高中物理競賽亞賽例題aph

1、發(fā)射衛(wèi)星質(zhì)量為m的衛(wèi)星環(huán)繞的地球（質(zhì)量為M）作半徑為R0的圓周運(yùn)動(dòng)，求衛(wèi)星的速度u0。 在上述圓軌道的某一點(diǎn)Q沿切線從u0加速到u1，使之改變軌道，達(dá)到遠(yuǎn)地點(diǎn)P距離地心為R1的橢圓軌道上，求加速后的速度u1，用u0和R0 ，R1表示。導(dǎo)出衛(wèi)星遠(yuǎn)離地球引力場范圍的最小速度u1，用u0表示。接第二問，衛(wèi)星達(dá)到遠(yuǎn)地點(diǎn)P的速度u2，用u0和R0 ，R1表示。在遠(yuǎn)地點(diǎn)P再次變軌，從u2加速到u3，使之沿著半徑為R1的大圓軌道運(yùn)行，求加速后的速度u3，用u2 和R0 ，R1表示。6. 如果衛(wèi)星受到一個(gè)微小的擾動(dòng)，偏離了原先半徑為R1的圓軌道，導(dǎo)出衛(wèi)星到地心的距離r圍繞平均距離R1來回振動(dòng)的周期T。7. 描

2、繪受到擾動(dòng)的軌道以及原有圓軌道的草圖。提示：必要的話可以運(yùn)用以下衛(wèi)星軌道的運(yùn)動(dòng)方程：解：h取零級(jí)近似秋千問題. 一男孩通過交替蹲下和站起的方式來蕩秋千。圖示的是在擺動(dòng)過程中男孩的質(zhì)心軌跡。當(dāng)男孩處于站立姿勢(shì)時(shí)，設(shè)秋千樞軸到男孩質(zhì)心的距離為ru；而當(dāng)男孩處在下蹲姿勢(shì)時(shí)，秋千樞軸到男孩質(zhì)心的距離為rd。設(shè)比值rd/ru=21/10=1.072。為了使問題簡化，假定秋千質(zhì)量可以忽略，秋千的擺幅很小，男孩的質(zhì)量總是集中在其質(zhì)心上；同時(shí)還假定男孩每次從下蹲到站立或者站立到下蹲的過程(即A到B，E到F)與秋千擺動(dòng)本身相比進(jìn)行得足夠地快，因此可以認(rèn)為從下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬間完成的。與此類似，另外兩個(gè)

3、下蹲過程(從C到D，從G到H)也被假定是瞬間過程。需要求解的問題是：男孩要將秋千擺動(dòng)幅度增加一倍，或者說最大角速度增加一倍(即擺動(dòng)幅度為初始幅度的兩倍，或最大角速度為原來的兩倍)，需要進(jìn)行多少次（可以用分?jǐn)?shù)表示）擺動(dòng)才行。角動(dòng)量守恒， 由B擺到最高點(diǎn)C機(jī)械能守恒， 由D擺到E的過程也滿足機(jī)械能守恒，即經(jīng)過n個(gè)周期角速度增加的因子是。經(jīng)過n個(gè)周期角速度增加的因子是 滑動(dòng)摩擦下的諧振子力學(xué)里，經(jīng)常用到所謂的相空間，即由體系所有粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量（或者速度）構(gòu)成的虛擬空間。相空間里的點(diǎn)稱為相點(diǎn)。每個(gè)相點(diǎn)確定了系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)。當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)演化時(shí)，相應(yīng)的相點(diǎn)的軌跡成為相軌跡。通常在相軌跡上畫一個(gè)箭頭來反應(yīng)演

