大學(xué)物理：氫原子的超精細(xì)分裂

1、12 氫原子的超精細(xì)分裂氫原子的超精細(xì)分裂簡介氫原子基態(tài)，由于電子自旋磁矩與核自旋相互作用，實(shí)際上是4個(gè)態(tài)。它們相對(duì)于無自旋時(shí)能量稍有移動(dòng)。此為超精細(xì)分裂。通過對(duì)氫原子核外電子求解定態(tài)方程，可得到分裂能級(jí)基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)能量相差10eV!超精細(xì)分裂能量移動(dòng)約為 eV2氫原子的超精細(xì)分裂簡介基礎(chǔ)態(tài)選?。何覀冞x取物理意義最明確的那一 套基礎(chǔ)態(tài)。它們未必是定態(tài)。我們只研究基態(tài)。我們在此不研究電子的位置，基態(tài)本身就決定了電子的位置波函數(shù)。我們只討論電子自旋與核自旋的相互作用 ！態(tài)2：電子朝上，質(zhì)子朝下態(tài)1：電子朝上，質(zhì)子朝上態(tài)3：電子朝下，質(zhì)子朝上態(tài)4：電子朝下，質(zhì)子朝下電子質(zhì)子3 氫原子基態(tài)哈密頓量

2、約定：只對(duì)電子作用只對(duì)質(zhì)子（核）作用例如經(jīng)典的磁矩相互作用能與成正比此處量子的哈密頓量為：這個(gè)不是能量，是能量算符，它由實(shí)驗(yàn)證實(shí)4 氫原子基態(tài)哈密頓量由于只作用于電子，只作用于質(zhì)子用矩陣表示，H等同于矩陣直積。5 氫原子基態(tài)哈密頓量我們可以不用直積而據(jù)定義寫出哈密頓矩陣。其辦法就是根據(jù)上式計(jì)算矩陣元。例如計(jì)算完所有矩陣元我們可以得到：67 氫原子基態(tài)哈密頓量有了這個(gè)哈密頓矩陣，定態(tài)與能量本征值的求解又變成了標(biāo)準(zhǔn)線性代數(shù)問題，本征值問題！這里雖然是4乘4矩陣，可是數(shù)學(xué)上等價(jià)于2乘2矩陣?？蓪?duì)一四行與二三行分別求解。8 能級(jí)本征態(tài)：有兩個(gè)定態(tài)是糾纏態(tài) ！9 能級(jí)第4個(gè)態(tài)與其它3態(tài)的能級(jí)差為4A10

3、 能級(jí)第4個(gè)態(tài)與其它3態(tài)的能級(jí)差為4A由此能級(jí)差而導(dǎo)致的輻射頻率1420兆赫的微波。此頻率的測量精度可達(dá)， 10萬億分之一此波波長為21厘米，被稱為21厘米波，在天文學(xué)上和量子頻標(biāo)上有重要應(yīng)用。氫是銀河系最豐富的元素。星系空間大多數(shù)物質(zhì)處于低溫狀態(tài)，大多數(shù)原子處于基態(tài)，很少發(fā)射可見光。然而，處于基態(tài)的氫原子可以發(fā)射21厘米波。強(qiáng)度代表物質(zhì)密度信息，頻率移動(dòng)代表運(yùn)動(dòng)速度信息（為什么？），頻率多普勒展寬代表溫度信息，譜線的塞曼分裂代表磁場信息。11 能級(jí)本征態(tài)：初始態(tài)t時(shí)刻的態(tài)？同往常一樣，展開成定態(tài)的線性疊加！時(shí)是最大糾纏態(tài)！12態(tài)演化問題的一般方法回顧對(duì)于不含時(shí)哈密頓量1）寫出哈密頓量 2）解

