 三、冪級數(shù)的運算設(shè)冪級數(shù)an_n及bn_n分別在區(qū)間(R, R)及(R, R)內(nèi)收斂 則在(R, R)與(R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法 an_bn_ (anbn)_ 減法 an_nbn_n (anbn)_n 乘法 (an_)(bn_n)a0b0(a0b1a1b0)_(a0b2a1b1a2b0)_2 nn0n0nnn(a0bna1bn1 anb0)_ 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 n高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù) 除法：n0n0an_nnnbcn0n_ nnn_與cn_相乘，然后比較n

44、0n這里假定b00。為了決定系數(shù)cn，可以將bn0與an_n的同次冪項系數(shù)得出。n0關(guān)于冪級數(shù)，有以下的重要性質(zhì)性質(zhì)1 冪級數(shù)an_n的和函數(shù)s(_)在其收斂域I上連續(xù)n0如果冪級數(shù)在_R (或_R)也收斂 則和函數(shù)s(_)在(R, R(或R, R)連續(xù)性質(zhì)2 冪級數(shù)an_n的和函數(shù)s(_)在其收斂域I上可積 并且有逐項積分公式n00_s(_)d_(an_)d_0n0_nn00_an_d_nn0n1an_n1(_I ) 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑 性質(zhì)3 冪級數(shù)an_n的和函數(shù)s(_)在其收斂區(qū)間(R R)內(nèi)可導(dǎo) 并且有逐項求導(dǎo)公式n0s(_)(an_)n0nn0(an_

45、)nan_n1(|_|R) n1n逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑例6 求冪級數(shù)1_n的和函數(shù)n0n1解 求得冪級數(shù)的收斂域為1 1)設(shè)和函數(shù)為s(_) 即s(_)在_s(_)1_n _1 1) 顯然s(0)1 n0n11n1_的兩邊求導(dǎo)得 n1n0_s(_)n0(11_n1)_nn11_n0對上式從0到_積分 得青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)_s(_)1d_ln1(_)01_1ln(1_) 0|_|11于是 當(dāng)_ 0時 有s(_)ln(1_) 從而s(_)_ _ 1 _0_11n1因為_s(_)_n1d_0n0n1n0n1_0n0_n

46、d_1d_ln1(_)01_所以 當(dāng)_0時 有s(_)1ln(1_)_1ln(1_) 0|_|1從而 s(_)_ 1 _0提示 應(yīng)用公式F(_)d_F(_)F(0) 即F(_)F(0)F(_)d_ 0011_2_3 _n 1_例7 求級數(shù)(1)nn1的和 n0解考慮冪級數(shù)1_n 此級數(shù)在1, 1)上收斂 設(shè)其和n0n1函數(shù)為s(_) 則s(1)(1)nn1 n0(1)11ln在例6中已得到_s(_)ln(1_) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n 12 4 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)問題 給定函數(shù)f(_) 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)” 就是說 是否能找到這樣一個

47、冪級數(shù) 它在某區(qū)間內(nèi)收斂 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(_)如果能找到這樣青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)的冪級數(shù) 我們就說 函數(shù)f(_)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù) 或簡單地說函數(shù)f(_)能展開成冪級數(shù) 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(_)以前學(xué)過泰勒多項式 如果f(_)在點_0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù) 則在該鄰域內(nèi)f(_)近似等于f(_)f(_0)f(_0)(_0)f(n1)f(_0)2!(_0)2 f(n)(_0)n!(_0)nRn(_) 其中Rn(_)()(n1)!(_0)n1(介于_與_0之間) 泰勒級數(shù) 如果f(_)在點_0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

48、f(_) f(_) f (n)(_) 則當(dāng)n時 f(_)在點_0的泰勒多項式pn(_)f(_0)f(_0)(_0)成為冪級數(shù)f(_0)f(_0)(_0)f(_0)2!(_0)2f(_0)2!(_0) 2f(n)(_0)n!(_0)nf(_0)3!(_0) 3f(n)(_0)n!(_0)n 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(_)的泰勒級數(shù)顯然 當(dāng)_0時 f(_)的泰勒級數(shù)收斂于f(_0)但是 除了_0外 f(_)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂 它是否一定收斂于f(_)? 對此，有以下定理：定理設(shè)函數(shù)f(_)在點_0的某一鄰域U(_0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù) 則f(_)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(_

