第四章無窮級數(shù)三-七(函數(shù)項(xiàng)級數(shù)-冪級數(shù)收斂半徑)

1、第四章無窮級數(shù)三-七(函數(shù)項(xiàng)級數(shù)-冪級數(shù)收斂半徑)4.3 冪級數(shù)4.3.1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義收斂點(diǎn)與收斂域4.3.2 冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù)的定義 阿貝爾(Abel)定理 收斂半徑與收斂域 標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)收斂半徑的求法 標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)收斂域的求法1 一般冪級數(shù)收斂域的求法 一般冪級數(shù)收斂域的求法2-3 內(nèi)容小結(jié)與思考 注解演練例題冪 級 數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 1.定義 2.收斂點(diǎn)與收斂域 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意:3.和函數(shù) (定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.的收斂域.例如, 等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩? 級數(shù)級數(shù)發(fā)散 ;所

2、以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù) 二、冪級數(shù)及其收斂性 1.定義 注1 因經(jīng)變換后, 冪級數(shù)(1)與(2)可相互轉(zhuǎn)化, 故下面主要討論形式(1)的冪級數(shù).類似地，有冪級數(shù)的收斂域，和函數(shù)的定義。例 1 解2. 阿貝爾(Abel)定理 證由結(jié)論(1),注意:Abel定理對標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)給出.幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論3. 收斂半徑與收斂域、收斂區(qū)間 定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂區(qū)間 是開區(qū)間規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?冪級數(shù)的收斂域包括冪級數(shù)的收斂區(qū)間及端點(diǎn)情況.4. 標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)收斂半徑、收斂域的求法 定理2證則比值審斂法得：1定理證畢.例 2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收

3、斂域標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)收斂域的求法習(xí)例解收斂.絕對收斂.解發(fā)散.發(fā)散.解解5. 一般冪級數(shù)收斂域的求法方法 1.(2)由標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)收斂域的求法可得：方法 2.(用比值法討論)例 3 一般冪級數(shù)收斂域的求法習(xí)例例 3解方法一 方法二 由比值法得，注意:(3)求一般函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域時, 可直接用比值法討論.解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)絕對收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域?yàn)樽⒔?我們所說的“求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)域”都是如對標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)而言的;但形非標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù),下步驟求收斂半徑和收斂區(qū)域:直接用上述方法求收斂半徑和收斂區(qū)間,卻不能而只能是采用如第一步:用變量代換把它們化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù) 如令變量代

4、換 第二步:求變換后的新的標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間; 第三步:將新的標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)的收斂半徑和收斂端點(diǎn)回代到變量代換中去,求出原級數(shù)的收斂區(qū)域.或用達(dá)朗貝爾判斷方法去判斷 。演練例題 求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域:例 求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域:則原級數(shù)變?yōu)閯t此冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1).而當(dāng)t =-1時, 級數(shù) 收斂;而當(dāng)t =1時, 級數(shù) 發(fā)散.故當(dāng)-12x+11時,即-1x0時,級數(shù)收斂.解即原級數(shù)收斂域?yàn)?1,0), 收斂半徑為則原級數(shù)變?yōu)橛?1)知,則此冪級數(shù)的收斂區(qū)間為-1,1).時, 原冪級數(shù)收斂.即原級數(shù)收斂區(qū)間為-2,2), 收斂半徑為R=2.內(nèi)容小結(jié)與思考求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)