4、定態(tài)方程，獲得哈密頓量的本征態(tài) 與本征值 ，3）以上述本征態(tài)為基礎(chǔ)態(tài)， 將給定的初始態(tài) 展開，最后得任意時(shí)刻的態(tài)。涉及的物理系統(tǒng)包括：無限深勢阱中的粒子，氨分子，磁場中的電子自旋，自旋磁矩的相互作用（氫原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)），等等可能的問題包括：直接問態(tài)的演化；問物理量在某時(shí)刻的平均值；問某時(shí)刻對(duì)某物理量測得某值得概率；等等。13 塞曼分裂由于磁場而引起的原子能級(jí)移動(dòng)稱為塞曼效應(yīng)。下圖中的曲線表示氫原子的塞曼分裂。若沒有磁場，我們僅得到一條譜線。態(tài)IV與其它任何態(tài)之間的躍遷吸收或發(fā)射一個(gè)光子，其頻率為1420MHz. 當(dāng)原子在磁場中時(shí)，會(huì)有更多譜線。4個(gè)態(tài)中任何兩個(gè)態(tài)之間的躍遷都有可能。14 塞曼分

5、裂15 塞曼分裂原子在外磁場中能級(jí)發(fā)生分裂，為塞曼分裂。此時(shí)哈密頓量是粒子相互作用量與每個(gè)粒子單獨(dú)在外場時(shí)的哈密頓量之和。是負(fù)值是正值值是值的1000多倍16 塞曼分裂原子在外磁場中能級(jí)發(fā)生分裂，為塞曼分裂。此時(shí)哈密頓量是粒子相互作用量與每個(gè)粒子單獨(dú)在外場時(shí)的哈密頓量之和。定均勻外部靜磁場為z+方向，外場部分哈密頓量計(jì)算矩各陣元發(fā)現(xiàn)17 塞曼分裂可解得4個(gè)不同本征值，即能級(jí)進(jìn)一步分裂為4個(gè)。此為氫原子基態(tài)的塞曼超精細(xì)分裂！對(duì)于矩陣18 塞曼分裂19 塞曼分裂20 塞曼分裂此時(shí)哈密頓量幾乎是對(duì)角的，故本征態(tài)幾乎就是上上，上下，下上，下下。而幾乎沒有糾纏。若21強(qiáng)磁場情況這幾個(gè)能量物理意義明確，即

6、它們就是電子質(zhì)子自旋為上上，下下，上下，下上的情況。22 塞曼分裂極弱磁場情況下：本征態(tài)幾乎就是無外場時(shí)的態(tài)。23 在磁場中的態(tài)極弱磁場情況24 在磁場中的態(tài)極弱磁場情況能量在-3A處的能級(jí)幾乎不變，在A處的能級(jí)分裂成3個(gè)能級(jí)。253 自旋為1的角動(dòng)量角動(dòng)量并不只限于自旋1/2。它可以是整數(shù)或半整數(shù)。對(duì)于任何量子系統(tǒng)，角動(dòng)量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取為總量子數(shù)，是在所有方向的最大可能投影值0zjz對(duì)于單粒子的軌道角動(dòng)量或自旋角動(dòng)量， 就是角量子數(shù)或者自旋。對(duì)于兩粒子自旋， 就是總自旋。對(duì)于既有軌道角動(dòng)量又有自旋角動(dòng)量的系統(tǒng)， 是耦合后的總角動(dòng)量263 自旋為1的

7、角動(dòng)量角動(dòng)量并不只限于自旋1/2。它可以是整數(shù)或半整數(shù)。對(duì)于任何量子系統(tǒng)，角動(dòng)量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取為總角動(dòng)量量子數(shù)，是在所有方向的最大可能投影值0zjz因此，若總角動(dòng)量為0，則在任何方向的投影都是0。因此，總角動(dòng)量為0的態(tài)只有一個(gè)。若在任何方向投影都是0，則總角動(dòng)量必為0。273 自旋為1的角動(dòng)量稱為磁量子數(shù)，它可以是中的任何一個(gè)Z向投影值可寫成現(xiàn)在考慮兩個(gè)自旋為1/2的粒子組成的物理系統(tǒng)。我們用j代表總自旋即總角動(dòng)量量子數(shù)，用m代表磁量子數(shù)。首先我們要找到以總自旋S及其磁量子數(shù)m為標(biāo)記的基礎(chǔ)態(tài) 。283 自旋為1的角動(dòng)量首先我們要找到以總自旋S及其磁量

