立體幾何3種角度14種歸類(lèi)（原卷版）

1、立體幾何3種角度14種歸類(lèi) 目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、熱點(diǎn)題型歸納1 HYPERLINK l _Toc17993 【題型一】 異面直線(xiàn)所成的角1：平移直線(xiàn)法（中位線(xiàn)平移法）2 HYPERLINK l _Toc26924 【題型二】 異面直線(xiàn)所成的角2：平行四邊形、梯形法3 HYPERLINK l _Toc12217 【題型三】 異面直線(xiàn)所成的角3：垂直4 HYPERLINK l _Toc30563 【題型四】 異面直線(xiàn)俗稱(chēng)的角的范圍與最值（難點(diǎn)）4 HYPERLINK l _Toc30563 【題型五】 異面直線(xiàn)所成的角：綜合5 HYPER

2、LINK l _Toc30563 【題型六】 直線(xiàn)和平面所成的角1：垂線(xiàn)法6 HYPERLINK l _Toc30563 【題型七】 直線(xiàn)和平面所成的角2：垂面法6 HYPERLINK l _Toc30563 【題型八】 直線(xiàn)和平面所成的角3：體積法（距離法）7 HYPERLINK l _Toc30563 【題型九】 線(xiàn)面角中的范圍與最值8 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十】 線(xiàn)面角：綜合8 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十一】 定義法求二面角的平面角9 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十二】 二面角內(nèi)的角度10 HYPERLINK l

3、 _Toc30563 【題型十三】 二面角內(nèi)的距離11 HYPERLINK l _Toc30563 【題型十四】 綜合角度：比大小（難點(diǎn)）11 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新?？碱}組練12綜述：一、異面直線(xiàn)所成的角：平移線(xiàn)段法是求異面直線(xiàn)所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線(xiàn)，把異面直線(xiàn)的問(wèn)題化歸為共面直線(xiàn)問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條，作出異面直線(xiàn)所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線(xiàn)所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面

4、直線(xiàn)所成的角二、直線(xiàn)和平面所成的角求直線(xiàn)與平面所成的角的一般步驟：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)面垂直，進(jìn)而確定線(xiàn)面角的垂足，明確斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即可確定線(xiàn)面角；（2）在構(gòu)成線(xiàn)面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而不必作出線(xiàn)面角，則線(xiàn)面角滿(mǎn)足（為斜線(xiàn)段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線(xiàn)面角；（3）通過(guò)建系，利用坐標(biāo)系向量求解：直線(xiàn)與平面所成的角（射影角，也是夾角，），三、二面角的平面角作二面角的平面角可以通過(guò)垂線(xiàn)法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)

5、面垂直，進(jìn)而確定線(xiàn)面角的垂足，明確斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即可確定線(xiàn)面角；（2）在構(gòu)成線(xiàn)面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而不必作出線(xiàn)面角，則線(xiàn)面角滿(mǎn)足（為斜線(xiàn)段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線(xiàn)面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線(xiàn)的方向向量，為平面的法向量，則線(xiàn)面角的正弦值為.【題型一】異面直線(xiàn)所成的角1： 平移直線(xiàn)法（中位線(xiàn)） 【例1】如圖已知A是所在平面外一點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若異面直線(xiàn)AD與BC所成角的大小為，AD與EF所成角的大小為_(kāi)【例2】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，且為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為（ ）ABCD【例3】空間四邊

6、形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AC和BD所成的角等于（）A30B60C90D120【例4】在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，在鱉臑 ABCD中，AB平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線(xiàn)AC與BD所成角為（）A30B45C60D90【題型二】異面直線(xiàn)所成的角2：平行四邊形、梯形等 【例1】已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則異面直線(xiàn)CD與PB所成的角的余弦值為（ ）ABCD【例2】已知圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面的半徑為，四邊形為其軸截面，若點(diǎn)為上底面圓弧的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）ABCD

