解線性方程組的直接方法ch07d向量和矩陣范數(shù)

1、第七章解線性方程組的直接方法數(shù)值分析及計(jì)算軟件第七章解線性方程組的直接方法數(shù)值分析及計(jì)算軟件 7.5 向量和矩陣的范數(shù)3 7.5.1 向量范數(shù) 7.5.2 矩陣范數(shù) 向量范數(shù)的定義 常見(jiàn)的向量范數(shù) 向量范數(shù)的性質(zhì) 矩陣范數(shù)的定義 F-范數(shù)與算子范數(shù) 矩陣范數(shù)的性質(zhì)、算子范數(shù)的性質(zhì)7.5 向量和矩陣的范數(shù)4 7.5.1 向量范數(shù) 7.5.2 矩陣范數(shù) 向量范數(shù)的定義 常見(jiàn)的向量范數(shù) 向量范數(shù)的性質(zhì) 矩陣范數(shù)的定義 F-范數(shù)與算子范數(shù) 矩陣范數(shù)的性質(zhì)、算子范數(shù)的性質(zhì)7.5 向量和矩陣的范數(shù)設(shè)x=(x1,x2, ,xn)T, y =(y1,y2, ,yn)T Rn (或Cn)， 定義7.1(數(shù)量積)

2、數(shù)量積: (x, y)= yTx= x1y1+x2y2+ +xnyn. (x, y)= yHx.歐氏范數(shù): |x|2 = (x, x)1/2 .(1)正定性：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；(2)齊次性：(3)三角不等式：則稱N(x)為Rn(Cn)上的一個(gè)向量范數(shù)（或模）.（4）如果xRn(Cn)的某個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)N(x) =|x|滿足 定義7.2(向量范數(shù)) 常見(jiàn)的向量范數(shù)無(wú)窮范數(shù)（最大范數(shù)） 2-范數(shù) 1-范數(shù) p-范數(shù)可以驗(yàn)證它們都是范數(shù). 易見(jiàn)前三種范數(shù)是p-范數(shù)的特殊情況例6 計(jì)算向量x的各種范數(shù) 向量范數(shù)的性質(zhì)(1) 定理7.11 (連續(xù)性)設(shè) N(x) =|x|是 Rn 上的任意一個(gè)向量范數(shù)

3、，則 N(x) 是 x 的分量x1 ,x2 ,xn 的連續(xù)函數(shù)(2) 定理7.12 (等價(jià)性)設(shè) | |s 和 | |t 是 Rn 上的任意兩個(gè)范數(shù)，則存在常數(shù) c1 和 c2 ，使得對(duì)任意的 xRn 有證明：證明：(3) Cauchy-Schwarz 不等式(4) 定理7.13 (向量序列的收斂性)證明：12 7.5.1 向量范數(shù) 7.5.2 矩陣范數(shù) 向量范數(shù)的定義 常見(jiàn)的向量范數(shù) 向量范數(shù)的性質(zhì) 矩陣范數(shù)的定義 F-范數(shù)與算子范數(shù) 矩陣范數(shù)的性質(zhì)、算子范數(shù)的性質(zhì)7.5 向量和矩陣的范數(shù)如果矩陣ARnn 的某個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)N(A)=|A| 滿足： 正定條件：|A| 0， A Rnn , 且

4、 |A| = 0 A = 0 齊次條件： |cA| = |c| |A| ， ARn , cR 三角不等式：|A+B| |A|+ |B| 相容性：|AB| |A| |B|則稱N(A)=|A|為 Rnn 上的一個(gè)矩陣范數(shù)(或模) 定義7.4(矩陣范數(shù))定義7.5 (矩陣的算子范數(shù)) 設(shè) xRn， ARnn，給出一種向量范數(shù)| x |v (如v=1,2或)，相應(yīng)地定義一個(gè)矩陣的非負(fù)函數(shù)可驗(yàn)證|A|v滿足定義7.4，稱|A|v為A的算子范數(shù)，也稱從屬范數(shù)。定理7.14：設(shè) | x |v 是 Rn 上的任一向量范數(shù)，則|A|v是Rnn上矩陣的范數(shù)，且滿足相容條件證明： 常見(jiàn)的矩陣范數(shù)(1) F-范數(shù) (

5、Frobenious 范數(shù))(2) 算子范數(shù) (從屬范數(shù)、誘導(dǎo)范數(shù))其中 | |v 是 Rn 上的任意一個(gè)范數(shù) 常見(jiàn)的算子范數(shù)2-范數(shù)（譜范數(shù)）1-范數(shù)（列范數(shù)）無(wú)窮范數(shù)（行范數(shù)）表示ATA的最大特征值證明：例7：設(shè)計(jì)算 矩陣范數(shù)的性質(zhì)連續(xù)性：設(shè) f=|A|是 Rnn 上的任一矩陣范數(shù)，則 f關(guān)于 A 的每個(gè)分量是連續(xù)的等價(jià)性：設(shè) | |s 和 | |t 是 Rnn 上的任意兩個(gè)矩陣范 數(shù)，則存在常數(shù) c1 和 c2 ，使得對(duì)任意的 A Rnn 有定義7.6 設(shè)A Rnn 的特征值為i(i=1,2,.,n)，稱 為A的譜半徑。定理7.16（特征值上界） 設(shè)A Rnn , | | 是任一算子范數(shù)，則定理：對(duì)任意 0, 總存在一算子范數(shù) | | ，使