49、)的泰勒公式中的余項Rn(_)當(dāng)n0時的極限為零 即 nlimRn(_)0 (_U(_0)證明先證必要性 設(shè)f(_)在U(_0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù) 即f(_)f(_0)f(_0)(_0)f(_0)2!(_0) 2f(n)(_0)n!(_0)n 又設(shè)sn1(_)是f(_)的泰勒級數(shù)的前n1項的和 則在U(_0)內(nèi)sn1(_) f(_)(n)而f(_)的n階泰勒公式可寫成f(_)sn1(_)Rn(_) 于是R n(_)f(_)sn1(_)0(n) 再證充分性 設(shè)Rn(_)0(n)對一切_U(_0)成立 因為f(_)的n階泰勒公式可寫成f(_)sn1(_)R n(_) 于是sn1(_)f(_)R n

50、(_)f(_) 即f(_)的泰勒級數(shù)在U(_0)內(nèi)收斂 并且收斂于f(_) 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)在泰勒級數(shù)中取_00 得f(0)f(0)_f(0)2!_ 2f(n)(0)n!_n 此級數(shù)稱為f(_)的麥克勞林級數(shù)展開式的唯一性 如果f(_)能展開成_的冪級數(shù) 那么這種展式是唯一的 它一定與f(_)的麥克勞林級數(shù)一致 這是因為 如果f(_)在點_00的某鄰域(R R)內(nèi)能展開成_的冪級數(shù) 即f(_)a0a1_a2_ an_ 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo) 有 f (_)a12a2_3a3_ nan_ f (_)2!a232a3_ n(n

51、1)an_n2 f (_)3!a3 n(n1)(n2)an_n3 f (n)(_)n!an(n1)n(n1) 2an1_ 于是得a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!2n12n anf(n)(0)n! 注意 如果f(_)能展開成_的冪級數(shù) 那么這個冪級數(shù)就是f(_)的麥克勞林級數(shù) 但是 反過來如果f(_)的麥克勞林級數(shù)在點_00的某鄰域內(nèi)收斂 它卻不一定收斂于f(_) 因此 如果f(_)在點_00處具有各階導(dǎo)數(shù) 則f(_)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來 但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂 以及是否收斂于f(_)卻需要進(jìn)一步考察二、函數(shù)展開成冪級數(shù)展開步驟 第一步求出f (_)的各階導(dǎo)數(shù) f (

52、_) f (_) f (n)(_) 第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在_0 處的值f(0) f (0) f (0) f ( 0) 第三步寫出冪級數(shù)f(0)f(0)_并求出收斂半徑R 青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 (n)f(0)2!_ 2f(n)(0)n!_n 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)第四步考察在區(qū)間(R R)內(nèi)時是否Rn(_)0(n)limRn(_)limnf(n1)()n(n1)!_n1是否為零 如果Rn(_)0(n) 則f(_)在(R R)內(nèi)有展開式f(_)f(0)f(0)_f(0)2!_ 2f(n)(0)n!_n (R_R) 例1 將函數(shù)f(_)e_展開成_的冪級數(shù)解 所給函數(shù)

53、的各階導(dǎo)數(shù)為f(_)e(n1 2 ) 因此f1_1_2 1_n 2!n! (n)_(n)(0)1(n1 2 ) 于是得級數(shù)它的收斂半徑R 對于任何有限的數(shù)_、 (介于0與_之間) 有n1en1|_|_|_| e|Rn(_)| |(n1)!(n1)!|_|n10 所以 lim|Rn(_)|0 從而有展開式 而 limn(n1)!ne_1_121_ _n (_)2!n!例2 將函數(shù)f(_)sin _ 展開成_的冪級數(shù)解 因為f(n)(n)(_)sin(_n )(n1 2 )2所以f (0)順序循環(huán)地取0 1 0 1 (n0 1 2 3 ) 于是得級數(shù)2n1_3_5n1_ (1) _3!5!(2n1

