數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告含代碼

1、-. z成 績 評 定 表學(xué)生班級*專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)課程設(shè)計(jì)題目數(shù)值分析算法案例評語組長簽字：成績?nèi)掌?0 年 月 日課程設(shè)計(jì)任務(wù)書學(xué) 院理學(xué)院專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生班級*課程設(shè)計(jì)題目數(shù)值分析算法案例實(shí)踐教學(xué)要求與任務(wù):要求：格式以學(xué)校畢業(yè)論文格式要求為準(zhǔn)，不準(zhǔn)粘貼圖片，尤其公式。對每個(gè)試驗(yàn)，要求有：實(shí)驗(yàn)根本原理，實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，?shí)驗(yàn)容及數(shù)據(jù)來源和實(shí)驗(yàn)結(jié)論。以班級為單位統(tǒng)一裝訂封皮。6月25日，十八周的周二交論文每人至少四個(gè)實(shí)驗(yàn)，最少15頁任務(wù)實(shí)驗(yàn)工程：線性方程組數(shù)值解法 參考題目：1) 列主元Gauss消去法2LU分解法插值法和數(shù)據(jù)擬合 參考題目：1Lagrange插值2Newton插值3最

2、小二乘擬合數(shù)值積分 參考題目：1復(fù)化Simpon積分2變步長的梯形積分公式3龍貝格求積公式常微分方程數(shù)值解 Runge-Kutta方法數(shù)值方法實(shí)際應(yīng)用 用數(shù)值方法解決實(shí)際問題自選工作方案與進(jìn)度安排:線性方程組數(shù)值解法 4學(xué)時(shí)插值法和數(shù)據(jù)擬合 4學(xué)時(shí)數(shù)值積分 4學(xué)時(shí)常微分方程數(shù)值解 4學(xué)時(shí)數(shù)值方法實(shí)際應(yīng)用 4學(xué)時(shí)辯論 4學(xué)時(shí)指導(dǎo)教師： 201 年 月 日專業(yè)負(fù)責(zé)人：201 年 月 日學(xué)院教學(xué)副院長：201 年 月 日摘 要實(shí)驗(yàn)方法與理論方法是推動(dòng)科學(xué)技術(shù)開展的兩大根本方法，但有局限性。許多研究對象，由于空間或時(shí)間的限制，既不可能用理論準(zhǔn)確描述，也不能用實(shí)驗(yàn)手段實(shí)現(xiàn)。 數(shù)值模擬或稱為科學(xué)計(jì)算突破了

3、實(shí)驗(yàn)和理論科學(xué)的局限，在科技開展中起到越來越重要的作用?？梢哉J(rèn)為，科學(xué)計(jì)算已于實(shí)驗(yàn)、理論一起成為科學(xué)方法上不可或缺的三個(gè)主要手段。 計(jì)算數(shù)學(xué)的研究是科學(xué)計(jì)算的主要組成局部，而數(shù)值分析則是計(jì)算數(shù)學(xué)的核心。數(shù)值計(jì)算是研究使用計(jì)算機(jī)來解決各種數(shù)學(xué)問題的近似計(jì)算方法與理論，其任務(wù)是提供在計(jì)算機(jī)上可解的、理論可靠的、計(jì)算復(fù)雜性低的各種常用算法。數(shù)值分析的主要容：1、數(shù)值代數(shù)：求解線性和非線性方程組的解，分直接方法和間接方法兩大類；2、插值、曲線擬合和數(shù)值逼近；3、數(shù)值微分和數(shù)值積分；4、常微分和偏微分方程數(shù)值解法。 本文主要通過Matlab軟件，對數(shù)值分析中的一些問題進(jìn)展求解，如列主元Gauss消去法，

4、Lagrange插值多項(xiàng)式，復(fù)化Simpson公式，Runge-Kutta方法以及數(shù)值分析在實(shí)際問題中的應(yīng)用，并在求解的過程中更加熟識這門課程的主要容，以及加強(qiáng)對課程知識的掌握。在學(xué)習(xí)與設(shè)計(jì)計(jì)算方法時(shí)，從數(shù)學(xué)理論角度，學(xué)會(huì)分析方法的誤差、收斂性和穩(wěn)定性，保證計(jì)算方法的準(zhǔn)確性；從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，掌握計(jì)算方法的構(gòu)造與流程，能夠把計(jì)算方法轉(zhuǎn)換為可在計(jì)算機(jī)上直接處理的程序，保證算法的可用性。關(guān)鍵詞：列主元Gauss消去法；Lagrange插值；復(fù)化Simpson公式；Runge-Kutta目 錄TOC o 1-2 h u HYPERLINK l _Toc18709 實(shí)驗(yàn)一 列主元Gauss消去法