7、【例3】如圖，在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角等于（）ABCD【例4】正方體中，已知為的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)與AE所成的角等于（）ABCD【題型三】異面直線(xiàn)所成的角3：垂直 【例1】如圖，在三棱柱中，那么異面直線(xiàn)與所成的角為ABCD【例2】在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和DD1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和B1M所成的角為（）A30B45C90D60【例3】菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)為O，P是菱形所在平面外一點(diǎn)，平面ABCD，則異面直線(xiàn)AC與PD所成角大小為_(kāi)【例4】若異面直線(xiàn)a，b所成的角為，且直線(xiàn)，則異面直線(xiàn)b，c所成角的范圍是_【題型四】 異面直線(xiàn)所成角的范圍與最

8、值（難點(diǎn)）【例1】如圖，點(diǎn)分別是正四面體棱上的點(diǎn)，設(shè)，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，則（ ）A當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大B當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小C當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小D當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大【例2】已知菱形，為邊上的點(diǎn)（不包括），將沿對(duì)角線(xiàn)翻折，在翻折過(guò)程中，記直線(xiàn)與所成角的最小值為，最大值為（ ）A均與位置有關(guān)B與位置有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)C與位置無(wú)關(guān)，與位置有關(guān)D均與位置無(wú)關(guān)【例3】在正方體中，已知分別為的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則的最大值為（ ）ABCD【例4】已知圓柱的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)均為1，A，B分別為圓、圓上的點(diǎn)，若，則異面直線(xiàn)，所成的角為（）ABCD【題型五】 異面直線(xiàn)所

9、成角：綜合【例1】在正方體ABCDA1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)C做直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與直線(xiàn)BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線(xiàn)l（）A不存在 B2條 C4條D無(wú)數(shù)條【例2】在正方體的所有面對(duì)角線(xiàn)中，所在直線(xiàn)與直線(xiàn)互為異面直線(xiàn)且所成角為的面對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)為（）A2B4C6D8【例3】是棱長(zhǎng)為1的正方體，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對(duì)角線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，每走完一條面對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)“走完一段”，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則如下：運(yùn)動(dòng)第i段與第所在直線(xiàn)必須是異面直線(xiàn)（其中i是正整數(shù)）問(wèn)質(zhì)點(diǎn)走完的第2021段與第1段所在的直線(xiàn)所成的角是（）A0B30C60D90【例4】已知異面直線(xiàn)a、b所成角為，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所

10、成角都是的直線(xiàn)有且僅有（）條A2B3C4D6【題型六】 直線(xiàn)和平面所成的角1：垂線(xiàn)法【例1】在空間，若，直線(xiàn)與平面所成的角為，則（）ABCD【例2】正四面體中，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值是（）ABCD【例3】如圖，已知正方體，直線(xiàn)與平面所成的角為（）ABCD【例4】已知正四棱柱，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，則（）ABCD【題型七】直線(xiàn)和平面所成 的角2：垂面法【例1】如圖，在三棱錐中，平面平面，則直線(xiàn)與平面所成的角是（）ABCD【例2】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則直線(xiàn)與平面所成的角為（）ABCD【例3】如圖，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，

11、則直線(xiàn)與平面所成的角為_(kāi)【例4】已知四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，且，則直線(xiàn)與平面所成的角大小為_(kāi)【題型八】直線(xiàn)和平面所成 的角3：體積法(距離法） 【例1】如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成的角為（）A15B30C45D60【例2】在正方體中，直線(xiàn)與平面所成的角的余弦值等于ABCD【例3】已知長(zhǎng)方體中，則直線(xiàn)與平面所成的角為_(kāi). 【例4】直線(xiàn)與平面所成的角為，且是直線(xiàn)上兩點(diǎn)，線(xiàn)段在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)為3，則_.【題型九】線(xiàn)面角中的范圍與最值 【例1】在正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)與平面所成的角為，則的取值范圍是ABCD【例2】若直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)在平面內(nèi)

12、，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的取值范圍是（）ABCD【例3】在正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上，若直線(xiàn)與平面所成的角為，則的取值范圍是（）ABCD【例4】直線(xiàn)與平面所成的角為，則直線(xiàn)與平面內(nèi)直線(xiàn)所成角的最小值是_【題型十】線(xiàn)面角：綜合【例1】如圖所示，在正方體中，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，則_【例2】直線(xiàn)與平面所成的角是45，若直線(xiàn)在內(nèi)的射影與內(nèi)的直線(xiàn)所成的角是45，則與所成的角是（）A30B45C60D90【例3】若直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且與直線(xiàn)異面，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的取值范圍是（）ABCD【例4】如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上，若直線(xiàn)與平面所成的角為，則_.【題型十一】定義法求

