（文理通用）高三數(shù)學一輪復習 7.1空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖課件

1、第七章立體幾何初步第一節(jié)空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖12【知識梳理】1.空間幾何體的結構特征相等全等公共點平行于底面相似342.空間幾何體的三視圖(1)三視圖的形成與名稱:形成:空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的,在這種投影之下,與投影面平行的平面圖形留下的影子,與平面圖形的_和_是完全相同的;名稱:三視圖包括_、_、_.(2)三視圖的畫法:在畫三視圖時,重疊的線只畫一條,擋住的線要畫成_.三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的_方、_方、_方觀察幾何體畫出的輪廓線.形狀大小正視圖側視圖俯視圖虛線正前正左正上53.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用_畫法來畫,基本步驟是:

2、(1)畫幾何體的底面:在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應的x軸、y軸,兩軸相交于點O,且使xOy=_,已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長度_,平行于y軸的線段,長度_.斜二測45(或135)不變減半6(2)畫幾何體的高:在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面,在直觀圖中對應的z軸,也垂直于xOy平面,已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z軸且長度_.不變7【考點自測】1.(思考)給出下列說法:有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;一個棱柱至少有5個面,面數(shù)最少的一個棱

3、錐有4個頂點,頂點最少的一個棱臺有3條側棱;用斜二測畫法畫水平放置的A時,若A的兩邊分別平行于x軸和y軸,且A=90,則在直觀圖中,A=45;8正方體、球、圓錐各自的三視圖中,三視圖均相同.其中正確的是()A.B.C.D.【解析】選D.錯誤.盡管幾何體滿足了兩個面平行且其他各面都是平行四邊形,但不能保證每相鄰兩個側面的公共邊互相平行.如圖 ,該幾何體并不是棱柱.9錯誤.盡管幾何體滿足了一個面是多邊形,其余各面都是三角形,但不能保證三角形具有公共頂點.正確.面數(shù)最少的棱柱為三棱柱,有5個面;面數(shù)最少的棱錐為三棱錐,有4個頂點;頂點最少的棱臺為三棱臺,有3條側棱.錯誤.A應為45或135.錯誤.正

4、方體的三視圖由于正視的方向不同,其三視圖的形狀可能不同,圓錐的側視圖與俯視圖顯然不相同.102.有一個幾何體的三視圖如圖所示,這個幾何體應是一個()A.棱臺B.棱錐C.棱柱D.都不對【解析】選A.從俯視圖來看,上、下底面都是正方形,但大小不一樣,可以判斷是棱臺.113.某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是()12【解析】選C.依題意,此幾何體為組合體,若上下兩個幾何體均為圓柱,則俯視圖為A;若上邊的幾何體為正四棱柱,下邊幾何體為圓柱,則俯視圖為B;若俯視圖為C,則正視圖中應有實線或虛線,故該幾何體的俯視圖不可能是C;當上邊的幾何體為底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面

5、的幾何體為正四棱柱時,俯視圖為D.134.如圖所示的直觀圖,其表示的平面圖形是()A.正三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形【解析】選D.因為BCy軸,故在原圖中平行于y軸,而ACx軸,在原圖中平行于x軸,故BCAC,故三角形的形狀為直角三角形.故選D.145.若一個底面是正三角形的直三棱柱的正視圖如圖所示,則其側面積為.【解析】由題意可知,該直三棱柱的底面邊長為2,高為1,故S側面=321=6.答案:6156.(2013溫州模擬)利用斜二測畫法得到的:三角形的直觀圖一定是三角形;正方形的直觀圖一定是菱形;等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形;菱形的直觀圖一定是菱形.以上結論正確的個數(shù)

