第7章拉普拉斯變換

1、第7章 拉普拉斯變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡(jiǎn)便的方法，而且在自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用本章將扼要地介紹拉普拉斯變換（以下簡(jiǎn)稱拉氏變換）的基本概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用7.1拉氏變換的基本概念在代數(shù)中，直接計(jì)算是很復(fù)雜的，而引用對(duì)數(shù)后，可先把上式變換為，然后通過(guò)查常用對(duì)數(shù)表和反對(duì)數(shù)表，就可算得原來(lái)要求的數(shù)這是一種把復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單運(yùn)算的做法，而拉氏變換則是另一種化繁為簡(jiǎn)的做法7.1.1 拉氏變換的基本概念定義 設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，若廣義積分在的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分就確定了一個(gè)參量為的函數(shù)，記作，即（7

2、-1）稱（7-1）式為函數(shù)的拉氏變換式，用記號(hào)表示函數(shù)稱為的拉氏變換(Laplace) (或稱為的象函數(shù))函數(shù)稱為的拉氏逆變換（或稱為象原函數(shù)），記作，即關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)說(shuō)明：(1) 在定義中，只要求在時(shí)有定義為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后總假定在時(shí)，（2）在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù)是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值為了方便起見(jiàn)，本章我們把作為實(shí)數(shù)來(lái)討論，這并不影響對(duì)拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用（3）拉氏變換是將給定的函數(shù)通過(guò)廣義積分轉(zhuǎn)換成一個(gè)新的函數(shù)，它是一種積分變換一般來(lái)說(shuō)，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的例7-1 求一次函數(shù)（為常數(shù)）的拉氏變換解 7.1.2 單位

3、脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動(dòng)勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流時(shí)，要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù)，在原來(lái)電流為零的電路中，某一瞬時(shí)(設(shè)為)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路上的電流，以表示上述電路中的電量，則由于電流強(qiáng)度是電量對(duì)時(shí)間的變化率，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，上式說(shuō)明，在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠用來(lái)表示上述電路的電流強(qiáng)度為此，引進(jìn)一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)定義 設(shè)，當(dāng)0時(shí)，的極限稱為狄拉克（Dirac）函數(shù)，簡(jiǎn)稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)，的值為；當(dāng)時(shí)，的值為無(wú)窮大，即和 的圖形如圖7-1和圖7-2所示顯然，對(duì)任何，有，所以 工程技術(shù)中，常將函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，有些工程書(shū)上，將

4、函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于的有向線段來(lái)表示（如圖7-2所示），這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示函數(shù)的積分，叫做函數(shù)的強(qiáng)度例7-2 求的拉氏變換解 根據(jù)拉氏變換的定義，有，即例7-3 求單位階梯函數(shù)的拉氏變換解 ，例7-4求指數(shù)函數(shù)（為常數(shù)）的拉氏變換解 ，即類似可得；習(xí)題71求1-4題中函數(shù)的拉氏變換1234是常數(shù)）7.2 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換有以下幾個(gè)主要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變換性質(zhì)1 (線性性質(zhì)) 若 ，是常數(shù)，且，則 （7-2）證明 例7-5 求下列函數(shù)的拉氏變換：（1）； （2）解（1）（2）性質(zhì)2（平移性質(zhì)） 若，則（為常數(shù)） （7-3）證明 位移性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以等于

5、其象函數(shù)左右平移個(gè)單位例7-6 求 ，和 解 因?yàn)?，由位移性質(zhì)即得性質(zhì)3（滯后性質(zhì)） 若，則 （7-4）證明 =，在拉氏變換的定義說(shuō)明中已指出，當(dāng)時(shí)，因此，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)（即）時(shí)，所以上式右端的第一個(gè)積分為，對(duì)于第二個(gè)積分，令，則滯后性質(zhì)指出：象函數(shù)乘以等于其象原函數(shù)的圖形沿軸向右平移個(gè)單位（如圖7-3所示）由于函數(shù)是當(dāng)時(shí)才有非零數(shù)值故與相比，在時(shí)間上滯后了一個(gè)值，正是這個(gè)道理，我們才稱它為滯后性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，為了突出“滯后”這一特點(diǎn)，常在這個(gè)函數(shù)上再乘，所以滯后性質(zhì)也表示為例7-7 求解 因?yàn)?，由滯后性質(zhì)得例7-8 求解 因?yàn)?，所以?-9 求下列函數(shù)的拉氏變換：（1） （2）解 （1）由圖