5、PAGEREF _Toc18709 11. HYPERLINK l _Toc8821 1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?PAGEREF _Toc8821 11. HYPERLINK l _Toc2273 2 根本原理 PAGEREF _Toc2273 11. HYPERLINK l _Toc32490 3 實(shí)驗(yàn)容 PAGEREF _Toc32490 21. HYPERLINK l _Toc24085 4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論 PAGEREF _Toc24085 3 HYPERLINK l _Toc1327 實(shí)驗(yàn)二 拉格朗日插值多項(xiàng)式 PAGEREF _Toc1327 42. HYPERLINK l _Toc26819 1 實(shí)

6、驗(yàn)?zāi)康?PAGEREF _Toc26819 4 HYPERLINK l _Toc32592 2.2 根本原理 PAGEREF _Toc32592 42. HYPERLINK l _Toc21502 3 實(shí)驗(yàn)容 PAGEREF _Toc21502 42. HYPERLINK l _Toc14438 4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論 PAGEREF _Toc14438 9 HYPERLINK l _Toc8581 實(shí)驗(yàn)三 復(fù)化Simpson求積公式 PAGEREF _Toc8581 103. HYPERLINK l _Toc10776 1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?PAGEREF _Toc10776 103. HYPERLINK l

7、 _Toc28604 2 根本原理 PAGEREF _Toc28604 103. HYPERLINK l _Toc16170 3 實(shí)驗(yàn)容 PAGEREF _Toc16170 103. HYPERLINK l _Toc29826 4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論 PAGEREF _Toc29826 12 HYPERLINK l _Toc7040 實(shí)驗(yàn)四 龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法 PAGEREF _Toc7040 134. HYPERLINK l _Toc31655 1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?PAGEREF _Toc31655 134. HYPERLINK l _Toc7486 2 根本原理 PAGEREF _T

8、oc7486 134. HYPERLINK l _Toc28168 3 實(shí)驗(yàn)容 PAGEREF _Toc28168 144. HYPERLINK l _Toc10222 4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論 PAGEREF _Toc10222 15 HYPERLINK l _Toc20127 實(shí)驗(yàn)五 數(shù)值方法實(shí)際應(yīng)用 PAGEREF _Toc20127 165. HYPERLINK l _Toc4563 1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?PAGEREF _Toc4563 165. HYPERLINK l _Toc17676 2 根本原理 PAGEREF _Toc17676 165. HYPERLINK l _Toc3283 3 實(shí)驗(yàn)容

9、PAGEREF _Toc3283 165. HYPERLINK l _Toc18779 4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論 PAGEREF _Toc18779 22 HYPERLINK l _Toc28567 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc28567 23-. z實(shí)驗(yàn)一 列主元Gauss消去法1.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦斫饬兄髟シǖ脑?；熟悉列主元消去法的?jì)算步驟，能用代碼編寫；解決實(shí)際問題。1.2 根本原理在順序Gauss消去法中，必須要求；否則無法進(jìn)展計(jì)算。即使，但其絕對值很小，由于舍入誤差的影響，也可能會(huì)引起很大的誤差，從而使上述方法失效。為了使消元過程中減小舍入誤差和不至于中斷，可以按照不同的自然順序進(jìn)展消元

10、。在第k步消元時(shí)，增廣矩陣為1.1不一定選取作為主元，而從同列中選取絕對值最大的作為主元素，即1.2 假設(shè)，此時(shí)矩陣不可逆，方程的解不確定，則停頓計(jì)算；否則，當(dāng)rk時(shí)，則其增廣矩陣換第k行和第r行，即1.3使成為主元。然后再按Gauss消去法進(jìn)展消元運(yùn)算。于是就得到列主元Gauss消去法。1.3 實(shí)驗(yàn)容1.3.1 程序來源 首先建立一個(gè)gaussMethod.m的文件，用來實(shí)現(xiàn)列主元的消去方法。文件容如下：function *=gaussMethod(A,b)%高斯列主元消去法，要求系數(shù)矩陣非奇異的n = size(A,1);if abs(det(A) R=rk4(tt,0,1,0,10)輸出