6、是.【解析】由斜二測畫法的規(guī)則可知正確;錯誤,是一般的平行四邊形;錯誤,等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;而菱形的直觀圖也不一定是菱形,也錯誤.答案:116考點1 空間幾何體的結構特征【典例1】(1)給出下列命題:棱柱的側棱都相等,側面都是全等的平行四邊形;用一個平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺;若三棱錐的三條側棱兩兩垂直,則其三個側面也兩兩垂直;若四棱柱有兩個過相對側棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;17存在每個面都是直角三角形的四面體;棱臺的側棱延長后交于一點.其中正確命題的序號是()A. B.C. D.18(2)給出下列命題:在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則

7、這兩點的連線是圓柱的母線;在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線;圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確命題的序號是()A.B.C.D.19【解題視點】(1)根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的定義及特征進行判斷.(2)根據(jù)圓柱、圓臺母線的定義及其相關性質進行判斷.【規(guī)范解答】(1)選C.錯誤,因為棱柱的側面不一定是全等的平行四邊形;錯誤,必須用平行于底面的平面去截棱錐,才能得到棱臺;20正確,根據(jù)面面垂直的判定定理判斷;正確,因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱,又垂直于底面;正確,如圖所示,正方體AC1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形;正確,由棱臺的概

8、念可知.因此,正確命題的序號是.(2)選D.根據(jù)圓柱、圓臺的母線的定義和性質可知,只有是正確的,所以選D.21【規(guī)律方法】解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧(1)熟悉空間幾何體的結構特征,依據(jù)條件構建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素,然后再依據(jù)題意判定.(2)利用反例對結構特征進行辨析,即要說明某個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.22直棱柱、正棱柱和正棱錐的有關概念(1)直棱柱:側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.(2)正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多邊形,側棱垂直于底面,側面是矩形.(3)正棱錐:底面是正多邊形,頂

9、點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地,各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.反過來,正棱錐的底面是正多邊形,且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心.23【變式訓練】下列結論正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線24【解析】選D.A錯誤.如圖所示,由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體,各面都是三角形,但它不一定是棱錐.25B錯誤.如圖,若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但

10、旋轉軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐.C錯誤.若六棱錐的所有棱長都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側棱長必然要大于底面邊長.26【加固訓練】1.給出下列命題:各個側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;三條側棱都相等的棱錐是正三棱錐;底面是正三角形的棱錐是正三棱錐;頂點在底面上的射影是底面多邊形的內心,又是外心的棱錐必是正棱錐.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.427【解析】選A.命題顯然不正確.正棱錐必須具備兩點,一是:底面為正多邊形,二是:頂點在底面內的射影是底面的中心;命題缺少第一個條件,命題缺少第二個條件.而命題可推出以上兩個條件都具備.282

11、.若三棱錐P-ABC的底面ABC是正三角形,則三個側面的面積相等是三棱錐P-ABC為正三棱錐的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.當三棱錐P-ABC的底面ABC是正三角形時,如果該三棱錐又是正三棱錐,則其三個側面的面積一定相等,但當三個側面的面積相等時,卻不一定能推出該三棱錐是正三棱錐.293.給出下列三個命題:夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體;圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺;通過圓臺側面上一點,有無數(shù)條母線.其中正確命題的序號是.30【解析】錯誤,沒有說明這兩個平行截面與底面的位置關系,當這兩個平行截面與底面平行

12、時正確,其他情況則結論是錯誤的,如圖(1).正確,如圖(2).錯誤,通過圓臺側面上一點,只有一條母線,如圖(3).答案:31考點2 空間幾何體的三視圖 【考情】三視圖是高考命題的熱點,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),主要考查已知幾何體,判斷三視圖;已知幾何體三視圖中的兩個視圖,判斷第三個視圖;由三視圖判斷幾何體等.高頻考點通關 32【典例2】(1)(2014金華模擬)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的側視圖為()33(2)(2013四川高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是()34【解題視點】(1)結合原正方體,確定兩個關鍵點B1,D1和兩