4、化的方向。給定力學(xué)系統(tǒng)的所有可能的相軌跡構(gòu)成相圖。通過分析相圖就可以定性地給出力學(xué)系統(tǒng)的重要性質(zhì)而無需將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程求解為顯函數(shù)形式（explicit form）。在許多情況下，相空間的應(yīng)用是解決力學(xué)問題的最合適的方法。本題中，我們建議利用相空間來分析一個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)，即一個(gè)坐標(biāo)描述的系統(tǒng)。在這種情況下，相空間是一個(gè)二維平面，相軌跡是該平面上一條曲線，它反映動(dòng)量和坐標(biāo)的依賴關(guān)系。作為一個(gè)例子，圖1給出了一個(gè)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子的相軌跡。xp0問題A 相圖（3.0分）A1 0.5分畫出自由質(zhì)點(diǎn)相軌跡，該質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)互相平行位于x = - L/2和x = L/2的全反射墻壁之間運(yùn)動(dòng)。A

5、2 研究諧振子的相軌跡，也就是質(zhì)量為m受胡克力（F = - k x）作用的質(zhì)點(diǎn)的相軌跡。0.5分寫出相軌跡的方程和相應(yīng)的參數(shù)0.5分畫出諧振子的相軌跡。A3 1.5分考慮一個(gè)長度為L質(zhì)量不計(jì)的剛性棒，一端固定，另一端有質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)（重力加速度為g）。用棒與鉛垂線之間夾角a作為描述系統(tǒng)的坐標(biāo)。相平面是由()描繪的坐標(biāo)平面，研究并畫出在任意角度a下該擺的相圖。設(shè)K為該系統(tǒng)不同性質(zhì)的相軌跡種類的數(shù)目，求K的值。對(duì)每種相軌跡至少畫出一條典型的相軌跡。給出描述的每一種相軌跡的參數(shù)的取值范圍。（不要將平衡點(diǎn)當(dāng)作相軌跡）。忽略空氣阻力。B. 滑動(dòng)摩擦下的振子(7.0分)考慮運(yùn)動(dòng)的阻力，我們通常處理兩種類型

6、的摩擦力。第一類是與速度有關(guān)的摩擦力（粘滯摩擦），可用來表達(dá)，例如固體在氣體或液體中的運(yùn)動(dòng)。第二類是跟速度無關(guān)的摩擦力，其大小可用F=mN來表達(dá)，力的方向和接觸物體間的相對(duì)速度的方向相反（滑動(dòng)摩擦），如一個(gè)固體在另一個(gè)固體表面的運(yùn)動(dòng)。作為第二種摩擦力的一個(gè)特例，考慮水平表面上和彈簧一端相連的物體，彈簧的另一端固定。該物體的質(zhì)量是m，彈簧的彈性系數(shù)是k，物體和表面之間的摩擦系數(shù)是m。假定物體沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)（取x=0為彈簧未伸縮的位置）。假定動(dòng)摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)是相同的，初始時(shí)刻物體位于x=A0（A00）的位置，速度為零。B1. 1.0分寫出在滑動(dòng)摩擦力下,簡諧振子的運(yùn)動(dòng)方程。B2. 2.0分

7、畫出這一振子的相軌跡，確定振子的平衡位置。B3. 1.0分振子是否在彈簧未拉伸狀態(tài)下完全停止運(yùn)動(dòng)？如果不是，確定振子能夠完全靜止的區(qū)域長度。B4. 2.0分確定振子的x正方向振動(dòng)最大偏離量DA在一次振動(dòng)后的減少。相鄰兩次到達(dá)最大正向偏離的時(shí)間間隔是多少？給出x正方向第n次最大偏離量A(tn)的表達(dá)式，其中tn是第n次達(dá)到正向最大偏離處的時(shí)間。B5. 1.0分畫出坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系，并估計(jì)物體總的振動(dòng)周數(shù)N。A1. 0.5 pxppp-L/2L/2A2. 1.0 pA3. 1.5 p E2mgL 擺動(dòng)； E2mgL 繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)K = 3 ，三種軌跡：振動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，臨界點(diǎn)。B1. 1.0 p Ffr = mg, 02=k/m B2. 2.0 p ， 摩擦力的影響體現(xiàn)為平衡位置的漂移：相圖是兩組橢圓的組合：p0對(duì)應(yīng)的上半平面的中心位于x-橢圓的一部分，p0對(duì)應(yīng)