8、子數(shù)m為標(biāo)記的基礎(chǔ)態(tài) ?？傋孕孔訑?shù)可能取那些值？首先，在任何方向的自旋投影值量子數(shù)可以為1，因?yàn)橹灰總€(gè)粒子的自旋投影都為正，即構(gòu)成自旋投影值量子數(shù)可以為1。（顯然，總自旋投影值不能大于1。）因此，S=1是兩粒子系統(tǒng)可能的總自旋（總角動(dòng)量）量子數(shù)。對(duì)于這個(gè)值，可以有3個(gè)投影值，1，0，-1。這就是說，S=1有3個(gè)正交態(tài)。兩粒子系統(tǒng)應(yīng)該有4個(gè)基礎(chǔ)態(tài)。還應(yīng)該存在另一個(gè)（而且只能有一個(gè)）與S=1的3個(gè)態(tài)都正交的基礎(chǔ)態(tài)，即存在一個(gè) 的態(tài)。293 自旋為1的角動(dòng)量中的任何一個(gè)回顧：總自旋為S向投影值可以是：這個(gè)其實(shí)隱含了這樣的規(guī)則: 若a是可能的投影值，-a也一定是可能的投影值。而我們先在要尋找 的兩

9、粒子態(tài)，且這個(gè)S值只能有一個(gè)態(tài)。（因?yàn)槲覀円呀?jīng)有了S=1的3個(gè)態(tài)。）滿足這個(gè)條件的，只能是S=0303 自旋為1的角動(dòng)量結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)自旋1/2的粒子系統(tǒng)，總自旋有兩個(gè)可能值：S=1，0在后續(xù)課程里，我們能夠證明一個(gè)更廣泛的結(jié)論：兩個(gè)角動(dòng)量分別為 和 的體系的總角動(dòng)量量子數(shù)的可能值為：31對(duì)于兩個(gè)自旋為1/2的體系，可能的總自旋角動(dòng)量量子數(shù)為1，0注意：對(duì)于在Z向投影為確定值0的態(tài)，我們并不唯一確定其狀態(tài)。因?yàn)槠淇傋孕淮_定，可能是1，0?？傋孕秊?的態(tài)并不唯一確定，因?yàn)榇帕孔訑?shù)未定。但是總自旋為0的態(tài)則是唯一確定的態(tài)?，F(xiàn)在的問題是：S=1的3個(gè)態(tài)，S=0的態(tài)具體形式是什么？它們?nèi)绾螌懗?的線

10、性疊加形式？32能量為A的粒子氫原子是自旋為1的粒子。能量為-3A的氫原子自旋為零。為什么？33態(tài)是在Z向投影為確定值0的態(tài)：角標(biāo)1的算符只作用于粒子1，角標(biāo)2的算符只作用于粒子234態(tài)是在X向投影為確定值0的態(tài)：類似地還有：在Y方向投影為確定值0；在任何方向投影都是確定值0。因此，對(duì)于這個(gè)態(tài)，其總角動(dòng)量，也就是總自旋S=0！35態(tài)總自旋S=0。由于現(xiàn)在所有可能的總自旋值只可能是1或者0，因此任何與此態(tài)正交的態(tài)總自旋必為1！都是自旋為1的態(tài)！容易驗(yàn)證，它們在Z軸的投影量子數(shù)分別為1，-1，036我們可以用角動(dòng)量符號(hào)標(biāo)記每個(gè)態(tài)：三重態(tài)獨(dú)態(tài)將來，的態(tài)簡寫為三重態(tài)：獨(dú)態(tài)：37singlettriplet38表示總角動(dòng)量量子數(shù)為j,磁量子數(shù)為m的態(tài)39 自旋為1的粒子的投影矩陣自旋為1的粒子的Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)自旋為1的粒子在不均勻磁場中分裂為3束擋住兩束，剩下的一束被送到第二臺(tái)同樣裝置，不分裂40 自旋為1的粒子的投影矩陣自旋為1的粒子的Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)在設(shè)備S出口擋住兩束，剩下的一束進(jìn)