13、條重要線段AD1和B1C的投影.(2)結合三視圖進行判斷,特別要注意虛線的標注.【規(guī)范解答】(1)選B.圖2所示的幾何體的側視圖由點A,D,B1,D1確定外形為正方形,判斷的關鍵是兩條對角線AD1和B1C是一實一虛,其中要把AD1和B1C區(qū)別開來,故選B.(2)選D.根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側視圖一致,并且俯視圖是兩個圓,可知只有選項D適合,故選D.35【通關錦囊】 重點題型破解策略根據(jù)幾何體的圖形,識別三視圖由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖,符合“正側一樣高,正俯一樣長,俯側一樣寬”的特點三視圖還原直觀圖首先對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉;其次,明確三視圖的形成原理,并能結合空間想象將三

14、視圖還原為直觀圖,遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則根據(jù)幾何體三視圖中的兩個視圖,判斷第三個視圖根據(jù)已有的兩個視圖判斷出幾何體的可能的不同形狀,就可以在已有視圖的基礎上畫出第三個視圖36【特別提醒】對于簡單組合體的三視圖,首先要確定正視、側視、俯視的方向,其次要注意組合體由哪些幾何體組成,弄清它們的組成方式,特別應注意它們的交線的位置,區(qū)分好實線和虛線的不同.37【關注題型】三視圖與原幾何體之間的圖形關系問題判斷三視圖中各線之間的關系,并將三視圖還原成幾何體,注意分類討論的應用三視圖與函數(shù)不等式相結合問題明確三視圖與直觀圖之間的數(shù)量關系,結合三視圖的特征建立數(shù)學模型根據(jù)小正方體的個數(shù)確定三視

15、圖首先確定幾何體的形狀,再判斷三視圖38【通關題組】1.(2012福建高考)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個幾何體不可以是()A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱【解析】選D.圓柱的三視圖,分別為矩形,矩形,圓,不可能三個視圖都一樣,而球的三視圖都是圓,三棱錐的三視圖可以都是三角形,正方體的三視圖可以都是正方形.392.(2014麗水模擬)已知三棱錐的正(主)視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,則該三棱錐的側(左)視圖可能為()40【解析】選B.由俯視圖可知三棱錐的底面是個邊長為2的正三角形.由正視圖可知三棱錐的一條側棱垂直于底面,且其長度為2,故其側(左)視圖為

16、直角邊長為2和 的直角三角形.413.(2011浙江高考)若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是()42【解析】選B.選項具體分析結論A三視圖均不相符錯誤B三視圖均符合正確C三視圖均不相符錯誤D側視圖不相符錯誤434.(2013長春模擬)一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A處出發(fā),經(jīng)正方體的表面,按最短路線爬行到達頂點C1位置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖可能是(填上序號).44【解析】由點A經(jīng)正方體的表面,按最短路線爬行到達頂點C1位置,共有6種展開方式,若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個平面內,在矩形中連接AC1會經(jīng)過BB

17、1的中點,故此時的正視圖為.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個平面內,在矩形中連接AC1會經(jīng)過CD的中點,此時正視圖會是.其他幾種展開方式對應的正視圖在題中沒有出現(xiàn)或者已在中.答案:45【加固訓練】1.(2013西安模擬)如圖,某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形,且體積為 ,則該幾何體的俯視圖可以是()46【解析】選C.若該幾何體的俯視圖是選項A,則該幾何體的體積為1,不滿足題意;若該幾何體的俯視圖是選項B,則該幾何體的體積為 ,不滿足題意;若該幾何體的俯視圖是選項C,則該幾何體的體積為 ,滿足題意;若該幾何體的俯視圖是選項D,則該幾何體的體積為 ,不滿足題意.472.(2