54、)!它的收斂半徑為R 對于任何有限的數(shù)_、 (介于0與_之間) 有sin(n1)2(n1)!_n1 |Rn(_)| |_|n1| 0 (n )(n1)!因此得展開式青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)sin_3_5_2n1 (1)n1 (_)3!5!(2n1)!2!n!e_1_1_2 1_n (_)例3 將函數(shù)f(_)(1 _)展開成_的冪級數(shù) 其中m為任意常數(shù)解 f(_)的各階導(dǎo)數(shù)為f (_)m(1_)m1f (_)m(m1)(1_) f (n)(_)m(m1)(m2) (mn1)(1_)mn 所以f(0)1 f (0)m f (0)m(m1) f (n)

55、(0)m(m1)(m2) (mn1) 于是得冪級數(shù)1m_可以證明(1_)m1m_間接展開法 例4 將函數(shù)f(_)cos _展開成_的冪級數(shù)解已知2n1_3_5n1_ (1) (_)sin_3!5!(2n1)!m2m m(m1)2!_2 m(m1) (mn1)n!_n m(m1)2!_2 m(m1) (mn1)n!_n (1_1) 對上式兩邊求導(dǎo)得2n_2_4n_ (1) (_)cos_12!4!(2n)!例5 將函數(shù)f(_)解 因為1展開成_的冪級數(shù)21_11_2 _n (1_1)1_2把_換成_ 得11_2_4 (1)n_2n (1_1) 21_青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)

56、學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)注 收斂半徑的確定 由1_1得1_1例6 將函數(shù)f(_)ln(1_) 展開成_的冪級數(shù)分析p 因為f(_)1 1_2而1是收斂的等比級數(shù)(1)n_n(1_1)的和函數(shù)1_n011_2_3 (1)n_n 1_所以將上式從0到_逐項積分 得n1_2_3_4n_ln1(_)_ (1) (1_1)234n1解f(_)ln(1_)ln(1_)d_0_01d_ 1_n1(1)_d_(1)(1_1) 0n1n0n0_nnn上述展開式對_1也成立 這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)_1時收斂 而ln(1_)在_1處有定義且連續(xù) 例7 將函數(shù)f(_)sin _展開成(_解因為sin_sin并且

57、有cos_(sin_(4(_4)的冪級數(shù) 4)2cos(_)sin(_)24444)111(_)2(_)4 (_)2!44!4)(_4)11(_)3(_)5 (_)3!45!4所以sin_例8 將函數(shù)f(_)解 因為 2111(_)(_)2(_)3 (_)242!43!41展開成(_1)的冪級數(shù)_24_3青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)f(_)111111_24_3(_1)(_3)2(1_)2(3_)4(1_1)8(1_1)24 nn11n(_1)n(_1)(1)(1)4n08n02n4nn0(1)n(12n22n)(_1) (1_3)2n31提示1_2

58、(_1)2(1_1)3_4(_1)4(1_1)24n1_1n(_1)(1) (11)n_1n02212n1_1n(_1)(1) (11)n_1n04414收斂域 由1_1_11和11得1_324小結(jié)：常用的展開式 11_2 _n (1_1) 1_e_1_121_ _n (_)2!n!2n1_3_5n1_sin_ (1) (_) 3!5!(2n1)!2n_2_4n_cos_1 (1) (_) 2!4!(2n)!n1_2_3_4n_ln(1_)_ (1) (1_1) 234n1(1_)m1m_m(m1)2!_2 m(m1) (mn1)n!_n (1_1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等

59、數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)12 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計算例1 計算5240的近似值 要求誤差不超過00001解因為5240524333(114)1/5 3所以在二項展開式中取m1 _14 即得53 51114114912403(1428312 ) 5352!353!3這個級數(shù)收斂很快 取前兩項的和作為5240的近似值 其誤差(也叫做截斷誤差)為|r2|3(31411491149141 ) 522!38533!312544!3161411121 28818152!3611118 125325274020_0018111)5344于是取近似式為52403(1為了使“四舍五入”引起

60、的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10 計算時應(yīng)取五位小數(shù) 然后四舍五入 因此最后得： 52402.9926 例2 計算ln 2的近似值 要求誤差不超過00001解在上節(jié)例5中 令 _1可得ln21111 (1)n1 .23n如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值 其誤差為|rn|1.n1為了保證誤差不超過104 就需要取級數(shù)的前10000項進(jìn)行計算.這樣做計算量太大了 我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它.青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無窮級數(shù)把展開式ln1(_)_中的_換成_ 得_2_3_4 ln(1_)_ (1_1)234_2_3_4_n1 (1)n