13、二面角的平面角 【例1】自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線(xiàn)，則兩垂線(xiàn)所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A相等B互補(bǔ)C互余D相等或互補(bǔ)【例2】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，將沿對(duì)角線(xiàn)BD折起，使得二面角的平面角的余弦值是，則與平面ABD所成角的正弦值是（）ABCD【例3】在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AC=CB=AB=2，PC=3，則二面角P-AB-C的大小為（）A30B60C90D120【例4】在四棱錐中，底面是矩形，底面，且，則二面角的大小為（）A30B45C60D75【題型十二】二面角內(nèi)的角度 【例1】從空間一點(diǎn)P向二面角的兩個(gè)面、分別作垂線(xiàn)PE、PF，E，F(xiàn)為垂足，若二面角的大小為

14、60，則EPF的大小為（）A60B120C60或120D不確定【例2】如圖，在中，為底邊上的動(dòng)點(diǎn)，沿折痕把折成直二面角，則的余弦值的取值范圍為（）ABCD【例3】如圖，圓錐中，、是圓上的不同兩點(diǎn)，若，且二面角所成平面角為，動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，則與平面所成角的正切值的最大值為（）A2BCD1【例4】已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD邊AD，BC的中點(diǎn)，沿EF將矩形ABCD翻折成大小為的二面角在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E沿線(xiàn)段EF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過(guò)程中，記二面角的大小為，則（）A當(dāng)時(shí)，sin先增大后減小B當(dāng)時(shí)，sin先減小后增大C當(dāng)時(shí)，sin先增大后減小D當(dāng)時(shí)，sin先減小后增大【題型十三】二面角內(nèi)的距離 【例1】如圖，在大小

15、為的二面角中，四邊形ABFE，四邊形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是（）AB2C1D【例2】在三棱錐A-BCD中，和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若，則二面角A-BC-D的余弦值為（）ABCD【例3】120的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，則CD的長(zhǎng)為()ABCD【例4】如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點(diǎn)直線(xiàn)AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面中，且都垂直于AB，已知，則（）ABCD【題型十四】綜合角度：比大?。y點(diǎn)）【例1】在正方體中，是線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）上的點(diǎn)，記直線(xiàn)與直線(xiàn)成角為，直線(xiàn)與平面所

16、成角為，二面角的平面角為，則（）ABCD【例2】已知矩形，是邊上一點(diǎn)，沿翻折，使得平面平面，記二面角的大小為，二面角的大小為，則（）ABCD【例3】四棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，是上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)在線(xiàn)段上且滿(mǎn)足，分別記二面角，的平面角為，則（）ABCD【例4】已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線(xiàn)與平面所成角為，則（）ABCD1.在長(zhǎng)方體中，則異面直線(xiàn)與所成角為（）ABCD2.若二面角的平面角為，異面直線(xiàn)a，b滿(mǎn)足，且，則異面直線(xiàn)a，b所成的角為（）ABCD或3.已知正三棱錐中，E是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角為（）A30B45C60D904.在直三棱柱中，點(diǎn)D是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角大小為（）ABCD5.兩條異面直線(xiàn)所成的角為，在直線(xiàn)上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（）A或B或C或D或6.已知兩條異面直線(xiàn)a，b所成角為60，在直線(xiàn)a上取點(diǎn)C，E在直線(xiàn)b上取點(diǎn)D，F(xiàn)，使，且已知，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為_(kāi)7.在正方體中，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)AD所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，則（）ABCD8.如圖，正四棱錐的體積為2，底面積為6，為側(cè)棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成的角為_(kāi).9.在正方體中，若存在平面，使每條棱所在的直線(xiàn)與平面所成的角都相等，則各棱所在的直線(xiàn)與此平面所成角的正切值為_(kāi).1