18、013蘭州模擬)已知一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示,正視圖和側視圖都是矩形,俯視圖為正方形,在該幾何體上任意選擇4個頂點,它們可能是如下各種幾何圖形的4個頂點,這些幾何圖形是()48矩形;不是矩形的平行四邊形;有三個面為直角三角形,有一個面為等腰三角形的四面體;每個面都是等腰三角形的四面體;每個面都是直角三角形的四面體.A. B.C. D.49【解析】選A.由三視圖知該幾何體是底面邊長為a,高為b的長方體.任選4個頂點,若這4個點的幾何體是平行四邊形,則其一定為矩形,故不可能.其他情形均有可能,如圖所示.503.(2013龍巖模擬)如圖表示一個由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中

19、的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個數(shù),則該幾何體的正視圖為()51【解析】選C.俯視圖中的每個數(shù)字是該位置小立方塊的個數(shù),分析其中的數(shù)字,得正視圖有3列,從左到右的行數(shù)分別是4,3,2.如圖 .524.(2014泰安模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,當xy最大時,該幾何體的體積為.53【解析】如圖所示,三視圖所表示的立體圖形是三棱錐A-BCD,從圖中可得x2+y2=52+( )2=32,xy =16,當且僅當“x=y”時取“=”,此時x=y=4,VA-BCD=答案:54考點3 空間幾何體的直觀圖【典例3】(1)(2013桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a,那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()

20、55(2)如圖,正方形OABC的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長為.56【解題視點】(1)先建立坐標系,然后畫出ABC的直觀圖ABC,求出ABC相關的邊,確定其面積.(2)按照斜二測畫法,將正方形OABC還原為平面圖形再求解.57【規(guī)范解答】(1)選D.如圖所示的實際圖形和直觀圖,由可知,AB=AB=a,OC=在圖中作CDAB于D,則所以SABC=ABCD58(2)將直觀圖還原為平面圖形,如圖.可知還原后的圖形中于是周長為23+21=8(cm).答案:8cm59【互動探究】若本例(1)改為“A1B1C1是邊長為a的正三角形,且A1B1C1是ABC的直觀圖”,則A

21、BC的面積為多少?【解析】如圖,可知在A1D1C1中,由正弦定理得所以SABC=60【易錯警示】關注斜二測畫法的規(guī)則本例第(1)題采用斜二測畫法求ABC的面積,解題過程中不能正確求出OC的長,導致這種錯誤的原因是忽視了在直觀圖中平行于y軸的線段長是原圖中相應線段長的一半.61【規(guī)律方法】直觀圖畫法的關鍵與結論(1)關鍵:在斜二測畫法中,要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變,長度不變;平行于y軸的線段平行性不變,長度減半.”(2)結論:按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關系:S直觀圖= S原圖形.62【變式訓練】(2013太原模擬)一個水平放置的平面圖形

22、的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,則這個平面圖形的面積為()63【解析】選B.如圖將直觀圖ABCD還原后為直角梯形ABCD,其中AB=2AB=2,BC= AD=AD=1.所以64【加固訓練】1.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖,D是ABC的BC邊中點,AB,BC分別與y軸、x軸平行,則三條線段AB,AD,AC中()A.最長的是AB,最短的是ACB.最長的是AC,最短的是ABC.最長的是AB,最短的是ADD.最長的是AC,最短的是AD【解析】選B.由條件知,原平面圖形中ABBC,從而ABADAC.652.水平放置的ABC的斜二測直觀圖如圖所示,若A1C

23、1=2,ABC的面積為 則A1B1的長為.【解析】由直觀圖可知ACBC,BC=2B1C1,AC=2,又因為 所以 則所以A1B12=22+( )2-22 cos45=2,解得A1B1= .答案:663.如圖所示,梯形A1B1C1D1是一個平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1O1y,A1B1C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O1D1=1.請畫出原來的平面幾何圖形的形狀,并求原圖形的面積.67【解析】如圖,建立直角坐標系xOy,在x軸上截取OD=O1D1=1;OC=O1C1=2.在過點D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2.在過點A的x軸的平行線上截取AB=A1B1=2.連接BC,即得到了原圖形.由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形