信號(hào)與系統(tǒng)：3-3 周期信號(hào)基于指數(shù)函數(shù)的正交分解——傅里葉級(jí)數(shù)

1、3.3 周期信號(hào)基于 的正交分解傅里葉級(jí)數(shù)北京航空航天大學(xué)電子信息學(xué)院2022/7/9信號(hào)與系統(tǒng)一、三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)f(t):周期為角頻率為滿足狄義赫利（Dirichlet ）條件在一個(gè)周期內(nèi)f(t):1）間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限2）極大值和極小值的數(shù)目有限3）絕對(duì)可積a0,an,bn分別稱為f(t)的直流分量、n次諧波的余弦分量幅度及正弦分量幅度。從信號(hào)分解的角度來看，這是周期信號(hào)f(t)基于完備正交函數(shù)集cos(n1t),sin(n1t)(n=0,1,)的正交分解（3.3.1）一、三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)因?yàn)橛墒剑?.2.17）可得一、三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)由于cos(n1t)和sin

2、(n1t)分別為變量n的偶函數(shù)和奇函數(shù)，因此an和 bn 分別為 的偶函數(shù)和奇函數(shù)。二、信號(hào)的頻譜通過三角函數(shù)的和差化積的方法，可以將式（3.3.1）表示成只含余弦和正弦函數(shù)的形式。（3.3.1）三、指數(shù)函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)幅度頻率特性是指周期信號(hào)分解為余弦函數(shù)表示時(shí)，不同諧波頻率的余弦函數(shù)的幅度值 Cn隨諧波頻率n1的變化關(guān)系，稱為信號(hào)的幅度頻譜，簡(jiǎn)稱幅度譜。相位頻率特性則是不同諧波頻率的余弦函數(shù)的初始相位n隨諧波頻率n1 的變化關(guān)系，稱為信號(hào)的相位頻譜，簡(jiǎn)稱相位譜。相位譜以2為周期。幅度譜和相位譜合起來構(gòu)成周期信號(hào)的頻譜函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。頻譜的特性：離散性、諧波性、收斂性三、指數(shù)函數(shù)形式傅里葉

3、級(jí)數(shù)（3.3.1）三、指數(shù)函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)三、指數(shù)函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)的復(fù)數(shù)頻譜，簡(jiǎn)稱復(fù)數(shù)譜三、指數(shù)函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)直接利用信號(hào)正交分解為正交函數(shù)集三、指數(shù)函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng)n=0時(shí)，三、指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系其中模稱為復(fù)數(shù)頻譜的幅度譜，輻角稱為相位譜，即注意： |F(n1)|和n分別為n1的偶函數(shù)和奇函數(shù)將復(fù)數(shù)表示為模與輻角的形式（直角坐標(biāo)極坐標(biāo)），則三、指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系顯然在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)f(t)為偶函數(shù)，則bn=0, 且 三角函數(shù)形式三、指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系顯然在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)f(t)為偶函數(shù)，則bn=0, 且 指數(shù)函數(shù)形式三、指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系頻譜對(duì)比三、指數(shù)函數(shù)形式與三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系Sa函數(shù)1