6、7-4容易看出，當(dāng)時(shí)，的值是在的基礎(chǔ)上加上了（），即故可把寫(xiě)成，于是（2）仿（1），把寫(xiě)成，于是我們可以用拉氏變換定義來(lái)驗(yàn)算例7-9所得的結(jié)果由例7-9看出，用單位階梯函數(shù)可將分段函數(shù)的表達(dá)式合寫(xiě)成一個(gè)式子例7-10 已知，求解：如圖7-5所示，可用單位階梯函數(shù)表示為，于是，由拉氏變換定義來(lái)驗(yàn)證：性質(zhì)4（微分性質(zhì)） 若，并設(shè)在0，+上連續(xù)，為分段連續(xù)，則 (7-5)證明 由拉氏變換定義及分部積分法，得，可以證明，在存在的條件下，必有 因此，微分性質(zhì)表明：一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)，再減去函數(shù)的初始值應(yīng)用上述結(jié)果，對(duì)二階導(dǎo)數(shù)可以推得同理，可得以此類推，可得 （7-6）

7、由此可見(jiàn)，各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換可以由的乘方與象函數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)特別是當(dāng)初值時(shí)，有更簡(jiǎn)單的結(jié)果 （7-7）利用這個(gè)性質(zhì)，可將的微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程例7-11 利用微分性質(zhì)求和解 令，則，由7-6式，得，即，移項(xiàng)化簡(jiǎn)得利用上述結(jié)果，及（7-5）式，可得性質(zhì)5（積分性質(zhì)） 若，且設(shè)連續(xù)，則 （7-8）證明 令，顯見(jiàn)，且因，由微分性質(zhì)，得，而，所以有，即積分性質(zhì)表明：一個(gè)函數(shù)積分后再取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù)例7-12 求（是正整數(shù)）解 因?yàn)椋?，所以由（7-8）式即得一般地，有性質(zhì)6 若，則時(shí) （7-9）性質(zhì)7 若，則 （7-10）性質(zhì)8 若，且存在，則 （7-11）例7-13

8、求解 因?yàn)?，由?-10）式可得例7-14 求解 因?yàn)椋?，所以由?-11）式可得即因此，當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)廣義積分的值這個(gè)結(jié)果用原來(lái)的廣義積分的計(jì)算方法是得不到的現(xiàn)將拉氏變換的八個(gè)性質(zhì)和在實(shí)際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如下：表7-1 拉氏變換的性質(zhì)序號(hào)設(shè)123(a0)456（a0）78表7-2 常用函數(shù)的拉斯變換表序號(hào)1123456789101112131415161718192021習(xí)題7-2求5-12題中函數(shù)的拉氏變換5 67 89 10 11 127.3 拉氏變換的逆運(yùn)算前面我們主要討論了怎樣由已知函數(shù)求它的象函數(shù)的問(wèn)題運(yùn)算法的另一面是已知象函數(shù)要求它的象原函數(shù)，這就是拉斯逆

9、變換問(wèn)題同時(shí)把常用的拉氏變換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出性質(zhì)1（線性性質(zhì)） 性質(zhì)2（平移性質(zhì)） 性質(zhì)3（滯后性質(zhì)） 例7-15 求下列象函數(shù)的逆變換：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）將代入表二（5），得 （2）由性質(zhì)及表二（4），得（3）由性質(zhì)及表二（2）、（3），得（4）由性質(zhì)及表二（9）、（10），得例7-16 求的逆變換解在運(yùn)用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)有問(wèn)題時(shí)，通常遇到的象函數(shù)常常是有理分式，對(duì)于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡(jiǎn)單的分式之和，然后再利用拉氏變換表求出象原函數(shù)例7-17求的逆變換解 先將分解為兩個(gè)最簡(jiǎn)分式之和：，用待定系數(shù)法求得，所以，于是例7-1

10、8 求的逆變換解 先將分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單分式之和：，用待定系數(shù)法求得，所以，于是習(xí)題7-3求13-18題中函數(shù)的拉氏逆變換13 1415 1617 187.4 拉氏變換應(yīng)用舉例下面舉例說(shuō)明拉氏變換在解常微分方程中的應(yīng)用例7-19 求微分方程滿足初值條件的解解 第一步 對(duì)方程兩邊取拉氏變換，并設(shè)：，將初始條件代入上式，得這樣，原來(lái)的微分方程經(jīng)過(guò)拉氏變換后，就得到了一個(gè)象函數(shù)的代數(shù)方程第二步 解出：=第三步 求象函數(shù)的拉氏逆變換：這樣就得到了微分方程的解由例7-19可知，用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程的方法的運(yùn)算過(guò)程如表7-3：象函數(shù)的代數(shù)方程常系數(shù)線性微分方程作拉氏變換解代數(shù)方程象原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)求拉氏逆變換例7-20 求微分方程滿足初值條件的解解 對(duì)所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換設(shè)，則得將初值條件代入，得到的代數(shù)方程，即解出，得將上式分解為部分分式，再取拉氏逆變換，就得到滿足所給初值條件的方程的特解為用拉氏變換還可以解常系數(shù)線性微分方程組習(xí)題 7-4用拉氏變換求解19-22題中的微分方程19202122本章內(nèi)容本章主要內(nèi)容為：1拉氏變換的概念和性質(zhì)；拉氏變換的逆變換2拉氏變換與逆變換之間有如下框圖所示的關(guān)系：拉氏變換拉斯變換拉