11、：R = 0 0 0.30000000000000 0.30751722078089 0.40000000000000 0.46666197888861 0.50000000000000 0.64581185656207 0.60000000000000 0.84496198189452 0.80000000000000 1.30326225710000 0.90000000000000 1.562412395020554.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論龍格-庫塔法具有精度高，收斂，穩(wěn)定在一定條件下，計(jì)算過程中可以改變步長，不需要計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)等優(yōu)點(diǎn)，但仍需計(jì)算在一些點(diǎn)上的值，如四階龍格-庫塔方法每計(jì)算一步需要計(jì)

12、算四次的值，這給實(shí)際計(jì)算帶來一定的復(fù)雜性。實(shí)驗(yàn)五 數(shù)值方法實(shí)際應(yīng)用5.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解梯形公式原理及幾何意義；2學(xué)會(huì)復(fù)化梯形求積公式的編程與應(yīng)用；3掌握Matlab提供的計(jì)算積分的各種函數(shù)的使用方法；5.2 根本原理 在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到一些困難。有些函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，例如，對于積分 (5.1)而言，不存在用初等函數(shù)表示的原函數(shù)。而有些函數(shù)雖然能找到原函數(shù)，但計(jì)算過于復(fù)雜，例如，橢圓型積分 (5.2) 而有些情況下，只能知道*些點(diǎn)處的函數(shù)值，并沒有函數(shù)的具體表達(dá)式。這些情況，使我們有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題。下面我們就以梯形公式為例做以說明。 所謂梯形求積公式就是用梯形

13、面積來近似曲邊梯形面積，利用梯形公式和連續(xù)增加a,b的區(qū)間數(shù)來逼近： (5.3)第j次循環(huán)在個(gè)等距節(jié)點(diǎn)處對采樣。5.3 實(shí)驗(yàn)容 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長計(jì)算公式是，這里a是橢圓半長軸，c是地球中心與軌道中心橢圓中心的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=637km為地球半徑，則我國第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384，試求衛(wèi)星軌道的周長。解: 第一步：先利用Matlab畫出被積函數(shù)的圖形。 輸入程序如下：clearH=2384;h=439;R=6371;a=(2*R+H+h)/2c=(H-h)/2*=0:0.1:pi/2;y=sqrt(1-(c/a)2*(s

14、in(*).2);plot(*,y,-)title(梯形法則);*label(*);ylabel(y);輸出結(jié)果：a = 7.782500000000000e+003c = 9.725000000000000e+002輸出圖形：圖5.1 被積函數(shù)的圖形第二步：應(yīng)用數(shù)值積分梯形公式。 首先建立一個(gè)名為trapezg.m的M文件，程序如下：function I=trapezg(f_name3,a,b,n)format long%輸出用15位數(shù)字表示n=n;h=(b-a)/n; *=a+(0:n)*h;f=feval(f_name3,*);I=h/2*(f(1)+f(n+1);if n1 I=I+h

15、*sum(f(2:n);endh1=(b-a)/100;*c=a+(0:100)*h1; fc=feval(f_name3,*c);plot(*c,fc,r);hold on*label(*);ylabel(y);plot(*,f)title(數(shù)值積分梯形效果圖);plot(*,zeros(size(*),.)for i=1:n;plot(*(i),*(i),0,f(i),end 然后建立一個(gè)名為f_name3.m的M文件定義函數(shù)，Matlab命令如下：function y=f_name3(*)y=sqrt(1-(9.725000e+002/7.782500e+003)2*(sin(*).2)

16、-0.99; 輸入命令程序： trapezg(f_name3,0,pi/2,30) 輸出結(jié)果：ans = 0.00955791054630輸出圖形：圖5.2 數(shù)值積分效果圖積分結(jié)果為：0.00955791054630+0.99=0,99955791054630第三步：計(jì)算最后結(jié)果：第四步：考慮誤差。clearn=1;format longfprintf(n E*tended Trapezoidal Rulen);fprintf(n n I Errorn);I2=0.00955791054630;for k=1:8n=n*2;I1=trapezg(f_name3,0,pi/2,n);format longif k=1;fprintf(%3.0f %10.8f %10.8fn, n, I1, I1-I2);endpauseend計(jì)算7步輸出結(jié)果：E*tended Trapezoidal Rulen I Error4 0.00956 0.00000 8 0.00956 0.0000016 0.00956 0.0000032 0.00956 -0.0000064 0.00956 -0.00000128 0.00956 0.00000256 0.00956 -0.00000初始狀態(tài)圖：圖5.3 初始狀態(tài)圖計(jì)算一步結(jié)果圖：圖5.4 計(jì)算一步結(jié)果圖計(jì)算四步結(jié)果圖：圖5.5 計(jì)算四步結(jié)果